Bài Giải Thể Tích Khối Lăng Trụ – Khối Hộp

Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.. GABC theo a..[r]

HƯỚNG DẪN GIẢI THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

GVBM : ĐOAØN NGỌC DŨNG

V KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG BAØI 5.1 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối tứ diện IABC Trong tam giác vuông A’AC, ta có :

5 a a a ' AA C

' A

AC   2 

Trong tam giác vuông ABC, ta coù : a a a AB AC

BC 2   

Gọi H hình chiếu I AC IH  (ABC) Vậy IH chiều cao tứ diện IABC

Xét hai tam giác đồng dạng MIA’ AIC, ta có :

1 AC

M ' A IC

'

IA   , suy

3 ' CA

CI 

Mặt khác : IH // AA’ nên ta coù :

3 a ' AA IH ' CA

CI ' AA IH

     

Dieän tích tam giác ABC :

ABC 21 AB BC 21 a 2a a

S       

Thể tích khối tứ diện IABC :

9 a

a a IH S

3

V

ABC

IABC       

 Tính khoảng cách từ điểm A đến (IBC)

Vẽ HK  BC Chứng minh BC  (IHK)  BC  IK Do HK // AB nên

3 a AB HK

2 ' CA

CI CA CH AB

HK      

vuông IHK có :

3 a HK IH

IK 2 

3 a

5 a a 2 IK BC S

2

IBC    



5 a

5 a

9 a S

V )) IBC ( A ( d )) IBC ( A ( d S

V 2

3

IBC IABC IBC

IABC      

 Cách khác :

Kẻ AK  A’B (K  A’B) (3)

Ta coù :   

 

' AA BC

AB BC

 BC  (ABB’A’)  BC  AK (4) Từ (3) (4) suy : AK  (IBC)

Do AK khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Tam giác A’AB vuông A, ta có :

5 a AK a

1 a

1 AB

1 ' AA

1 AK

1

2 2

2           5

5 a IBC , A

d 

BAØI 5.2 :

 Hướng dẫn :

(ĐẠI HỌC D 2009)Cho hình lăng trụ đ ứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung ểm đoạn thẳng A’C’, I giao ểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) A

B

BÀÀI 16I 16 :

B

C A’

B’

C’



M

I

H K

a

3a 2a

(Ð? I H? C D 2009)Cho hình lang tr? d ? ng ABC.A’B’C’ có dáy ABC tam giác vuông t?i B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a G?i M trung di ?m c?a do?n th?ng A’C’, I giao di ?m c?a AM A’C Tính theo a th? tích kh?i t? di?n IABC kho?ng cách t? di?m

A d?n m?t ph?ng (IBC) A

B

BÀÀI 16I 16 :

B

C A’

B’

C’



M

I

H a

3a 2a

Thể tích khối lăng trụ laø :

2 a a a ' AA S

V ABC   

Gọi N trung điểm BB’ MN đường trung bình BCB’ Suy MN // CB’ Mà MN  (AMN) nên B’C // (AMN)

Do : d(AM , B’C) = d(B’C , (AMN)) = d(B’ , (AMN)) = d(B , (AMN)) Gọi BH chiều cao tứ diện BAMN d(B , (AMN)) = BH

Tứ diện BAMN có cạnh BA, BM, BN đơi vng góc nên ta có :

7 a BH a

7 a

4 a

4 a

1 BN

1 BM

1 BA

1 BH

1

2 2 2

2

2         

Vaäy d(AM , B’C) =

7 a

BAØI 5.3 :

 Hướng dẫn :

Gọi D trung điểm BC, ta có :

)) ABC ( ), BC ' A (( BC

AD BC D ' A

BC ) ABC ( ) BC ' A (

 

   

 

 

= goùc A’DA = 60

Vì AD đường cao đều ABC cạnh a nên

2 a AD

vng A’AD có góc 60 nên nửa tam giác  A'D2ADa

2 a 3 AD '

AA 

Vậy thể tích khối lăng trụ :

8 a

a

3 a ' AA S V

3

ABC   

 (ñvtt)

Gọi H tâm tam giác ABC 

3 DA DH ' DA

DG    GH // AA’  GH  (ABC)

 GH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vẽ mặt phẳng trung trực GA, mặt phẳng cắt GA E cắt GH I, ta có IG = IA = IB = IC  I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

