Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông SAB có diện tích bằng 4a 2.. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng..[r]
(1)PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HOẠ ĐỀ SỐ 96
Đề thi gồm 50 câu
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM HỌC 2019-2020
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1.Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ
A y x3 3x22 B yx43x22 C y x 4 3x22 D y x 3 2x2 2
Câu Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u 1 2 cơng bội q 4 Giá trị u3
bằng A 32 B 16 C 8 D 6
Câu 3.Một tổ có 6 học sinh nam học sinh nữ Có cách chọn học sinh nam học sinh nữ để tập văn nghệ
A
2 11
A B 30. C 11
C . D 11.
Câu 4.Họ tất nguyên hàm hàm số
x
f x x
A 2 ln 2x x2C B
2
2 2 ln 2
x
x C
C 2 ln 2x C D 2 ln 2
x
C
Câu 5.Cho khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a chiều cao 3a Thể tích khối lăng trụ cho
A a3 B 4a3 C
3
4
3a . D 3a3
Câu 6.Nghiệm phương trình log 32 x 82 A x 4. B x 12. C x 4. D
4 3
x
Câu 7.Cho khối trụ có chiều cao 2 3 bán kính đáy Thể tích khối trụ cho
A 8 . B 8 3. C
8 3
3 . D 24 . Câu 8.Cho hàm số có bảng biến thiên sau
Hàm số cho đồng biến khoảng đây?
A 1; B 3; C 1;1 D ;1 Câu 9.Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;1; 2 , B3; 4;1 Tọa độ vectơ AB
A 2;5; 3 B 2;5;3 C 2; 5;3 D 2;5; 3 Câu 10.Phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số
2 3 1
x y
x
là: A y 2 B y 1 C x 1 D x 2
Câu 11.Cho hình nón có độ dài đường sinh 3a bán kính đáy a Diện tích xung quanh hình nón cho A 12 a B 3 a 2 C 6 a D a2
Câu 12.Với a số thực dương khác 1, loga2a a A
3
4. B 3. C 3
2. D 1 4. Câu 13.Cho khối chóp có diện tích đáy a2 chiều cao 2a Thể tích khối chóp cho A
3
2 3
a
B 2a3 C 4a3 D a3
Câu 14.Giá trị nhỏ hàm số y x 4 2x2 3 đoạn 1; 2 A.4. B.0 C.5 D.3. Câu 15. Cho f x hàm số liên tục F x nguyên hàm hàm số f x Biết
3
d 3
f x x
(2)Câu 16.Đạo hàm hàm số
2
log 2 1
y x x
A
2
2 1 2 1 ln 3
x
x x
. B
2
4 1 2 1 ln 3
x
x x
. C
4 1 ln 3
2 1
x
x x
. D
2
4 1
2 1
x
x x
. Câu 17.Phần hình phẳng H gạch chéo hình vẽ
đây giới hạn đồ thị hàm số yf x , y x 24xvà hai đường thẳng x2 ;x0.Biết
0
4 d
3
f x x
Diện tích
hình H A 7
3 B 16
3 . C 4
3 D 20
3 . Câu 18.Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 0 B3 ; ; 2 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB A 2 ; ; 1 B.2 ; ; 2 C.4 ; ; 2 D.1; ; 1
Câu 19.Cho hàm số yf x có đồ thị hình vẽ Số giá trị ngun tham số m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số cho ba điểm phân biệt
A Vô số B 3 C 0. D 5 Câu 20.Tập nghiệm bất phương trình
2 2
4x x 64 là
A ; 1 3; B 3; C ; 1 D 1;3
Câu 21. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền a Diện tích xung quanh hình nón cho
A a2 2 B
2
2
a
C a2 D
2 2
2
a
Câu 22.Cho hàm số
2 1 1
x y
x
Tích giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
đã cho đoạn 1;0 A 3
2 B 2 C 1 2
D 0. Câu 23.Cho hàm số yf x có bảng biến thiên sau
Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số A 4 B 1 C 2 D 3 Câu 24.Số nghiệm phương trình log3x2log3x 2 log 53
là A 2 B 3 C 1 D 0 Câu 25.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,
SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a 2 (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng
ABCD
bằngA 30 B 45 C 60 D 90
Câu 26. Cho hàm số yf x có đạo hàm
2
3 1
f x x x x
Số điểm cực trị hàm số A 0 B 2 C 3 D 1
Câu 27. Họ tất nguyên hàm hàm số 1
1 cos
x f x
x x
với
0; \ ,
2
x k k
là
A 1
tan x C
x
B lnxtanx C . C
1
tan x C
x
(3)Câu 28.Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác vng B, AB a , 5
AC a , AA 2a 3 (tham khảo hình vẽ).Thể tích khối lăng trụ cho bằng
A 2 3a3 B 4 3a3 C
3
2 3 3
a
D
3
3 3
a
Câu 29.Trong không gian Oxyz, cho vectơ a 2; 3;1
b 1;0;1
Cơsin góc hai vectơ a
b
A 1 2 7
B
1
2 7 C 3 2 7
D
3 2 7 . Câu 30.Cho hàm số yf x có bảng biến thiên sau
Số nghiệm phương trình 2f x 11 0 A 3 B 2 C 0 D 4
Câu 31. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, cạnh AB a , AD a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trung điểm đoạn OA Góc SCvà mặt phẳng ABCD
30 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng
A 9 22
44
a
B
3 22 11
a
C
22 11
a
D
3 22 44
a
Câu 32.Cho phương trình
2 1
16x 2.4x 10 m
(m tham số) Số giá trị nguyên m 10;10 để phương trình cho có 2 nghiệm thực phân biệt A 7 B 9 C 8 D 1
Câu 33.Trong không gian Oxyz, cho điểm I2; 4; 3 Phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng
Oxz
A
2 2
2 4 3 4
x y z
B
2 2
2 4 3 29
x y z
C
2 2
2 4 3 9
x y z
D
2 2
2 4 3 16
x y z
Câu 34.Giả sử n số nguyên dương thỏa mãn 3Cn2 Cn3 24 Tìm hệ số số hạng chứa x12 khai triển
2 2
n
x x
x
với x 0 A 672x12 B 672x12. C 672. D 672.
Câu 35.Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục , thỏa mãn
1
2
f x
x f x
x
và
2
ln 2 0
2
f
Giá trị f 3 bằng
A
2
1
4ln ln 5
2 . B 4 4ln ln 5 2. C
2
1
4ln ln 5
4 . D 2 4ln ln 5 2. Câu 36.Cho hàm số
3
2
y x m x m x
Số giá trị nguyên tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng ; A 3 B 0 C 4 D 2
Câu 37.Cho khối lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác vng A, AB a BC , 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh AC Góc hai mặt phẳng BCC B
ABC
60 Thể tích khối lăng trụ cho
A
3
3 3 4
a
B
3
3 8
a
C
3
3 3 8
a
D
3
3 16
a
(4)Câu 38.Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;3), B (1; 2;5) Phương trình mặt cầu qua điểm A,
B có tâm thuộc trục Oy là
A x2y2z24y 22 0 B x2y2z24y 26 0 C x2y2z2 4y 22 0 D x2y2z2 4y 26 0 Câu 39.Cho hàm số f x có
2
1 e
f
2
2 1 e x
x f x
x
, x 0
Khi
ln
d
xf x x
A 6 e 2. B
2
6 e 2
C 9 e 2. D
2
9 e 2
Câu 40. Cho hàm số bậc ba yf x có đồ thị hình vẽ
Số điểm cực tiểu hàm số
2
g x f x x
A B 5. C 2. D 3.
Câu 41.Có cặp số nguyên x y; thỏa mãn 2 x 2021
1
2y log x 2y 2x y
?
A 2020 B 9 C 2019 D 10
Câu 42.Cho hàm số yf x liên tục thỏa mãn
1 5, 3
f f
và có bảng xét dấu đạo hàm sau.Số giá trị nguyên dương tham số m để phương trình
3f 2 x x 4 x m
có nghiệm khoảng 3;5 A 16 B 17 C 0 D 15
Câu 43.Cho hàm số yf x liên tục thỏa mãn: f 1 1, 1
2
f e
. Hàm số f x có đồ thị hình vẽ sau:Bất phương trình
2
ln
f x x x m
có
nghiệm với
1 1;
x
e
khi
A m 0 B 1 3
m
e
C
1 3
m
e
D m 0 Câu 44.Cho hàm số f x liên tục khoảng 0; thỏa mãn
1 2 1.ln 1
2 4
f x x
f x x
x x x
Biết
17
d ln 2ln
f x x a b c
với a b c , , Giá trị a b 2c
bằng A 29
2 . B 5. C 7. D 37.
