Viết phương trình đường tròn tâm F tiếp xúc với d.. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M723 ;3 và có chung các tiêu điểm với hypebol đã cho.. Lập phương trình chính tắc của
Trang 1Trường THPT Nguyễn Hữu Huân
Vũ Mạnh Hùng
Bài Tập
10
CƠ BẢN - NÂNG CAO
Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳñ
- 2006
Trang 3-24- Vũ Mạnh Hùng
<86> Cho điểm F(3;0) và đường thẳng (d): 3x – 4y + 16 = 0
¬ Viết phương trình đường tròn tâm F tiếp xúc với (d)
− Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm F Chứng
minh rằng (P) tiếp xúc với (d) Tìm toạ độ tiếp điểm
<87> Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 1 Chứng minh rằng
khi m thay đổi, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích tâm
đường tròn ngoại tiếp ΔOAB khi m thay đổi.
<88> Cho elip (E): 4x2 + 16y2 = 64 và đường tròn (C): x2 + y2 + 43x – 4 = 0
¬ M là 1 điểm bất kì trên (E), chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M đến
tiêu điểm F2 và tới đường thẳng x = 8:3 có giá trị không đổi
− Xét đường tròn (C) di động nhưng luôn đi qua F2 và tiếp xúc ngoài với
(C) Chứng tỏ rằng các tâm N của (C) nằm trên một hypebol cố định Viết
phương trình hypebol đó
<89> Cho hypebol có phương trình 4x2 – 9y2 = 36
¬ Xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm và tâm sai của hypebol
− Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M(723 ;3) và có chung
các tiêu điểm với hypebol đã cho
<90> Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36
¬ Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết rằng nó có chung hình
chữ nhật cơ sở với (E)
− Viết phương trình chính tắc của parabol (P) nhận tiêu điểm F1 của (E)
làm tiêu điểm
® Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác nội tiếp trong (E)
<91> Cho elip (E): x2 y2
100+64 = 1
¬ Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai tiêu điểm trùng với
hai đỉnh của (E) và có tâm sai e =
− Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với (H)
<92> Cho elip (E): x2 2
y
4 + = 1 và điểm A(–2;0) Giả sử M là điểm di động trên (E) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy Giả sử AH cắt OM
tại P Chứng minh rằng khi M thay đổi trên (E) thì P luôn luôn chạy trên 1
đường cong (C) cố định Vẽ đồ thị đường cong (C)
,
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Vectơ & Toạ độ
‚ Tọa độ của điểm va vectơ:
’ M(x;y) OM = x.i + y.j ’ a = (a1;a2) a = a1.i + a2.j
trong đó i= (1;0), j = (0;1) là các vectơ đơn vị của trục
Giả sử a = (a1;a2) và b = (b1;b2)
‚ Vectơ bằng nhau – Toạ độ vectơ tổng, hiệu, tích vectơ với 1 số:
a = b ⇔ a1 = b1, a2 = b2 a b = (a1 b1;a2 b2) ka = (ka1;ka2)
‚ Toạ độ của AB: AB = (xB – xA;yB – yA)
‚ Độ dài của vectơ: a = a2 + a2
‚ Khoảng cách giữa 2 điểm: AB = AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2
‚ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1:
MA = kMB ⇔ xM = xA kxB
1 k
−
1 k
−
−
Toạ độ trung điểm M của đoạn AB: xM = xA xB
2
+ , yM = yA yB
2 +
Toạ độ trọng tâm G của ΔABC: xG = xA xB xC
3
, yG = yA yB yC
3
‚ Vectơ cùng phương: a b ⇔ a = kb ⇔ 1 2
b = b (b1b2 0)
‚ Tích vô hướng của 2 vectơ: a.b = a.b.cos(a,b) a b ⇔ a.b = 0 a.b = a1b1 + a2b2 a2 = |a|2
‚ Góc của 2 vectơ: cos(a,b ) = a.b
| a | | b |
G G
+
1/ Cho 3 điểm A(3;–5), B(–3;3), C(–1;–2)
¬ Chứng minh rằng A, B, C là các đỉnh của 1 tam giác Tìm toạ độ điểm
D sao cho ABDC là hình bình hành
− Tìm toạ độ điểm E sao cho AE = 2AB – 3AC
® Tính chu vi và diện tích ΔABC
¯ Tìm toạ độ trọng tâm G, toạ độ trực tâm H của ΔABC, toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ΔABC Chứng minh I, H, G thẳng hàng
° Tìm giao điểm của đường phân giác ngoài góc A với BC
Chương 3
Trang 4-2- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
2/ Cho ΔABC với A(–1;0), B(4;0), C(0;m) với m ≠ 0 Tính toạ độ trọng tâm G
của ΔABC theo m Xác định m để ΔGAB vuông tại G
3/ Cho ΔABC vuông cân tại A Biết M(1;–1) là trung điểm của cạnh BC và
G(;0) là trọng tâm ΔABC Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
4/ Cho 2 điểm A(1;3), B(3;1) Tìm toạ độ điểm C sao cho ΔABC đều
5/ ¬ Cho ΔABC vuông tại A, AB = c, AC = b Gọi M là điểm trên cạnh BC
sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN Tìm hệ thức
liên hệ giữa b và c sao cho AM CN
− Cho ΔABC vuông cân tại A, tính góc tù tạo bởi các trung tuyến của tam
giác kẻ từ B và C
¥| Phương trình đường thẳng
]| Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(xo;yo) vuông góc với n = (a;b):
a(x – xo) + b(y – yo) = 0 (a2 + b2 0) ]} Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 0), trong đó
vectơ pháp tuyến n = (a;b), vectơ chỉ phương a = (b;–a), hệ số góc k = – a/b
]~ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(xo;yo) có hệ số góc k ( Oy):
y – yo = k(x – xo) ] Đường thẳng có hệ số góc k, tung độ gốc b (cắt Oy tại B(0;b)): y = kx + b
] Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn (đi qua 2 điểm A(a;0), B(0;b)):
] Đường thẳng (d) đi qua điểm M(xo;yo) có vectơ chỉ phương a = (a1;a2):
y y= +ta
= + : phương trình tham số
= (a1.a2 0): phương trình chính tắc.
