Một điều cuối cùng trước khi đi vào ví dụ đó là việc học thuộc được hết từng này tính chất thì chắc là sẽ khó nếu bạn không nắm rõ bản chất của hàm số và sự biến thiên cho từng hàm cụ t[r]
(1)Thạc sĩ Nguyễn Chí Phương
Trang / Chuyên đề Khảo sát hàm số
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC TRÊN MỘT TẬP TÙY Ý
Như ta biết chương trình phổ thơng, tốn biến thiên hàm số ứng dụng đạo hàm khái quát sau: Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có tập xác định 𝐷, 𝐾 ⊂ 𝐷 Hàm 𝑓 gọi đồng biến trên 𝐾 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾; nghịch biến 𝐾 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓′(𝑥) = 0 xảy
ra số hữu hạn điểm thuộc 𝐷 Trong học hôm chủ yếu xây dựng toán biến thiên cho
hàm bậc Đối với hàm bậc TXĐ ℝ 𝑓′(𝑥) hàm bậc Do ta có trường hợp biến thiên sau (lưu ý phần ngoặc”(.)” sau chữ “tương ứng” đại diện cho trường hợp nghịch biến):
Biến thiên ℝ
Hàm số 𝑓 gọi đồng biến (tương ứng, nghịch biến) ℝ
𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ ⇔ {∆𝑓′≤
𝑎𝑓′ > 0(tương ứng, 𝑓
′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ ⇔ {∆𝑓′≤
𝑎𝑓′ < 0)
Biến thiên [𝛼; +∞)
Hàm số 𝑓 gọi đồng biến (tương ứng, nghịch biến) ℝ 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝛼; +∞) (tương ứng, 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ [𝛼; +∞)) trường hợp sau xảy
{𝑎∆𝑓′≤
𝑓′ > {
∆𝑓′>
𝑎𝑓′ >
𝑥1< 𝑥2≤ 𝛼
(tương ứng, {𝑎∆𝑓′≤
𝑓′< {
∆𝑓′>
𝑎𝑓′ <
𝑥1< 𝑥2 ≤ 𝛼
)
Biến thiên (−∞; 𝛼]
- Hàm số 𝑓 gọi đồng biến (tương ứng, nghịch biến) ℝ 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (−∞; 𝛼] (tương ứng, 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ (−∞; 𝛼]) trường hợp sau xảy
{𝑎∆𝑓′≤
𝑓′ > {
∆𝑓′>
𝑎𝑓′ >
𝛼 ≤ 𝑥1< 𝑥2
(tương ứng, {𝑎∆𝑓′≤
𝑓′ < {
∆𝑓′>
𝑎𝑓′ <
𝛼 ≤ 𝑥1< 𝑥2
)
Biến thiên [𝛼; 𝛽]
- Hàm số 𝑓 gọi đồng biến (tương ứng, nghịch biến) ℝ 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝛼; 𝛽] (tương ứng, 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ [𝛼; 𝛽] ) trường hợp sau xảy
{𝑎∆𝑓′≤
𝑓′ >
{
∆𝑓′>
𝑎𝑓′ >
[𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑥1< 𝑥2 𝑥1< 𝑥2≤ 𝛼 < 𝛽
{
∆𝑓′>
𝑎𝑓′ <
𝑥1≤ 𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑥2
(
tương ứng, {𝑎∆𝑓′≤
𝑓′< {
∆𝑓′>
𝑎𝑓′ >
𝑥1≤ 𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑥2
hoặc {
∆𝑓′>
𝑎𝑓′ <
(2)Thạc sĩ Nguyễn Chí Phương
Trang / Lưu ý: Ta thay đoạn “[ ]” thành khoảng “( )” Dĩ nhiên biến thiên đoạn biến thiên khoảng Một điều cuối trước vào ví dụ việc học thuộc hết tính chất khó bạn không nắm rõ chất hàm số biến thiên cho hàm cụ thể Do thiết nghĩ học lý thuyết vừa nêu bạn nên học dạng chất công thức giống soạn học cho bạn Bây ta xét số ví dụ để minh họa cho lý thuyết