GEI đồng dạng GHA 

GH GA GH

GA GE GI GH GE GA

GI    

GH // AA’ 

2 a

a 3 ' AA GH

1 DA DH ' AA GH

   

 



vuông GHA có :

12 a

3 a 2

a AH GH

GA

2 2

2

2 

   

 

         



Do :

12 a a 12

a GH GA GI

2

  

BAØI 5.4 :

 Hướng dẫn :

AD // B’C’ vaø AD = B’C’  AB’C’D hình bình hành  DB’ cắt AC’ trung ñieåm I (1)

AC // A’C’ AC = A’C’ ACC’A’ hình bình hành  MN đường trung bình hình bình hành ACC’A’

 MN cắt AC’ trung điểm AC’  MN qua trung điểm I (2) Từ (1) (2)  DB’ MN cắt trung điểm I đường  B’, M, D, N nằm mặt phẳng

(ĐẠI HỌC B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a Góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60 Gọi G trọng tâm A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

GABC theo a A

B

BÀÀI 18I 18 :

B

C A’

B’

C’

D a

60 

G





H E

I

(ĐẠI HỌC B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đ áy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 60 Gọi M trung điểm cạnh AA’ N trung điểm cạnh CC’

Chứng minh điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a đ ể tứ giác B’MDN hình vng

B

B

BÀÀI 19 :I 19

D C B’

D’ C’

M

I

a A

A’



N

Ta coù: DM2 = DA2 + AM2 = DC2 + CN2 = DN2  DM = DN

 hình bình hành B’MDN hình thoi

Hình thoi B’MDN hình vuông  MN = B’D  AC = B’D  AC2 = B’D2 = B’B2 + BD2

 3a2 = B’B2 + a2  B’B2 = 2a2  B’B = a

Vậy A’A = a  Cách khaùc :

a) Do M trung điểm cạnh AA và N trung điểm cạnh CC’ nên ta có AM // NC’ AM = NC’  Tứ giác AMCN’ hình bình hành

Gọi I giao điểm MN AC’ I trung điểm MN (1) Mặt khác, tứ giác AB’C’D hình bình hành nên I = AC’  B’D  I trung điểm B’D (2)

Từ (1) (2) suy tứ giác B’MDN hình bình hành Vậy B’, M, D, N nằm mặt phẳng

b) ta có DAM = DCN  DM = DN  Tứ giác B’MDN hình thoi

Do : B’MDN hình vng  MN = B’D (*) BDB’ vng B, ta có : B’D2 = B’B2 + DB2 Khi :

(*)  MN2 = B’D2  AC2 = B’B2 + BD2   2

a = B’B2 + a2  B’B2 = 2a2  B'Ba A'A Vaäy A’A = a

BAØI 5.5 :

 Hướng dẫn :

AA’  (ABC)  góc A’BA góc A’B với đáy  góc A’BA = 60

Ta có AA’ = AB.tan60 AA/ a 3

2

3

3

4

a a

V  a 

G

GoọïiiKKllaàøttrruunnggđđiieểmåmccuủûaaBBCCMMNNKKvvuuoônânggttaạïiiKKccoóù::

1 a

MK AB ; NK AA ' a

2

   

 2 2

2 13 13

3

2

a a a

MN  a     MN 

 

BAØI 5.6 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Trong tam giác ABC kẻ đường cao CH CHAA'B'B  A’H hình chiếu vng góc A’C mặt phẳng AA'B'B  góc CA’H = 30o

Áp dụng định lí cô-sin ABC, ta có :

2

2 o

2

2 7a

2 a a a a 120 cos BC AC BC AC

AB 

      

  

 

7 a AB 

Diện tích tam giác ABC :

2 a

3 a a 120 sin CB AC

S o

ABC    



Mặt khác :

7 21 a a

3 a AB S CH AB CH S

2

ABC

ABC 

  



 



A

B

C A’

B’

C’



K a

M



60

N

Tam giác A’CH vuông H, ta coù :

7 21 a 30 sin

CH C

'

A  o 

Tam giác A’AC vuông A, ta có :

7 35 a a

21 a AC

C ' A '

AA

2

2  

   

   



Thể tích khối lăng trụ cho :

