DẠNG TOÀN PHƯƠNG (TOÁN CAO cấp SLIDE)

∑ CHƯƠNG ến T y u T ố Đại S í nh §7: Dạng Tồn phương ∑  ến T y u T ố Đại S Khi tìm cực trị hàm biến toán dẫn đến việc xác định dấu vi phân cấp hàm f, nghĩa ta cần xác định dấu của: d f ( x0 , y0 ) = f "( x0 , y0 )dx + f "( x0 , y0 )dxdy + f "( x0 , y0 )dy = Adx + Bdxdy + Cdy  Khi xét hàm biến ta cần xác định dấu vi phân cấp 2: d f = a11dx + 2a12 dxdy + 2a13dxdz + a22 dy + 2a23dydz + a33dz í nh §7: Dạng Toàn phương ∑  ến T y u T ố Đại S Tổng quát cho hàm nhiều biến việc tìm dấu vi phân cấp khơng đơn giản, “Dạng toàn phương” lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu vi phân cấp hàm nhiều biến í nh ∑  §7: Dạng Toàn phương ến T y u T ố Đại S Định nghĩa: Cho V không gian vector n chiều R, hàm ω :V → R xác định sau: với x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ V í nh ∑ §7: Dạng Toàn phương ến T y u T ố Đại S í nh ω ( x) = a x + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + + 2a1n x1 xn 11 + a22 x22 + 2a23 x2 x3 + + 2a2 n x2 xn + a x + + 2a3n x3 xn 33 +a x nn n gọi dạng toàn phương V ∑  §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S í nh Ví dụ: Cho dạng tồn phương: ω : R → R, x = ( x1 , x2 , x3 ) ω ( x) = x + x1 x2 − x1 x3 − x + x2 x3 2 + 8x = x + x1 x2 − x1 x3 − x + x2 x3 + x a11 2 2a12 2a13 a22 2a23 a33 ∑  §7: Dạng Toàn phương ến T y u T ố Đại S Định nghĩa: Cho dạng toàn phương ω ( x) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + + 2a1n x1 xn + a x + 2a23 x2 x3 + + 2a2 n x2 xn 22 + a x + + 2a3n x3 xn 33 đó, ma trận sau: +a x nn n í nh §7: Dạng Toàn phương ∑  a11 a 12  Aω =    a1n  a12 a22 a2 n ến T y u T ố Đại S a1n   a2 n    an n  Gọi ma trận dạng tồn phương í nh ∑  §7: Dạng Toàn phương ến T y u T ố Đại S Ví dụ: Cho dạng tồn phương ω : R → R, x = ( x1 , x2 , x3 ) ω ( x) = x + x1 x2 − x1 x3 − x + x2 x3 + x  2 Khi đó, ma trận dạng tồn phương là:  2 −3   Aω =  −1   −3  í nh ∑  §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Tìm ma trận dạng toàn phương sau: ω ( x1 , x2 , x3 ) = x − x1 x2 + 3x + x2 x3 − x  −3    Aω =  −3   −5 2 ∑  §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Tìm ma trận dạng tồn phương sau: ω ( x) = x − x + x + x1 x2 − 10 x1 x3 − x2 x3 2 2  −5    Aω =  −7 −4   −5 −4  ∑  §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S Ví dụ: Cho dạng tồn phương có ma trận:  −2    Aω =  −2   −5  Khi đó, dạng tồn phương tương ứng là: ω ( x) = x + x − x − x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 2 2 í nh ∑ §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S Nhận xét:  Xác định dấu dạng toàn phương sau: ω1 ( x) = x + x − x + x1 x2 + x1 x3 − x2 x3 2 2 ω2 ( x) = 3x + x + x 2 2 ω3 ( x) = −2 x12 − 3x22 − x32 ω4 ( x) = x + x − 3x 2 2 í nh ∑ §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S  Dạng tắc dạng toàn phương  Khi ma trận dạng toàn phương ma trận chéo a11 0     0 a22 0      an n  í nh §7: Dạng Tồn phương ∑   Hay ến T y u T ố Đại S ω ( x) = a x + a x + + a x 11 22 2 nn n Thì ta gọi dạng tắc dạng tồn phương í nh ∑    §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S Đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc ω ( x) = x12 + x22 + 10 x32 + x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 í nh §7: Dạng Tồn phương ∑ ến T y u T ố Đại S ω ( x) = x + x + 10 x + x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 2 2 = ( x1 + x2 − x3 ) + x + x − x2 x3 2 2 = ( x1 + x2 − x3 ) + ( x2 − x3 ) + x32  Đặt y1 = x1 + x2 − x3 y2 = x2 − x3 y3 = x3 ⇒ ω ( y) = y + y + y 2 2 í nh ∑  §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S Ví dụ: Đưa DT phương sau dạng tắc: ω ( x) = x + x + 13x + x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 2 2 = ( x1 + 2x2 −3x3 ) +2x22 +4x32 +10x2 x3 = ( x1 + x2 − x3 ) + 2[ x22 + x32 + x2 x3 ] 2 17 = ( x1 + x2 − x3 ) + 2[( x2 + x3 ) − x3 ] 17 2 = ( x1 + x2 − x3 ) + 2( x2 + x3 ) − x3 2 17 2 = y1 + y2 − y3 í nh ∑  §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phương pháp Lagrange: ω ( x) = x12 + x22 − 10 x32 − x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = (x1 )2 í nh ∑    §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S Đưa dạng tồn phương dạng tắc Phương pháp Jacobi (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc ω ( x) = x12 + x22 − x32 + x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 − 2 2 A =  − 3 − − −  í nh §7: Dạng Tồn phương ∑ ến T y u T ố Đại S − 2 2 A =  − 3 − − −   Đặt D0 = 1, D1 = a11 = 2, D2 = a11 D3 = a21 a12 a22 a13 a23 = a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 = −2 −3 = −35, −2 −3 −1 1 = 5, í nh ∑  §7: Dạng Tồn phương Nếu tắc là: ến T y u T ố Đại S Di ≠ 0, ∀i = 1,thì 2, dạng tồn phương có dạng D1 D2 D3 ω ( y) = y1 + y2 + y3 D0 D1 D2 2 −35 ω ( y ) = y1 + y2 + y3 í nh ∑  §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phương pháp Jacobi: ω ( x) = − x12 + x22 − 3x32 − x1 x2 + x1 x3 − x2 x3  −1 −  A = − 2 − 4  − − 3 í nh ... Thì ta gọi dạng tắc dạng tồn phương í nh ∑    §7: Dạng Toàn phương ến T y u T ố Đại S Đưa dạng tồn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc... §7: Dạng Toàn phương ến T y u T ố Đại S Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phương pháp Lagrange: ω ( x) = x12 + x22 − 10 x32 − x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = (x1 )2 í nh ∑    §7: Dạng Toàn phương. .. nh ∑ §7: Dạng Tồn phương ến T y u T ố Đại S  Dạng tắc dạng tồn phương  Khi ma trận dạng toàn phương ma trận chéo a11 0     0 a22 0      an n  í nh §7: Dạng Tồn phương ∑