Câu 45.Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng
ABCD
trung điểm cạnh AB Gọi M trung điểm SD Khoảng cách hai đường thẳng AM
SC A a. B
2 4
a
C 5 10
a
D 5 5
a
Câu 46.Cho hàm số f x có đạo hàm xác định Biết f 1 2 và
1
2
0
1 3
d 2 d 4
2
x
x f x x f x x
x
Giá trị
1
d
f x x
A 1 B
5
7. C
3
7. D
1 7.
Câu 47.Cho hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng SAB có diện tích 4a2 Góc trục SO mặt phẳng SAB
(5)A 4 10 a 2. B 2 10 a 2. C 10 a 2. D 8 10 a 2. Câu 48.Cho hàm số yf x( ) có đồ thị hàm số yf x( ) hình vẽ
Hàm số ( 2) 2020
x
y g x f e
nghịch biến khoảng đây?
A 3 1;
2
B 1; 2. C 0; . D 3
;2 2 .
Câu 49.Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Góc hai mặt phẳng SBC và
SCD
, với
1 cos
3
Thể tích khối chóp cho
A
3 2
3
a
B a3 C
3
2 2 3
a
D
3
2 3
a
Câu 50.Cho đa giác H có 30 đỉnh Lấy tùy ý đỉnh H Xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác tù
A 39
140. B
39
58. C
45
58. D
39 280. HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.Chọn C.Đồ thị cho đồ thị dạng hàm số y ax 4bx2c với a 0 nên phương án C Đồ thị hàm số có điểm cực trị phương án A phương án C sai.
Khi x y phương án B sai.Vậy phương án C đúng. Câu 2.Chọn A.Ta có u3 u q1 2.42 32.
Câu 3.Chọn B
+) Có cách chọn 1 học sinh nam từ học sinh nam
+) Ứng với cách chọn học sinh nam có 5 cách chọn 1 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ
Theo quy tắc nhân có 6.5 30 cách chọn học sinh nam học sinh nữ để tập văn nghệ.
Câu 4.Chọn B.Ta có
2
2
d 2 4 d 2
ln 2
x x
f x x x x x C
.
Câu 5.Chọn D.Thể tích khối lăng trụ cho V B h a. 2.3a3a3
Câu 6.Chọn C.Ta có log 32 x 8 2 3x 4 x4.Vậy phương trình cho có nghiệm x 4.
Câu 7.Chọn B.Diện tích đáy khối trụ bán kính R là: BR2 .22 4 . Thể tích khối trụ cho V Bh4 3
Câu 8.Chọn A.Dựa vào bảng biến thiên, hàm số cho đồng biến khoảng ; 1, 1; nghịch biến khoảng 1;1 Suy A phương án
Câu 9.Chọn C.Ta có: AB 2; 5;3
Câu 10.Chọn C.Xét hàm số
2 3 1
x y
x
Tập xác định: D \ 1 .Ta có: 1
2 3 lim lim
1
x x
x y
x
(6)Vậy phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho là: x 1
Câu 11.Chọn B.Hình nón có độ dài đường sinh l3a, bán kính đáy r a có diện tích xung quanh
2
.3
xq
S rl a a a
Câu 12.Chọn A.Ta có:
2
3
2 1 3 3
log log .log
2 2 a 4
a a a a a a
.
Câu 13.Chọn A.Thể tích khối chóp
3
1 2
.2
3 3
a
V a a
Câu 14.Chọn A+) Hàm số y x 4 2x2 3 liên tục đoạn 1;2 +) y 4x3 4x +)
0 1; 2 0
1 1; 2
x y
x
+) y 0 3
, y1 y 1 4, y 2 5 Vậy min-1;2 y 4 x 1.
Câu 15.Chọn A.Do F x nguyên hàm hàm số f x nên ta có
3
d 3 1
f x x F F
F 3 1 3 F 3 4
.Vậy F 3 4 Câu 16.Chọn B.Tập xác định hàm số D
3
log 2 1
y x x
2
2 1
2 1 ln 3
x x
x x
4 1 2 1 ln 3
x
x x
.Vậy
2
4 1 2 1 ln 3
x y
x x
Câu 17.Chọn D Diện tích hình H :
0
2
4 d
S f x x x x
0
2
2
d 4 d
f x x x x x
3
2 0
4
2 2 3 3
x x
3
2
2
4 20
2 2
3 3 3
Vậy diện tích hình H
20 3
S
Câu 18.Chọn D Gọi I x I ;y zI ; I trung điểm đoạn AB.Ta có
1
2
2
I
I
I
x
y
z
1 3 1
I I I
x y z
.
