Trong khoâng gian Oxyz cho : S(0,0,a/3), tam giaùc ñeàu OAB trong maët phaúng Oxy coù caïnh baèng a, ñöôøng thaúng AB // Oy. 1) Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm A,B vaø trung ñieãm E cuûa [r]
(1)1
PHẦN I HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
1 Cho M điểm thuộc parabol y2 = 64x , N điểm thuộc đường thẳng 4x + 3y + 46 = Xác định M, N để đoạn MN ngắn
2 Trong mặt phẳng xét hình bị chắn phía parabol y = x2 bị chắn phía đường thẳng qua điểm (1,4) có hệ số góc k Xác định k để hình nói có diện tích nhỏ 3 Cho hai đươøng thẳng
D1 : kx –y + k = ; D2 : ( 1- k2)x + 2ky – (1 + k2) =
a) Chứng minh k thay đổi đường thẳng D1 qua điểm cố định b) Với giá trị k , xác định giao điểm D1 D2
c) Tìm quĩ tích giao điểm k thay đổi
4 Cho A(a.0), B(0,a) với a > , m tham số khác khác a
a) Viết phương trình đường trịn (C) có tâm nằm đường thẳng y = m, tiếp xúc với trục hoành A
b) (C) cắt đường thẳng AB A P Tìm toạ độ P Từ viết phương trình đường tròn (C’ ) qua P tiếp xúc với trục tung B ,các đường trịn (C) và(C’ ) cắt P Q
Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định
5 Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1,1), B(-1, 2) , C(0,-1) 7 Cho elip x2 + 2y2 = đường thẳng (d) x -
2y + = Đường thẳng (d) cắt elip hai điểm B,C Tìm A elip cho tam giác ABC có diện tích lớn
8 Cho (d) 2x + y – = , M (3,3), N(-5,19)
a) Tính toạ độ hình chiếu K M (d) tọa độ điểm P đối xứng với M qua(d) b) Tìm M (d) cho AM + AN có giá trị nhỏ tính giá trị
9 Cho elip x2 + 4y2 = , A(-2,0) Điểm M di động elip Gọi H hình chiếu vng góc M Oy Giả sử AH cắt OM P Tìm quĩ tích P M thay đổi
10 Cho x2 + y2 +2x – 4y – = 0, A(3,5).Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đường trịn tính khỏang cách tiếp điểm
11 Cho A(0,2), B(m, -2) Viết phương trung trực (d) AB CMR (d) tiếp xúc với đường cong cố định m thay đổi
12 Viết phương trình dường tròn qua A(2,-1)và txúc với Ox Oy
13 Cho A(-1,2), B(3,4) Tìm điểm C đường thẳng x - 2y + = cho tam giác ABC vuông C
14 Cho P(3,0) (d1) : 2x –y – = ; (d2) : x+y+3 = Viết phương trình đường thẳng qua P cắt (d1), (d2) A, B cho PA = PB
15 Cho (C1) : x2 + y2 – 4x + 2y – = ; (C2) : x2 + y2 –10x –6y+30 = có tâm I J
a) Chứng minh (C1)tiếp xúc với (C2) tìm tọa độ tiếp điểm H
(2)2
16 Cho parabol y 2 = 4x Một đường thẳng qua tiêu điểm parabol vàøcắt parabol A,B Chứng minh tích khoảng cách từ Avà B đến trục parabol số không đổi
17 Cho (C): x2 + y2 –1 = ; (Cm) :x2 + y2 –2(m+1 )x +4my –5 = a) CM có hai đường trịn thuộc họ (Cm) tiếp xúc với (C )
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn vừa tìm câu a) 18 Cho họ x2 + y2 – (m+1)x –2 (m+2)y +6m+7 =
a) Tìm quĩ tích tâm đường trịn họ
b) Xác định tâm của đường tròn thuộc ho ïđã cho mà tiếp xúc vớc Oy
19 Lập phương trình đường thẳng qua O cắt đường tròn (x-1)2 + (y-3)2 = 25 thành dây cung có độ dài
20 Cho parabol y = x2-2x vaø elip x2 +9y2 =
a) CMR parabol elip cắt điểm phân biệt A,B,C,D
b) CMR A,B,C,D nằm đường trịn Xác định tâm bán kính đường trịn
21 Cho A(5,-3) , B(-3,-4) ,C(-4,3)
a) Tính độ dài đường cao AH tính diện tích tam giác ABC
b) Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tếp tam giác ABC viết phương trình đường trịn 22 Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng :
4x+3y – = tiếp xúc với hai đường thẳng : 7x –y +4 = 0; x+y+4 =