¥} Vị trí tương đối của hai đường thẳng
* Cho 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0, (d2): a2x + b2y + c2 = 0
Đặt D = 1 1
2 2
+ (d1) cắt (d2) ⇔ a1:a2 ≠ b1:b2 ⇔ D ≠ 0 (x = Dx:D, y = Dy:D)
+ (d1) (d2) ⇔ a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2 ⇔ D = 0, Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0
+ (d1) ≡ (d2) ⇔ a1:a2 = b1:b2 = c1:c2 ⇔ D = Dx = Dy = 0
Bài Tập Ôn
-23-− Đường thẳng (D) qua A(1;4) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho
A là trung điểm của MN Tìm toạ độ M, N
¢
<78> Cho parabol (P): y2 = 4x
¬ Tìm điểm M trên (P) có bán kính qua tiêu điểm bằng 10 và tung độ dương Tìm điểm N trên (P) sao cho ΔOMN vuông tại O
− Tìm 2 điểm A, B trên (P) sao cho ΔOAB đều
<79> Cho parabol y2 = 2x và đường thẳng (d): 2x – 2my – 1 = 0 Chứng tỏ rằng với mọi m, (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm M, N Tìm tập hợp các trung điểm I của MN khi m thay đổi
<80> Cho parabol (P): y2 = 8x và điểm I(2;4) nằm trên (P) Xét góc vuông thay đổi quay quanh điểm I và 2 cạnh góc vuông cắt (P) tại 2 điểm M, N ( I) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua 1 điểm cố định
<81> Cho parabol (P): y2 = x và gọi F là tiêu điểm của (P) Giả sử đường thẳng (d) đi qua F cắt (P) tại 2 điểm M1 và M2
¬ Tính M1M2 khi (d) Oy
− Giả sử (d) Oy Gọi k là hệ số góc của (d) Tính M1M2 theo k Xác định các điểm M1, M2 sao cho M1M2 ngắn nhất
³
<82> Cho 3 đường thẳng D1: 3x + 4y – 6 = 0, D2: 4x + 3y – 1 = 0, D3: y = 0 Gọi
A = D1D2, B = D2D3, C = D3D1
¬ Viết phương trình phân giác trong của góc A của ΔABC và tính SΔABC
− Viết phương trình đường tròn nội tiếp ΔABC
<83> Cho hai điểm A(–3;3 ), B(–3;– 3)
¬ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABO
− Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua 2 điểm A, B
<84> Cho hai điểm A(2;3) và B(–2;1)
¬ Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và có tâm nằm trên trục hoành
− Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm A Vẽ đường tròn
và parabol tìm được trên cùng một hệ trục toạ độ
<85> Cho hai điểm A(5;0) và B(4;32)
¬ Lập phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính Tìm toạ độ các giao điểm của đường tròn và trục hoành
− Lập phương trình chính tắc của elip đi qua A và B
Trang 5-22- Vũ Mạnh Hùng
− Xét hình chữ nhật PQRS nội tiếp trong (E) và có các cạnh song song
với các trục của (E) Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật sao cho nó có diện tích
lớn nhất
<70> Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và điểm M(1;1)
¬ Lập phương trình đường thẳng (D) qua M cắt (E) tại 2 điểm M1, M2 sao
cho MM1 = MM2
− Đường thẳng (Δ) qua M cắt (E) tại 2 điểm P, Q Tìm tập hợp các trung
điểm I của đoạn PQ
<71> Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và 2 đ.thẳng (D): ax – by = 0, (D): bx + ay =0
(a2 + b2 > 0) Gọi M, N là các giao điểm của (D) với (E), P, Q là các giao điểm
của (D) với (E)
¬ Tính diện tích tứ giác MPNQ theo a và b
− Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích tứ giác MPNQ nhỏ nhất
¸
<72> Cho hypebol (H): 9x2 – 4y2 = 36
¬ Xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tâm sai và các tiệm cận
của (H) Vẽ hypebol đã cho
− Tìm các giá trị của n để đ.thẳng y = nx – 1 có điểm chung với hypebol
<73> Cho hypebol (H): 16x2 – 9y2 = 144
¬ Tìm độ dài trục thực, trục ảo, tiêu cự, tiêu điểm, đỉnh, tâm sai và
phương trình các đường tiệm cận của (H)
− Tìm điểm M ∈ (H) sao cho khoảng cách từ O đến M bằng nửa tiêu cự
<74> Cho hypebol (H): 9x2 – 16y2 = 144 có tiêu điểm F1, F2
¬ Tìm điểm M ∈ (H) sao cho F1M F2M
− Giả sử M(xo;yo) ∈(H) Tính OM2 – F1M.F2M và (F1M + F2M)2 – 4OM2
<75> Cho hypebol (H): 5x2 – 4y2 – 20 = 0 và đường thẳng (D): x – y + m = 0
¬ Chứng minh rằng (D) luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N (xM < xN) thuộc 2
nhánh khác nhau của (H)
− Định m sao cho 3F1M = F2N, với F1, F2 là tiêu điểm của (H)
<76> Cho hypebol (H): 9x2 – 16y2 = 144
¬ Tìm những điểm trên (H) nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc 120o
− A là đỉnh trên trục thực có hoành độ dương Tìm toạ độ những điểm M,
N trên (H) sao cho ΔAMN đều
<77> Cho hypebol (H): 4x2 – y2 = 4
