Toán cao cấp C2 Cao đẳng pptx

ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 1 TO TO Á Á N CAO C N CAO C Ấ Ấ P C2 P C2 CAO Đ CAO Đ Ẳ Ẳ NG NG PHÂN PH PHÂN PH Ố Ố I CHƯƠNG TRÌNH I CHƯƠNG TRÌNH S S ố ố ti ti ế ế t t : 30 : 30 Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 2. Phương trình vi phân Chương 3. Lý thuyết chuỗi Chương 4. Một số bài toán kinh tế Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp – ĐH Công nghiệp TP. HCM. Download Slide Download Slide b b à à i i gi gi ả ả ng ng To To á á n n C C 2 2 CĐ CĐ t t ạ ạ i i dvntailieu.wordpress.com dvntailieu.wordpress.com Biên Biên so so ạ ạ n n : : ThS ThS . . Đo Đo à à n n Vương Vương Nguyên Nguyên 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 2 (dùng cho SV Cao đẳng) – NXB Giáo dục. 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP. HCM. 4. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A3 –NXB ĐHQG TP. HCM.   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố §1. Khái niệm cơ bản §2. Đạo hàm riêng – Vi phân §3. Cực trị của hàm hai biến số ………………………. §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký hiệu D ∂ hay Γ . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền p hẳng với biên ở vô cùng.   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Miền phẳng D kể cả biên D ∂ được gọi là mi ề n đ óng , miền phẳng D không kể biên D ∂ là mi ề n m ở . • Miền phẳng D được gọi là mi ề n liên thông nếu có 1 đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D . Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi là miền đơn liên (hình a) ; có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b). b) Lân cận của một điểm • Khoảng cách giữa 2 điểm 1 1 1 ( , ) M x y , 2 2 2 ( , ) M x y là:   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Hình tròn ( , ) S M ε mở có tâm ( , ) M x y , bán kính 0 ε > được gọi là một lân cận của điểm M . Nghĩa là: 2 2 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( )M x y S M x x y y ∈ ε ⇔ − + − < ε . M ε • ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , d M M M M x x y y = = − + − . c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập 2 D ⊂ ℝ . Tương ứng : f D → ℝ cho tương ứng mỗi ( , ) x y D ∈ với một giá trị ( , ) z f x y = ∈ ℝ duy nhất được gọi là hàm số hai biến số , x y .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Tập 2 D ⊂ ℝ được gọi là miền xác định (MXĐ) của h àm số, ký hiệu f D . Miền giá trị của hàm số là: { } ( , ) ( , ) f G z f x y x y D = = ∈ ∈ℝ . Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số ( , ) f x y mà không nói gì thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm 2 ( , )M x y ∈ ℝ sao cho ( , ) f x y có nghĩa. • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến s ố ( xem giáo trình ) 1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình) ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 2   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số ( , ) f x y xác định trên miền mở 2 D ⊂ ℝ chứa điểm 0 0 0 ( , ) M x y . Cố định 0 y , nếu hàm số 0 ( , ) f x y có đạo hàm tại 0 x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số ( , ) f x y tại 0 0 ( , ) x y . Ký hiệu: 0 0 ( , ) x f x y hay / 0 0 ( , ) x f x y hay 0 0 ( , ). f x y x ∂ ∂ Vậy 0 / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim . x x x f x y f x y f x y x x → − = −   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại 0 0 ( , ) x y là: 0 / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim . y y y f x y f x y f x y y y → − = − Chú ý • Nếu ( ) f x là hàm số một biến x thì / x f df f x dx ∂ = = ∂ . • Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa t ương tự . VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: 4 3 2 3 ( , ) 3 2 3 f x y x x y y xy = − + − tại ( 1; 2) − .