23 Cho tam giác ABC , biết A(2, -1) phương trình hai đường phân giác góc B C x - 2y + = 0, x+ y + = Tìm phương trình cạnh BC
24 Tìm tập hợp điểm M(x,y) mặt phẳng Oxy cho khoảng cách từ M đến điểm F(0,4) hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng y =
25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho họ đường cong (Cm) có phương trình x2 + y2 + 2(m-1)x –2(m-2)y + m2 – 8m +13 =
1) Tìm tất giá trị m để (Cm) đường trịn Tìm quĩ tích tâm I đường tròn (Cm) m thay đổi
2) Cho m = Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1;5) đến đường tròn (C4) 26 Cho tam giác ABC có đỉnh C(-2,-4) trọng tâm G(0,4), M trung điểm cạnh BC 1) Cho M(2,0) Tính tọa độ điểm A B
2) Giả sử M di động đường thẳng x+ y – = 0, tìm quĩ tích điểm B Xác định M để độ dài cạnh AB ngắn
27 Cho họ đường cong (Cm) có phuơng trình (m2 –25)x2 – m2 y2 = m2(m2-25) , m0,m25
1) Tuyø theo m xác định (Cm) elip, naøo laø hyperbol?
2) Giả sử A điểm tuỳ ý đường thẳng x =1 A Ox CMR với điểm ln có đường cong họ (Cm) qua
28 Cho đường tròn (C) : x2
(3)3
29 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) x2 + y2 = Đường tròn (C’) cắt ( C) điểm A, B cho AB = a 2 Viết phương trình đường thẳng AB
30 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) điểm B thuộc trục Ox có hịanh độ khơng âm, điểm C
thuộc trục Oy có tung độ khơng âm, tam giác ABC vng A Tìm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn
31 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) biết phương trình cạnh
AB, AC theo thứ tự 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y – = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C
32 Cho đường tròn (C) : x2 +y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường trịn (C’) tâm M(5,1) biết (C’) cắt (C) điểm A, B cho AB = a
33 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0, 1) , B(2, -1 ) đường thẳng :
D1 : ( m – )x + ( m – ) y + – m = D2 : (2 – m )x + (m – )y + 3m – =
Chứng minh (D1) (D2) luôn cắt Gọi P = (D1)(D2) Tìm m cho PA + PB lớn
34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x y d2: 3x y Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích
2 điểm A có hoành độ dương
35.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y 4 = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; 3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho
36.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương
37 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2; ) elip (E):
2
1
x y
Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ANF2
38.Trong mặt phẳng toa ̣ đô ̣ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành đô ̣ dương
39.Trong mặt phẳng toa ̣ đô ̣ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vng góc của A Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến tru ̣c hoành AH
(4)4
PHẦN II HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 1 Chứng minh đường thẳng sau cắt
(D1) : x=2t-3, y = 3t-2, z = 4t+6 ; (D2) : x = t+5 , y = -4t -1, z = t+20 2 Hãy xác định góc nhọn tạo đường thẳng
x y z
x y z
4 2 7 0
3 7 2 0 với mp 3x+y-z +1 =
Cho điểm A(1,0,0) đường thẳng (D) :x12 y21 1z 1) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc vơí (D) 2) Tính khoảng cách từ A đến (D)
4 Cho I(2,3,-1) vaø (D) : 53x 44y 3z 8 020 0
x y z
1) Tìm véc tơ phương của(D) Suy phương trình mp (P) qua I vng góc với (D) 2) Tính khoảng cách từ I đến (D) Suy phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho (S) cắt (D) hai điểm A, B thỏa AB = 40
