Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác - Chuyên đề đại số 10

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực có một điểm nằm trên đường tròn lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số [r]

(1)

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Giá trị lượng giác góc(cung) lượng giác

a) Đường trịn lượng giác: Đường tròn lượng giác đường tròn đơn vị, định hướng chọn điểm A làm gốc

b) Tương ứng số thực điểm đường tròn lượng giác

Điểm M đường tròn lượng giác cho OA OM, gọi điểm xác định số (hay cung , hay góc ) Điểm M cịn gọi điểm đường trịn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo

Nhận xét: Ứng với số thực có điểm nằm đường trịn lượng(điểm xác định số đó) tương tự trục số Tuy nhiên, điểm đường tròn lượng giác ứng với vơ số thực Các số thực có dạng k2 ,k Z

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường trịn lượng giác Với góc lượng giác Ou Ov, có

số đo , xác định điểm M x y; đường tròn lượng giác cho sđ Khi ta định nghĩa

cos x, sin y

sin tan

cos k

cos cot

sin k

Ý nghĩa hình học: Gọi K H, hình chiếu M lên trục Ox Oy, Vẽ trục số At gốc A hướng với trục Oy vẽ trục số Bs gốc B hướng với trục Ox, gọi T S, giao điểm đường thẳng OM cắt với trục sô At Bs, Khi ta có:

sin OH, cos OK, tan AT, cot BS

e) Tính chất:

• sin , cos xác định với giá trị sin 1, cos

• tan xác định

2 k , cot xác định k

• sin sin k2 , cos cos k2

tan tan k , cot cot k

f) Dấu giá trị lượng giác:

x

y t

s S

T B

O A

M(x;y)

(2)

Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm đường tròn lượng giác Bảng xét dấu

Phần tư

Giá trị lượng giác I II III IV

cos + – – +

sin + + – –

tan + – + –

cot + – + –

g) Giá trị lượng giác góc đặc biệt

Góc 6 4 3 2

2

3

2

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin

0

2

3

2

3

2

2 –1

cos

1

2

1

2

1

2

2 –1

tan

0

3 || –1 ||

cot

|| 3 1

3

3 –1 || ||

2 Các hệ thức lượng giác

2

1) sin cos

1

2) tan ( )

2 cos

1

3) cot ( )

sin

4)tan cot ( )

2

k k k

(3)

Góc đối ( ) Góc bù nhau( ) Góc phụ nhau(

2 )

cos( ) cos sin( ) sin sin cos

2

sin( ) sin cos( ) cos cos sin

2

tan( ) tan tan( ) tan tan cot

2

cot( ) cot cot( ) cot cot tan

2

Góc ( ) Góc

2 ( 2 )

sin( ) sin sin cos

2

cos( ) cos cos sin

2

tan( ) tan tan cot

2

cot( ) cot cot tan

2

Chú ý: Để nhớ nhanh công thức ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo tang côtang,

hơn

(4)

B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC. 1 Phương pháp giải

Để biểu diễn góc lượng giác đường tròn lượng giác ta thường sử dụng kết sau • Góc góc k2 ,k Z có điểm biểu diễn đường trịn lượng giác • Số điểm đường tròn lượng giác biểu diễn số đo có dạng k2

m ( với k số nguyên m số nguyên dương) m Từ để biểu diễn góc lượng giác ta cho k từ

0 tới m biểu diễn góc

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường trịn lượng giác có số đo sau: a)

4 b)

11

2 c)

0

120 d) 7650

Lời giải

a) Ta có

2 Ta chia đường tròn thành tám phần

Khi điểm M1 điểm biểu diễn góc có số đo

b) Ta có 13

2 điểm biểu diễn góc 11

2 trùng với góc điểm B' c) Ta có 120

360 Ta chia đường tròn thành ba phần Khi điểm M2 điểm biểu diễn góc có số đo 1200

d) Ta có 7650 450 3600 điểm biểu diễn góc 7650 trùng với góc 450

45

360 Ta chia đường tròn làm tám phần (chú ý góc âm )

x

y

B'