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 4. Tính các đạo hàm riêng của 2 ( , , ) sin x y f x y z e z = . b) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số / ( , ) x f x y , / ( , ) y f x y được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của ( , ) f x y . VD 3. Tính các đạo hàm riêng của cos x z y = tại ( ; 4) π . VD 2. Tính các đạo hàm riêng của 2 2 2 1 ln 1 x z x y + = + + .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Ký hiệu: ( ) 2 2 // 2 xx x xx f f f f f x x x   ∂ ∂ ∂   = = = =      ∂ ∂   ∂ , ( ) 2 2 // 2 yy y y y f f f f f y y y   ∂ ∂ ∂   = = = =      ∂ ∂   ∂ , ( ) 2 // xy xy x y f f f f f y x y x   ∂ ∂ ∂   = = = =      ∂ ∂ ∂ ∂   , ( ) 2 // yx yx y x f f f f f x y x y   ∂ ∂ ∂   = = = =      ∂ ∂ ∂ ∂   . • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 có định nghĩa t ương tự .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 6. Cho hàm số 5 4 4 5 ( , ) f x y x y x y = + − . Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm 3 2 (5) (1; 1) x y f − là: A. 3 2 (5) (1; 1) 480 x y f − = ; B. 3 2 (5) (1; 1) 480 x y f − = − ; C. 3 2 (5) (1; 1) 120 x y f − = ; D. 3 2 (5) (1; 1) 120 x y f − = − . VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: 3 2 3 4 ( , ) y f x y x e x y y = + − tại ( 1; 1) − . • Định lý Schwarz Nếu hàm số ( , ) f x y có các đạo hàm riêng // // , xy yx f f liên tục trong miền mở 2 D ⊂ ℝ thì // // . xy yx f f =   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố 2.2. Vi phân 2.2.1. Vi phân cấp 1 a) Số gia của hàm số • Cho hàm số ( , ) f x y xác định trong lân cận 0 ( , ) S M ε của điểm 0 0 0 ( , ) M x y . Cho x một số gia x ∆ và y một số gia y ∆ , khi đó hàm ( , ) f x y có tương ứng số gia: 0 0 0 0 ( , ) ( , ). f f x x y y f x y ∆ = + ∆ + ∆ − VD 7. Đạo hàm riêng 2 2 ( ) ( 2) m n m n x y x z m − + ≥ của 2 x y z e − = là: A. 2 ( 1) 2 n m n x y e + − − ; B. 2 ( 1) 2 m m n x y e + − − ; C. 2 ( 1) 2 m m x y e − − ; D. 2 ( 1) 2 n m x y e − − . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 3   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố b) Định nghĩa • Nếu trong lân cận 0 ( , ) S M ε với số gia x ∆ , y ∆ mà số gia f ∆ tương ứng có thể viết được dưới dạng ( ) 2 2 . . , ( ) ( ) f A x B y O r r x y ∆ = ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ trong đó , A B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm 0 0 0 ( , ) M x y và hàm ( , ) f x y , không phụ thuộc , x y ∆ ∆ thì đại lượng . . A x B y ∆ + ∆ được gọi là vi phân của hàm số ( , ) f x y tại điểm 0 0 0 ( , ) M x y . Khi đó, ( , ) f x y được gọi là khả vi tại điểm 0 0 0 ( , ) M x y . Ký hiệu . . . df A x B y = ∆ + ∆   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Nhận xét • Xét những điểm 0 0 ( , ) M x x y y + ∆ + ∆ dịch chuyển trên đường đi qua 0 M song song Ox . Khi đó 0 y ∆ = : 0 0 0 0 ( , ) ( , ) . ( ) f f x x y f x y A x O x ∆ = + ∆ − = ∆ + ∆ / 0 0 0 lim ( , ) x x f A A f x y x ∆ → ∆ ⇒ = ⇒ = ∆ . Tương tự, / 0 0 0 lim ( , ) y y f B B f x y y ∆ → ∆ = ⇒ = ∆ . Suy ra / / ( , ) ( , ). ( , ). x y df x y f x y x f x y y = ∆ + ∆ . • Xét ( , ) ( , ) f x y x df x y x dx x = ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ . Tương tự, dy y = ∆ . Vậy: / / ( , ) ( , ) ( , ) . x y df x y f x y dx f x y dy = +   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố c) Định lý • Nếu hàm số ( , ) f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận nào đó của 0 0 ( , ) x y và các đạo hàm riêng này liên tục tại 0 0 ( , ) x y thì ( , ) f x y khả vi tại 0 0 ( , ) x y . VD 8. Cho hàm 2 5 ( , ) x y f x y x e y − = − . Tính (1; 1) df − . VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm 2 2 sin( ) x y z e xy − = .