14 105 a

35 a

3 a ' AA S

V ABC    (đvtt)

 Tính khoảng cách từ đỉnh A’ đến (ACM) Dễ thấy dA ,'ACM2dB,ACM

Trong tam giác ABC kẻ đường cao BK, ta có : AK BKM BM

AK BK AK

  

 

 

Mà BKACM nên ACM  BKM theo giao tuyeán KM

Trong tam giác BKM kẻ đường cao BI BIACM Suy dB,ACMBI Ta có : BKBC.sin60o a 3

Tam giác vuông BKM, ta có :

89 1335 a BI a

35 196 a

3 BM

1 BK

1 BI

1

2

2

2          89

1335 a ACM , B

d 

 Vaäy d A ' , ACM   2a 1335

89



BAØI 5.7 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối tứ diện EABD

Ta có ABADa góc BAD = 60o nên ABD tam giác cạnh a Suy BDa,

3 a AO

AC 

Tam giác ACC’ vuông C, ta coù : a a a AC ' AC '

CC 2  2 

Gọi IAC'A'C I trung điểm AC’  E trọng tâm A’AC

Trong AEO kẻ đường cao EH EHABD Do EH//A'A nên ta có :

3 a A ' A EH

1 ' OA OE A ' A

EH     

Thể tích khối tứ diện EABD :

36 a a

3 a EH S

VEABD  ABD     (đvtt)  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDE)

Ta coù : BD A'AO BD A'O

' AA BD

AC BD

  

 

 

 

Tam giác EBD có EO vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên cân E Tam giác A’AO vng A, ta có :

6 a O ' A EO

7 a

3 a a AO A

' A O ' A

2

2

2    

        

 Diện tích tam giác EBD :

12 a EO BD

SEBD  

 

    

7 21 a 12

7 a 36 a S

V EBD , A d EBD , A d S

V 2

3

EBD EABD EBD

EABD 

  



 Vaäy   

7 21 a EBD , A

BAØI 5.8 :

 Hướng dẫn :

Đặt ABx x0 ; ta có 2x 60 cos

AB

AC o  , BCAB.tan60ox

Ta coù :

2 x BC AB

SABC  

Mặt khác : SABCpr, với    2  x 3 BC AC AB

p     ,  

2 a

r 

    x a

2 a

x 3

3 x2

      

Dựng hình bình hành ADBC AC//A'BD, ta có : AC,A'B dAC,A'BD dA,A'BD

d  

Trong tam giác ABD kẻ đường cao AK, ta có : A'AK

BD ' AA BD

AK BD

  

 

 

Mà BDA'BD nên A'BD  A'AK theo giao tuyeán A’K

Trong tam giác A’AK kẻ đường cao AH AHA'BD

    

5 15 a AH BD

' A , A d B ' A , AC

d   



Tam giác A’AK vuông A coù : 2 2 2

AK ' AA AH

1  

Tam giaùc ABD vuông A, ta có : 2 2 2 AD

1 AB

1 AK

1  

Do : AA' a

a

1 a

1 ' AA a

3 AD

1 AB

1 ' AA AH

1

2 2

2

2

2         

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' :

2 a 3 a a a ' AA BC AB ' AA S

V ABC    (ñvtt)

BAØI 5.9 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Ta có : A'C' ABB'A'

' AA ' C ' A

' B ' A ' C ' A

 

  

 

Trong tam giác A’AB kẻ đường cao AI, ta có :

 

 

  

 



' A ' ABB '

C ' A ' C ' A AI

B ' A AI

BA'C' AI



Mặt khác AB'M  BA'C' nên AIAB'M hay IAB'A'B

Suy tứ giác ABB’A’ hình vng

Ta có : a

2 BC AB '

AA  

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' : 2a a a 2

1 ' AA S

V

ABC   

 (đvtt)

 Tính khoảng cách từ B’ đến (AC’M) Ta có : AM BCC'B'

' BB AM

BC AM

  

 

Trong tam giác B’C’M kẻ đường cao B’H, ta có :    B'H AC'M '

B ' BCC AM

do AM H

' B

M ' C H ' B

  

 

 



 

 

d B' , AC' M B' H

 

Tam giác C’CM vuông C, ta có : C'M CC'2CM2  2a2 a2 a Diện tích tam giác MB’C’ laø : 2a.a a

