VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Boå sung · Dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï hình choùp baèng toång dieän tích caùc maët beân · Diện tích toàn phần của hình lăng trụ hình chóp bằn[r]
(1)TRAÀN SÓ TUØNG ›š & ›š BAØI TAÄP HÌNH HOÏC 12 TAÄP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Naêm 2009 Lop11.com (2) Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän CHÖÔNG OÂN TAÄP HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN 11 I QUAN HEÄ SONG SONG Hai đường thẳng song song a) Ñònh nghóa: ìa, b Ì ( P ) aP b Û í îa Ç b = Æ b) Tính chaát ì( P ) ¹ (Q) ¹ ( R ) ïï( P ) Ç (Q) = a é a, b, c đồng qui · í Þê Ç = ( P ) ( R ) b ëa P b P c ï ïî(Q) Ç ( R ) = c ìa ¹ b ·í Þ aP b îa P c, b P c ì( P ) Ç (Q) = d ï éd P a P b · í( P ) É a,(Q) É b Þ ê ë d º a ( d º b) ïîa P b Đường thẳng và mặt phẳng song song a) Ñònh nghóa: d // (P) Û d Ç (P) = Æ b) Tính chaát ìd Ë ( P ), d ' Ì ( P ) ìd P ( P ) ·í ·í Þ d P ( P) Þd P a îd P d ' î(Q) É d ,(Q ) Ç (P ) = a ì( P ) Ç (Q) = d ·í Þd P a î( P ) P a,(Q) P a Hai maët phaúng song song a) Ñònh nghóa: (P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Æ b) Tính chaát ì( P ) É a, b ì( P ) ¹ (Q) ì(Q) P ( R ) ï ï ï · ía Ç b = M Þ ( P ) P (Q) · í( P ) P ( R ) Þ ( P ) P (Q ) · í( P ) Ç (Q) = a Þ a P b ïîa P (Q), b P (Q ) ïî(Q) P ( R ) ïî( P ) Ç ( R ) = b Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng các cách sau: · Chứng minh đường thẳng đó đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) · Chứng minh đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba · AÙp duïng caùc ñònh lí veà giao tuyeán song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P ( P ) , ta chứng minh d không nằm (P) và song song với đường thẳng d¢ nào đó nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng Trang Lop11.com (3) Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng II QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC Hai đường thẳng vuông góc a) Ñònh nghóa: a ^ b Û ( a¶ , b ) = 90 b) Tính chaát r r rr · Giả sử u là VTCP a, v là VTCP b Khi đó a ^ b Û u.v = ìb ¤¤ c ·í Þa^b îa ^ c Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc a) Ñònh nghóa: b) Tính chaát d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P) ìa, b Ì ( P ), a Ç b = O · Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng: í Þ d ^ ( P) îd ^ a, d ^ b ìa P b ìa ¹ b · í · í Þ (P) ^ b ÞaP b î( P ) ^ a îa ^ ( P ), b ^ ( P ) ì( P ) P (Q) ì( P ) ¹ (Q) · í · í Þ ( P ) P (Q) Þ a ^ (Q) î( P ) ^ a,(Q) ^ a îa ^ ( P ) ìa P ( P ) ìa Ë ( P ) · í · í Þb^a Þ a P ( P) îb ^ ( P ) îa ^ b,( P ) ^ b · Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng taïi trung ñieåm cuûa noù Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đó · Định lí ba đường vuông góc Cho a ^ ( P ), b Ì ( P ) , a¢ là hình chiếu a trên (P) Khi đó b ^ a Û b ^ a¢ Hai maët phaúng vuoâng goùc a) Ñònh nghóa: ( ) (P) ^ (Q) Û · ( P ),(Q) = 900 b) Tính chaát ì( P ) É a · Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: í Þ ( P ) ^ (Q) îa ^ (Q) ì( P ) ^ (Q) ï ì( P ) ^ (Q),(P ) Ç (Q ) = c · í A Î (P ) · í Þ a Ì (P) Þ a ^ (Q) îa Ì ( P ), a ^ c ïîa ' A, a ^ (Q) ì( P ) Ç (Q) = a ï · í( P ) ^ ( R ) Þ a ^ ( R) ïî(Q) ^ ( R ) Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ^ a , ta có thể sử dụng các cách sau: · Chứng minh góc a và d 900 · Chứng minh vectơ phương a và d vuông góc với · Chứng minh d ^ b mà b P a Trang Lop11.com (4) Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän · Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a · Sử dụng định lí ba đường vuông góc · Sử dụng các tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …) b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh các cách sau: · Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) · Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P) · Chứng minh d // a và a ^ (P) · Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) và d vuông góc với giao tuyến c (P) và (Q) · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) và (R) ^ (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh các cách sau: · Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ^ (Q) · Chứng minh (· P ),(Q) = 900 ( ) III GÓC – KHOẢNG CÁCH Goùc a) Góc hai đường thẳng: Chuù yù: 00 £ ( a¶ , b ) £ 900 a//a', b//b' Þ ( a¶ , b ) = ( a· ', b ' ) b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: · Neáu d ^ (P) thì d· ,( P ) = 900 ( ( ) ) · Neáu d ^ ( P ) thì d· ,( P ) = ( d· , d ' ) với d¢ là hình chiếu d trên (P) Chuù yù: 00 £ d· ,( P ) £ 900 ( ) ( ) ìa ^ ( P ) · ¶ íb ^ (Q) Þ ( P ),(Q) = ( a, b ) î ìa Ì ( P ), a ^ c · Giả sử (P) Ç (Q) = c Từ I Ỵ c, dựng í Þ (· P ),(Q) = ( a¶ , b) b Ì ( Q ), b ^ c î Chuù yù: 0 £ (· P ),(Q) £ 90 c) Góc hai mặt phẳng ( ( ) ) d) Dieän tích hình chieáu cuûa moät ña giaùc Goïi S laø dieän tích cuûa ña giaùc (H) (P), S¢ laø dieän tích cuûa hình chieáu (H¢) cuûa (H) treân (Q), j = (· P ),(Q) Khi đó: S¢ = S.cosj ( ) Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng Trang Lop11.com (5) Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng: · Độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó · Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng thứ · Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng IV Nhắc lại số công thức Hình hoïc phaúng Hệ thức lượng tam giác a) Cho DABC vuông A, có đường cao AH 1 = + 2 AH AB AC b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p · Ñònh lí haøm soá cosin: · AB + AC = BC · AB = BC.BH , AC = BC.CH · a =b + c – 2bc.cosA; b2 = c + a2 - 2ca.cos B; c2 = a2 + b2 - ab.cos C a b c · Ñònh lí haøm soá sin: = = = 2R sin A sin B sin C · Công thức độ dài trung tuyến: b + c2 a2 c + a2 b a2 + b2 c2 - ; mb2 = - ; mc2 = 4 Các công thức tính diện tích a) Tam giaùc: 1 1 1 · S = a.ha = b.hb = c.hc · S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc · S= · S = pr · S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) 4R · DABC vuoâng taïi A: 2S = AB AC = BC AH ma2 = · DABC đều, cạnh a: b) Hình vuoâng: c) Hình chữ nhật: S= S = a2 S = a.b a2 (a: caïnh hình vuoâng) (a, b: hai kích thước) · d) Hình bình haønh: S = đáy ´ cao = AB AD.sinBAD · = AC BD e) Hình thoi: S = AB AD.sinBAD f) Hình thang: S = (a + b ).h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC BD Trang Lop11.com (6) Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän CHÖÔNG I KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c là ba kích thước khối hộp chữ nhật Theå tích cuûa khoái choùp: V = Sđáy h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp 3 Theå tích cuûa khoái laêng truï: V = Sđáy h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ Moät soá phöông phaùp tính theå tích khoái ña dieän a) Tính thể tích công thức · Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … · Sử dụng công thức để tính thể tích b) Tính theå tích baèng caùch chia nhoû Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng các kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính theå tích baèng caùch boå sung Ta coù theå gheùp theâm vaøo khoái ña dieän moät khoái ña dieän khaùc cho khoái ña dieän thêm vào và khối đa diện tạo thành có thể dễ tính thể tích d) Tính thể tích công thức tỉ số thể tích Ta coù theå vaän duïng tính chaát sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta có: VOABC OA OB OC = VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Boå sung · Dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích caùc maët beân · Diện tích toàn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Góc mặt bên và mặt đáy a (450 < a < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h = Baøi 1 a tan a Þ V = a3 tan a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với mp(SCD) cắt SC vaø SD taïi C¢ vaø D¢ Tính theå tích cuûa khoái ña dieän ADD¢.BCC¢ HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì khối SABCD ÞV= 5a3 Trang Lop11.com (7) Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại Tính theå tích hình choùp theo x vaø y HD: Chia khoái SABC thaønh hai khoái SIBC vaø AIBC (I laø trung ñieåm SA) xy ÞV= - x - y2 12 Bài Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a, b, c HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R cho B, C, D là trung điểm PQ, QR, RP Chuù yù: VAPQR = 4VABCD = AP AQ AR ( a2 + b2 - c2 )(b2 + c - a )(c + a - b ) 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA ^ (ABC).Gọi M và N là hình chiếu A trên các đường thẳng SB và SC Tính theå tích khoái choùp A.BCNM ÞV= HD: Baøi VSAMN VSABC SA SM SN æ SA ö 16 3a3 Þ V= = = çç ÷÷ = 25 50 SA SB SC è SB ø Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = cm Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm Tính theå tích khoái choùp S.ABC Bài Cho hình tứ diện ABCD có AD ^ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy góc 450 và dieän tích DABC¢ baèng 49 cm2 Tính theå tích laêng truï Bài 10 Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và cùng phía mặt phẳng Trên Bx và Dy lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a , SA ^ (ABCD) Gọi M,N là trung điểm AD và SC, I là giao điểm BM và AC a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA ^ (ABC) Gọi M và N là hình chiếu A trên các đường thẳng SB, SC Tính thể tích khoái choùp A.BCNM Bài 13 (A–08) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giaùc vuoâng taïi A, AB = a, AC = a vaø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A’ treân (ABC) laø trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và cosin góc đường thẳng AA’ và B’C’ Trang Lop11.com (8) Traàn Só Tuøng HD: Khoái ña dieän V= a3 ; cos j = Bài 14 (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a và (SAB) vuông góc mặt đáy Gọi M, N là trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin góc hai đường thẳng SM và DN HD: V= a3 ; cos j = 5 Bài 15 (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, caïnh beân AA’ = a Goïi M laø trung ñieàm cuûa BC Tính theo a theå tích cuûa laêng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách đường thẳng AM, B¢C HD: a3 ; V= d= a 7 Bài 16 (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM ^ BP và tính thể tích khối CMNP HD: 3a3 96 V= Bài 17 (B–07): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Chứng minh MN ^ BD và tính khoảng cách hai đường thẳng MN vaø AC HD: d= a Bài 18 (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với · ABC = · BAD = 900 , BC = BA = a, AD = 2a SA^(ABCD), SA = a Goïi H laø hình chiếu vuông góc A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD) HD: d= a Bài 19 (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy chiều cao và a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO¢AB HD: V= 3a3 12 Bài 20 (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a và SA ^ (ABCD) Gọi M, N là trung điểm AD, SC; I là giao điểm BM và AC Chứng minh (SAC) ^ (SMB) Tính thể tích khối tứ dieän ANIB HD: a3 V= 36 Bài 21 (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = Trang Lop11.com (9) Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng 2a và SA ^ (ABC) Gọi M, N là hình chiếu vuông góc A trên SB, SC Tính theå tích cuûa hình choùp A.BCMN HD: V= 3a3 50 Bài 22 (Dự bị A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a vaø · BAC = 1200 Gọi M là trung điểm CC1 Chứng minh MB ^ MA1 và tính khoảng cách d từ A đến (A1BM) HD: d= a Bài 23 (Dự bị A–07): Cho hình chóp SABC có góc · (SBC ),( ABC ) = 600 , ABC vaø SBC ( ) là các tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) HD: d= 3a 13 Bài 24 (Dự bị B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^ (ABCD) AB = a, SA = a Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A trên SB, SD Chứng minh SC^(AHK) và tính thể tích tứ diện OAHK HD: 2a V= 27 Bài 25 (Dự bị B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) taïi A laáy ñieåm S cho · (SAB),(SBC ) = 600 Gọi H, K là hình chiếu A ( ) trên SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC HD: V= R3 12 Bài 26 (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N là trung điểm đoạn AA1 và BC1 Chứng minh MN là đường vuông góc chung AA1 và BC1 Tính thể tích tứ diện MA1BC1 HD: a3 V= 12 Bài 27 (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất các cạnh a M là trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ^ B1C và tính khoảng cách hai đường thẳng BM và B1C HD: d= a 30 10 Bài 28 (Dự bị A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, a AA' = vaø · BAD = 600 Gọi M, N là trung điểm các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC' ^ (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Trang Lop11.com (10) Traàn Só Tuøng HD: Khoái ña dieän V= 3a3 16 Bài 29 (Dự bị A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Treân caïnh SA laáy ñieåm M cho AM = Tính theå tích khoái choùp S.BCMN HD: V= a Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi N 10 3 a 27 Bài 30 (Dự bị B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, · BAD = 600 , SA ^ (ABCD), SA = a Goïi C' laø trung ñieåm cuûa SC Maët phaúng (P) ñi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD B', D' Tính thể tích khối choùp S.AB'C'D' HD: V= a3 18 Bài 31 (Dự bị B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi a là góc hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) Tính tana vaø theå tích khoái choùp A'.BB'C'C HD: a 3b - a2 V= Bài 32 (Dự bị D–06): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH là đường cao hình chóp Khoảng cachs từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) baèng b Tính theå tích khoái choùp S.ABCD HD: a3b V= a2 - 16b Bài 33 (Dự bị D–06): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh a và điểm K thuộc cạnh CC¢ cho CK = a Mặt phẳng (a) qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện đó HD: a3 V1 = ; 2a3 V2 = Bài 34 (Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ^ (ABC) Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC 1200 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 35 (Dự bị 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh raèng tam giaùc AMB caân taïi M vaø tính dieän tích tam giaùc AMB theo a Trang Lop11.com (11) Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng OÂN TAÄP KHOÁI ÑA DIEÄN ASB = a Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, có cạnh đáy a và · a) Tính dieän tích xung quanh hình choùp b) Chứng minh đường cao hình chóp a a cot - 2 c) Tính theå tích khoái choùp HD: a) Sxq = a cot a c) V = a a cot - Bài Cho hình chóp SABC có mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A Trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc a và tạo với mp(SAD) góc b a) Xaùc ñònh caùc goùc a, b b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp HD: a) · SBA = a ; · BSD = b c) Stp = V= a2 a sin b (sin 2a + sin b ) + cos2 a - sin b cos2 a - sin b a3 sin a sin b 3(cos2 a - sin b ) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AB và M là điểm di động trên đường thẳng BC a) Chứng minh SH ^ (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tìm tập hợp các hình chiếu S lên DM c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK = a a - 4ax + x 2 a2 + x Bài Trên đường thẳng vuông góc A với mặt phẳng hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B¢, D¢ là hình chiếu A lên SB và SD Mặt phẳng (AB¢D¢) caét SC taïi C¢ Tính theå tích khoái choùp SAB¢C¢D¢ HD: VSAB¢C ¢ VSABC 16a3 = Þ VSAB¢C¢D¢ = 15 45 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A¢, B¢, C¢, D¢ Chứng minh: SA SC SB SD + = + SA¢ SC¢ SB¢ SD¢ HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp Bài Cho tứ diện SABC có cạnh là a Dựng đường cao SH a) Chứng minh SA ^ BC Trang 10 Lop11.com (12) Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän b) Tính thể tích và diện tích toàn phần hình chóp SABC c) Gọi O là trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đôi vuông góc với a3 ; Stp = a2 12 Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 và cạnh đáy a a) Tính theå tích khoái choùp b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo (P) vaø hình choùp HD: b) V = a3 a2 b) S = Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h và góc đáy mặt bên laø a HD: a) V = a) Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích khoái choùp theo a vaø h b) Cho điểm M di động trên cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu S xuống mp(MAB) HD: a) Sxq = 4h tan a tan a - ; V= 4h3 3(tan a - 1) Bài Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £ x £ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0) a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC) c) Tính theå tích khoái choùp SABCM d) Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích với SABCM e) I là trung điểm SC Tìm quĩ tích hình chiếu I xuống MC M di động trên đoạn AD x 1 c) V = ay( x + a) d) Vmax = a 24 Bài 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB goùc b HD: b) d = a) Chứng minh: SC2 = a2 cos2 a - sin b b) Tính theå tích khoái choùp HD: b) V = a3 sin a sin b 3(cos2 a - sin b ) Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy a) Tính diện tích toàn phần hình chóp b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD Chứng minh SC ^ (AEF) Bài 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD Trang 11 Lop11.com (13) Khoái ña dieän Traàn Só Tuøng Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông A và D, AB = AD = a, CD = 2a Caïnh beân SD ^ (ABCD) vaø SD= a a) Chứng minh DSBC vuông Tính diện tích DSBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD = a Từ trung điểm E DC dựng EK ^ SC (K Ỵ SC) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ (EBK) Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D Biết AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cạnh bên SA =3a và vuông góc với đáy a) Tính dieän tích tam giaùc SBD b) Tính thể tích tứ diện tứ diện SBCD theo a Bài 16 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B Cạnh SA vuông góc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ^ SB và AE ^ SC Biết AB = a, BC = b, SA = c a) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ADE b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB) Bài 17 Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy a, đường chéo mặt bên BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ góc a a) Xaùc ñònh goùc a