Vậy I1; ; 1
Câu 19.Chọn B.Từ đồ thị ta thấy để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số cho ba điểm phân biệt 1m5 Vì m ngun nên m 2;3; 4 .Vậy có giá trị nguyên m thoả mãn yêu cầu tốn.
Câu 20.Chọn A.Ta có:
2 2 2 2
4x x 64 x 2x 3 x 2x 3 0 x ; 1 3;
. Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: ; 1 3;
Câu 21.Chọn D.Từ giả thiết suy hình nón có bán kính đáy
2 2
a r
; độ dài đường sinh l a .
Vậy diện tích xung quanh hình nón
2
2 2
.
2 2
xq
a a
S rl a
(7)Câu 22.Chọn C.Xét hàm số
2 1 1
x y
x
liên tục đoạn 1;0.
Có
2
3 0 1
y x
, x 1;0.Ta có 1 1
2
y
, y 0 1 Do 1;0
1 max
2
y
, min1;0 y1.
Vậy tích giá trị lớn giá trị nhỏ
1 1
1
2 2
Câu 23.Chọn C.+) Tập xác định hàm số D \ 1 +) 1
lim
x
y
1
x
đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số.
+)
lim 3 lim
x x
y y
đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận ngang đường thẳng y 3. Vậy số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho
Câu 24.Chọn C.Điều kiện xác định phương trình là: x 2.Ta có log3x2log3x 2 log 53
3
log x 2 x 2 log 5 x 2 x 2 5
2 4 5 9 3( )
3( )
x
x x
x
tháa m·n lo¹i . Vậy phương trình cho có nghiệm
Câu 25.Chọn B.Ta có SAABCD, suy hình chiếu SC lên
ABCD
AC
Suy góc SC ABCD góc SC AC, góc SCA
Xét hình vng ABCD cạnh a có đường chéo AC a 2.
Ta có:
2
tan 1
2
SA a
SCA
AC a
45
SCA
Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD 45
Câu 26.Chọn B.Cho
2
3 1 0
f x x x x
0 3 1
x x
x
.
Bảng biến thiên.Vậy hàm số cho có 2 điểm cực trị
Câu 27.Chọn B.Ta có 1
d 1 d
cos
x
f x x x
x x
1 1
d cos x
x x
1 1
d d
cos
x x
x x
lnx tanx C
.
Câu 28.Chọn A.Trong tam giác vuông ABC: BC AC2 AB2 2a Thể tích khối lăng trụ cho là:
1
. . .
2
ABC A B C ABC
V AA S AA AB BC 2 3a3
.
Câu 29.Chọn A.Cơsin góc hai vectơ a
b
là:
.
cos ,
.
a b a b
a b
1 1
14 2 2 7
. Câu 30.Chọn B.Ta có: 2f x 11 0
11 2
f x
Số nghiệm phương trình 2f x 11 0 số giao điểm đồ thị hàm
số yf x đường thẳng 11
2
y
(8)Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng 11
2
y
cắt đồ thị hàm số yf x
tại 2 điểm phân biệt.Vậy phương trình 2f x 11 0 có hai nghiệm phân biệt Câu 31.Chọn B.Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng
ABCD
.Vì SH ABCD nên góc SC mặt phẳng ABCD góc SCH 30 ABCD hình chữ nhật nên AC AB2AD2 a
3 3 4
a HC
.SH HC.tan 30
3 3 1 3 .
4 3 4
a a
Từ H kẻ đường thẳng HI AB, IAB 1 .
Ta có SH ABCD SH AB 2 .Từ 1 2 ABSHI
Cách 1:Vì H trung điểm OA
1 4
HA CA
Do d C SAB ; 4d H SAB ;
Trong mặt phẳng SHI, kẻ HK SI 3 .Vì ABSHI ABHK 4 .
Từ 3 4 HK SAB, suy khoảng cách từ H đến mặt phẳng SAB HK
Ta lại có:
1 4
HI AH
BC AC
2 4
a HI
Trong tam giác vuông SHI ta có: 2
1 1 1
HK SH HI
2
2
2
9 . 16 8 9
16 8
a a HK
a a
2
9 88
a
3 22
44
a HK
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB là:
3 22
, 4
11
a
d C SAB HK
Cách 2: Ta có 1 2
S ABC S ABCD
V V
+
1 . . 3
S ABCD ABCD
V SH S 1 3. . 2
3 4
a a a
3 2
4
a
3 2
8
SABC
a V
+ Vì ABSHI ABSI nên
1 . 2
SAB
S SI AB
SAB
S
2
1
.
