Bài tập hình học vi phân

Phép tính vi phân Rn BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 1.1 Cho hàm f : R2 −→ R, (x, y) −→ sin x Dùng định nghĩa chứng minh Df (a, b) = α, với α xác định α(x, y) = (cos a)x Bài tập 1.2 Cho hàm f : Rn −→ R thỏa mãn điều kiện |f (x)| ≤ x Chứng minh f khả vi x = Df (0) = Bài tập 1.3 Cho hàm f : R2 −→ R xác định bởi: f (x, y) =    (x2 x|y| , + y )2  0 (x, y) = (0, 0) (x, y) = (0, 0) (a) Tính D1 f (0, 0) D2 f (0, 0) (b) Chứng minh f không khả vi (0, 0) Bài tập 1.4 Tìm đạo hàm ánh xạ sau: (a) f (x, y, z) = xy , x > (b) f (x, y, z) − (xy , x2 + z), x > (c) f (x, y) = sin(x sin y) (d) f (x, y) = (sin(xy), sin(x sin y), xy ), x > Bài tập 1.5 Sử dụng ví dụ f (x) =  x   + x2 sin ,  0 x x=0 x=0 Chứng tỏ điều kiện liên tục định lí hàm ngược bỏ Bài tập 1.6 Cho hàm g liên tục đường tròn đơn vị S1 thỏa mãn điều kiện   g(0, 1) = g(1, 0) =  g(−x) = −g(x) Bài tập chương Xét hàm f : R2 −→ R xác định bởi: f (x) =    x g  0, x x , x=0 x=0 với x ∈ R2 (a) Chứng minh với x ∈ R2 cố định cho trước, hàm số h : R −→ R, h(t) = f (t, x) khả vi R (b) Chứng minh f không khả vi (0, 0) trừ hàm g = Bài tập 1.7 Cho hàm f : R2 −→ R khả vi liên tục Chứng minh f đơn ánh Bài tập 1.8 Cho f : Rn −→ Rm , g : Rm −→ R khả vi lớp C ∞ Chứng minh (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ Bài tập 1.9 Cho L : Rn −→ Rm ánh xạ tuyến tính, chứng minh L liên tục, khả vi điểm x ∈ Rn Bài tập 1.10 Chứng minh phép tịnh tuyến phép vị tự Rn ánh xạ liên tục Bài tập 1.11 Cho U tập mở Rn f : U −→ Rm , m ≤ n ánh xạ thuộc lớp C Giả sử f đơn ánh f −1 : A −→ U , với A = f (U ) thuộc lớp C Chứng minh m nhỏ n (Đây định lý yếu Brouwer: Không tồn đồng từ tập mở U ⊂ Rn vào Rm với m < n) Bài tập 1.12 Cho f : Rn −→ Rn ánh xạ khả vi, qui Rn , chứng minh f ánh xạ mở Bài tập 1.13 Chứng minh điều kiện cần đủ để ánh xạ trơn F vi phôi từ W vào F (W ) F đơn ánh DF điểm kì dị W Bài tập 1.14 Chứng minh không tồn vi phôi từ tập mở Rn vào tập mở Rm m < n Lý thuyết đường BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 2.1 Hãy xác định vết đường tham số sau: (a) (Đường hình số 8), xác định c(t) = (sin t, sin 2t) (b) (Đường cubic), xác định c(t) = (t, t2 , t3 ) Bài tập 2.2 Tìm đường tham số α(t) mà vết đường tròn x2 + y = cho α(t) chạy quanh đường tròn chiều kim đồng hồ α(0) = (1, 0) Bài tập 2.3 Cho đường tròn tham số α(t) không qua gốc Giả sử α(t0 ) điểm vết gần với gốc tọa độ Hãy chứng minh vector α(t0 ) trực giao với vector α (t0 ) Bài tập 2.4 Giả sử α(t) đường tham số mà α (t) = với t Chúng ta kết luận α(t)? − Bài tập 2.5 Cho đường tham số α : I −→ R3 → v vector cố định Giả sử → − − α (t ) trực giao với v với t ∈ I α(0) trực giao với → v Chứng − minh với t ∈ I, α(t0 ) trực giao với → v Bài tập 2.6 Cho đường tham số α : I −→ R3 , với α (t) = 0, ∀t ∈ I Hãy chứng minh |α(t)| = a (a số khác không) α(t) trực giao α (t) với t ∈ I Bài tập 2.7 Vết đường tham số sau nằm mặt quen thuộc (a) c : t → at cos t , at sin t , a2 t2 (b) c : t → (sin 2t , − cos t , cos t) Bài tập 2.8 Hãy chứng minh tiếp tuyến đường tham số α (t) = t , t2 , t3 tạo góc không đổi với đường thẳng cố định y = 0; z = x Bài tập 2.9 Một đĩa tròn bán kính mặt phẳng Oxy lăn không trượt dọc theo trục Ox Khi điểm nằm biên đĩa vạch đường cong gọi đường Cycloid (Hình 2.0.1) (a) Hãy tìm tham số hoá đường Cycloid xác định điểm kỳ dị Bài tập chương Hình 2.0.1: Đường cycloid (b) Tính độ dài đường Cycloid (ứng với vòng quay đĩa) Bài tập 2.10 Tính độ dài đường tham số phẳng sau đoạn [A, B] (a) c : t → t , t2 (b) c : t → (t , ln t) t a (d) c : t → (a sin t , a (1 − cos t)) (c) c : t → t , cosh a>0 (e) c : t → a (ln tan 2t + cos t) , a sin t a > Bài tập 2.11 Tính độ dài đường tham số sau: t (a) c :→ a (t − sin t) , a (1 − cos