2 ' BB ' C ' B

S

' C '

MB   



Mặt khác

3 a a

2 a M ' C S H ' B M ' C H ' B

S MB'C'

' C '

MB      



Vaäy d B' , AC ' M   2a



BAØI 5.10 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Gọi I trung điểm A’B’ CI'A'B' (do A’B’C’ cân C’) Mặt khác C'IAA', suy CI'ABB'A'

 BI hình chiếu BC’ mặt phẳng ABB'A'

 góc C’BI = 60o góc hợp BC’ với mặt phẳng ABB'A'

BB’I vuông B’, ta có :

2 a a a I' B ' BB

BI 2  2  BC’I vuông I, ta có :

2 15 a 60 tan BI I'

C  o 

Diện tích tam giác A’B’C’ :

4 15 a

15 a a I' C ' B ' A

SA'B'C'      Vậy thể tích khối lăng trụ cho :

4 15 a a

15 a ' AA S

V A'B'C'    (đvtt)  Tính khoảng cách hai đường thẳng AM, NP

Gọi Q trung điểm B’C’ MQ//BC'//PN, suy BC’ PN song song với mặt phẳng AMQ  Do : dAM,PNdPN,AMQ2dBC ,'AMQ

Trước hết ta tính khoảng cách từ BC’ đến mặt phẳng AMQ  Gọi HAMBI, ta có : ABMBBI'  góc BAM = góc B’BI

Mặt khác : góc AMB + goùc BAM = 90o  goùc AMB + goùc B’BI = 90o  goùc BHM = 90o AMBI

Ngoài AMCI' doCI'ABB'A', suy AMBCI'AMBC'

Kẻ HKBC' KBC' HK đoạn vng góc chung AM BC’, tức : AM,BC' HK dBC,'AMQ

d  

ABM vuông B, ta có :

5 a BH a

5 a

4 a

1 BM

1 AB

1 BH

1

2 2 2

2       

BHK vuông K, ta có :

10 15 a 60 sin BH

HK o 

Vaäy d AM , PN  2HK a 15

 

BAØI 5.11 :

 Hướng dẫn :

Tam giác ABC vuông A, ta có : ACAB.tan60o 2a 3, 4a

60 cos

AB

BC o 

a ' C ' B M '

A  



Trong tam giác A’B’C’ kẻ đường cao A’H, ta có : A'H.B'C'A'B.'A'C'

3 a a

4 a a '

C ' B

' C ' A ' B ' A H '

A   



Thể tích khối chóp A'.BCM laø :

3 a a a a H ' A MN BC H ' A S

V

BCM BCM

'

A     

Goïi I trung điểm A’M, ta có :

13 a a a ' BB ' B ' A B ' A

BM  2  2 

 A’BM cân B BIA'M

Diện tích tam giác A’BM : A'M.BI

1

SA'BM  , với BI A'B2AI'2  13a2 a2 2a

3 a a a 2

S

BM '

A  



Mặt khác :       3a

3 a

3 a S

V BM ' A , C d BM ' A , C d S V

V 23

BM ' A

BCM ' A BM

' A BM

' A C BCM '

A      

 Tính góc hai mặt phẳng (A’BM) (ABC)

Diện tích tam giác ABN : a

2 a a 2 60 sin BN AB

S o

ABN    

Gọi  góc hai mặt phẳng A'BM ABC , N trung điểm BC  Do ABN hình chiếu A’BM mặt phẳng ABC nên ta có : 

o

2

BM ' A

ABN BM

' A

ABN 2 60

1 a

a S

S cos cos

S

S      

BAØI 5.12 :

 Hướng dẫn :

A1B1C1 vuông B1 ta có : B1C1  A1C12 A1B12  5a2a2 2a Kẻ A1HAB1, ta có : BC AAB  BC AH

AA C

B

B A C B

1 1 1

1 1

1

1 1

1    

  

 

Từ : 1  1 1

1 1

1

1 A H ABC

C B H A

AB H A

 

  

 