2 SH HI AB
2
1 3 2
.
2 4 4
a a
a
2 11
8
a
+
1
, .
3
S ABC SAB
V d C SAB S , 3 SABC
SAB
V d C SAB
S
3
3 2
3 22 8
11 11
8
a
a a
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB
3 22 11
a
Câu 32.Chọn C.Xét phương trình:
2 1
16x 2.4x 10 m 1 . Đặt
2
4x t
,t 1 phương trình cho trở thành: t2 8 10t m 2 .
Phương trình 1 có 2 nghiệm thực phân biệt phương trình 2 có 1 nghiệm t 1 + Xét hàm số
2 8 10
f t t t
(9)Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình 2 có 1 nghiệm t 1
6 3
m m
.
Mà theo giả thiết m nguyên m 10;10 nên m 6; 4;5;6;7;8;9;10
Vậy có 8 giá trị nguyên m 10;10 để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt
Câu 33.Chọn D Mặt cầu có tâm I2; 4; 3 tiếp xúc với mặt phẳng Oxznên bán kính mặt cầu là:
, I
R d I Oxz y
Vậy phương trình mặt cầu cần lập là:
2 2
2 4 3 16
x y z
Câu 34.Chọn D Ta có:
2
3Cn Cn 24, điều kiện: n 3; n .
2
3Cn Cn 24
1 1 2
3 24
2 6
n n n n n
3 2
9 3 73
12 11 144 0 9 3 16 0
2 3 73
2
n
n n n n n n n
n
.
Đối chiếu điều kiện ta có n 9 thỏa mãn
Khi khai triển
9
2 2
x x
x
có số hạng tổng quát thứ k 1 là:
45
2 2 2
1 9
2
. 2
k k
k k
k k
k
T C x x C x
x
(với k , k 9) Từ giả thiết ta có phương trình 45 7
12 7 21 3.
2 2
k
k k
Vậy hệ số số hạng chứa x12 khai triển
9
2 2
x x
x
3
9 2 672
C
Câu 35.Chọn C.Với x 0;3 ta có:
1
2
f x
x f x
x
1
1 2
f x
x x
f x
3
0
1 1
d d
1 2
f x
x x
x x
f x
3
0
0
1
2 ln
2
x f x
x
4 1
2 3 0 ln ln
5 2
f f
2
ln 2 1 8
3 ln
2 2 5
f
3 1 ln8 ln 2 14ln ln 5
2 5 2
f
2
1
3 4ln ln 5 4
f
.Vậy
2
1
3 4ln ln 5 4
f
Câu 36Chọn C.+) TXĐ: D +)
2
3 2
y x m x m
Hàm số đồng biến ; y0, x dấu " " xảy hữu hạn điểm
2
3 0 0
0 2 3 2 0
a
m m
(10)2020
Với m m2;3;4;5 Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 37.Chọn C.Cách 1:Gọi I hình chiếu H lên cạnh BC
Xét tam giác vuông ABC: AC BC2 AB2 a
Xét CIH CAB có:
90
CIH CA C chu g
B n
nên CIH ~CAB.
Suy
3 3 3
2 4 4 4
IH CH AC a
IH AB
AB CB CB
Gọi K trung điểm A C M hình chiếu K lên B C Khi tứ giác IMKH hình bình hành nên KM IH .
Lấy N đối xứng với C qua M KM đường trung bình
tam giác C A N
// 2
A N IH
A N IH
Ta có:
BC HI
BC A HIN
BC A H
Mặt khác:
BCC B ABC BC
BC A HIN
A HIN BCC B IN
A HIN ABC HI
BCC B , ABC HI IN ,
Do hình thang vng A HIN có A N HI nên góc HI IN góc A NI A NI 60 Gọi H hình chiếu I lên A N H trung điểm A N
3
tan tan 60 4
a
A H IHNH H NI IH
Từ ta có
2
3 3 3 3
4 2 8
ABC A B C ABC
a a a
V A H S
Cách 2:Gọi K M N, , trung điểm cạnh AB A B,
A C Dễ thấy BCC B // HKMN vàABC // A B C
BCC B , ABC HKMN , A B C
Trong mặt phẳng A B C kẻ A J B C (JB C ) , A J MN I .
Ta có
MN AI
MN A IH MN HI
MN A H
.