t) , a cos , hai giao điểm đường với mặt phẳng y = 0; (b) c : t → cos3 t , sin3 t , cos2t vòng khép kín; (c) c : t → (a cosh t , a sinh t , at), khoảng [0, b]; Bài tập 2.12 Tính độ dài phần đường cong   x3 = 3a2 y  2xz = a2 hai mặt phẳng y = a/3 y = 9a, với a > Bài tập 2.13 Cho OA = 2a, a > đường kính đường tròn (S), hai đường Oy AV hai tiếp tuyến (S) O A Tia Or cắt đường tròn (S) C AV B Trên OB lấy điểm P cho OP = CB Nếu ta quay tia Or quanh điểm O điểm P vẽ nên đường cong gọi đường xixôit Diocles (cissoid of Diocles) Chọn OA làm trục hoành Oy trục tung Hãy Lý thuyết đường chứng minh (a) Vết đường α(t) = 2at2 2at3 , ,t ∈ R + t2 + t2 đường xixôit Diocles (t = tan θ xem Hình 2.0.2) Hình 2.0.2: Đường xixôit Diocles Hình 2.0.3: Đường Tractrix (cissoid of Diocles) (b) Gốc tọa độ O(0, 0) điểm kì dị đường xixôit (c) Khi t −→ ∞ đường cong dần đường thẳng x = 2a α (t) −→ (0, 2a) Do đó, t −→ ∞ đường cong tiếp tuyến dần đường thẳng x = 2a Ta gọi đường thẳng x = 2a đường tiệm cận (asymptote) đường xixôit Bài tập chương Bài tập 2.14 Cho α : (0 , π) → R2 xác định tham số α (t) = sin t , cos t + ln tan t (2.0.1) t góc trục Oy với vector α (t) Vết α gọi đường tractrix (Hình 2.0.3) Hãy chứng minh rằng: (a) α đường tham số khả vi, qui ngoại trừ t = π/2 (b) Khoảng cách từ tiếp điểm đến giao điểm tiếp tuyến với trục Oy Bài tập 2.15 Cho đường tham số α : (−1 , +∞) → R3 xác định : 3at2 3at , ) α(t) = ( + t3 + t3 (2.0.2) Chứng minh rằng: (a) Tại t = 0, α tiếp xúc với trục Ox (b) Khi t −→ ∞, α(t) → (0, 0) α (t) → (0, 0) (c) Lấy đường cong với hướng ngược lại Khi t → −1 Đường cong tiếp tuyến tiến tới đường thẳng x + y + a = Hợp đường vừa mô tả đường đối xứng qua đường thẳng y = x gọi Descartes (folium of Descartes) (Hình 2.0.4) Hình 2.0.4: Lá Descartes Lý thuyết đường Bài tập 2.16 Cho đường tham số α(t) = (aebt cos t, aebt sin t), t ∈ R a b số, a > 0, b < (a) Hãy chứng tỏ t → ∞, α(t) tiến dần tới gốc O xoắn quanh gốc O, vết (Hình 2.0.5) gọi đường xoắn logarithm (logarithmic Spiral) t (b) Hãy chứng tỏ α (t) → (0, 0) t → ∞ lim t→∞ t0 |α (t)|dt hữu hạn; nghĩa α có độ dài hữu hạn đoạn [t0 , ∞) Hình 2.0.5: Đường xoắn logarithm Bài tập 2.17 Cho α : I −→ R3 đường cong đơn, liên tục (thuộc lớp C ) Chúng ta nói α có tiếp tuyến yếu (weak tangent) t0 đường thẳng xác định α(t0 +h) α(t0 ) có vị trí tới hạn h → Chúng ta nói α có tiếp tuyến mạnh (strong tangent) t = t0 đường thẳng xác định α(t0 +h) α(t0 +k) có vị trí tới hạn h, k → Chứng tỏ rằng: (a) Đường tham số α(t) = (t3 , t2 ), t ∈ R, có tiếp tuyến yếu tiếp tuyến mạnh t = (b) Nếu đường tham số α : I −→ R3 thuộc lớp C qui t = t0 α có tiếp tuyến mạnh t = t0 Bài tập chương (c) Đường tham số α cho α(t) =   (t2 , t2 ) t ≥  (t2 , −t2 ) t ≤ thuộc lớp C không thuộc lớp C Hãy vẽ phác thảo đường cong véctơ tiếp xúc Bài tập 2.18 (Đoạn thẳng ngắn nhất) Cho c : I −→ R3 đường tham số, lấy [a, b] ⊂ I đặt α(a) = p, α(b) = q − − (a) Hãy chứng tỏ với véc tơ hằng, đơn vị → v (|→ v | = 1), ta có b − (q − p).→ v = b − α (t).→ v dt ≤ a |α (t)|dt a p−q − (b) Đặt → v = chứng minh |p − q| b |α(b) − α(a)| ≤ |α (t)|dt a Có nghĩa cung có độ dài ngắn nối p q đoạn thẳng Bài tập 2.19 Chứng minh đường tham số qui phẳng với tham số độ dài cung có độ cong k = const > vết đường tròn (hoặc phần đường tròn) Bài tập 2.20 Xác định trường mục tiêu Frenet tìm độ cong, độ xoắn điểm tuỳ ý đường tham số sau: (a) c(t) = (t2 , − t, t3 ) (b) c(t) = (a cosh t, a sin t, at) √ (c) c(t) = (et , e−t , 2t) (d) c(t) = (cos3 t, sin3 t, cos 2t) (e) c(t) = (2t, ln t, t2 ) Bài tập 2.21 Cho đường tham số s s s α(s) = a cos , a sin , b , s ∈ R c c c Lý thuyết đường với c2 = a2 + b2 (a) Chứng minh tham số s độ dài cung (b) Xác định hàm độ cong độ xoắn α(s) (c) Xác định mặt phẳng mật tiếp α(s) (d) Chứng