5 Lập phương trình tắc đương thẳng qua điểm A(0,0,1),vng góc với đường thẳng
(D1) x y z
x 2 0
1 0 cắt đường thẳng
x y z
1 3
2
1 1 6 Cho đường thẳng (d) : 24x 45y z 14 07 0
x y z
mặt phẳng
(P) : 2x+y-2z-2 = , (Q) : x+2y-2z +4 =0 1)Viết phương trình hình chiếu (d) (P)
2)Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng (P)và (Q) 7 Cho mặt phẳng (P) : 6x +3y +2z -6 =
1)Tìm toạ độ hình chiếu điêûm A (0,0,1) lên mặt phẳng (P) 2) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (P)
8 Cho A(1,4,5), B(0,3,1), C(2,-1,0) , mp (P) : 3x-3y-2z-15 = Gọi G trọng tâm tam gíac ABC , M thuộc mp (P)
CMR MA2+MB2+MC 2 nhỏ M trùng với hình chiếu G lên mặt phẳng (P), xác định toạ độ điểm
9 Cho (D1) : x y z
x y z
2 0
1 0 (D2) :
(5)5 a) CMR (D1) (D2) chéo
b)Tính khoảng cách giữa(D1) (D2)
c) Viết phương trình đường thẳng qua M(1,1,1) cắt đồng thời cả(D1) (D2)
10 Cho mp () : 2x-y+z+1 = hai điểm P(3,1,0), Q(-9,4,9) Tìm M thuộc mp () cho
MP-MQ lớn
11 Cho M(1,2,-1), vaø (d) :x y z
1 3
2 2
2
2 Gọi N điểm đối xứng M qua (d) Tính độ dài đoạn MN
12 Cho mp ( P) : x+z+2= vaø (d) :x y z
1 1
3 2
1 2 a) Tính góc nhọn tạo (d) (P)
b)Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc (d) lên (P) 13 Cho (P) :x+y+z-3 = , (D) :
x z y z
3 0
2 3 0 Tìm phương trình hình chiếu (D) mặt phẳng (P)
14 Cho (D) : x = 1+2t , y = 2-t, z = 3t (P) : 2x-y-2z+1 =
a)Tìm toạ độ điểm thuộc (D) cho khoảng cách từ đến (P) b) Goị K điểm đối xứng I qua (D), xác định K
15 Cho (P) :4x+ay+6z-10 = 0, (Q) : bx-12y-12z+4 = 0, a,b R 1) Xác định a,b cho (P)// (Q).Tính khoảng cách (P),(Q)
2) Khi a=b=0, tìm hình chiếu H A(1,1,1) giao tuyến (D) hai mặt phẳng (P),(Q) tính khoảng cách từ A đến (D)
16 Trong không gian Oxyz cho : S(0,0,a/3), tam giác OAB mặt phẳng Oxy có cạnh a, đường thẳng AB // Oy
1) Xác định tọa độ điểm A,B trung điễm E OA, sau viết phương trình mp (P) chứa SE song song Ox
2) Tính khoảng cách từ O đến (P) từ suy khoảng cách giưa Ox SE 17 Cho tứ diện ABCD với A(1,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2),D (2,2,1)
1) Viết phương trình đường vng góc chung AB CD 2) Tính thể tích tứ diện ABCD
3)Viết phương trình hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
18 Cho A(1,3,2) , B(1,2,1), C(1,1,3).Viết phương trình tham số đươøng thẳng qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mf (ABC)
19 Cho A(-1,3,2) ,B(4,0,-3), C(5,-1,4),D (0,6,1)
1) Viết phương trình tham số đường thẳng (BC) Hạ AH BC Tính toạ độ H
(6)6
20 Tính tọa độ tâm bán kính của đường tròn x y z x y z
x y z
2 2 2 4 6 6 17 0
2 2 1 0
21 Cho (d) :x1 y z
2
1 1
2
3 , (P) : x - y - z -1 =
Tìm phương trình tắc đướng thẳng qua A(1,1,-2) song song với mf (P) vng góc với (d)
22. Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(-3 , 5, - ); B(5, -3 , 7) mặt phẳng (P) : x + y + z =
1) Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) 2) Tìm M thuộc (P) cho MA2 +MB2 nhỏ
23 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(-1,3, -2 ), B(-3,7, -18) mặt phẳng
(P): 2x- y +z + =
1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với (P) 2) Tìm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ
24 Cho đường thẳng d :
3
2 1
x y z
và mặt phẳng (P) : x + y + z + = 1) Tìm giao điểm M d (P)
2) Viết phương trình đường thẳng (D) nằm (P) cho (D) vng góc với d khoảng cách từ M đến D 42.