, ,
HKMN A B C MN
MN HI MN A I
HI HKMN A I A B C
HKMN , A B C HI A I , A IH
do A IH vuông A
Tam giác A B C có
1 1 .
.
2 2
A B A C
A I A J
B C
2
2
1 3
.
2 2 4
a a a a
a
Tam giác A IH có
3 3
.tan 60 3
4 4
a a
A H A I
Thể tích khối lăng trụ
2
3 3 3 3
. .
4 2 8
ABC
a a a
V A H S
.Vậy thể tích khối lăng trụ
3
3 3 8
a
Câu 38.Chọn A.Vì mặt cầu có tâm thuộc trục Oy nên gọi tâm mặt cầu I0; ;0a với a Ta tính IA1; 2 a;3
,IB(1; 2 a;5)
(11)2020
Ta có : IA IB IA2 IB2 12(2 a)232 12 ( 2 a)252 a2 4a14a24a30 a2. Do I0; 2;0 Lúc bán kính mặt cầu : R IA 124232 26
Ta có mặt cầu cho có tâm I0; 2;0 có bán kính R 26 nên phương trình mặt cầu là:
2 2 2 2
( 2) ( 26) 4 22 0
x y z x y z y .
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x2y2z24y 22 0 Câu 39.Chọn D
+
2 2 2
2
2 1 2 1 1 1
e x e x e x e x e x
x f x
x x x x x
2 1 1
e x e x
f x f x C
x x
.
+ Do
2
1 e
f nên
2.11
e e 0
1C C .
+ Vậy
2 1
e x
f x
x
nên
ln
ln ln3 2
2
1
1
1 9 e 9 e
d e d e
2 2 2 2
x x
xf x x x
Câu 40.Chọn D.Ta có
2
2 1
g x x f x x
+
2
2
1
1 2
1 2
2 1 0
0 2 2
0
1 0
0
x x
x x
g x x x x
f x x
x
x x
x
.
+ Từ đồ thị hàm số yf x suy
2 0 2 0 1 0
1 2
x
f x x x x
x
+ Ta có bảng xét dấu hàm số y g x :
Từ bảng xét dấu g x suy hàm số y g x có điểm cực tiểu Chú ý: (Cách trắc nghiệm)
+ Nhận xét g x hàm số đa thức bậc có nghiệm phân biệt để xét dấu g x ta cần xét dấu
g x
khoảng bất kì, từ suy dấu g x cho khoảng lại
+ Chẳng hạn xét dấu g x khoảng 2; : Ta có g 3 5.f6 0 (Vì f 60) suy
0,
g x x
Từ ta có bảng xét dấu g x :
Từ bảng xét dấu g x suy hàm số y g x có điểm cực tiểu Câu 41.Chọn D.Đặt
1
log x 2y t
x 2y1 2t x 2t 2y1
(12)2020
Phương trình cho trở thành:
1
2y t 2 2t 2y y 2.2y y 2.2t t
Xét hàm số 2.2
x
f x x
có 2.2 ln 0,
x
f x x
suy hàm số yf x đồng biến .
Khi phương trình 2.2 2.2
y t
y t f y f t y t
Suy phương trình
1 1
2
log x 2y y x 2y 2y x 2y
Theo 2 2021 2 2 2021 1 1 log 20212 2 log 2021 12
y
x y y
.
Do y nên y 2;3; 4; ;11 có 10 giá trị nguyên y
Mà x2y1 nên với số nguyên y 2;3; 4; ;11 xác định giá trị nguyên x Vậy có 10 cặp số nguyên x y; thỏa mãn toán
Câu 42.Chọn D.Xét
2
3
g x f x x x
khoảng 3;5
3 2 2 1.
4
x
g x f x
x
Ta có 3x 5 x 1 Suy f2 x 0, x 3;5 3f2 x0, x 3;5 1
2 4 1, 3;5 4 1 0, 3;5 2
x x
x x
x x .
Từ 1 2 suy g x 0 x 3;5 Bảng biến thiên hàm số g x khoảng 3;5 Từ bảng biến thiên suy ra, để phương trình
3f 2 x x 4 x m
có nghiệm thuộc khoảng 3;5 29 5 m12 13
Vì m nguyên dương nên m 1; 2;3 ;15 Vậy có 15 giá trị mthoả mãn yêu cầu tốn Câu 43.Chọn C Bất phương trình
2
ln ln
f x x x m f x x x m
Đặt
2
ln
g x f x x x
Bất phương trình cho nghiệm với
1 1;
x
e
g x m,
1 1;
x
e
.