minh đường pháp tuyến n(s) qua α(s) cắt trục Oz theo góc π/2 (e) Chứng minh tiếp tuyến α tạo với trục Oz góc không đổi Bài tập 2.22 Tìm điểm đường tham số c(t) = a(t − sin t), a(1 − t cos t), 4a cos , t ∈ R, mà bán kính cong đạt cực trị địa phương Bài tập 2.23 Chứng minh mặt phẳng pháp diện đường tham số song qui R3 điểm chứa vector cố định cung cho đường phẳng Bài tập 2.24 (a) Một đường tham số quy liên thông phẳng c(t) có tính chất tiếp tuyến qua điểm cố định Chứng minh vết α đường thẳng đoạn đường thẳng (b) Chứng minh vector trùng pháp đường tham số song qui R3 điểm vector cố định cung cho đường phẳng Bài tập 2.25 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc, mặt phẳng pháp mặt phẳng mật tiếp đường cong c(t) = (t3 − t−3 − 1, t2 , t−2 − t) điểm c(2) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc, mặt phẳng pháp mặt phẳng mật tiếp đường cong c(t) = (t2 − t−3 − 1, t2 + t, t−2 − t) điểm 25 , 2, Bài tập 2.26 Cho đường tham số (helix) c(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, b = 10 Bài tập chương (a) Hãy viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng trực đạc điểm tuỳ ý (b) Chứng minh tiếp tuyến nghiêng góc không đổi với mặt phẳng z = 0, pháp tuyến cắt trục Oz Bài tập 2.27 Chứng tỏ đưa đường tham số c : a, b −→ Rn , với a, b ∈ R, đường tham số tương đương α : 0, −→ Rn Bài tập 2.28 Cho c : I → R3 , t → (t, f (t), g(t)), với f (t), g(t) hàm trơn, đường tham số (a) Chứng minh c đường tham số qui (b) Tìm vector tiếp xúc c trường hợp f (t) = sin t + t2 g(t) = et (1 − t3 ) Bài tập 2.29 (điều kiện cần đủ để đường tham số nằm mặt cầu) Giả sử α đường cong có τ = k = Chứng minh điều kiện cần đủ để vết α nằm mặt cầu R2 + (R )2 T = const R = 1/k, T = 1/τ R đạo hàm R theo s Bài tập 2.30 (điều kiện cần đủ để đường tham số nằm mặt cầu) Cho α : I −→ R3 là đường tham số song qui với tham số độ dài cung Giả sử τ = k > (a) Chứng minh C = c(I) nằm mặt cầu a, bán kính r 1 c − a = − n − k k / b τ 1 /1 Từ suy r = + k k τ2 1 /1 (b) Ngược lại, + = const > C = c(I) nằm k k τ mặt cầu Bài tập 2.31 Chứng tỏ đường tham số hóa sau không tương đương 20 Bài tập chương Hình 3.0.3: qp, F (p) = l ∩ H (3.0.3) Chứng minh F ánh xạ khả vi Bài tập 3.23 Cho C đường cong phẳng nằm phía đường thẳng r cắt r hai điểm p, q với điều kiện C mặt sinh mặt tròn xoay mở rộng Bài tập 3.24 Chứng minh phép quay mặt tròn xoay S quanh trục vi phôi mặt S Bài tập 3.25 Mặt tham số hóa thường xem mặt qui trừ hữu hạn điểm hữu hạn đường thẳng Xét C vết đường tham số qui α : (a, b) −→ R3 mà không qua gốc tọa độ O Cho mặt sinh tia Op với p điểm chuyển động C (Hình 3.0.4) (a) Tìm tham số hóa mặt X mà vết (b) Xác định điểm không qui (c) Chúng ta nên loại khỏi điểm để thu mặt qui? Bài tập 3.26 Chứng minh định nghĩa hàm khả vi f : V ⊂ S −→ R, với S mặt qui tương đương với định nghĩa: hàm f khả vi p thu hẹp ánh xạ khả vi lên tập V chứa p Bài tập 3.27 Cho A ⊂ S tập mặt qui S Chứng minh A mặt qui A tập mở S Nghĩa 21 Lý thuyết mặt Hình 3.0.4: A = U ∩ S với U tập mở R3 Bài tập 3.28 Ta đồng R2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = −1} với tập số phức C tương ứng (x, y, −1) → x + iy Cho P : C −→ C ánh xạ xác định P (ξ) = an ξ n + an−1 ξ n−1 + · · · + a0 , a0 , ∈ C, ∀i = 1, 2, , n Kí hiệu πN phép chiếu mặt cầu đơn vị S2 từ cực bắc N = (0, 0, 1) lên mặt phẳng R2 Chứng minh ánh xạ −1 F (p) = πN ◦ P ◦ πn (p), p ∈ S2 \ {N } F (N ) = N hàm khả vi Bài tập 3.29 Chứng tỏ phương trình mặt phẳng tiếp xúc điểm p = (x0 , y0 , z0 ) mặt qui cho phương trình f (x, y, z) = với giá trị qui f có dạng fx (p)(x − x0 ) + fy (p)(y − y0 ) + fz (p)(z − z0 ) = Bài tập 3.30 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt x2 +y −z = điểm (x, y, 0) chứng minh chúng song song với trục Oz 22 Bài