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Ký hiệu và công thức: ( ) 2 2 // // 2 2 // 2 2 . xy x y d f d df f dx f dxdy f dy = = + + Chú ý • Nếu , x y là các biến không độc lập (biến trung gian) ( , ) x x = ϕ ψ , ( , ) y y = ϕ ψ thì công thức trên không còn đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp , x y độc lập. 2.2.2. Vi phân cấp 2 • Giả sử ( , ) f x y là hàm khả vi với , x y là các biến độc lập. Các số gia , dx x dy y = ∆ = ∆ tùy ý độc lập với , x y nên được xem là hằng số đối với , x y . Vi phân của ( , ) df x y được gọi là vi phân cấp 2 của ( , ) f x y .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm 2 ( , ) ln( ) f x y xy = . VD 10. Cho hàm số 2 3 2 3 5 ( , ) 3 f x y x y xy x y = + − . Tính vi phân cấp hai 2 (2; 1) df − . 2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) • Hàm ( , ) z x y xác định trên 2 z D ⊂ ℝ thỏa phương trình ( , , ( , )) 0, ( , ) z F x y z x y x y D D = ∀ ∈ ⊂ (*) được gọi là hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*) .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: / / / / / / . 0, . 0 x z x y z y F F z F F z + = + = . Vậy ( ) / / / / / / / , 0 . y x x y z z z F F z z F F F = − = − ≠ VD 12. Cho hàm ẩn ( , ) z x y thỏa phương trình: cos( ) xyz x y z = + + . Tính / / , x y z z . VD 13. Cho hàm ẩn ( , ) z x y thỏa phương trình mặt cầu: 2 2 2 2 4 6 2 0 x y z x y z + + − + − − = . Tính / y z . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 4   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. Định nghĩa • Hàm số ( , ) z f x y = đạt cực trị thực sự tại 0 0 0 ( , ) M x y nếu với mọi điểm ( , ) M x y khá gần nhưng khác 0 M thì hiệu 0 0 ( , ) ( , ) f f x y f x y ∆ = − có dấu không đổi. • Nếu 0 f ∆ > thì 0 0 ( , ) f x y là giá trị cực tiểu và 0 M là điểm cực tiểu của ( , ) z f x y = . • Nếu 0 f ∆ < thì 0 0 ( , ) f x y là giá trị cực đại và 0 M là điểm cực đại của ( , ) z f x y = . VD 1. Hàm số 2 2 2 2 3 ( , ) 2 4 y y f x y x y xy x     = + − = − +        2 ( , ) 0, ( , )f x y x y⇒ ≥ ∀ ∈ ℝ nên đạt cực tiểu tại (0; 0) O .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố 3.2. Định lý a) Điều kiện cần • Nếu hàm số ( , ) z f x y = đạt cực trị tại 0 0 0 ( , ) M x y và tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì: / / 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0. x y f x y f x y = = Điểm 0 0 0 ( , ) M x y thỏa / / 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y = = được gọi là điểm dừng, 0 M có thể không là điểm cực trị. b) Điều kiện đủ Giả sử ( , ) z f x y = có điểm dừng là 0 M và có đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của điểm 0 M . Đặt 2 2 // // // 0 0 0 ( ), ( ), ( ) xy x y A f M B f M C f M = = = .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Khi đó: • Nếu 2 0 ( , ) 0 AC B f x y A   − >  ⇒   >   đạt cực tiểu tại 0 M . • Nếu 2 0 ( , ) 0 AC B f x y A   − >  ⇒   <   đạt cực đại tại 0 M . • Nếu 2 0 ( , ) AC B f x y − < ⇒ không đạt cực trị tại 0 M . • Nếu 2 0 AC B − = thì ta không thể kết luận. 3.3. Phân loại cực trị • Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường cong ( ) C . Chiếu S lên mp Oxy ta được miền 2 D ⊂ ℝ và đường cong phẳng ( ) : ( , ) 0 x y γ ϕ = (xem hình vẽ).   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố Khi đó, điểm 1 P S ∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu 1 M D ∈ là được gọi là điểm cực trị tự do của hàm ( , ) f x y xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( ) γ ). Tương tự, điểm 2 ( ) P C ∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu 2 ( ) M ∈ γ là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi ( ) : ( , ) 0 x y γ ϕ = của hàm ( , ) f x y .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố 3.4. Cực trị tự do Cho hàm số ( , ) f x y xác định trên D . Để tìm cực trị ( tự do) của ( , ) f x y , ta thực hiện các bước sau: • Bước 1. Tìm điểm dừng 0 0 0 ( , ) M x y bằng cách giải hệ: / 0 0 / 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0. x y f x y f x y   =     =    • Bước 2. Tính 2 // // 0 0 0 0 ( , ), ( , ) xy x A f x y B f x y = = , 2 // 2 0 0 ( , ) y C f x y AC B = ⇒ ∆ = − . • Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số (1 ) z xy x y = − − .