Hướng dẫn giải bài tập hình học vi phân

Vậy vết của αt là một đườngthẳng hoặc một phần của đường thẳng... Giả sử đường cong đã cho có tham số hóa tự nhiên.. Sử dụng biểu thức quan hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độDecarter: Th

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

Bài tập 1.2 Để chứng minh f khả vi tại x = 0 ta cần chỉ ra tồn tại một ánh

xạ tuyến tính đi từ Rn vào R thỏa giả thiết

Thật vậy, xét ánh xạ tuyến tính O : Rn → R Do hàm f thỏa:

(d) Đặt f1 = sin(xy), f2 = sin(x sin y), f3 = xy.

Bây giờ ta chứng minh trong mỗi lân cận của 0, hàm f không thể có ánh xạngược Thật vậy chọn 2 dãy:

xk = 12kπ và yk =

1(4k + 1)π

Suy ra f không đơn điệu trong một lân cận nào của 0, nên không thể tồn tạihàm ngược f−1

Nói cách khác, điều kiện liên tục không thể bỏ được trong định lý hàm ngược



nếu t > 0

−t.kxk.g

−xkxk



nếu x 6= 0

Xét các trường hợp sau

+ x 6= 0 : Do kxk.g

 xkxk



là hằng số nên suy ra:

h0(t) = kxk.g

 xkxk



Hay h khả vi trên R

+ x = 0: Khi đó kxk = 0 nên h = 0 trên R Suy ra h khả vi trên R

Như vậy trong mọi trường hợp ta có hàm h khả vi trên R

= lim

h→0

khk.g

h, 0khk

Nếu tồn tại (x0, y0) ∈ S1 sao cho g(x0, y0) 6= 0 thì ta có thể giả sử x0 > 0.Khi đó với h > 0, k = hy0

Vậy f không thể khả vi tại điểm (0, 0)

Bài tập 1.7 Nếu với mọi (x, y) ∈ R2, ta có f0(x, y) = 0 thì f là hàm hằng nên

Vậy f không thể đơn ánh

Bài tập 1.8 Với mỗi vx = (v, x) ∈ Rnx, ∀x ∈ Rn, ta có

BÀI TẬP CHƯƠNG 2Bài tập 2.1 Hình 2.0.1

Hình 2.0.1:

Bài tập 2.2 α(t) = − sin t, cos t

Bài tập 2.3 Đặt f (t) = α2(t) Theo giả thiết thì α0(t0) = min f (t)

=⇒f0(t0) = 0

Do α không đi qua gốc tọa độ nên α(t) 6= 0, ∀t Do đó từ (1) ta có α(t0) trựcgiao với α0(t0)

Bài tập 2.4 • Nếu α0(t) = 0 ⇒ α(t) = c, ∀t Vậy vết của α(t) là một điểm

• Nếu α0(t) = c 6= 0 ⇒ α(t) = ct + a, ∀t Vậy vết của α(t) là một đườngthẳng hoặc một phần của đường thẳng

Bài tập 2.5 Theo giả thiết ta có: α0(t).v = 0

Do α(0) trực giao với −→v nên v.α(0) = 0

C(t) = (sin 2t, 1 − cos 2t, 2 cos t)

= (2 sin t cos t, 2 sin2t, 2 cos t)

Ta có

x2+ y2 = (2 sin t cos t)2+ (2 sin2t)2

= 4 sin2t(cos2t + sin2t)

2 .Bài tập 2.9.

Vậy những điểm (k2π, 0) là những điểm kì dị của C(θ).

(b) Độ dài một nhịp của đường Cycloit

sinθ2

A

(c) c : t 7→ (t, cosh t

a)

cosh ta

= a

(1 + t)3

1 + t3

√

|a|

(1 + t)2

1 − t + t2

...

2+ 2at4(1 + t2)2

Do α(t) khả vi (0, π)