¬ Tìm những điểm trên (H) có toạ độ nguyên
6/ Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm Mo nhận a làm vectơ chỉ phương:
¬ Mo(–1;2), a = (3;–1) − Mo(2;1), a = (0;–1) ® Mo(–5;–3), a = (2;0) 7/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Mo vuông góc với n:
¬ Mo(–1;2), n = (2;2) − Mo(2;1), n = (2;0) ® Mo(2;–1), n = (2;–1) 8/ ¬ Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng đi qua
2 điểm A(–3;1), B(2;5)
− Viết phương trình tham số của đường thẳng 2x + 3y – 2 = 0
9/ Cho đường thẳng d:{x 2 2t
y 3 t= +
= + và 2 điểm A(2;5), B(–1;7)
¬ Tìm trên d điểm M cách điểm A một khoảng bằng 4
− Tìm trên d điểm C sao cho ΔABC cân
<10> Cho 2 điểm A(–4;3), B(1;–5) Tìm trên đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0 điểm
M sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất
<11> ¬ Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A(2;–3) cắt hai đ.thẳng d:{x 7 2t
y= −3 t
y= − +7 3m
= − + tại B, C sao cho A là trung điểm của BC
− Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(3;0) cắt hai đường thẳng 2x – y – 2 = 0, x + y + 3 = 0 tại A, B sao cho P là trung điểm của đoạn AB
<12> Cho ΔABC có phương trình hai cạnh x + y – 2 = 0, 2x + 6y + 3 = 0, trung điểm một cạnh là M(–1;1) Tìm toạ độ các đỉnh
<13> Lập phương trình đường thẳng nếu điểm P(2;3) là chân đường vuông góc
hạ từ O xuống đường thẳng này
<14> Cho P(2;3), Q(–1;0) Lập phương trình đường thẳng qua Q và vuông góc với PQ
<15> Cho ΔABC với A(2;1), B(–1;–1), C(3;2)
¬ Lập phương trình đường cao BH của tam giác
− Lập phương trình đường thẳng đi qua đỉnh A và song song với BC
<16> Cho đường thẳng (d): 2x + 3y + 4 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;1) và:
<17> Cho M(2;1), N(5;3), P(3;–4) là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của tam giác ΔABC Lập phương trình các cạnh của tam giác
<18> Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A(5;1) và C(0;6), một cạnh có phương trình x + 2y – 12 = 0 Tìm phương trình các cạnh còn lại
<19> Tìm toạ độ trực tâm của tam giác nếu biết các cạnh có phương trình:
AB: 4x – y – 7 = 0, BC: x + 3y – 31 = 0, CA:x + 5y – 7 = 0
<20> Tìm điểm chiếu của điểm P(–6;4) lên đường thẳng 4x – 5y + 3 = 0
Trang 6-4- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
<21> Tìm điểm B đối xứng với điểm A(–5;13) qua đường thẳng 2x – 3y – 3 = 0
<22> Tìm điểm chiếu của điểm P(8;–12) lên đường thẳng đi qua 2 điểm A(2;–3),
B(–5;1)
<23> Tìm điểm N đối xứng với điểm M(8;–9) qua đường thẳng đi qua hai điểm
A(3;–4), B(–1;–2)
<24> Lập phương trình đường thẳng đối xứng của đường thẳng (D): x –2y –5= 0
qua A(2;1)
<25> Cho ΔABC với B(3;5), C(4;–3), phân giác trong góc A: x + 2y – 8 = 0
Tìm phương trình các cạnh ΔABC
<26> Lập phương trình các đường thẳng (d1), (d2) theo thứ tự đi qua các điểm
A(0;4), B(5;0) biết đường thẳng (Δ): 2x – 2y + 1 = 0 là đường phân giác của
góc tạo bởi (d1) và (d2)
<27> Cho đường thẳng phương trình (a + 2)x + (a2 – 9)y + 3a2 – 8a + 5 = 0 Với
giá trị nào của a thì đường thẳng này :
¬ song song trục hoành − song song trục tung ® đi qua O
<28> Lập phương trình các cạnh và trung tuyến của ΔABC nếu A(3;2), B(5;–2),
C(1;0)
<29> Cho ΔABC với A(3;3), B(2;–1), C(11;2) Viết phương trình đường thẳng
qua A và chia ΔABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2
<30> Cho ΔABC có phương trình đường cao CH: 2x + y + 3 = 0, phương trình
phân giác AD: x – y = 0, cạnh AC qua điểm M(0;–1) và AB = 2AM Viết
phương trình các cạnh của tam giác
<31> Cho ΔABC với A(3;–1), B(5;7) và toạ độ trực tâm N(4;–1) Lập phương
trình các cạnh của tam giác
<32> Cho ΔABC có A(–4;1), B(–3;–2), C(8;5) và điểm L trên cạnh AC sao cho
LC = 3LA, CE là trung tuyến kẻ từ C Tìm toạ độ giao điểm của BL và CE
<33> Cho 2 điểm A(–3;–2), B(3;1) và đường thẳng d: x + y – 4 = 0 Tìm phương
trình đường thẳng song song với d và cắt đoạn AB tại điểm M sao cho MB =
2MA
<34> Cho ΔABC có phương trình cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0, phương trình đường
cao AH: 4x – 3y + 1 = 0 và BK: 7x + 2y – 22 = 0 Lập phương trình hai cạnh
còn lại và đường cao thứ ba
<35> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh B(–4;–5) và phương trình