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 3. Tìm cực trị của hàm 2 2 4 2 8 z x y x y = + + − + . VD 4. Tìm cực trị của hàm số 3 3 3 2 z x y xy = + − − . VD 5. Tìm cực trị của 2 3 2 2 3 3 3 2 z x y y x y = + − − + . VD 6. Cho hàm số 50 20 ( 0, 0) z xy x y x y = + + > > . Khẳng định đúng là: A. z đạt cực tiểu tại (2; 5) M và giá trị cực tiểu 39 z = . B. z đạt cực tiểu tại (5; 2) M và giá trị cực tiểu 30 z = . C. z đạt cực đại tại (2; 5) M và giá trị cực đại 39 z = . D. z đạt cực đại tại (5; 2) M và giá trị cực đại 30 z = . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 5   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số ( , ) f x y ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange . a) Phương pháp khử • Từ phương trình ( , ) 0 x y ϕ = ta rút x hoặc y thế vào ( , ) f x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến. 3.5 . Cực trị có điều kiện • Cho hàm số ( , ) f x y xác định trên lân cận của điểm 0 0 0 ( , ) M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) 0 x y γ ϕ = . Nếu tại 0 M hàm ( , ) f x y đạt cực trị thì ta nói 0 M là điểm cực trị có điều kiện của ( , ) f x y với điều kiện ( , ) 0 x y ϕ = .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm 2 z x y = thỏa điều kiện: 3 0 x y − + = . b) Phương pháp nhân tử Lagrange Tại điểm cực trị ( , ) x y của f , gọi / / / / y x x y f f λ = − = − ϕ ϕ là nhân tử Lagrange . Đ ể t ìm c ự c t r ị t a t h ự c h i ệ n c ác b ư ớ c : • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): ( , , ) ( , ) ( , ). L x y f x y x y λ = + λϕ • Bước 2. Giải hệ: / / / 0, 0, 0 x y L L L λ = = = ⇒ điểm dừng 0 0 0 ( , ) M x y ứng với 0 λ .   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố • Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại 0 0 0 ( , ) M x y ứng với 0 λ : 2 2 // // 2 2 // 2 0 ( ) 2 . xy x y d L M L dx L dxdy L dy = + + Các vi phân , dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: / / 0 0 0 0 0 0 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 (1) ( ) ( ) 0 (2). x y d x y x y dx x y dy dx dy   ϕ = ϕ + ϕ =     + >    • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:  Nếu 2 0 ( ) 0 d L M > thì ( , ) f x y đạt cực tiểu tại 0 M .  Nếu 2 0 ( ) 0 d L M < thì ( , ) f x y đạt cực đại tại 0 M .  Nếu 2 0 ( ) 0 d L M = thì 0 M không là điểm cực trị.   Chương Chương 1. 1. H H à à m m s s ố ố nhi nhi ề ề u u bi bi ế ế n n s s ố ố VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số ( , ) 2 f x y x y = + với điều kiện 2 2 5 x y + = . VD 9. Tìm điểm cực trị của hàm z xy = thỏa điều kiện 2 2 1 8 2 x y + = . ……………………………………….   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân §1. Phương trình vi phân cấp 1 §2. Phương trình vi phân cấp 2 …………………………… §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát ( , , ) 0 F x y y ′ = (*). Nếu từ (*) ta giải được theo y ′ thì (*) trở thành ( , ) y f x y ′ = . • Nghiệm của (*) có dạng ( ) y y x = chứa hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện 0 0 ( ) y y x = cho trước (thường gọi là điều kiện đầu ) vào nghiệm tổng quát ta được giá trị 0 C cụ thể và nghiệm lúc này được gọi là nghiệm riêng của (*).   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 1. Cho phương trình vi phân 0 y x ′ − = (*). Xét hàm số 2 2 x y C = + , ta có: 0 y x ′ − = thỏa phương trình (*). Suy ra 2 2 x y C = + là nghiệm tổng quát của (*). Thế 2, 1 x y = = vào 2 2 x y C = + , ta được: 2 1 1 2 x C y = − ⇒ = − là nghiệm riêng của (*) ứng với điều kiện đầu (2) 1 y = . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 6   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân  Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát: ( ) ( ) . f x dx g y dy C + = ∫ ∫ 1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly  Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: ( ) ( ) 0 (1). f x dx g y dy + = VD 2. Giải phương trình vi phân 2 2 0 1 1 xdx ydy x y + = + + .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 4. Giải ptvp 2 3 ( 1) ( 1)( 1) 0 x y dx x y dy + + − − = . VD 5. Giải ptvp 2 xy y y ′ + = thỏa điều kiện 1 (1) 2 y = . VD 3. Giải phương trình vi phân ( 2) y xy y ′ = + .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Chẳng hạn, hàm số: ( , ) 2 3 x y f x y x y − = + là đẳng cấp bậc 0, 2 4 3 ( , ) 5 x xy f x y x y + = − là đẳng cấp bậc 1, 2 ( , ) 3 2 f x y x xy = − là đẳng cấp bậc 2. 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến ( , ) f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi 0 k > thì ( , ) ( , ) n f kx ky k f x y = .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân b) Phương trình vi phân đẳng cấp • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: ( , ) (2). y f x y ′ = Trong đó, ( , ) f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0. Phương pháp giải Bước 1. Biến đổi (2) y y x     ′ ⇔ = ϕ        . Bước 2. Đặt y u y u xu x ′ ′ = ⇒ = + . Bước 3. (2) ( ) ( ) du dx u xu u u u x ′ ⇒ + = ϕ ⇒ = ϕ − ( ) ( ) 0 u u x ϕ − ≠ ≠ (đây là ptvp có biến phân ly).   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 6. Giải phương trình vi phân 2 2 x xy y y xy − + ′ = . VD 7. Giải phương trình vi phân x y y x y + ′ = − với điều kiện đầu (1) 0 y = .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân • Nghiệm tổng quát của (3) là ( , ) u x y C = . N hận xét / / ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) x y u x y P x y u x y Q x y = = . 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số ( , ), ( , ) P x y Q x y và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện / / , ( , ) x y Q P x y D = ∀ ∈ . Nếu tồn tại hàm ( , ) u x y sao cho ( , ) ( , ) ( , ) du x y P x y dx Q x y dy = + thì phương trình vi phân có dạng: ( , ) ( , ) 0 (3) P x y dx Q x y dy + = được gọi là p hương trình vi phân toàn phần . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 7   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: ( , ) ( , ) ( , ) ( ) u x y P x y dx x y C y = = ϕ + ∫ (3c). Trong đó, ( ) C y là hàm theo biến y . Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta có / x u P = (3a) và / y u Q = (3b). Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: / / ( ) y y u C y ′ = ϕ + (3d). Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được ( ) C y . Thay ( ) C y vào (3c) ta được ( , ) u x y .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 8. Cho phương trình vi phân: 2 2 (3 2 2 ) ( 6 3) 0 y xy x dx x xy dy + + + + + = (*). 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 2 ) Giải p hương trình (*). VD 9. Giải ptvp ( 1) ( ) 0 y x y dx e x dy + − + + = .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) Bước 1. Tìm biểu thức ( ) ( ) p x dx A x e − ∫ = . Bước 2. Tìm biểu thức ( ) ( ) ( ). p x dx B x q x e dx ∫ = ∫ . Bước 3. Nghiệm tổng quát là ( ) ( ) y A x B x C   = +     . 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: ( ) ( ) (4). y p x y q x ′ + = • Khi ( ) 0 q x = thì (4) được gọi là p hương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng: ( ) ( ) . p x dx y C x e − ∫ = Nhận xét . ( ) ( ) ( ) ( ). . ( ) p x dx q x B x q x e dx dx A x ∫ = = ∫ ∫ VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm nghiệm tổng quát của 2 4 ln y y x x x ′ + = dưới dạng: A. 2 ( ) C x y x = ; B. 3 ( ) C x y x = ; C. ( ) C x y x = ; D. ( ) C x y x = − .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 11. Giải phương trình vi phân 2 0 y x y ′ − = thỏa điều kiện 9 3 x y e = = − . VD 12. Giải phương trình sin cos x y y x e − ′ + = .