 HK hình chiếu vng góc A1K mặt phẳng AB1C1  góc A1KH = 30o góc A1K AB1C1

Đặt AA1 x x0

AA1B1 vuông A1, ta có : 2 2

1 2

1 a

1 x

1 B A

1 AA

1 H

A

1      1

AA1C1 vuoâng A1, ta có : 2 2

1 2

1 5a

1 x

1 C A

1 AA

1 K

A

1      2

A1HK vuông H, ta có : AK

2 30 sin K A H

A1  o   3

Thế  3 vào  1 , ta có : 2 2 2

1 a

1 x

1 K A

B

BÀÀI 20I 20::(ĐẠI HỌC A 2008)Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = ,hình chiếu vng góc đỉnh A’ (ABC) trung ểm BC Tính thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc AA’, BB’

3 a

A

B

C A’

B’

C’

2a

a

3 a

H



Từ  2  4 ta : x 15a x a 15 a

1 x

1 a

1 x

1

4 2

2 2

2      

  



 

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 là: a.2a.a 15 a 15

1 AA C B B A AA S

V

1 1 1

ABC   



BAØI 5.13 :

 Hướng dẫn :

Vẽ AHBCA'HABC  góc A’HA = 30o

3 a 30 cot ' AA

AH o

3 a AC a

12 a

1 a

1 AC

1 AC

1 AB

1 AH

1

2

2 2

2

2        

Do : 2a.2a 3.a 2a

2 ' AA AC AB

V

' C ' B ' A

ABC    

 B'C'//A'BCdB'C ,'A'C dB'C,'A'BC dB,'A'BC

Gọi IAB'A'B  I trung điểm B’A  dB,'A'BC d A,A'BC Vẽ AKA'HAKA'BCdA,A'BCAK

Ta có :

2 a 30 sin AH

AK o  Vaäy    

2 a C ' A ,' C ' B d

3 a BC ' A , A

d   

VI KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN BAØI 6.1 :

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm BC, theo giả thiết ta có : A’H  (ABC)  A’H đường cao hình lăng trụ đường cao hình chóp A’ABC V SABC B' H

3

  

2 a a a AC AB

SABC       

ABC vuông A có : BC a

2 AH a

2 a a AC AB

BC 2      

vuông A’HA có : A'H AA'2AH2  4a2a2 a

Thể tích khối chóp A’ABC laø :

2 a a

3 a H ' A S

V  ABC    

Tính cosin góc AA’ B’C’

Gọi  góc AA’ B’C’

Do BB’ // AA’ BC // B’C’ nên ta coù : goùc (AA’ , B’C’) = goùc (BB’ , BC) =  Tam giác HA’B’ vuông A’ ta có : B'H A'H2A'B'2  3a2a2 2aBB'

Do đó, B’BH tam giác cân B’ Vậy góc B’BH = 

B’H2 = BB’2 + BH2 – 2BB’.BHcos  4a2 = 4a2 + a2 – 2.2a.a.cos  cos =

4

 Cách khác : Gọi  góc AA’ B’C’

Do BB’ // AA’ BC // B’C’ nên ta có : goùc (AA’, B’C’) = goùc (BB’, BC) =  HA’B’ vuông A’ ta có : B'H A'H2 A'B'2  3a2 a2 2aBB'

 B’BH cân B’ neân cos BH a 2.BB' 2.2

   

 Cách khác : Có thể tính thể tích hình chóp A’.ABC dựa thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau :

2 a 3 a

3 a H ' A S V

3

ABC '

C ' B ' A

ABC      Vaäy

2 a a 3 V

3 V

3 '

C ' B ' A ABC ABC

'

BAØI 6.2 :  Hướng dẫn :

Gọi M trung điểm AC H trọng tâm ABC  H  BM

Theo giả thiết, ta có B’H  (ABC) nên B’H đường cao hình lăng trụ đường cao hình chóp A’ABC V SABC B' H

3

  

Do B’H  (ABC) nên BH hình chiếu vng góc BB’ lên (ABC)  góc B’BH góc hợp BB’ (ABC)  góc B’BH = 60o

 vng B’HB có góc B’BH = 60o nên nửa tam giác

 BH BB' a

2

  vaø B' H BH a

 

Do H trọng tâm ABC nên

4 a BH

BM 

Vì BM đường trung tuyến ABC nên :

2 2 2

2 AB BC AC AB BC

BM AC

2 2

 

     

9a2 3AB2 AB2 9a2 2 AB2

AB 7AB

16 4 16 16 16

 