hai đường cao AH: 5x + 3y – 4 = 0, CK: 3x + 8y + 13 = 0
<36> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh A(–5;2) và phương trình
hai trung tuyến BM: 5x + 4y = 0, CN: 3x – y = 0
<37> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh A(4;–1) và phương trình
hai phân giác BD: x – 1 = 0, CE: x – y – 1 = 0
<38> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh B(2;6) và phương trình
đường cao AH: x – 7y + 15 = 0, phương trình phân giác góc A: 7x + y + 5 = 0
Bài Tập Ôn
-21-− Xác định m để hệ phương trình (*) có 2 nghiệm (x1;y1), (x2;y2) sao cho biểu thức E = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 đạt giá trị lớn nhất
+
<63> Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 có tiêu điểm F1, F2
¬ Tìm các điểm M∈(E) thoả MF1 = 2MF2
− Chứng minh rằng với mọi điểm M ∈ (E) ta đều có 2 OM 3
® Giả sử M(xo;yo) ∈(E) Tính F1M.F2M + OM2 và 4OM2 – (F1M – F2M)2
<64> Cho elip (E): 3x2 + 4y2 – 48 = 0
¬ Tìm những điểm M trên (E) sao cho F1M:F2M = 3:5
− Đường thẳng (D) qua I(–2;1) có hệ số góc là cắt (E) tại B và C Tìm điểm A trên (E) sao cho ΔABC có diện tích lớn nhất
<65> Cho elip (E): x2 y2
100+ 36 = 1
¬ Tìm toạ độ các tiêu điểm F1, F2, tâm sai, phương trình các đường chuẩn
− Qua F1, dựng 1 dây AB của (E) và vuông góc với trục hoành Tính độ dài đoạn AB Tìm điểm M trên (E) sao cho độ dài F1M nhỏ nhất
<66> Cho elip (E): 3x2 + 5y2 = 30
¬ Xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm và tâm sai của elip
− Đường thẳng đi qua tiêu điểm F2(2;0) của (E), song song với trục tung, cắt (E) tại 2 điểm A và B Tính khoảng cách từ A và từ B tới tiêu điểm F1
<67> Cho elip (E): 9x2 + 25y2 – 225 = 0
¬ Tìm tung độ của điểm thuộc (E) có hoành độ x = 533 và tính khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm
− Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với (E)
® Gọi I, J là 2 điểm trên (E) sao cho OI ⊥ OJ Tính 12 12
<68> Cho elip (E): x2 + 4y2 – 4 = 0 và điểm A(2;0)
¬ Gọi (D) là đường thẳng qua M(3;1) và có hệ số góc k Biện luận theo k
số giao điểm của (D) và (E)
− Tìm 2 điểm B, C trên (E) sao cho ΔABC là tam giác đều
® Một góc vuông xAy quay quanh đỉnh A cắt (E) tại 2 điểm E, F Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua 1 điểm cố định
<69> Cho elip (E): 9x2 + 4y2 = 36
¬ Viết phương trình đường thẳng (D) qua A(1;3) và song song với đường phân giác I Tìm toạ độ giao điểm của (D) và (E)
Trang 7-20- Vũ Mạnh Hùng
− Định m để (Cm) là đường tròn có bán kính bằng 1 Gọi đường tròn này
là (C) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm
A(1 + ;1 – )
® Viết ph.trình tất cả các tiếp tuyến với (C) biết chúng vuông góc (d)
<54> Cho đường tròn (Cm): x2 + y2 – 12mx – 2(m + 1)y + (m + 1)2 = 0
¬ Biện luận theo m số giao điểm của (Cm) với trục tung
− Định m để (Cm) tiếp xúc ngoài với đường tròn (C): x2 + y2 = 1
<55> Cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 – 2mx + 2my + 2m2 – 1 = 0
¬ Chứng minh rằng (Cm) luôn là một đường tròn có bán kính không đổi
− Tìm tập hợp tâm I của họ (Cm) Suy ra (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường
thẳng cố định mà ta phải viết phương trình
<56> Cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 + (m + 2)x – (m + 4)y + m + 1 = 0
¬ Định m để (Cm) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất
− Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm)
<57> Cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 – (m – 2)x + 2my – 1 = 0
¬ Chứng tỏ rằng các đường tròn này đều qua 2 điểm cố định khi m thay
đổi Viết phương trình trục đẳng phương của họ đường tròn này
− Viết phương trình các tiếp tuyến của (C–2) kẻ từ A(0;–1) khi m = –2
<58> Cho 2 đường tròn (C1): x2 + y2 – x – 6y + 8 = 0, (C2): x2 + y2 – 2mx – 1 = 0
Định m để (C1) tiếp xúc (C2) Chỉ rõ loại tiếp xúc
<59> Cho 2 đường tròn
(C): x2 + y2 – 1 = 0, (Cm): x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0
¬ Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) khi m thay đổi
− Chứng minh rằng có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với (C) ứng với 2 giá
trị của m Viết phương trình các tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (Cm) đó
