Đề HSG Toán 7 số 12

b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD.[r]

(1)

ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP Năm học 2013 – 2014

(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài (3đ) Tìm x Z cho

a, x5 2

b, (x2  20)(x2  15)(x2  10)(x2  5)0

Bài (4đ) Tìm tất cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn a, m n

2  2048 b, 3m4n mn16 Bài (4đ)

a, Cho x, y, z, t số khác thỏa mãn điều kiện sau:

2 3

3 3

y xz, z yt v yà z t

y z x x

CM :

y z t t

    

 



 

b, Cho x+y – z = a-b x - y + z = b - c -x+y + z = c – a Chứng minh : x+y+z=0 Bài (4đ)

a, Cho đa thức f(x)x2015  2000x2014 2000x2013 2000x2012  2000x 1  Tính giá trị đa thức x=1999

b, Cho đa thức f(x)ax2 bxc

chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0 13a b 2c0

Bài (5đ)

a,Cho tam giác ABC, đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân ABD, ACE  

ABDACE9O

1, Qua C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt đường thẳng AH K Chứng minh CD vng góc với BK

2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy

b, Cho điểm B C nằm đoạn thẳng AD cho AB=CD Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng Chứng minh rằng: MAMDMBMC

(2)

-ĐÁP ÁN Bài (3đ)

a, - Chỉ rõ x 5 0,1,2 (0.25đ) - Chỉ rõ trường hợp kết luận

x x x

 

  (0.75đ)

b, Lý luận để có (x2  20)(x2  15)(x2  10)(x2  5) (0.25đ) Xét đủ trường hợp

- Trường hợp có số âm tính x4 (0.75đ) - Trường hợp có số âm tính x3 (0.75đ)

- Kết luận (0.25đ) Bài 2: Ta có

m 11 11 n 11 11 11

11 m 11 n 11

m 11 n 11

2 2 (0.75®) (2 1) (0.5®) (2 1) (0.25®)

   

 

   

   

Lý luận tìm

m 12 n 11



 (0.5đ)

b, Biến đổi (3 n)(m 4)4 (1đ) Xác định tích số nguyên (6 trường hợp) (0.75đ) Kết luận được: (m, n)(8,2); (0, 4); (5, 1); (3,7); (6,1); (2,5) (0.25đ) Bài 3: Từ giả thiết suy

x y z

y  z t (0.5đ)

Lập phương tỉ số áp dụng tính chất dãy tỉ số để có

3 3

x y z

y z t

 

  (0.5đ)

Mặt khác ta có

3

x x x x x y z x

y y y y y z t t (0.75đ) Suy điều cần chứng minh (0.25đ)

(3)

Bài

2015 2014 2013 2012

a, f(x)x  (1999 1)x (1999 1)x  (1999 1)x  (1999 1)x 1  

(0.75đ)

Thay 1999=x ta

2015 2015 2014 2014 2013 2013

f(x)x  x x  x x  x  x  x 1 (0.75đ)

Tính kết kết luận f(1999) = 1998 (0.5đ) b, Tính f( 2) v f(3) (0.5đ)

f( 2) f(3)=13a+b+2c

   (0.5đ)

f( 2) f(3)

   (0.5đ)

 2 f( 2)f(3)=-f(3)f(3)=- f(3)

   (0.5đ)

Bài (5đ) a, (2đ)

1, Vẽ hình chứng minh đến hết (1đ) 2, Chỉ AH, BE, CD đường cao BCK (1đ) b, (3đ)

Xét trường hợp

* Trường hợp điểm MAD ta có

MAMDMBMC (1đ)

* Trường hợp MAD

- Gọi I trung điểm BC (0.75đ) - Trên tia đối tia IM lấy điểm N cho IM=IN (0.5đ) IBIC

Vì

AB CD AB IB IC CD



  

AI ID

  (0.25đ)

* Chứng minh IMAIND (c.g.c) (0.25đ)

MA ND

 

- Điểm C nằm MDNchứng minh NDMDNCMC (0.5đ) - Chứng minh IBMICN (c.g.c) (0.25đ)