Xét hàm số g x
1 1;
e
.Ta có
2
1 1 2
2 x
g x f x x f x
x x
Với
1 1;
x
e
ta có
2
0 1 2
0
f x x x
0, 1; 1
g x x
e
.
Hàm số g x đồng biến
1 1;
e
Bảng biến thiên hàm số g x
1 1;
e
Từ bảng biến thiên ta có
, 1; 1
g x m x
e
1
m g e
2
1 1 1
ln
m f
e e e
1 3
m e
(13)2020
Vậy
1 3
m
e
thỏa mãn yêu cầu toán
Câu 44.Chọn C.Cách 1:Do f x liên tục khoảng 0; nên tồn F x f x x d , x 0
Với x 0, ta có:
2 1 2 1.ln 1
2 4
f x x
f x x
x x x
2
2 1 2 1 ln 1
2
f x
x f x x x
x
Xét vế trái:
2 1
2
f x
g x x f x
x
2
1
d 1
g x x F x F x C
.
Xét vế phải: h x 2x1 ln x1 h x x d 2x1 ln x1 d x
2
ln x 1 d x x
ln 1 1 d
1
x x x x x x
x
x2 xlnx 1 x xd
2
2
ln 1 2
x
x x x C
Suy
2
2 1 ln 1 1
2
x
F x F x x x x C
Thay x 4 vào 1 ta có: F 17 F 2 20 ln 8 C
Thay x 1 vào 1 ta có:
1 2 1 2 ln 2
2
F F C
Nên
17
15 d 17 1 20ln 2ln 2
2
f x x F F
, suy a 20, b 2,
15 2
c
Vậy: a b 2c20 15 7 Ta chọn C.
Cách 2:Do f x liên tục khoảng 0; nên tồn F x f x x d , x 0
Với x 0, ta có:
2 2 1
1 .ln 1
2 4
f x x
f x x
x x x
2
2 1 2 1 ln 1
2
f x
x f x x x
x
Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 4 ta được:
4 4
2
1 1
1 1 2 1 ln 1
f x d x f x d x x x dx
17 4
2
1
2 1
ln 1
1
x x
f t dt f t dt x x x dx
x
17 17
1 1
15 20ln 2ln 2 20ln 2ln 2
2
f t dt xdx f x dx
Vậy: a b 2c20 15 7 .
Câu 45.Chọn D.Gọi K trung điểm SC,H trung điểm cạnh AB suy MKHA hình bình hành AM HK// AM//SHK
, , , ,
d AM SC d AM SHC d A SHC d B SHC
Hạ BI CH mà SH BI BI SHC nên d AM SC , BI. Xét tam giác BHC vng B có BI đường cao:
2 2
2
.
. 2 5
5 4
a a
BH BC a
BI
BH BC a
a
Vậy khoảng cách hai đường thẳng AM SC 5 5
a
(14)2020
Câu 46.Chọn D.Ta có:
1 1
2 2
0 0
1
4 d d 2 d
0
x f x x x f x x f x xf x x
1
0
4 f 1 2 xf x xd 4 2 xf x xd
1
d 1
xf x x
Xét
4
1 3
2 d
2
x
f x x
x
.Đặt
1
2 d d
2
t x t x
x
.Với x 1 t1 x 4 t0.
Khi
4
1
1 3
4 2 d 1 2 d
2
x
f x x t f t t
x
1 1
0 0
4 7 3t f t td 4 7 f t td 3 tf t td
1
0
1
4 7 d 3 1 d
7
f t t f t t
Vậy
1
1 d
7
f x x
Câu 47.Chọn B.Gọi M trung điểm AB, theo giả thiết ta có tam giác SAB vng cân S, SM AB, OM AB góc SO mặt phẳng SAB là
30
OSM *Ta có
2
1
2 2 2
2
SAB SAB
S SA l SA S a
;
AB SA a;
1
2 2
SM AB a
*Trong tam giác SOM ta có
1
.sin 2 2
OM SM OSM a a
*Trong tam giác OMB ta có
2
2 2 4 5
2
AB
r OB OM MB OM a a a
.