<60> Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và đường thẳng (d): ax + by +1 = 0
¬ Tìm điều kiện đối với a, b để (d) tiếp xúc với (C)
− M và N là hai điểm trên (C) với xM = –1, yN = –1 Xác định a, b để tổng
khoảng cách từ M và N đến (d) nhỏ nhất với giả thiết (d) tiếp xúc với (C)
<61> Cho họ đường cong phụ thuộc tham số m, có phương trình :
F(x,y) = x2 + y2 – 2m(x – a) = 0 trong đó a là một số dương cho trước (cố định)
¬ Với giá trị nào của m, phương trình trên là phương trình của đường
tròn? Kí hiệu Cm là đường tròn ứng với giá trị m
− Chứng tỏ rằng đoạn thẳng nối điểm O với điểm A(2a;0) luôn cắt Cm
<62> Cho hệ phương trình {(2m 1)x 2my 5m 8 02 2
¬ Giải hệ phương trình (*) khi m = 2
<39> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh B(2;–1) và phương trình đường cao AH: 3x – 4y + 27 = 0, phương trình phân giác CE: x + 2y – 5 = 0
<40> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh C(4;–1) và phương trình đường cao AH: 2x – 3y + 12 = 0, phương trình trung tuyến AM: 2x + 3y = 0
<41> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh B(2;–7) và phương trình đường cao AH: 3x + y + 11 = 0, phương trình trung tuyến CM: x + 2y + 7 = 0
<42> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh C(4;3) và phương trình phân giác AD: x + 2y – 5 = 0, phương trình trung tuyến AM: 4x +13y –10 = 0
<43> Lập phương trình các cạnh của ΔABC biết đỉnh A(3;–1) và phương trình phân giác BD: x – 4y+10 = 0, phương trình trung tuyến CM: 6x +10y –59 = 0
<44> Cho phương trình 2 phân giác AD: y + 4 = 0, BE: 7x + 4y + 5 = 0 của 1 tam giác và phương trình cạnh AB: 4x + 3y = 0 Viết ph.trình 2 cạnh còn lại
<45> Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;–7) và chắn trên các trục toạ độ những đoạn khác 0 bằng nhau
<46> Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;3) và chắn trên các trục toạ độ những đoạn bằng nhau
<47> Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(–4;3) và cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B thoả 5AM – 3MB = 0
<48> Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm C(1;2) tạo với góc toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 đvdt
<49> Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(3;1) và cắt hai nửa trục Ox, Oy tại A, B sao cho:
¬ Diện tích ΔOAB nhỏ nhất − OA + OB nhỏ nhất
<50> Xác định giá trị m và n để hai đ.thẳng mx + 8y + n = 0 và 2x + my – 1 = 0
<51> ¬ Xác định giá trị m để hai đường thẳng (m – 1)x + my – 5 = 0, mx + (2m – 1)y + 7 = 0 cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành
− Định m để ba đường thẳng (Δ1): 2x + y – 1 = 0, (Δ2): x + 2y + 1 = 0, (Δ3): mx – y – 7 = 0 đồng quy tại một điểm
<52> Tìm giao điểm 2 đường thẳng trong các trường hợp sau:
¬ x + 5y – 35 = 0, 3x + 2y – 27 = 0 ® {x 2t
y= −3t
= − , {x 3t 1
y 6t 3= +
− 3x + 5y – 4 = 0, 6x + 10y – 7 = 0 ¯ x – y2 = 0, x2 –2y = 0
<53> Cho a2 + b2 > 0 và 2 đ.thẳng (d1): (a – b)x + y = 1, (d2): (a2 – b2)x + ay = b Xác định giao điểm của (d1) và (d2), tìm điều kiện đối với a, b để giao điểm đó nằm trên trục hoành
<54> Chứng minh rằng đường thẳng (d): (m – 2)x + (m – 1)y + 2m – 1 = 0 luôn
đi qua 1 điểm cố định
Trang 8-6- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
¥~ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
]| Khoảng cách từ điểm M(xo;yo) đến đường thẳng (Δ): ax + by + c = 0:
+
Đặt F(x,y) = ax + by + c
* M1(x1;y1), M2(x2;y2) nằm về khác phía đối với (Δ) ⇔ F(x1,y1).F(x2,y2) < 0
* M1(x1;y1), M2(x2;y2) nằm về cùng phía đối với (Δ) ⇔ F(x1,y1).F(x2,y2) > 0
]} Phương trình đường phân giác góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1), (d2):
= ±
<55> Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d):
¬ A(2;–1), (d): 4x + 3y + 10 = 0 − A(0;–3), (d): 5x – 12y – 23 = 0
® A(–2;3), (d): 3x – 4y – 2 = 0 ¯ A(1;1), (d): {x 1 2t
y 2 t= − +
<56> Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:
¬ 3x – 4y – 10 = 0, 6x – 8y + 5 = 0
− 5x – 12y + 26 = 0, 5x – 12y – 13 = 0
<57> Tính diện tích hình vuông có 1 cạnh nằm trên đường thẳng x – 2y – 7 = 0
và đỉnh A(2;–5)
<58> Cho ΔABC có ph.trình các cạnh AB: x +21y –22 = 0, BC: 5x –12y +7 =0,
CA: 4x – 33y +146 = 0 Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác đến cạnh BC