A'

B

A

O

M

1

M

2

(5)

Khi điểm M3(điểm cung nhỏ AB') điểm biểu diễn góc có số đo 7650

Ví dụ : Trên đường trịn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số nguyên tùy ý)

1

x k ; 2

3

x k ; 3

3

x k

Các góc lượng giác viết dạng cơng thức nào? Lời giải

• Ta có 1 2 k

x có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x1 k Với k x1 biểu diễn điêm A

1

k x biểu diễn A'

• 2

3

k

x có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng 2

x k

2

3

k x biểu diễn M1

1

3

• 3

3

k

x có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng 3

3

x k

3

6

3

• Do góc lượng giác x x x1, ,2 3 biểu diễn đỉnh đa giác AM M A M M1 4 ' 2 3 nên góc lượng giác viết dạng cơng thức

3 k

x

y

B'

A'

A

B

O

M

1

M

4

(6)

3 Bài tập luyện tập

Bài 6.6: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường trịn lượng giác có số đo sau:

a)

3 b)

17

4 c)

0

45 d) 7650

Bài 6.7: Trên đường trịn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo

4

x k (k số nguyên tùy ý)

Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số

nguyên tùy ý) x1 k ; 2

2

x k

(7)

DẠNG TỐN : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp giải

• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

• Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt

• Sử dụng hệ thức lượng giác giá trị lượng giác góc liên quan đặc biệt

• Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu giá trị lượng giác

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau:

a) sin7 cos tan( ) cot7

6

A b) sin 2550 cos( 188 )

tan 368 cos 638 cos 98

B

c) C sin 252 sin 452 sin 602 sin 652 d) tan2 tan3 tan5

8 8

D Lời giải

a) Ta có sin cos 4.2 tan cot

6

A

1

sin cos tan cot 1

6 2

A b) Ta có

0

0 0

2 sin 30 7.360 cos(8 180 )

1

tan 360 cos 90 2.360 cos 90

B

0

0 0 0 0

0

0 0 0

1

2 cos

2 sin 30 cos

1 2

tan cos 90 sin tan cos 90 sin

1 cos cos

0

tan sin sin tan sin

B

c) Vì 250 650 900 sin 650 cos250

2

0

2 2 2

sin 25 cos 25 sin 45 sin 60

2

C

Suy

C

d) tan tan3 tan tan5

8 8

(8)

Mà , tan3 cot , tan5 cot

8 8 8 8

Nên tan cot tan cot

8 8

D

Ví dụ 2: Cho

2 Xác định dấu biểu thức sau: a) sin

2 b)

3 tan

2

c) cos tan

2 d)

14

sin cot

9 Lời giải

a) Ta có

2 2 suy sin

b) Ta có

2 2 suy

3

tan

2

c) Ta có

2 2 suy cos

Và

2 suy tan

Vậy cos tan

2

d) Ta có 14 sin14

2 9

3

2

2 suy cot

Vậy sin14 cot

9

3 Bài tập luyện tập:

Các tập sau không sử dụng máy tính bỏ túi

Bài 6.9: Tính giá trị biểu thức sau:

a) sin 405 sin 495

cos1830 cos 3660

(9)

b) cos1800 tan( 390 )

tan( 420 )

B

c) D cos 00 cos200 cos 400 cos1600 cos1800

d) E tan tan10 tan15 tan 80 tan 850 0 0

e) F cos 152 cos 352 cos 552 cos 752

Bài 6.10: Tính giá trị biểu thức sau:

a) sin2151 cos2 85 tan2193 cot237

6

A

b) cos2 cos22 cos2 cos2

5 10 10

B

c) tan tan2 tan5 tan7

9 18 18

C

Bài 6.11: Xác định dấu biểu thức sau:

a) A sin 50 cos( 300 )0 b) sin 215 tan0 22

B c) cot3 sin

5

C

Bài 6.12: Cho 00 900 Xét dấu biểu thức sau: a) sin( 90 )0 b) cot( 90 )0

c) tan(2700 ) d) cos(2 90 )0

Bài 6.13: Cho

2 Xét dấu biểu thức sau:

a) cos( ) b) tan( )

c) sin

5 d)