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân • Khi 0 α = hoặc 1 α = thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi ( ) ( ) 1 p x q x = = thì (5) là pt có biến phân ly. Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) Bước 1. Với 0 y ≠ , ta chia hai vế cho y α : (5) ( ) ( ) y y p x q x y y α α ′ ⇒ + = 1 ( ) ( ) y y p x y q x −α −α ′ ⇒ + = . 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: ( ) ( ) (5). y p x y q x y α ′ + = ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 8   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Bước 2. Đặt 1 (1 ) z y z y y −α −α ′ ′ = ⇒ = − α , ta được: (5) (1 ) ( ) (1 ) ( ) z p x z q x ′ ⇒ + −α = − α ( đây là p hương trình tuyến tính cấp 1). VD 13. Giải phương trình vi phân 2 y y xy x ′ + = với điều kiện đầu 1, 1 x y = = . VD 14. Giải phương trình vi phân 3 4 2 y xy x y ′ − = .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: 1 ( ) ( ) ( ) y f x y f x dx x C ′′ ′ = ⇒ = = ϕ + ∫ 1 1 2 ( ) ( ) y x dx C x x C x C ⇒ = ϕ + = ψ + + ∫ . §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 2.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng: ( ) (1). y f x ′′ = 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 2. Giải ptvp 2 x y e ′′ = với 7 3 (0) , (0) 4 2 y y ′ = − = . VD 1. Giải phương trình vi phân 2 y x ′′ = .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Phương pháp giải • Đặt z y ′ = đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. VD 3. Giải phương trình vi phân y y x x ′ ′′ = − . 2.1.2. Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: ( , ) (2). y f x y ′′ ′ = VD 4. Giải pt vi phân ( 1) 0 1 y y x x x ′ ′′ − − − = − với điều kiện (2) 1, (2) 1 y y ′ = = − .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Phương pháp giải • Đặt z y ′ = ta có: . dz dz dy dz y z z dx dy dx dy ′′ ′ = = = = . Khi đó, (3) trở thành pt vp với biến số phân ly. 2.1.3. Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: ( , ) (3). y f y y ′′ ′ = VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0 y y y ′′ ′ + − = với điều kiện 1 (0) 0, (0) 2 y y ′ = = . VD 5. Giải phương trình vi phân 2 (1 ) 2( ) 0 y y y ′′ ′ − + = .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân  Trường hợp 1 Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 , k k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2 1 2 , k x k x y e y e = = và nghiệm tổng quát là 1 2 1 2 . k x k x y C e C e = + Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): 2 1 2 0 (5). k a k a + + = 2.2. Ph ươ ng trình vi phân c ấ p 2 tuy ế n tính v ớ i h ệ s ố h ằ ng 2.2.1. Phương trình thuần nhất • Phương trình thuần nhất có dạng: ( ) 1 2 1 2 0, , (4). y a y a y a a ′′ ′ + + = ∈ ℝ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 9   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân  Trường hợp 2 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2 , kx kx y e y xe = = và nghiệm tổng quát là 1 2 . kx kx y C e C xe = +  Trường hợp 3 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k i = α ± β . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: 1 2 cos , sin x x y e x y e x α α = β = β và nghiệm tổng quát là: ( ) 1 2 cos sin . x y e C x C x α = β + β   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 7. Giải phương trình vi phân 2 3 0 y y y ′′ ′ + − = . VD 8. Giải phương trình vi phân 6 9 0 y y y ′′ ′ − + = . VD 9. Giải phương trình vi phân 16 0 y y ′′ + = . VD 10. Giải phương trình vi phân 2 7 0 y y y ′′ ′ + + = . VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0 y y y ′′ ′ − + = .