<59> Tính diện tích hình vuông có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng 5x – 12y –
65 = 0, 5x – 12y + 26 = 0
<60> Khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng 5x – 12y – 13 = 0 và 3x – 4y
– 19 = 0 bằng tương ứng là 3 và 5 Tìm toạ độ điểm M
<61> Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;4) cách điểm A(0;3)
khoảng cách bằng 1
<62> Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;5) cách điểm B(5;1)
khoảng cách bằng 3
<63> Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;2) có khoảng cách đến
điểm A(–2;5) bằng nửa khoảng cách đến điểm B(1;8)
<64> Tìm phương trình đường thẳng (d) cách điểm A(1;1) một khoảng bằng 2,
cách điểm B(2;3) một khoảng bằng 4
<65> Tìm phương trình đ.thẳng (d) có hệ số góc bằng 2, cách điểm A(–2;3) một
khoảng bằng 4
<66> Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đ.thẳng 2x + 6y – 3 = 0 và
cách điểm A(5;4) khoảng cách là 10
Bài Tập Ôn
-19-<45> Cho 2 đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0, (C2): x2 + y2 – 12x – 12y + 36 = 0 Chứng minh rằng (C1) và (C2) ngoài nhau Tìm khoảng cách ngắn nhất và dài nhất nối 1 điểm của (C1) với 1 điểm của (C2)
<46> Cho 2 đường tròn có tâm lần lượt là I, J (C1): x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0, (C2): x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = 0
¬ Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm toạ độ tiếp điểm H
− Gọi (D) là 1 tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2) Tìm toạ
độ giao điểm K của (D) và đường thẳng IJ Viết phương trình đường tròn (C)
đi qua K và tiếp xúc với (C1) và (C2) tại H
<47> Cho 3 điểm A(3;1), B(0;7), C(5;2)
¬ Chứng minh rằng ΔABC vuông và tính diện tích của nó
− Điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC Chứng minh rằng khi
đó trọng tâm G của ΔMBC chạy trên 1 đường tròn, viết ph.trình đường tròn đó
<48> ¬ Cho 2 điểm A(4;0), B(0;3) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ΔOAB
− Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với Ox và cắt Oy tại điểm A(0;1)
<49> Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 8x – 6y + 21 – m2 = 0 và điểm I(5;2)
¬ Chứng minh rằng I nằm trong đường tròn (C)
− Tìm ph.trình đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm nhận I làm trung điểm
<50> Cho A, B là 2 điểm trên trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m = 0 và điểm E(0;1)
¬ Viết phương trình đường tròn đường kính AB
− Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔEAB
<51> Cho đường thẳng (d): 2x + my + 1 – 2 = 0 và hai đường tròn
(C1): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0, (C2): x2 + y2 + 4x – 4y – 56 = 0
¬ Gọi I là tâm đường tròn (C1) Tìm m sao cho (d) cắt (C1) tại 2 điểm phân biệt A và B Với giá trị nào của m thì diện tích ΔIAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
− Chứng minh (C1) tiếp xúc với (C2) Viết phương trình tổng quát của tất
cả các tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
<52> Cho họ đường tròn có phương trình x2 + y2 – 2mx + 2(m – 2)y + 3 = 0
¬ Tìm giá trị của m để phương trình trên xác định 1 đường tròn (C)
− Tìm tập hợp tâm đường tròn (C) khi m thay đổi
® Tìm các đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng x = 3
<53> Cho họ đường cong (Cm): x2 + y2 – 2x – 2y + m = 0
¬ Với điều kiện nào của m thì (Cm) là đường tròn? Xác định tâm và bán kính của (Cm) trong trường hợp này
Trang 9-18- Vũ Mạnh Hùng
¬ Tìm điểm M trên (C) sao cho ΔMAB cân tại M
− Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song đường thẳng AB
<35> Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 13 và đ.thẳng (d): x – 5y – 2 = 0
¬ Tìm toạ độ giao điểm A, B của (d) và (C)
− Tìm điểm M trên (C) sao cho ΔMAB vuông
<36> Cho điểm A(2;1) và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9
¬ Chứng minh rằng A nằm ngoài đường tròn
− Qua A vẽ 2 tiếp tuyến AT1 và AT2 đến (C) (T1, T2 là 2 tiếp điểm) Viết
phương trình đường thẳng T1T2 và tính độ dài T1T2
<37> Cho điểm A(3;0) và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0
¬ Chứng minh rằng điểm A ở trong đường tròn
− Viết phương trình dây cung qua A sao cho dây cung ngắn nhất