Ví dụ Tìm 𝒎 để hàm số 𝒚 =𝟏𝟑(𝒎 − 𝟏)𝒙𝟑+ 𝒎𝒙𝟐+ (𝟑𝒎 − 𝟐)𝒙 đồng biến ℝ
Giải: 𝑓′(𝑥) = (𝑚 − 1)𝑥2+ 2𝑚𝑥 + 3𝑚 − ⇒ 𝑎
𝑓′ = 𝑚 − 1và ∆′𝑓′= 2𝑚2− 5𝑚 + Hàm (1) đồng biến ℝ 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ ⇔ {∆
′ 𝑓′≤
𝑎𝑓′ > 0⇔ {2𝑚
2− 5𝑚 + ≤ 0
𝑚 > ⇔ < 𝑚 ≤
Vậy với < 𝑚 ≤ hàm số đồng biến ℝ
Ví dụ Tìm 𝒎 để hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑+ 𝟑𝒙𝟐− 𝒎𝒙 − 𝟒 đồng biến (−∞; −𝟐]
Giải:𝑓′(𝑥) = 3𝑥2+ 6𝑥 − 𝑚 ⇒ 𝑎
𝑓′ = > ∆′𝑓′ = + 3𝑚
Hàm số (2) đồng biến (−∞; −2] 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (−∞; 0] trường hợp sau xảy
∆′𝑓′ ≤ ⇔ + 3𝑚 ≤ ⇔ 𝑚 ≤ −3
{∆
′
𝑓′>
−2 ≤ 𝑥1< 𝑥2
⇔ {
9 + 3𝑚 > 𝑎𝑓′𝑓′(−2) = 3(−𝑚) ≥
−2 <𝑆
2= − 𝑏𝑓′
2𝑎𝑓′ = −1
⇔ {𝑚 > −3
𝑚 ≤ ⇔ −3 < 𝑚 ≤
Vậy với 𝑚 ≤ hàm số đồng biến (−∞; −2]
Ví dụ Tìm 𝒎 để hàm số 𝒚 = 𝟐𝒙𝟑− 𝟑(𝟐𝒎 + 𝟏)𝒙𝟐+ 𝟔𝒎(𝒎 + 𝟏)𝒙 + 𝟏 đồng biến (𝟐; +∞)
Giải: 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2− 6(2𝑚 + 1)𝑥 + 6𝑚(𝑚 + 1) ⇒ 𝑎
𝑓′ = > ∆′𝑓′ = > đó:
Hàm số (3) đồng biến (2; +∞) 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (2; +∞) trường hợp sau xảy ra:
⇔ 𝑥1< 𝑥2 ≤ ⇔ {
𝑎𝑓′𝑓′(2) ≥
𝑆 2<
⇔ {
6(𝑚2− 3𝑚 + 2) ≥ 2𝑚 +
2 <
⇔ 𝑚 ≤
Vậy với 𝑚 ≤ hàm số đồng biến (2; +∞)
Ví dụ (Khối A-2013) Tìm 𝒎 để hàm số 𝒚 = −𝒙𝟑+ 𝟑𝒙𝟐+ 𝟑𝒎𝒙 − 𝟏 nghịch biến (𝟎; +∞)
Giải: 𝑓′(𝑥) = −3𝑥2+ 6𝑥 + 3𝑚 ⇒ 𝑎
𝑓′ = −3 < 0và ∆′𝑓′ = + 9𝑚 đó:
Hàm số (4) nghịch biến (0; +∞) 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ (0; +∞) trường hợp sau xảy ra:
(3)Thạc sĩ Nguyễn Chí Phương
Trang /
{∆
′
𝑓′>
𝑥1< 𝑥2 ≤
⇔ {
9 + 9𝑚 > 𝑎𝑓′𝑓(0) ≥ 𝑆
2= < (𝑣ơ 𝑙í)
Vậy với 𝑚 ≤ −1 hàm số nghịch biến (2; +∞)
Ví dụ Tìm 𝒎 để hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑+ (𝟏 − 𝟐𝒎)𝒙𝟐+ (𝟐 − 𝒎)𝒙 + 𝒎 + 𝟐 đồng biến (𝟎; 𝟏)
Giải: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2+ 2(1 − 2𝑚)𝑥 + − 𝑚 ⇒ 𝑎
𝑓′= < 0và ∆′𝑓′ = 4𝑚2− 𝑚 −
Hàm số (5) đồng biến (0; 1) 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (0; 1) trường hợp sau xảy ra:
∆𝑓′≤ ⇔ 4𝑚2− 𝑚 − ≤ ⇔ −1 ≤ 𝑚 ≤5
{
∆𝑓′>
[0 < ≤ 𝑥𝑥 1< 𝑥2
1 < 𝑥2≤ <
⇔
{
4𝑚2− 𝑚 − > 0
[ {3𝑓
′(1) ≥ 0
1 <𝑆
2
{3𝑓
′(0) ≥ 0 𝑆 2<
⇔
{
[𝑚 < −1𝑚 >5
[
{7 − 5𝑚 ≥ 01 <2𝑚−1
{2 − 𝑚 ≥ 02𝑚−1 <
⇔
{
[𝑚 < −1𝑚 >5
[
{𝑚 ≤75
𝑚 > {𝑚 ≤ 2𝑚 <1
⇔ 𝑚 < −1
Vậy với 𝑚 ≤5
4 hàm số đồng biến (0; 1) Bài tập thực hành
Bài Tìm 𝑚 để hàm số 𝑦 =1
3(𝑚
2− 1)𝑥3+ (𝑚 − 1)𝑥2− 2𝑥 + nghịch biến khoảng (−∞; 2) Bài Tìm 𝑚 để hàm số 𝑦 = −2𝑥3+ 3𝑚𝑥2− đồng biến khoảng (1; 2)
Bài Tìm 𝑚 để hàm số 𝑦 = 2𝑥3+ 3𝑥2+ 6𝑚𝑥 − nghịch biến khoảng (0; 2) Bài Tìm 𝑚 để hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑚𝑥2+ 3(2𝑚 − 1)𝑥 đồng biến khoảng (2; 3) Bài (ĐH Hải 2000) Tìm 𝑚 để hàm số 𝑦 = −1
3𝑥
3+ (𝑚 − 1)𝑥2− (𝑚 − 3)𝑥 − 4 đồng biến khoảng (0; 3)