tập chương Bài tập 3.31 Cho mặt qui S đồ thị hàm z = f (x, y) (a) Chứng tỏ phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt điểm p = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) cho z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) (b) Xem lại định nghĩa đạo hàm Df hàm f : R2 −→ R chứng tỏ mặt phẳng tiếp xúc đồ thị đạo hàm Dfq , với q = (x0 , y0 ) Bài tập 3.32 Chứng minh mặt phẳng tiếp xúc mặt cho z = xf (y/x), x = 0, với f hàm khả vi, qua gốc tọa độ Bài tập 3.33 Giả sử lân cận tọa độ mặt qui có tham số hóa dạng X(u, v) = α(u) + β(v) với α β đường tham số qui Hãy chứng tỏ mặt phẳng tiếp xúc dọc đường tọa độ lân cận song song với đường thẳng Bài tập 3.34 Cho α : I −→ R3 đường tham số qui với độ cong k = Xét mặt tiếp xúc α X(u, v) = α(u) + vα (u); u ∈ I, v = Chứng minh mặt phẳng tiếp xúc dọc theo đường cong X(const, v) trùng Bài tập 3.35 Cho f : S −→ R cho f (p) = |p − p0 |2 , với p ∈ S p0 điểm cố định R3 Chứng tỏ Dfp (v) = 2v(p − p0 ), với v ∈ Tp S Bài tập 3.36 Chứng minh L : R3 −→ R3 ánh xạ tuyến tính S ⊂ R3 mặt qui bất biến L, tức L(S) ⊂ S Khi L|S ánh xạ khả vi DLp (v) = L(v), với p ∈ S, v ∈ Tp S Bài tập 3.37 Chứng minh mặt tham số X(u, v) = (v cos u, v sin u, au), a = 23 Lý thuyết mặt mặt qui Tính pháp vector N (u, v) xác định mặt phẳng tiếp xúc X dọc đường thẳng u = u0 Bài tập 3.38 Cho α : I −→ R3 đường tham số có độ cong khác với tham số độ dài cung Xét X(s, v) = α(s) + r(n(s) cos v + b(s) sin v), r = const, s ∈ I mặt tham số hóa (ống bán kính r dọc đường α), với n pháp tuyến b trùng pháp tuyến α Chứng tỏ X qui, pháp vector N (s, v) = − n(s) cos v + b(s) sin v Bài tập 3.39 Chứng tỏ pháp tuyến mặt xác định tham số hóa X(u, v) = f (u) cos v, f (u) sin v, g(u) ; f (u) = 0, g(u) = 0, qua trục Oz Bài tập 3.40 Chứng tỏ phương trình sau x2 + y + z = ax, x2 + y + z = by, x2 + y + z = cz; xác định mặt qui chúng trực giao với Bài tập 3.41 Một điểm tới hạn hàm khả vi f : S −→ R xác định mặt qui S điểm p ∈ S cho Dfp = (a) Chof : S −→ R xác định f (p) = |p − p0 |, p ∈ S, p0 ∈ S Chứng tỏ p điểm tới hạn f đường thẳng nối p với p0 trực giao với S p (b) Cho h : S −→ R xác định h(p) = p.v với v ∈ R3 vector đơn vị Chứng tỏ p ∈ S điểm tới hạn f v vector pháp S p Bài tập 3.42 Cho Q hợp ba mặt phẳng tọa độ x = 0, y = 0, z = Lấy p = (x, y, z) ∈ R3 \ Q 24 Bài tập chương (a) Chứng minh phương trình theo t y2 z2 x2 + + = f (t) = 1, a > b > c > a−t b−t c−t có nghiệm thực phân biệt t1 , t2 , t3 (b) Chứng minh với p ∈ R3 \ Q, tập f (t1 ) − = 0, f (t2 ) − = 0, f (t3 ) − = mặt qui, đôi trực giao với Bài tập 3.43 Chứng minh vector pháp tuyến mặt qui liên thông S qua điểm cố định nằm mặt cầu Bài tập 3.44 Hai mặt qui S1 S2 gọi giao ngang với p ∈ S1 ∩ S2 Tp S1 = Tp S2 Chứng minh S1 S2 có giao ngang S1 ∩ S2 đường cong qui Bài tập 3.45 Chứng minh mặt phẳng P cắt mặt qui S điểm mặt phẳng mặt tiếp S Bài tập 3.46 Cho w vector tiếp xúc S p ∈ S X(u, v), X(u, u) hai tham số hóa địa phương S p Giả sử ta có biểu diễn w hai hệ tọa độ địa phương tương ứng w = α1 Xu + α2 Xv w = β1 X u + β2 X v Chứng minh tọa độ địa phương w có quan hệ ∂u ∂u + α2 ∂u ∂v ∂v ∂v β2 = α1 + α2 ∂u ∂v β1 = α1 với u = u(u, v) v = v(u, v) biểu thức phép đổi tọa độ Bài tập 3.47 Cho S ⊂ R3 mặt qui P mặt phẳng R3 Nếu tất điểm S nằm phía P Chứng minh P mặt phẳng tiếp xúc S điểm S ∩ P Bài tập 3.48 Chứng minh phép trực giao từ tâm O(0, 0, 0) ellipsoid x2 y z + + =1 a2 b2 c Lý thuyết mặt 25 lên mặt phẳng tiếp xúc tạo nên mặt qui {(x, y, z) ∈ R3 : (x2 + xy + z )2 = a2 x2 + b2 y + c2 z \ {(0, 0, 0)} Bài tập 3.49 Cho f : S −→ R hàm khả vi mặt qui liên thông S Giả sử Dfp = với p ∈ S, chứng minh f hàm S Bài tập 3.50 Chứng minh tất pháp tuyến mặt qui liên thông S cắt đường thẳng cố định S mặt tròn xoay Bài tập 3.51 