* Diện tích xung quanh hình nón:
2
. . . 5.2 2 10
xq
S rlOB SAa a a
Câu 48.Chọn A.Cách 1: Ta có . 2
x x
g x e f e
Hàm số ( 2) 2020
x
y g x f e
nghịch biến g x 0 2 0
x
f e
Dựa vào đồ thị hàm số yf x( ), ta thấy: 2 0
x
f e ex 2 3
ex 5 xln 5. Do hàm số y g x nghịch biến khoảng ;ln 5,
Lại
3
1; ;ln 5 2
, nên hàm số y g x nghịch biến khoảng 3 1;
2
. Cách : Ta có . 2
x x
g x e f e
Xét 0 . 2 0
x x
g x e f e
2 0 2 0 ln 2
ln 5 2 3
x x
x
e x
f e
x e
Bảng xét dấu:
Do
3
1; ;ln 5 2
nên hàm số y g x nghịch biến khoảng 3 1;
2
(15)2020
Câu 49.Chọn A.Cách 1:
+ Gọi H trung điểmSB , SAB vng cân tạiA AH SB 1
+ Lại có
2
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
.
Từ 1 , AH SBC AH SC 3
+ Gọi K hình chiếu A lên SD, chứng minh tương tự ta có
4
AK SDC AK SC
+ Từ
3 , 4 SBC , SDC AH AK,
+ Gọi M N, trung điểmSC AD, , dễ dàng chứng minh đượcAHMN hình bình hành, suy //
MN AH + Kẻ NP AK P SD// , NP AK// NPSCD NPMP
+ Ta có
AH AK, MN NP , MNP
(vì MNP vng P).
+ ĐặtAD x , dễ thấy 2
.
SA AD ax
AK
SD a x
2 2
ax NP
a x
.
+ Xét MNP vng P, ta có
1 2
cos
3 2
ax
NP a x
MNP
MN a
2
x a
.
Vậy
3
1 1 2
. . 2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a
Cách 2:Theo giả thiết
1 6
sin 3 3
cos
Đặt AD BC x 0, dựng AK SD tại K, BH SC H
Ta có:
1
CD AD
CD SAD CD AK
CD SA
Mặt khác AK SD 2
Từ 1 2 AKSCD AK dA SCD, .Do
, , 2 2 2 2
.
// A SCD B SCD AK SA AD ax
SA A
AB S
x
D d
D a
C d
2
2 2
. 2
2
2
BS BC a x
SB SA AB a BH
BS BC a x
Khi đó:
, 2 2 2 2 2
2
6
sin 2 3. 3 2 2
3 2
2
B SCD
ax
d a x
a x a x x a
BH a x
a x
Vậy
3
1 1 2
. . 2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a
(16)2020
Câu 50.Chọn B.Cách 1.Lấy 3 đỉnh từ 30đỉnh, số cách lấy
3 30
C .
Suy số phần tử không gian mẫu
3 30 n C
Gọi A biến cố “3 đỉnh lấy tạo thành tam giác tù”
Gọi C đường tròn ngoại tiếp đa giác H có đỉnh A1, A2,…A30.
Tam giác tạo thành tam giác tù có đỉnh thuộc nửa đường trịn Tam giác tù có đỉnh A1 hai đỉnh cịn lại nằm phía so với A A1 16.
Vậy tổng cộng có
2 14
2.C cách chọn tam giác tù có đỉnh A1
Tương tự với đỉnh lại A A2; ; ;3 A30 số tam giác bị đếm hai lần.
Đa giác có 30 đỉnh tam giác tù có hai góc nhọn nên số tam giác tù
2
2 14
14
30.2.
30. 2
C
C
Suy số phần tử biến cố là:
2 14
30
n A C
Xác suất cần tìm là:
2 14 30
30. 39 58
n A C
P A
n C
.Vậy 39 58
P A
Cách 2.Ta kí hiệu đa giác H A A A1 2 30.Ứng với đỉnh *
1 30;
i
A i i
có 14 tam giác vng Ai có 13 12 11 1 tam giác tù Ai.Số cách chọn ba đỉnh tạo thành tam giác tù là:
13 13 1
30 13 12 11 1 30. 2
cách.Mặt khác có C303 cách chọn 3 đỉnh 30 đỉnh nên xác suất cần
tìm
3 30
13 13 1
30. 39
2 30 13 12 11 1
58
C
PHẦN II: BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9.C 10.C
11.B 12.A 13.A 14.A 15.A 16.B 17.D 18.D 19.B 20.A 21.D 22.C 23.C 24.C 25.B 26.B 27.B 28.A 29.A 30.B 31.B 32.C 33.D 34.D 35.C 36.C 37.C 38.A 39.D 40.D 41.D 42.D 43.C 44.C 45.D 46.D 47.B 48.A 49.A 50.B