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân • Để tìm 1 ( ) C x và 2 ( ) C x , ta giải hệ Wronsky: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). C x y x C x y x C x y x C x y x f x  ′ ′  + =   ′ ′ ′ ′  + =   2.2.2. Phương trình không thuần nhất • Phương trình không thuần nhất có dạng: ( ) 1 2 1 2 ( ), , (6). y a y a y f x a a ′′ ′ + + = ∈ ℝ a) Phương pháp giải tổng quát • Nếu (4) có hai nghiệm riêng 1 2 ( ), ( ) y x y x thì (6) có nghiệm tổng quát là 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). y C x y x C x y x = +   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 12. Giải phương trình vi phân 1 cos y y x ′′ + = (a). Giải. Xét phương trình thuần nhất 0 y y ′′ + = (b) ta có: 2 1 0 0, 1 k k i + = ⇒ = ± ⇒ α = β = 1 2 cos , sin y x y x ⇒ = = là 2 nghiệm riêng của (b). Nghiệm tổng quát của (a) có dạng: 1 2 ( ).cos ( ).sin y C x x C x x = + . Ta có hệ Wronsky: 1 2 1 2 cos . ( ) sin . ( ) 0 1 sin . ( ) cos . ( ) cos x C x x C x x C x x C x x  ′ ′  + =     ′ ′ − + =      Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân 2 1 2 2 1 2 sin cos . ( ) sin . ( ) 0 sin cos . ( ) cos . ( ) 1 x x C x x C x x x C x x C x   ′ ′ + =   ⇒   ′ ′ − + =    1 2 sin ( ) cos ( ) 1 x C x x C x    ′ = −  ⇒   ′  =   1 1 2 2 ( ) ln cos ( ) . C x x C C x x C   = +  ⇒   = +   Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: ( ) ( ) 1 2 ln cos cos sin y x C x x C x = + + + .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 13. Cho phương trình vi phân: 2 2 2 (2 ) x y y y x e ′′ ′ − + = + (*). 1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là 2 x y x e = . 2 ) Tìm nghiệm tổng quát của (*). b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT  Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6). VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 sin 2 4 cos 2 y y x x ′′ ′ + = + , biết 1 nghiệm riêng là cos 2 y x = − . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 10   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của 2 2 cos y y x ′′ ′ − = (*). Cho biết 1 y y ′′ ′ − = và cos2 y y x ′′ ′ − = lần lượt có nghiệm riêng 1 y x = − , 2 2 1 cos 2 sin 2 10 10 y x x = − − .  Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình vi phân: 1 2 1 2 ( ) ( ) (7) y a y a y f x f x ′′ ′ + + = + . Nếu 1 ( ) y x và 2 ( ) y x lần lượt là nghiệm riêng của 1 2 1 ( ) y a y a y f x ′′ ′ + + = , 1 2 2 ( ) y a y a y f x ′′ ′ + + = thì nghiệm riêng của (7) là: 1 2 ( ) ( ). y y x y x = +   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân  Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Xét phương trình 1 2 ( ) (6) y a y a y f x ′′ ′ + + = và 1 2 0 (4). y a y a y ′′ ′ + + = • Trường hợp 1: f(x) có dạng e αx P n (x) ( ( ) n P x là đa thức bậc n ). Bước 1. N ghiệm riêng của (6) có dạng : ( ) m x n y x e Q x α = ( ( ) n Q x là đa thức đầy đủ bậc n ).   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Bước 2. Xác định m : 1) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 0 m = . 2) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của (4) thì 1 m = . 3) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng của (4) thì 2 m = . Bước 3. Thế . ( ) m x n y x e Q x α = vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng cần tìm.   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân V D 16. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 3 2 2 3 ( 1) x y y y e x ′′ ′ − − = + . Giải. Ta có 3 2 ( ) ( 1) x f x e x = + , 2 2 3, ( ) 1 P x x α = = + . Suy ra nghiệm riêng có dạng: 3 2 ( ) m x y x e Ax Bx C = + + . Do 3 α = là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 2 3 0 k k − − = nên 1 m = . Suy ra nghiệm riêng có dạng 3 2 ( ) x y xe Ax Bx C = + + .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân Thế 3 2 ( ) x y xe Ax Bx C = + + vào phương trình đã cho, đồng nhất thức ta được: 1 1 9 , , 12 16 32 A B C= = − = . Vậy nghiệm riêng là 3 2 1 1 9 12 16 32 x y xe x x     = − +        . VD 1 7 . Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 2 2 x x y y y xe e − ′′ ′ + + = + .   Chương Chương 2. 