3 cos

8

Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù Xét dấu biểu thức sau:

a) M sinA sinB sinC b) N cos cos cosA B C

c) cos sin cot

2 2

A B C

(10)

DẠNG TỐN : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHƠNG PHỤ THUỘC GĨC x, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

Sử dụng hệ thức lượng giác bản, đẳng thức đáng nhớ sử dụng tính chất giá trị lượng giác để biến đổi

+ Khi chứng minh đẳng thức ta biến đổi vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lượng khác

+ Chứng minh biểu thức khơng phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất nhân tử chung tử mẫu để rút gọn làm xuất hạng tử trái dấu để rút gọn cho

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) a) cos4x sin2x sin4x

b) sin 3cos cot3 cot2 cot sin

x x

x x x

x c)

2 2

cot cot cos cos

x y x y

d) sin4 cos2 cos4 sin2 tan tan

3

x x x x x x

Lời giải

a) Đẳng thức tương đương với cos4x sin2x sin2x 2

4

cos x sin x (*)

Mà sin2x cos2x cos2x sin2x Do (*) cos4x cos2x

(đúng) ĐPCM

b) Ta có sin 3cos 12 cos3

sin sin sin

x x x

VT

x x x

Mà cot2 12 sin x

x

sin tan

cos x x

x nên

2

cot cot cot

VT x x x cot3x cot2x cotx 1 VP

ĐPCM

c) Ta có

2

2 2

cot cot 1

tan tan

cot cot cot cot

x y

VT y x

x y y x

2

2 2 2

1 1 cos cos

1

cos cos cos cos cos cos

x y

VP

y x y x x y ĐPCM

(11)

2 2

2 2 2

sin x sin x cos x cos x sin x cos x

2 2

2 sin x cos x sin x cos x

Mặt khác tan cot

3 6

x x x x nên

3 tan cot

3

VP x x VT VP ĐPCM

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh

3

sin cos

2 tan cot( )

2

cos sin

2

B B

A B C

A B C A B C

Lời giải

Vì A B C nên

3 3

2

sin cos sin cos

2 2 sin cos 1

2

cos sin sin cos

2 2 2

B B B B

B B

VT

B B B B

tan cot tan cot

VP A A A A

Suy VT VP ĐPCM

Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa)

a) cos(5 ) sin tan cot(3 )

2

A x x x x

b) sin(900 ) cos(450 ) cot(1080 ) tan(630 )

cos(450 ) sin( 630 ) tan(810 ) tan(810 )

x x x x

B

x x x x

c) 1

sin 2013 cos cos

C

x x x với x

Lời giải

a) Ta có cos(5 x) cos x 2.2 cos x cosx

sin sin sin cos

2 x x x x

3

tan tan tan cot

2 x x x x

(12)

A

x

b) Ta có sin(900 x) sin 1800 2.3600 x sin 1800 x sinx

0 0

cos 450 x cos 90 360 x cos 90 x sinx

cot(1080 x) cot(3.360 x) cot x cotx

0

tan(630 x) tan(3.180 90 x) tan(90 x) cotx

0 0

sin(x 630 ) sin x 2.360 90 sin x 90 cosx

0

Vậy sin sin cot cot sin

sin cos cot cot sin cos

x x x x x

B

x x x x x x

c) Ta có sin x 2013 sin x 1006.2 sin x sinx nên

1 cos cos

2

sin cos cos

x x

C

x x x

2 22 1

sinx cos x sinx sin x sinx sinx

Vì x sinx nên 2

1

2 cot

sin

C x

x

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x a)

6

4

sin cos

x x

A

x x

b)