Chứng minh ϕ : S1 −→ S2 ψ : S2 −→ S3 hàm khả vi p ∈ S ta có D(ψ ◦ ϕ)p = Dψϕ(p) ◦ Dϕp Bài tập 3.52 Chứng minh C1 C2 hai đường cong qui nằm mặt S, tiếp xúc p ϕ : S −→ S ánh xạ khả vi p ϕ(C1 ) ϕ(C2 ) hai đường cong qui tiếp xúc ϕ(p) Bài tập 3.53 Cho S đồ thị hàm z = f (x, y) p ∈ S, chứng minh chọn hệ trục tọa độ cho mặt phẳng tiếp xúc S p mặt phẳng Oxy Bài tập 3.54 (a) Định nghĩa giá trị qui hàm khả vi f : S −→ R mặt qui S (b) Chứng minh nghịch ảnh giá trị qui hàm khả vi mặt qui S đường cong qui S Bài tập 3.55 Xác định dạng thứ mặt tham số qui (a) X(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u) ellipsoid (b) X(u, v) = (au cos v, au sin v, u2 ) elliptic paraboloid (c) X(u, v) = (au cosh v, bu sinh v, u2 ) hyperbolic paraboloid (d) X(u, v) = (a sinh u cos v, a sinh u sin v, c cosh u) hyperboloid hai tầng Bài tập 3.56 Tìm dạng thứ mặt cầu đơn vị S2 theo tham số hóa phép chiếu cầu từ S2 lên mặt phẳng R2 26 Bài tập chương Bài tập 3.57 Cho tham số hóa mặt qui (S) X(u, v) = (u cos v, u sin v, ln cos v + u), −π/2 < v < π/2 Chứng tỏ hai đường cong X(u1 , v), X(u2 , v) xác định đoạn thẳng có độ dài tất đường tham số X(u, const) Bài tập 3.58 Chứng tỏ diện tích A miền bị chặn R mặt z = f (x, y) A= Ω + fx2 + fy2 dxdy Ω hình chiếu trực giao R lên mặt phẳng Oxy Bài tập 3.59 Chứng minh tìm tham số hóa mặt tròn xoay cho E = E(v), F = 0, G = Bài tập 3.60 Cho P = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} mặt phẳng Oxy, chọn tham số X : U −→ P cho X(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0) U = {(ρ, θ) ∈ R2 : ρ > 0, < θ < 2π} Xác định dạng thứ P theo tham số hóa Bài tập 3.61 Trong R3 với mục tiêu trực chuẩn, cho parabol (P ) : z = 3x2 (a) Viết phương trình mặt tròn xoay (S) sinh (P ) quay quanh trục Oz (b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc S điểm tùy ý (c) Tìm hệ số dạng thứ thứ hai (S) (d) Xác định độ cong Gauss độ cong trung bình (S) (e) Tìm độ cong phương (S) 27 Lý thuyết mặt Bài tập 3.62 Xác định điểm hyperbolic, eliptic, parabolic, umbulic (rốn) mặt xuyến Bài tập 3.63 Cho (S) mặt qui có tham số hóa dạng X(u, v) = (u sin v, u cos v, u + v) (a) Xác định độ cong trung bình độ cong Gauss (S) (b) Tìm độ cong phương (S) điểm X(0, 0) Bài tập 3.64 Giả sử C đường sinh mặt tròn xoay S s tham số hóa độ dài cung C kí hiệu ρ = ρ(s) khoảng cách từ trục quay đến điểm C tương ứng với s l (a) (Định lý Pappus) Chứng minh diện tích S 2π ρ(s)ds với l độ dài đường cong C (b) Áp dụng kết để tính diện tích mặt xuyến tròn xoay Bài tập 3.65 Chứng minh diện tích mặt ống qui bán kính r quanh đường cong α 2πr lần chiều α Bài tập 3.66 Chứng minh X(u, v) = (u sin α cos v, u sin α sin v, u cos α), < u < ∞, < V < 2π, α = const tham số hóa mặt nón với gốc đỉnh 2α, hệ tọa độ địa phương tương ứng, chứng minh đường cong X(cesin α cot β , v), c = const, β = const, tạo với đường sinh mặt nón (v = const) góc Bài tập 3.67 (Helicoid tổng quát) Cho C đường cong qui, không cắt trục e mặt phẳng P Với điểm M thuộc C tạo nên đường tròn đường xoắn ốc Tập S sinh đường cong C gọi helicoid tổng quát với trục e đường sinh C Chọn hệ trục tọa độ cho trục e trục Oz C nằm mặt phẳng Oyz 28 Bài tập chương (a) Nếu f (s), g(s) tham số hóa độ dài cung C, a < s < b, f (s) > X : U −→ R3 với U = {(s, u) ∈ R2 : a < s < b, < u < 2π} X(s, u) = f (s) cos u, f (s) sin u, g(s) + cu , c = const tham số hóa S Từ suy S mặt qui (b) Các đường tọa độ tham số hóa trực giao với X(U ) mặt tròn xoay helicoid tắc Bài tập 3.68 Cho S1 , S2 hai mặt qui định hướng S1 ∩ S2 liên thông Chứng minh S = S1 ∪ S2 mặt qui S định hướng Bài tập 3.69 Cho S mặt qui phủ hai hệ tọa độ địa phương V1 , V2 Giả sử V1 ∩ V2 có hai thành phần liên thông W1 , W2 định thức Jacobi phép đổi tọa độ dương W1 âm W2 Chứng minh