25.Trong không gian Oxyz cho điểm A(2,0,0) , M(0, - 3, )
1) Chứng minh mặt phẳng (P) : x + 2y – = tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO Tìm tọa độ tiếp điểm
2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M cắt Oy,Oz điểm tương ứng B, C cho VOABC =
26. Cho mặt phẳng (P) : x -2y + 2z – = đường thẳng
3
( )
2 1
x y z
d
5
( )
6
x y z
d
1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 (Q) vng góc với (P)
(7)7
27.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
mặt phẳng
(P) : x 2y + z = Gọi C giao điểm với (P), M điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
28 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) đường thẳng : 2
2
x y z
Tính khoảng cách từ A đến Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt hai điểm B C cho BC =
29.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P): y – z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)
3
30.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
Xác định tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng cách từ M đến OM
31.Trong không gian toạ đô ̣ Oxyz, cho hai mă ̣t phẳng (P): x + y + z = (Q): x y + z = Viết phương trình mă ̣t phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) bằng
32.Trong không gian toạ đô ̣ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
x t
y t z t
2:
2
2
x y z
(8)8
PHẦN III HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Trên AB lấy điểm M, CC’ lấy
điểm N, D’A’ lấy điểm P cho AM= CN = D’P = x (0 x a )
1) Chứng minh tam giác MNP tam giac Tính diện tích MNP theo a x
2) Khi x = a/2 tính thể tích khối tứ diện B’MNP tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
2 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng ABC Cho AC = AD = AB =
3 , BC = Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng BCD
3 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N
trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mf AMN vng góc với mf SBC
4 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a
1) Tính theo a khỏang cách A’B B’D
2) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N
5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính số đo góc phẳng nhị diện
[B, A’C, D]
6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = a, CD =
2a Cạnh bên SD vng góc với mf ABCD, SD = a 1) CMR tam giác SBC vng, tính diện tích 2) Tính khỏang cách từ A đến mf SBC
7 Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABC A lấy điểm M Gọi H trực tâm tam giác ABC, K trực tâm tam giác BCM
1) CMR MC vng góc (BHK), HK vng góc (BCM)
2) Khi M thay đổi d, tìm giá trị lớn thể tích tứ diện KABC
8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD = a
Gọi I, J trung điểm AD, BC 1) CMR (SIJ) vng góc (SBC)
2) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB
9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a
SA = a SA vng góc (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC CMR (SAC) vuông góc (SBM) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
10 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a, SA vng góc
(ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc a đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
11 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB,BC, CD CMR AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP
12 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A,
AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mf(ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’
(9)9
mặt phẳng SAB SBC 600 Gọi H K hình chiếu vng góc A SB, SC CMR tam giác AHK vng tính thể tích hình chóp SABC theo R
14 Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b hai mặt phẳng ACD BCD vuông góc với
a)CMR tam giác ACD vng
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
15 Cho hình trụ có bán kính đáy R, thiết diện qua trục hình trụ hình vng a) Tính diện tích thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ
b) Một mặt phẳng (P) song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo dây cung có độ dài bán kính đáy hình trụ Tính diện tích thiết diện hình trụ hình cầu ngaoi5 tie61o hình trụ cắt mặt phẳng (P)
16 Cắt hình nón N (đỉnh S) mặt phẳng qua trục no ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích N
b) Cho dây cung BCcủa đường trịn đáy cho mp SBC tạo với đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC
c) Tính diện tích thể tích hình cầu nội tiếp hình nón
17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng
(ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a
18 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoa ̣n AC,
4 AC