b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D.. a) Chứng minh : Tích AC[r]
(1)ĐỀ SỐ 2 (Thời gian : 120 phút) Bài 1.
a) Chứng minh :
39 11 2 39 11 2
3
b) Giải hệ phương trình :
2
2
74
( 2) ( 4) 18
x y x y Bài 2.
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = , m tham số thực
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ
tính giá trị nhỏ Bài
Gọi (P) đồ thị hàm số
2
1
y x
(d) đồ thị hàm số
1
y x a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ
b) Dùng đồ thị (P) (d) suy nghiệm phương trình x2 – x – = 0
Bài Cho đường trịn (O) , đường kính AB = 2R M điểm lưu động cung AB (M khác A B) Tiếp tuyến đường tròn M cắt tiếp tuyến A B C D
a) Chứng minh : Tích AC.BD khơng đổi M lưu động cung AB
b) Xác định vị trí điểm M cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ GIẢI :
Bài 1
a) Ta có : 11 2 = 3 2 2 = 333 22 3 32 2 23 = ( 3 2)3
Tương tự 11 ( 3 2)3
Vậy
39 11 2 39 11 2
2
3
2
(đfcm) b) Giải hệ phương trình :
2
2
74
( 2) ( 4) 18
x y x y 2 2 74
4 16 18
x y
x x y y
2 74
4 16 74 18
x y x y
2 74
4 76
x y x y
2 74
2 19 x y x y 2
(2 19) 74
2 19 y y x y
5 76 361 74
2 19 y y x y
5 76 287
(2)Vậy hệ có nghiệm :
5
x y
13 41
5
x y
Bài 2.
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = , m tham số thực
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ
tính giá trị nhỏ
a) Ta có : ’ = m2 – 2m + = m2 – 2m + + = (m – 1)2 + > , với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m
b) Ta có :
2
1
x x
=
2
1
x x = x1x22 x x1 2 = 4m2 – 4(2m – 5) = 4m2 – 8m + 20
= 4(m2 – 2m + + 4) = 4(m – 1)2 + 16 ≥ 16
Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ m = 1
Bài
Gọi (P) đồ thị hàm số
2
1
y x
(d) đồ thị hàm số
1
y x a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ
Bảng giá trị hàm số
2
1
y x
x -2 -1
y
1
2 0
1
2 2
Bảng giá trị hàm số
1
y x
x -2
y
Đồ thị (P) (d)
b) Lập phương trình hoành độ giao điểm :
2
1 2x =
1
2x x2 – x – = 0
Vậy số nghiệm pt số giao điểm có hai đồ thị (P) (d)
Dựa vào đồ thị , ta có (P) (d) cắt hai điểm có hồnh độ x = -1 x = Suy nghiệm phương trình x2 – x – = có hai nghiệm x = - ; x = 2
Bài Cho đường trịn (O) , đường kính AB = 2R M điểm lưu động cung AB (M khác A B) Tiếp tuyến đường tròn M cắt tiếp tuyến A B C D
a) Chứng minh : Tích AC.BD khơng đổi M lưu động cung AB
b) Xác định vị trí điểm M cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ a) AC.BD không đổi
Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM DM = DB (1)
D
C
B
O
A
M
2
1
2
yx
1
y x
f(x )=(1/2 )x^2 f(x )=(1/2 )x +1 x(t )=-1 , y(t)=t x(t )=2 , y (t )=t
-5 -4 -3 -2 -1
-4 -3 -2 -1
(3)Và OC phân giác góc AOM , OD phân giác góc MOB Mà AOMvà MOB kề bù nên suy CO OD
Mặt khác OM CD OM = R (CD tiếp tuyến (O) tiếp điểm M) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OCD có : MC.MD = OM2
= R2 (không đổi)
Kết hợp với (1) suy : AC.BD = MC.MD = R2 (không đổi) M lưu
động cung AB
b) Vì AC VÀ BD hai tiếp tuyến (O) A B nên AC // BD (AC BD vuông góc với AB), suy tứ giác ABDC hình thang vng
Diện tích
1
( )
2
ABDC AB AC BD
S
= R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi Nên SABDC nhỏ chì CD nhỏ