        

 

2 2

2

9a 3AB 9a 3a

AB AB

16 16 13

     

Suy AC = 13

a

3 , BC = 13

3 a

Diện tích tam giác ABC :

104 a 13

3 a 13

a BC AC

SABC       

Thể tích khối tứ diện A’ABC :

208 a

3 a 104

3 a H ' B S

V  ABC    

 Chú ý : Đặt AB = x (x > 0)

Tam giác vuông ABC có góc BAC = 60o nên nửa tam giác  AC =

2

x vaø BC =

2 x

AC 

Theo tính chất đường trung tuyến, ta có : AB2 + BC2 = 2BM2 +

2 AC2

 x2 +

8 x

a 2

3

x 2

             

 x2 =

13 a

 x = 13

a

3 Suy AC = 13

a

3 , BC = 13

3 a

BAØI 6.3 :

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm AB A’H  (ABC)

Hình chiếu vuông góc A’C lên (ABC) HC Vậy góc A’C (ABC) A'CH60o

A’HC vuoâng

2 a

3 a H ' A HC

H ' A 60

tan o      



 

8 a

3 a

a ABC dt

H ' A

VLT     

 Caùch : Do AB cắt (A’AC) A mà H trung điểm AB nên dB,A'AC2dH,A'AC

Do AC  (A’IH)  AC  HK (2) Từ (1) (2)  HK  (A’AC)

A’HI vuoâng

13

a 16

a a

4 a

a I'

A HI ' HA

HK 2 2 

   

 Vaäy  

13 a HK AC ' A , B

d  

 Caùch :     

13 a a

39 a

1

3 a AC I ' A V AC

' A dt

V AC ' A , B d

3

LT ABC

'

A 

 

 

 

BAØI 6.4 :

 Hướng dẫn :

a) Gọi H trung điểm AC

Theo giả thiết A’H  (ABC)  A’H đường cao hình lăng trụ ABC.A’B’C’  VABC.A’B’C’ = SABC.A’H

ABC vuông cân B neân : a

2 a 2

2 AC BC

AB   

ABC 2 a a a

1 AC AB

S       

 

Do A’H  (ABC) nên BH hình chiếu vng góc A’B lên (ABC)  góc tạo A’B (ABC) H

B ' A 

 A'BH = 45o  A’HB vuông cân H

a AC BH H '

A   



Vaäy VABC.A’B’C’ = a2.a = a3 (đvtt)

b) Gọi I = A’B  AB’ (tính chất đường chéo hình bình hành)  HI / B’C (HI đường trung tuyến AB’C’)

HA’B vuông cân H nên đường trung tuyến HI xuất phát từ đỉnh nên đường cao  HI  A’B

Do A’B  HI vaø HI // B’C nên A’B  B’C  Cách khác :

Để chứng minh A’B  B’C ta chứng minh A’B  (AB’C) có chứa B’C

 

 

 

  

 

 

ABC H

' A H ' A AC

ABC cân vuông

đỉnh từ phát xuất tuyến trung đường BH BH AC

AC  (A’HB)  AC  A’B

 vuông A’AH có : AA' A'H2AH2  a2 a2  2a2 a Maø ABa  AA'ABa

Hình bình hành ABB’A’ có AA’ = AB nên hình thoi  A’B  AB’ Vì A’B  AC A’B  AB’ nên A’B  (AB’C)  A’B  B’C

BAØI 6.5 :

 Hướng dẫn :

Gọi O giao điểm AC BD  A1O  (ABCD)

 A1O đường cao hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1



1 1

ABCD.A B C D ABCD

V S A O

Đáy lăng trụ hình chữ nhật ABCD biết hai cạnh a

AB , ADa nên ta dễ dàng tính diện tích

a

S

ABCD

Gọi E trung điểm AD, ta có :

AD  OE (OE đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác cân OAD)

B

BÀÀI 22I 22 :: (ĐẠI HỌC B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1có đ áy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = Hình chiếu vng góc điểm A1trên (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 60.Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến (A1BD) theo a