b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: a3 sin 3a sin a HD: a) · C ¢BI ¢ với I¢ là trung điểm A¢B¢ Bài 18 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h Mặt phẳng (A¢BD) hợp với maët beân ABB¢A¢ moät goùc a Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh cuûa laêng truï HD: V = h3 tan a - , Sxq = 4h2 tan a - Bài 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông A Khoảng cách từ AA¢ đến mặt bên BCC¢B¢ a, mp(ABC¢) cách C khoảng b và hợp với đáy góc a a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢ Chứng minh: AH = a, · CAC ¢ = a, CK = b b) Tính theå tích laêng truï c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi Định a để thể tích lăng trụ nhỏ HD: b) V = ab3 c) a = arctan 2 sin 2a b2 - a2 sin a Bài 20 Cho lăng trụ ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy a Góc đường chéo AC¢ và đáy là 600 Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ V = a3 ; Sxq = 4a2 Bài 21 Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h Từ đỉnh vẽ đường chéo mặt bên kề Góc đường chéo là a Tính diện tích xung quanh hình lăng truï HD: HD: Sxq = 4h2 - cos a cos a Trang 12 Lop11.com (14) Traàn Só Tuøng Khoái ña dieän Bài 22 Cho lăng trụ tam giác ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC¢) hợp với mp(BCC¢B¢) góc a Gọi I, J là hình chiếu A lên BC và BC¢ AJI = a a) Chứng minh · b) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình laêng truï HD: b) V = 3a3 ; Sxq = 3a2 tan a - tan a - Bài 23 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b a) Xác định đường cao lăng trụ vẽ từ A¢ Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ nhaät b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 600 c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm a2 c) Stp = (7 + 21) 12 Bài 24 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhị diện có số đo a (0 < a < 900) a) Chứng minh: · A¢AB = a HD: b) b = a b) Tính theå tích laêng truï c) Xaùc ñònh thieát dieän thaúng qua A Tính dieän tích xung quanh laêng truï d) Gọi b là góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy Chứng minh: tanb = tana c) Sxq = a2(1 + sina + + sin a ) HD: b) V = a3sina Bài 25 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu A¢ lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC) Cho · BAA¢ = 450 a) Tính theå tích laêng truï b) Tính dieän tích xung quanh laêng truï a2 2 b) Sxq = a2(1 + ) Bài 26 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Hình chiếu C¢ lên mp(ABC) là O Khoảng cách AB và CC¢ là d và số ño nhò dieän caïnh CC¢ laø 2j HD: a) V = a) Tính theå tích laêng truï b) Gọi a là góc mp(ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 900) Tính j bieát a + j = 900 HD: a) V = 2d tan3 j tan j - b) tana = tan j - ; j = arctan 2 Bài 27 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Mặt bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này hợp với góc a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢) Xác định góc a b) Tính theå tích laêng truï Trang 13 Lop11.com (15) Khoái ña dieän HD: Traàn Só Tuøng a) a Gọi AK là đường cao DABC; vẽ KH ^ BB¢ · AHK = a 3a3 cot a Bài 28 Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy là hình thoi Biết diện tích mặt chéo ACC¢A¢, BDD¢B¢ laø S1, S2 b) V = a) Tính dieän tích xung quanh hình hoäp b) Bieát · BA¢D = 1v Tính theå tích hình hoäp HD: a) Sxq = S12 + S22 b) V = S1S2 S2 - S2 Bài 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ góc b a) Chứng minh: · CAC ¢ = a vaø · AC ¢B = b b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos(a + b ).cos(a - b ) c) Tìm hệ thức a, b để A¢D¢CB là hình vuông Cho d không đổi, a và b thay đổi mà A¢D¢CB luôn là hình vuông, định a, b để V lớn d3 a = b = 300 (duøng Coâsi) 32 Bài 30 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600 Chân đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy Cho BB¢ = a HD: c) 2(cos2a – sin2b) = ; Vmax = a) Tính góc cạnh bên và đáy b) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình hoäp HD: a) 600 b) V = 3a3 ; Sxq = a2 15 Bài 31 Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và · BAD = 600; A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy góc a a) Xác định chân đường cao hình hộp vẽ từ A¢ và góc a Tính thể tích hình hộp b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢ ( ABB¢A¢, ABCD ) Tính a bieát a + b = p c) Ñaët b = · HD: a) Chân đường cao là tâm tam giác ABD b) SBDD¢B¢ = a2 ; SACC¢A¢ = a2tana sin a c) a = arctan 17 - Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này transitung_tv@yahoo.com Trang 14 Lop11.com (16)