2. Phương Phương tr tr ì ì nh nh vi vi phân phân • Trường hợp 2 f(x) có dạng e αx [P n (x)cosβx + Q m (x)sinβx] ( ( ) n P x là đa thức bậc n , ( ) m Q x là đa thức bậc m ). Bước 2. Xác định s : 1) Nếu i α β ± không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 0 s = . 2) Nếu i α β ± là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 1 s = . Bước 1. N ghiệm riêng có dạng : [ ( )cos ( )sin ] s x k k y x e R x x H x x α β β = + ( ( ), ( ) k k R x H x là đa thức đầy đủ bậc max{ , } k n m = ). [...]... thuy t chu i 1.2 iu kin cn chui s hi t Nu chui un n =1 hi t thỡ lim un = 0 , n n un phõn k n =1 n =1 1 VD 3 Xột s hi t ca chui s ln 1 + n n =1 VD 4 Xột s hi t ca chui s n =1 Toỏn cao c p C2 Cao ng 1 n aq n1 vi a 0 Gii q = 1: Sn = na + chui phõn k ngc li nu lim un 0 thỡ n(n + 1) un = S n =1 Ngc li, ta núi chui s phõn k Chng 3 Lý thuy t chu i Vi q < 1 thỡ Sn hi t n s S hu... vn cựng tớnh cht un n =1 hi t khi > 1 v phõn k khi 1 v lim un +1 n Nu D < 1 thỡ chui hi t Nu D > 1 thỡ chui phõn k Nu D = 1 thỡ cha th kt lun un = D VD 5 Xột s hi t ca chui s n =1 Toỏn cao c p C2 Cao ng n =1 VD 4 Xột s hi t ca chui s 2.3 Cỏc tiờu chun hi t 2.3.1 Tiờu chun DAlembert Cho chui s dng Chỳ ý phõn k Chng 3 Lý thuy t chu i n =1 Chui = k hi t vn hi t n =1 Nu 0 < k < + thỡ... hi t n =1 un c gi l hi t tuyt i nu un hi t n =1 Chng 3 Lý thuy t chu i b) nh lý n =1 un c gi l bỏn hi t nu un hi t v n =1 n =1 un phõn k n =1 (1)n VD 5 Chui s l bỏn hi t n n =1 Toỏn cao c p C2 Cao ng cos(n n ) n =1 VD 6 Xột s hi t ca chui s n2 VD 7 Xột s hi t ca chui s (1)n + (2)n +1 n =1 3n 13 H Cụng nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Chng 4 M t s... n cui k thỡ tng s tin ngi n s P0 1 + ú cú c l: n Nu tng s ln rỳt v gi lờn vụ hn ln thỡ sau khong thi gian t , tng s tin ngi ú cú, c tớnh theo cụng thc lói kộp liờn tc l: P = P0es Toỏn cao c p C2 Cao ng Chng 4 M t s bi toỏn Kinh t toỏ Biờn t V Biờn t ca hm H ( ) theo bin V ti V0 l i lng H (V ) H (V0 ) lim = H ( 0 ) Ký hiu l MHV ( 0 ) V V V V0 V V0 Chng hn, biờn t ca doanh thu R theo sn... loi sn phm Trong iu kin cnh tranh hon ho thỡ giỏ bỏn do th trng quyt nh v khụng ph thuc vo mc sn lng ca DN Khi ú, tng doanh thu l R = PQ v hm li nhun l = R C Ta tỡm mc sn lng Q hm t cc i Toỏn cao c p C2 Cao ng v C = Q 2 + 200Q + 100 Chng 4 M t s bi toỏn Kinh t toỏ VD 1 Mt DN sn xut mt loi sn phm trong iu kin cnh tranh hon ho Bit giỏ ca sn phm trờn th trng l P = 130 (n v tin) v tng chi phớ sn... bit Bit hm cu ca tng th trng l QD = D1(P1 ), QD = D2 (P2 ) 1 2 v hm tng chi phớ sn xut l: C = C (Q1,Q2 ) = 480Q1 + 720Q2 + 400 Tỡm mc sn lng v giỏ bỏn tng ng m DN cn sn xut cú li nhun ti a ? Toỏn cao c p C2 Cao ng Chng 4 M t s bi toỏn Kinh t toỏ Chỳ ý 2 thỡ ta vn gii nh trờn vi Q = Q1 + Q2 VD 4 Mt doanh nghip sn xut c quyn hai loi sn phm Bit hm cu v hai loi sn phm ny l: QD = 1200 2P1 + P2 , QD =... , y ) = xy 400 Hm chi phớ: C (x , y ) = P1x + P2y = 10x + 40y L = 10x + 40y + (xy 400) L = 10 + y = 0 x = 40 x L = 40 + x = 0 y = 10 im dng: y L = xy 400 = 0 = 1 Toỏn cao c p C2 Cao ng Tuesday, December 07, 2010 Chng 4 M t s bi toỏn Kinh t toỏ VD 1 Mt ngi tiờu dựng dựng s tin l B = 178 mua sm 2 loi hng cú giỏ l P1 = 4, P2 = 6 Hm li ớch cho 2 loi hng l U = (x + 2)(y + 1) . Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C2 Cao đẳng 1 TO TO Á Á N CAO C N CAO C Ấ Ấ P C2 P C2 CAO Đ CAO Đ Ẳ Ẳ NG NG PHÂN PH PHÂN PH Ố Ố I CHƯƠNG TRÌNH I CHƯƠNG. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 2 (dùng cho SV Cao đẳng) – NXB Giáo dục. 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP. HCM. 4. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A3 –NXB ĐHQG TP y − = + là đẳng cấp bậc 0, 2 4 3 ( , ) 5 x xy f x y x y + = − là đẳng cấp bậc 1, 2 ( , ) 3 2 f x y x xy = − là đẳng cấp bậc 2. 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 a) Hàm đẳng cấp hai