3 a

A

B

C D

A1

B1 C1

D1

O



E 60

AD  A1O (do A1O  (ABCD))  AD  (A1OE)  AD  A1E

Vì OE  AD A1E  AD nên góc (ADD1A1) (ABCD) góc A1EO  góc A1EO = 60

Tam giác vng AOE có góc 60 nên nửa tam giác 

2 a O A1 

Vaäy

2 a O A S

V

3

ABCD D

C B A

ABCD 1 1 1 1   

Ta coù B1C // A1D  B1C // (A1BD)  d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD))

Veõ CH  BD (H  BD)  CH  (A1BD)  d(C, (A1BD)) = CH

Tam giác vuông CBD có : CH.BD = CB.CD 

2 a CB CD

CD CB BD

CD CB CH

2

2  

 

Vaäy d(B1, (A1BD)) =

2 a

 Cách khác : Do A1B đường chéo hình bình hành ABB1A1 nên S S

1 1AB ABB

A 

 

 hình chóp D.A1AB hình chóp D.A1BB1 tích có chiều cao xuất phát từ D

Maø

4 a O A S V

V

3 ABD ABD

A AB A

D 1  1    vaø

2 a O A AD AB O A BD S

2

2

B

DA1    



)) B DA ( , B ( d S V

VD.ABB B.DAB DAB 1 1

1 1

1   



2 a S

V )) B DA ( , B ( d

B DA

BB A D

1

1

1 

 



BAØI 6.6 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối chóp C’.BMN

Gọi H hình chiếu A’ mặt phẳng ABC ; A’ cách đỉnh A, B, C nên H tâm đường  trịn ngoại tiếp ABC Mà ABC vng cân A nên H trung điểm BC Gọi IAC'MN

Ta có CI'3AI nên dC ,'BMN3dA,BMN, suy C'.BMN A.BMN VA'.ABC

3 V

3

V  

Ta có BCa nên ABACa

2 a AH

Tam giác A’HA vuông H, ta có :

2 14 a a a AH ' AA H

'

A  2  2 

Thể tích khối chóp A'.ABC

12 14 a

14 a a H ' A S

V

ABC ABC

'

A     

Vaäy

16 14 a

VC'.BMN  (đvtt)

 Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (BMN)

Gọi K trung điểm AH MK đường trung bình A’AH, ta có :

H ' A //

MK , A'H

2

MK vaø MKABC

Gọi J hình chiếu K BN, ta coù : BN MJ MK

BN KJ BN

  

 

 

Mà MJBMN nên BMN  MKJ theo giao tuyến MJ

Trong tam giác MKJ kẻ đường cao KP KPBMN  dK,BMNKP Gọi GAHBN G trọng tâm ABC

Ta coù :

12 a AH AH AH GH KH

Tam giác ABN vuông A, ta có :

3 a BN BG

5 a a a AN AB

BN   2    

Xét hai tam giác vuông đồng dạng KJG BHG ta có :

20 a BH 20

10 KJ 20

10

5 a12

2 a BG KG BH

KJ      

Tam giác MKJ vuông K, ta có :   

284 994 a KP BMN

, K d a 80 a

8 KJ

1 MK

1 KP

1

2 2

2       

Ta coù :    dA,BMN 4dK,BMN AH

6

AH KG AG BMN

, K d

BMN ,

A

d     

 

       

71 994 a BMN ,

K d 12 BMN , A d BMN ,'

C

d   



BAØI 6.7 :

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm BC B'HABC

Khi đó, góc BB’ ABC góc B’BH = 60 o

Ta coù :

2 a 60 sin ' BB H '

B  o  ; BC a 3

2 a 60 cos ' BB

BH o   

a a a BC AB

CA    

Vaäy

4 a a a 2

a S

H ' B

VABC.A'B'C'  ABC   (ñvtt) Do CABC vaø CAB'H CABB'C'CCABB'

Trong mặt phẳng BB'C'C, kẻ CMB'BBB'CMABB'MA Vậy góc BB'C'C ABB'A' góc hai đường thẳng MC MA Do BB’C nên M trung điểm BB’

2 a MB BC

MC 2  ;

2 a 13

a a MB AB

MA 2   

Vaäy

13 MA

MC

CA MA MC

A M C

cos   2     góc hai mặt phẳng BCC'B' ABB'A' góc CMA mà

13 A M C

cos  

BAØI 6.8 :

