Bài tập Hình học vi phân _ Giải tích 2

[r]

Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm

1

BÀI TẬP CHƯƠNG HÌNH HỌC VI PHÂN Dạng 1: Tính độ cong

 Trường hợp 1:  AB : y y x  Độ cong:

 

''

3

2 2

'

1 xx

x

y C

y



  

 

 

 Trường hợp 2:      

: x x t

AB

y y t

  



 Độ cong:    

'' ' '' '

3

2 2

' '

tt t tt t

t t

y x x y

C

x y

 

  

 

 

 Trường hợp 3:  AB :rr  Độ cong:  

 

2

'' '

3

2 2

2 '

r r r r

C

r r

 



 



  

 

 

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong  

     

:

x x t C y y t z z t

  

    

tại điểm t t0

+ Phương trình tiếp tuyến:  0  0  0

' ' '

0 0

x x y y z z

x t y t z t

    

+ Phương trình pháp diện:

        

' ' '

0 0 0 0

x t xx y t yy z t zz 

Dạng 3: Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong F x y z  , ,  0 điểm M0x y z0; 0; 0

+ Phương trình pháp tuyến:

 0  0  0

' ' '

0 0

x y z

x x y y z z

F M F M F M

  

 

+ Phương trình tiếp diện:

        

' ' '

0 0 0 0

x y z

Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm

2 BÀI TẬP

Bài 1: Tính độ cong đường: cos

.sin t t

x e t

y e t

   



 , điểm ứng với t

Cơng thức tính độ cong:

   

'' ' '' '

3

2 2

' '

tt t tt t

t t

y x x y

C

x y

 

  

 

 

 

 

   

   

'

'

''

''

.cos sin cos sin sin cos sin cos

cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos

t t t

t

t t t

t

t t t

tt

t t t

tt

x e t e t e t t

y e t e t e t t

x e t t e t t e t

y e t t e t t e t

    

 

   



       

  

    



   

   

 

    

'' ' '' ' 2

3 3

2 2 2 2

' '

cos cos sin sin sin cos 2. 1

2 2

cos sin sin cos

t t t t t

tt t tt t

t t

t t

t t

y x x y e t e t t e t e t t e

C

e e

x y e t t e t t

   

   

       

   

   

Bài 2: Tính độ cong

3

yx  x M 2;

Cơng thức tính độ cong:

 

''

3

2 2

'

1 xx

x

y C

y



  

 

 

   

' '

'' ''

3

6 12

y x y M

y x y M

    

 

  



3 3

2 2

12 12

82

C  

  

 

Bài 3: Tính độ cong ra1 cos  ; a0

Cơng thức tính độ cong:  

 

2

'' '

3

2 2

2 '

r r r r

C

r r

 



 



  

 

 

'

''

sin cos

r a

r a

 

    

Hướng dẫn Bài tập Giải tích 2_ Võ Thị Bích Trâm

3

   

   

 

2 2

'' ' 2 2 2 2

3

2 2 2 2 2 2

2 '

2 2 2 2 2

3

2 2 2 2

.cos cos sin cos

1 cos sin cos cos sin cos cos

2 cos cos sin

r r r r a a a

C

a a

r r

a a a a a a

a a a a

 



   

 

    

  

      

 

      

 

 

 

     



    

 

 

 

 

   

2 2 2

3

2 2 2

2 2 2

3 3

2 2 2 2 2

2 cos sin cos

2 cos

2 cos cos 3 1 cos 3

2 cos

2 cos cos cos

a a a a

a a a

a a a a a

a

a a a a

  



  



  

   



   

 

     

   



        

     

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường: x2sin ;t y2cos ;t zt

tại A0;2; 

Ứng với điểm A0;2; , ta có: t

 

 

 

' '

' '

' '

2 cos

2sin

1

t t

t t

t t

x t

x t

y t y t

z z t

  

   

 



 

    

 

    



 

Phương trình tiếp tuyến:

 0  0  0

' ' '

0 0

x x y y z z

x t y t z t

     2

2

2

1

x t

x y z

y t

z t





   

   

      

   



Phương trình pháp diện: 2x 0 0.y 2 1 z     0 2x z 

Bài 3: Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong   2

:

S z x y điểm M3; 4; 5

Đặt   2

, ,

F x y z z x y

     

' '

' '

' '

2

2

2 10

x x

y y

z z

F x F M

F y F M

F z F M

     

     



   



Phương trình pháp tuyến:

 0  0  0

' ' '

0 0

3

6 10

x y z

x x y y z z x y z

F M F M F M

     

    

 