<38> Cho 3 điểm A(1;2), B(–2;1), C(–1;5)
¬ Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho MA2 + MB2 = MC2 là 1
đường tròn (T) mà ta phải xác định tâm và bán kính
− Viết phương trình đường thẳng (D) qua A cắt (T) tại 2 điểm E, F sao
cho đoạn EF ngắn nhất
<39> Cho 2 đ.tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y +16 = 0
¬ Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc nhau
− Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)
<40> Tìm phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
(C1): x2 + y2 – 10x + 24y = 56, (C2): x2 + y2 – 2x – 4y = 20
<41> Cho đường thẳng (Δ): x – y – 3 = 0 và điểm M(2cos2t;2(1 + sintcost))
¬ Chứng minh rằng tập hợp các điểm M là 1 đường tròn (C)
− Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với (Δ)
<42> Cho 3 điểm A(0;4), B(3;0), C(–3;0)
¬ Viết phương trình đường tròn (T) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và
tiếp xúc với đường thẳng AC tại C
− Gọi M là 1 điểm bất kì trên (T), d1, d2, d3 lần lượt là khoảng cách từ M
tới các đường thẳng AB, AC, BC Chứng minh rằng: d1.d2 = d3
<43> Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 4 = 0 Viết phương trình đường
thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D): 3x + 4y – 1 = 0 và chia đường tròn
(C) thành 2 cung có tỉ số độ dài bằng 2
<44> Cho đ.thẳng (D): 3x – 2y – 1 = 0 và đ.tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 3 = 0
¬ Xác định vị trí tương đối của (D) và (C)
− Tìm điểm M(xo;yo) ∈ (D) sao cho xo + yo đạt giá trị nhỏ nhất
® Tìm các điểm N(x1;y1) ∈ (C) sao cho x1 + y1 đạt giá trị lớn nhất hoặc
giá trị nhỏ nhất
<67> Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x – 4y –10 = 0
và cách đường thẳng này khoảng cách bằng 3
<68> Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ tạo với hai đường thẳng
x – y + 12 = 0, 2x + y + 9 = 0 một tam giác có diện tích bằng 1,5 đvdt
<69> Cho 2 điểm A(2;2), B(5;1) Tìm trên đường thẳng (d): x – 2y + 8 = 0 điểm
C sao cho dt(ΔABC) = 17 đvdt
<70> Cho ΔABC có A(2;–3), B(3;–2) và dt(ΔABC) = 15 đvdt Tìm điểm C biết trọng tâm G nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0
<71> Điểm E(1;–1) là tâm một hình vuông có một cạnh nằm trên đường thẳng
x – 2y + 12 = 0 Lập phương trình các cạnh còn lại
<72> Lập ph.trình các cạnh hình vuông có 2 đỉnh liên tiếp A(2;0), B(–1;4)
<73> Lập phương trình các cạnh của hình vuông biết đỉnh A(5;–1) và phương trình một cạnh là 4x – 3y – 7 = 0
<74> Lập phương trình tập hợp những điểm có khoảng cách đến đường thẳng 8x – 15y – 25 = 0 bằng 2
<75> Lập phương trình tập hợp những điểm cách đều 2 đường thẳng song song:
¬ 3x – y + 7 = 0, 3x – y – 3 = 0 − 5x – 2y – 6 = 0, 10x – 4y + 3 = 0
<76> Tìm trên đường thẳng 2x – y – 5 = 0 điểm P sao cho tổng khoảng cách từ
đó đến hai điểm A(–7;1) và B(–5;5) là nhỏ nhất
<77> Tìm trên đường thẳng 3x – y – 1 = 0 điểm P sao cho hiệu khoảng cách từ
đó đến hai điểm A(4;1) và B(0;4) là lớn nhất
<78> Cho đường thẳng (Δ): mx + y – m – 2 = 0 và 2 điểm A(2;1), B(4;–2)
¬ Định m để (Δ) cắt đoạn AB
− Định m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (Δ) là lớn nhất
<79> Lập ph.trình các đường phân giác góc nhọn và tù tạo bởi 2 đường thẳng:
¬ x – 2y – 3 = 0, 2x + 4y + 7 = 0 − 3x + 4y – 1 = 0, 5x + 12y – 2 = 0
® x – 3y + 5 = 0, 3x – y – 2 = 0
<80> Cho 2 đường thẳng d1: x + 2y – 11 = 0 và d2: 3x – 6y – 5 = 0 Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 mà có chứa điểm M(1;–3)
<81> Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2;–1) tạo với hai đường thẳng (d1): 2x – y + 5 = 0, (d2): 3x + 6y – 1 = 0 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2)
¥ Góc giữa hai đường thẳng cos(d1,d2) = |cos(n1, n2)| = 1 2 1 2
| a a b b |
+
<82> Tìm góc giữa 2 đường thẳng:
¬ 5x – y + 7 = 0, 3x + 2y = 0 − 3x – y + 5 = 0, 2x + y – 7 = 0
<83> Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;1) tạo với đường thẳng (L): x = 1 + t, y = – 2 – 23t góc 45o
Trang 10-8- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng
<84> Định m để góc tạo bởi 2 đ.thẳng 4x + my – 20 = 0, 2x – 3y + 6 = 0 là 45o
<85> Cho phương trình các cạnh của tam giác: 3x + 4y – 1 = 0, x – 7y – 17 = 0,