S không định hướng Bài tập 3.70 Cho S2 mặt qui định hướng ϕ : S1 −→ S2 ánh xạ khả vi, đồng phôi địa phương p ∈ S1 Chứng minh S1 mặt định hướng Bài tập 3.71 Cho f : S1 −→ S2 vi phôi Chứng minh S1 định hướng S2 định hướng Bài tập 3.72 Chứng minh mặt qui S chứa tập mở vi phôi với dãy M¨obius không định hướng Bài tập 3.73 Chứng minh mặt qui tiếp xúc với mặt phẳng α dọc theo đường cong điểm đường cong điểm paraboliod điểm phẳng Bài tập 3.74 Chứng tỏ điểm hyperboliod phương phân giác đường tiệm cận Bài tập 3.75 Cho C đường cong qui nằm mặt S với độ cong Gauss K > Chứng minh độ cong k C điểm p thỏa mãn k ≥ min{|k1 |, |k2 |} 29 Lý thuyết mặt với k1 k2 độ cong S p Bài tập 3.76 Giả sử mặt qui S có tính chất |k1 | ≤ |k2 | ≤ điểm p ∈ S Khi đó, kết luận độ cong k đường cong mặt S thỏa mãn |k| ≤ không? Bài tập 3.77 Chứng minh độ cong trung bình H điểm p ∈ S cho đẳng thức H= π π kn (θ)dθ, − với kn (θ) độ cong pháp dạng p theo phương → v mà tạo thành với phương cố định góc θ Bài tập 3.78 Chứng minh tổng độ cong pháp dạng theo hai phương trực giao với nhau, điểm p, số Bài tập 3.79 Chứng minh điểm có độ cong K = điểm phẳng có hai phương trực giao với Bài tập 3.80 Mô tả miền mặt cầu đơn vị phủ ảnh ánh xạ Gauss mặt sau đây: (a) Paraboloid tròn xoay z = x2 + y (b) Hyperboloid 1-tầng tròn xoay x2 + y − z = (c) Catenoid x2 + y = cosh z Bài tập 3.81 Chứng minh (a) Ảnh N ◦ α ánh xạ Gauss N : S −→ S2 đường cong tham số qui α : I −→ S mà không chứa điểm phẳng điểm parabolic đường cong qui mặt cầu S2 (gọi ảnh cầu α) (b) Nếu C = α(I) đường độ cong k độ cong p, ta có k = |kn kN | với kn độ cong pháp p dọc theo đường tiếp tuyến C kN độ cong ảnh cầu N (C) ⊂ S2 N (p) Bài tập 3.82 Giả sử mặt phẳng mật tiếp đường cong C ⊂ S, vector tiếp xúc vector phương tiệm cận, tạo với mặt phẳng tiếp xúc 30 Bài tập chương dọc theo C góc Chứng minh C đường cong phẳng Bài tập 3.83 Cho p điểm hyperbolic mặt S, r phương nằm mặt phẳng tiếp xúc Tp S Mô tả minh họa cách dựng tia r liên hợp với phương r đồ Dupin Bài tập 3.84 Chứng minh S1 giao S2 theo đường cong qui C, độ cong k C p cho biểu thức k sin2 θ = λ21 + λ22 − 2λ1 λ2 cos θ, vơi λ1 , λ2 tương ứng hai độ cong pháp dạng p, dọc theo đường cong C, hai mặt S1 , S2 θ góc hai pháp vector S1 S2 p Bài tập 3.85 Chứng minh đường kinh tuyến trung tâm mặt xuyến đường Bài tập 3.86 Chứng minh H ≡ S điểm phẳng ánh xạ Gauss N có tính chất DNp (w1 ), DNp (w2 ) = −K(p) w1 , w2 với điểm p ∈ S với w1 , w2 ∈ Tp S Bài tập 3.87 Chứng tỏ điểm gốc O(0, 0, 0) mặt yên ngựa (hyperbolic paraboloid) z = axy độ cong Gauss K = −a2 , độ cong trung bình H = Bài tập 3.88 Xác định đường tiệm cận đường khúc mặt z = xy Bài tập 3.89 Xác định đường tiệm cận đường khúc mặt helicoid có tham số hóa X(u, v) = (v cos u, v sin u, cu) độ cong trung bình Bài tập 3.90 Xác định đường tiệm cận Catenoid X(u, v) = (cosh v sin u, cosh v cos u, v) 31 Lý thuyết mặt Bài tập 3.91 Cho tham số hóa mặt Enneper X(u, v) = u − u3 v3 + uv , v − + u2 v, u2 − v 3 (a) Hãy tính hệ số dạng thứ thứ hai (b) Tính độ cong Từ suy mặt Enneper mặt cực tiểu (c) Các đường khúc đường tọa độ (d) Các đường đường tiệm cận đường u + v = const u − v = const Bài tập 3.92 (Mặt giả cầu (pseudosphere), K ≡ −1) (a) Xác định phương trình đường cong C thỏa điều kiện: khoảng cách tiếp tuyến của đến đường thẳng cố định r không cắt C (b) Quay đường tractrix quanh trục Oz ta nhận mặt tròn xoay gọi mặt giả cầu (Hình 3.0.5) Hãy xác định tham số hóa mặt giá cầu lân cận điểm qui (c) Chứng minh độ cong Gauss mặt giả cầu điểm qui −1 Hình 3.0.5: 32 Bài tập chương Bài tập 3.93 Cho S mặt tròn xoay xác định tham số hóa X(u, v) = (f (v) sin u, f (v) cos u, g(v)) có độ cong Gauss K số (f )2 + (g )2 = Chứng minh (a) f thỏa điều kiện f + Kf = g cho g = − (f )2 