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm CM

Từ giả thiết      o

1

1H ABC CCH CC ; ABC 45

C    



Từ tam giác vuông ABC với BC2a, ABC60o  AC2a 3 a

4

AM , AB 2a CH a CH CHtan45 a

2

CM o

1  

    

3

ABC

' C ' B ' A

ABC CH.S a.2a 3a

V   

Kẻ HKAC  đường xiên C1KAC ABC ; ACC1A1C1KH Tam giác MCA cân M MCAMAC30o

  ABC ; ACCA  arctan2 HK

CH KH C tan

a 30 sin HC

HK o   1    1 1 

VII HÌNH HỘP

BÀI 7.1 :

 Hướng dẫn :

Hình chóp có C'B'ABB' nên C’B’ đường cao đáy tam giác ABB’ vuông đỉnh B, nên

coù : AB.BB.'CC'

2 V

VABB'C'  C'.ABB'  

Ta biết A’AC tam giác vng cân, có cạnh huyền A'Ca, ta tính

2 a AC A '

A  

Tam giác ABC tam giác vuông cân, đỉnh B, có cạnh huyền

2 a

AC nên ta có

2 a

a

AC

AB   Vậy ta có :

48 a 24

a a a a

VC'.ABB'       

Trong tam giác ABA’, kẻ đường cao AHA'B, AH vng góc với đường thẳng A'BBCD'A' Ta có: CBABB'A' mà AHABB'A' nên AHBC

Từ AHA'B AHBC  AHA'BC  H hình chiếu A mặt phẳng A'BC hay AH khoảng cách từ H đến A'BC, khoảng cách đến mặt phẳng BCD'

Trong tam giác vuông A’AB, AH đường cao thuộc cạnh huyền nên để tính AH, ta áp dụng cơng thức :

2

2 AB

1 ' AA AH

1   ; với

2 a '

AA vaø

2 a

AB , ta tính

6 a

AH

BAØI 7.2 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích hình hộp

Gọi OACBD, ta có :   BD A'AO

D ' A B ' A O ' A BD

AC BD

  

 

 



 góc A’OA = 60o góc A'BD ABCD 

Từ giả thiết suy ABC tam giác Ta có : ACa, BD2OBa

Tam giác A’AO vuông A, ta có :

2 a 60 tan OA '

AA o 

Thể tích hình hộp cho :

4 a

3 a a a ' AA BD AC ' AA S

V ABCD    (đvtt)

 Tính khoảng cách CD’ (A’BD) Ta có : CD'//BA', suy CD'//A'BD

Do đó, dCD,'A'BDdC,A'BDdA,A'BD

Trong tam giác A’AO kẻ đường cao AH, ta có :    

 

 



AO ' A BD BD AH

O ' A AH A'BD dA,A'BD AH

AH  

 Ta coù :

4 a AH a

3 16 a

4 a

4 AO

1 A ' A

1 AH

1

2 2 2

2        Vaäy    4

3 a BD ' A ,' CD

d 

 Cách khác : Ta có :

8 a

3 a

3 a ' AA S

VA'.BCD ABD     vaø 2

3 a O ' A BD

SA'BD  

Mặt khác :      

4 a S

V BD ' A , A d BD ' A , A d S V

V

BD ' A

BD ' A A BD

' A BD

' A A ABD '

A     

Vaäy   

4 a BD ' A ,' CD

BAØI 7.3 :

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Ta có ABADa góc BAD = 60o nên ABD tam giác cạnh a

Tam giaùc BDK vuông K, ta có :

14 a a a BK BD

DK   2  , với

4 a ' BB

BK 

Ta coù :

2 a a

14 a a BD

' BB DK H ' B ' BB DK BD H '

B      

Tam giác B’HB vuông H, ta có : a a a H ' B ' BB

BH 2   

Suy H trung điểm BD HACBD

Diện tích hình thoi ABCD :

2 a S

2

SABCD ABD

Vậy thể tích khối hộp cho :

4 21 a

7 a

3 a H ' B S

V ABCD    (đvtt)

 Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C C’D Ta có :   DC'//AB'C

C ' AB '

AB ' AB // ' DC

 

 



Do : d B'C , C' D d C' D , AB'C  d D , AB'C  

Ta coù : DH AC DH B ' H

 

 

     

a

DH AB'C d D , AB'C HD

2

    

Vaäy  

2 a D ' C , C ' B