7x + y + 31 = 0 Chứng minh rằng tam giác này cân
<86> Điểm A(–4;5) là đỉnh của một hình vuông có một đường chéo nằm trên
đường thẳng 7x – y + 8 = 0 Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai
của hình vuông
<87> Một hình vuông có tâm I(2;3) và 1 cạnh có phương trình: x – 2y – 1 = 0
Lập phương trình các đường chéo và các cạnh còn lại của hình vuông
<88> Lập phương trình cạnh hình vuông có 2 đỉnh đối diện A(–1;3), C(6;2)
<89> Cho ΔABC cân đỉnh C(4;3), phương trình cạnh AC: 2x – y – 5 = 0, phương
trình cạnh AB: x – y = 0 Viết phương trình cạnh BC
<90> Cho ΔABC cân tại A, phương trình cạnh BC: x + 2y – 3 = 0, cạnh AB: 2x
+ y – 3 = 0 Lập phương trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M(2;1)
<91> Cho ΔABC vuông cân tại A(4;–1), ph.trình cạnh huyền 3x – y + 5 = 0 Tìm
phương trình 2 cạnh góc vuông
<92> Cho 2 đường thẳng (d1): x + y – 1 = 0, (d2): x – 3y + 3 = 0 Viết phương
trình đường thẳng (d) đối xứng của (d1) qua (d2)
¥ Đường tròn
]| Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R:
• (x – a)2 + (y – b)2 = R2
• x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 với R2 = a2 + b2 – c > 0
]} Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
a Tiếp tuyến với (C) tại điểm M(xo;yo) ∈ (C): Tiếp tuyến qua M vuông góc với
IM = (xo – a;yo – b) do đó có phương trình: (xo – a)(x – xo) + (yo – b)(y – yo) = 0
b Tiếp tuyến với (C) đi qua điểmM(xo;yo) (C):
+ Phương trình tiếp tuyến (Δ) có dạng:
a(x – xo) + b(y – yo) = 0 ⇔ ax + by – axo – byo = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
+ (Δ) tiếp xúc (C) ⇔ d(I,Δ) = R, từ đó tìm được a, b
c Phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k:
* Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k: phương trình tiếp tuyến có dạng y = kx + m
* Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng ax + by + c = 0: phương trình tiếp tuyến
có dạng ax + by + m = 0
* Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng ax + by + c = 0: phương trình tiếp tuyến
có dạng bx – ay + m = 0
+ (Δ) tiếp xúc (C) d(I,Δ) = R, từ đó tìm được m
<93> Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
¬ Tâm O bán kính R = 3 − Tâm I(2;–3) bán kính R = 7
® Đi qua gốc O và có tâm I(6;–8) ¯ Đi qua A(2;6) có tâm I(–1;2)
Bài Tập Ôn
-17-<25> Cho ΔABC đều có đỉnh A(1;0), phương trình cạnh BC: 2x – 4y + 3 = 0
¬ Tính chiều cao AH và dt(ΔABC)
− Viết phương trình hai cạnh còn lại của tam giác
® Tìm điểm M trên BC sao cho MA + MO nhỏ nhất
<26> Cho 2 điểm A(1;4), B(4;1) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho ΔABC có chu
vi nhỏ nhất
<27> Cho 2 điểm A(–2;5), B(2;3) và đ.thẳng (d): x – 4y + 4 = 0 Chứng minh rằng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm M ở ngoài đoạn AB Tính tỉ số MA:MB
<28> Cho đường thẳng (Δ): {x 3t
y 2 4t=
= + và 2 điểm A(1;–2), B(–2;3)
¬ Chứng minh rằng (Δ) cắt đoạn AB
− Tìm ph.trình đường thẳng (D)(Δ) và (D) cách (Δ) một khoảng bằng 3
<29> Cho 2 đường thẳng (d1): x – 2y + 3 = 0, (d2): 2x + y – 1 = 0
¬ Chứng minh rằng (d1) (d2)
− Tìm trên Ox các điểm cách đều (d1) và (d2)
<30> Cho 2 điểm A(1;2), B(3;2) và 2 đường thẳng
(d1): 2x + 3y – 6 = 0, (d2): 2x + 3y – 12 = 0
¬ Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
− Định m để đường thẳng (Δ): mx + y + 1 = 0 cắt đoạn AB
® Tìm phương trình đường thẳng (D) qua A và cắt (d1), (d2) tại E, F sao cho EF = 3
<31> Cho 2 điểm B(2;3), C(1;0) và đường thẳng
(Δ): (m – 2)x + (m – 1)y + 2m – 1 = 0
¬ Chứng minh rằng (Δ) luôn đi qua 1 điểm cố định A
− Định m để (Δ) cắt đoạn BC
® Định m để khoảng cách từ B đến (Δ) lớn nhất
−
<32> ¬ Trên mặt phẳng toạ độ, viết phương trình đường tròn (T) tâm Q(2;–1) bán kính r = 10 Chứng minh rằng (không dùng hình vẽ) điểm A(0;3) nằm ngoài đường tròn (T)
− Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0;3) và không có điểm chung với đường tròn (T)
<33> Cho đường tròn (C) tâm I(1;–2) và bán kính R = 3
¬ Viết phương trình tổng quát của đường tròn (C)
− Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung của đường tròn (C) nhận gốc toạ độ O(0;0) làm trung điểm
<34> Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 9 = 0 và 2 điểm A(–1;3), B(4;0)