dv miền v cho tích phân xác định (b) Các mặt tròn xoay có độ cong Gauss K = mà trực giao với mặt phẳng xOy xác định v f (v) = C cos v, g(v) = − C sin2 vdv, với C số (c) Xác định mặt tròn xoay có độ cong Gauss −1 (d) Chỉ có mặt trụ đứng qui, nón tròn mặt phẳng có hàm độ cong Gauss Bài tập 3.94 Xác định đường độ cong (đường chính) mặt giả cầu Bài tập 3.95 Chỉ mặt compact, có điểm elliptic Bài tập 3.96 Định nghĩa độ cong Gauss mặt không định hướng được? Có thể định nghĩa độ cong trung bình mặt không định hướng hay không? Bài tập 3.97 Xác định điểm rốn ellipsoid x2 y z + + = a2 b2 c Bài tập 3.98 Cho S mặt qui với định hướng N , lấy V ⊂ S tập S, f : V −→ R hàm khả vi, khác không điểm V , chọn v1 , v2 hai trường vector tiếp xúc, khả vi, trực giao v1 ∧ v2 = N điểm V (a) Chứng minh độ cong Gauss S V cho biểu thức K= D(f N )(v1 ) ∧ D(f N )(v2 ), f N f3 Ý nghĩa biểu thức chọn hàm f cách khéo léo tính độ cong Gauss cách đơn giản Câu b) ví dụ 33 Lý thuyết mặt minh họa (b) Áp dụng kết để thu hẹp hàm f f= x2 y z + + a4 b4 c lên ellipsoid x2 y z + + = a2 b2 c ta có độ cong Gauss ellipsoid K = 1 a2 b2 c2 f Bài tập 3.99 Chứng minh Helicoid mặt kẻ, đường thắt trục Oz đường tham số hóa phân bố Bài tập 3.100 Chứng minh hyperboloid x2 + y − z = 1, đường vĩ tuyến có bán kính nhỏ đường thắt, tạo với đường kẻ, đường tham số phân bố góc Bài tập 3.101 Cho α đường cong qui mặt S, xét mặt kẻ sinh họ tham số {α(t), N (t)}, với N (t) pháp vector mặt S α(t) Chứng minh α(I) ⊂ S đường cong mặt kẻ thu mặt khả triển Bài tập 3.102 Một mặt conoid mặt kẻ mà đường kẻ Lt trực giao với đường r mà không cắt đường mức α : I −→ R3 (a) Hãy xác định tham số hóa cho mặt conoid đứng xác định điều kiện để mặt kẻ thu không trụ (b) Cho ví dụ mặt kẻ conoid đứng, đường thắt tham số hóa phân bố Bài tập 3.103 Cho X(t, v) = α(t) + vβ(t) mặt kẻ khả triển Chứng minh điểm qui có Nv , Xv = Nv , Xt = Từ rút kết luận: mặt phẳng tiếp xúc mặt kẻ khả triển dọc theo đường kẻ cố định 34 Bài tập chương Bài tập 3.104 Chứng minh tồn mặt cực tiểu không compact Bài tập 3.105 Cho S mặt qui điểm rốn, chứng minh S mặt cực tiểu ánh xạ Gauss thỏa điều kiện, với điểmp ∈ S vector w1 , w2 ∈ Tp S, ta có DNp (w1 ), DNp (w2 ) = λ(p) w1 , w2 với λ(p) số khác phụ thuộc vào p Bài tập 3.106 Cho X, Y hai tham số hóa hai mặt cực tiểu S S , hàm thành phần chúng đôi liên hiệp điều hòa với ta nói X, Y mặt cực tiểu liên hợp với Chứng minh (a) Helicoid Catenoid hai mặt cực tiểu liên hợp với (b) Nếu X, Y hai mặt cực tiểu liên hợp với mặt có tham số hóa Z = cos tX + sin tY mặt cực tiểu [...]... R2 Bài tập 3.18 Xây dựng một vi phôi từ ellipsoid (E) : x2 y 2 z 2 + + 2 =1 a2 b2 c vào mặt cầu đơn vị S2 Bài tập 3.19 Cho S là một mặt chính qui, d là hàm khoảng cách từ điểm p ∈ S đến điểm cố định p0 ∈ / S, nghĩa là d : S −→ R+ , p −→ |p − p0 | Chứng minh rằng hàm f khả vi Bài tập 3.20 Chứng minh rằng định nghĩa ánh xạ khả vi giữa hai mặt chính qui không phụ thuộc vào vi c chọn tham số Bài tập. .. minh rằng tập C = {(x, y) ∈ R2 : x2 = y 3 } không phải là một đường cong chính qui Bài tập 3.15 Cho S2 là mặt cầu đơn vị trong không gian R3 Chứng minh rằng ánh xạ A : S2 −→ S2 , (x, y, z) −→ (−x, −y, −z) là một vi phôi Bài tập 3.16 Cho S là một mặt chính qui π : S −→ R2 biến mỗi điểm p thành hình chiếu trực giao của nó lên mặt phẳng R2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} Ánh xạ π có khả vi không? Bài tập 3.17... của đường cong α 16 Bài tập chương 3 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài tập 3.1 Chứng minh rằng mặt trụ C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1} là một mặt chính qui và hãy tìm họ các bản đồ mà các lân cận tọa độ phủ nó Bài tập 3.2 Tập {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, x2 + y 2 ≤ 1} có phải là mặt chính qui không? Tập {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, x2 +y 2 < 1} có phải là mặt chính qui không? Bài tập 3.3 Cho f (x, y, z) = x2 Chứng... C (Hình 3.0.4) (a) Tìm tham số hóa của mặt X mà vết của nó là (b) Xác định các điểm không chính qui trên (c) Chúng ta nên loại khỏi những điểm nào để thu được một mặt chính qui? Bài tập 3.26 Chứng minh rằng định nghĩa hàm khả vi f : V ⊂ S −→ R, với S là mặt chính qui tương đương với định nghĩa: hàm f khả vi tại p nó là thu hẹp của một ánh xạ khả vi lên tập V chứa p Bài tập 3.27 Cho A ⊂ S là một tập. .. không định hướng được Bài tập 3.70 Cho S2 là một mặt chính qui định hướng được và ϕ : S1 −→ S2 là một ánh xạ khả vi, đồng phôi địa phương tại mọi p ∈ S1 Chứng minh rằng S1 là một mặt định hướng được Bài tập 3.71 Cho f : S1 −→ S2 là một vi phôi Chứng minh rằng S1 định hướng được khi và chỉ khi S2 cũng định hướng được Bài tập 3.72 Chứng minh rằng nếu mặt chính qui S chứa một tập mở vi phôi với dãy M¨obius... hàm độ cong Gauss bằng 0 Bài tập 3.94 Xác định các đường độ cong (đường chính) của mặt giả cầu Bài tập 3.95 Chỉ ra một mặt compact, có điểm elliptic Bài tập 3.96 Định nghĩa độ cong Gauss của mặt không định hướng được? Có thể định nghĩa độ cong trung bình của mặt không định hướng được hay không? Bài tập 3.97 Xác định các điểm rốn của ellipsoid x2 y 2 z 2 + + 2 = 1 a2 b2 c Bài tập 3.98 Cho S là một mặt... (u cosh v, u sinh v, u2 ), (u, v) ∈ R2 , u = 0 17 Lý thuyết mặt Bài tập 3.9 Tìm một tham số hóa của hyperbolic hai tầng x2 + y 2 − z 2 = −1 Bài tập 3.10 Cho C là một hình số "8" trong mặt phẳng Oxy và S là một mặt trụ đứng trên C (Hình 3.0.1); nghĩa là Hình 3.0.1: S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ C} S có phải là mặt chính qui không? Bài tập 3.11 Chứng minh rằng X : U ⊂ R2 −→ R3 được cho bởi X(u, v) =... qui (c) Cùng câu hỏi tương tự cho hàm (x, y, z) = xyz 2 Bài tập 3.6 Cho X : U ⊂ R2 −→ R3 là một mặt chính qui Chứng minh rằng X là đơn ánh khi và chỉ khi {Xu , Xv } độc lập tuyến tính Bài tập 3.7 Cho V là một tập mở trong mặt phẳng Oxy Chứng minh rằng tập S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, (x, y) ∈ V } là một mặt chính qui Bài tập 3.8 Chứng minh rằng tập S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y 2 } là một mặt chính... bao một miền có diện tích bằng 3 cm2 14 Bài tập chương 2 Bài tập 2.50 Cho AB là một đoạn thẳng và l là số thực dương, lớn hơn độ dài của đoạn thẳng AB Chứng minh rằng đường cong c nối hai điểm A và B, có chiều dài bằng l, và cùng với đoạn thẳng AB bao một miền có diện tích lớn nhất là một cung của đường tròn qua hai điểm A và B (Hình 2.0.6) Hình 2.0.6: Bài tập 2.51 Cho α(s), s ∈ I là một đường cong... \ {(0, 0, 0)} Bài tập 3.49 Cho f : S −→ R là một hàm khả vi trên mặt chính qui liên thông S Giả sử rằng Dfp = 0 với mọi p ∈ S, chứng minh rằng f là hàm hằng trên S Bài tập 3.50 Chứng minh rằng nếu tất cả các pháp tuyến của mặt chính qui liên thông S luôn cắt một đường thẳng cố định thì S là một mặt tròn xoay Bài tập 3.51 Chứng minh rằng nếu ϕ : S1 −→ S2 và ψ : S2 −→ S3 là các hàm khả vi và p ∈ S thì ... f khả vi p thu hẹp ánh xạ khả vi lên tập V chứa p Bài tập 3.27 Cho A ⊂ S tập mặt qui S Chứng minh A mặt qui A tập mở S Nghĩa 21 Lý thuyết mặt Hình 3.0.4: A = U ∩ S với U tập mở R3 Bài tập 3.28... f khả vi Bài tập 3.20 Chứng minh định nghĩa ánh xạ khả vi hai mặt qui không phụ thuộc vào vi c chọn tham số Bài tập 3.21 Chứng minh quan hệ đồng phôi quan hệ tương đương tập mặt qui Bài tập 3.22... điểm kì dị W Bài tập 1.14 Chứng minh không tồn vi phôi từ tập mở Rn vào tập mở Rm m < n 3 Lý thuyết đường BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 2.1 Hãy xác định vết đường tham số sau: (a) (Đường hình số 8),