2

1 cot 2 cot

1 cot tan tan

x x

B

x x x

c)C sin4x cos2x cos4x cos4x sin2x sin4x

Lời giải

a) Ta có Ta có sin4 cos4 sin2 cos2 2 sin2 cos2 sin2 cos2

3

6 2 2 4 2

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

4 2 2 2 2

(13)

Do

2

2 2

3 sin cos

1 sin cos

2

1 sin cos sin cos

A

Vậy A khơng phụ thuộc vào x

b) Ta có

2 2 cos tan sin 1

1 tan

tan sin x x x B x x x 2

2 sin cos

tan tan

1

tan tan tan

x x

x x x

Vậy B không phụ thuộc vào x

c) C cos2x cos2x cos4x sin2x sin2x sin4x

4

2

4 cos cos sin sin

2 cos sin

3

x x x x

x x

Vậy C không phụ thuộc vào x

3 Bài tập luyên tập

Giả sử biểu thức sau có nghĩa

Bài 6.15: Rút gọn biểu thức sau:

a) cos cos(2 ) cos(3 )

2

A x x x

b) cos cos( ) sin cot

2

B x x x x

c) C 2sin 900 x sin(9000 x) sin 2700 x cos 900 x

d)

9

sin(5 )cos( )tan(10 )

2 11

cos(5 )sin( )tan(7 )

2

x x x

D

x x x

Bài 6.16: Chứng minh đẳng thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) a) tan2x sin2x tan sin2x 2x

b)

3

2

tan cot

(14)

x

d)

2 2

tan tan sin sin

a b a b

Bài 6.17: Đơn giản biểu thức sau

a) 12 tan 1802 cos 1802

cos x x x b)

2

cos sin

cos

cot tan

x x

x

x x

c)

3

2

sin cos

cos sin (sin cos )

x x

x x x x d)

1 sin sin

x x

e) 1 1

1 cosx cosx sinx sinx (0 x )

f) ( 12 12 12 12 )( 12 12 )

sin x cos x tan x cot x sin x cos x

Bài 6.18: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào

a) (tan cot )2 (tan cot )2

b) 2(sin6 cos6 ) 3(sin4 cos4 )

c) cot 30 (sin2 cos8 ) cos 60 (cos0 sin6 ) sin (906 ) tan2

d) (sin4 cos4 1)(tan2 cot2 2)

Bài 6.19: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn a)

0

2 21080

cos 540 cos tan tan

2 2

B A C B A C

A

b)

0

sin 720 cos 900

cos

2

.tan sin

cos sin

2

B B

A C

B B

(15)

DẠNG TỐN : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

• Từ hệ thức lượng giác mối liên hệ hai giá trị lượng giác, biết giá trị lượng giác ta suy giá trị lại Cần lưu ý tới dấu giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp • Sử dụng đẳng thức đáng nhớ đại sơ

Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc biết: a) sin

3

0

90 180 b) cos

3

c) tan 2 d) cot

2

Lời giải

a) Vì 900 1800 nên cos mặt khác sin2 cos2 suy

2 2

cos sin

9

Do

1

sin 3

tan

cos 2 2 2 2

3

b) Vì sin2 cos2 nên sin cos2

9

Mà sin

2 suy

5 sin

3

Ta có

5

sin 3

tan

cos 2

3

2

cos 3

cot

sin 5 5

3

c) Vì tan 2 cot 1

tan 2

Ta có tan2 12 cos2 21 2 cos

9

cos tan 2 2 1

(16)

Vì cos

Ta có tan sin sin tan cos 2 2

cos 3

d) Vì cot nên tan 1

cot

Ta có cot2 12 sin2 21 12 sin

3

sin cot 2 1 3

Do cos

2 cot nên sin

Do sin 3

Ta có cot cos cos cot sin

sin 3

Ví dụ 2: a)Tính giá trị lượng giác cịn lại góc biết sin

5 tan cot b) Cho sin4 cos4

2 Tính

4

2 sin cos

A

Lời giải

a) Ta có 2

2

1

cot 25 cot 24

sin 1

5

hay cot

Vì tan , cot dấu tan cot nên tan 0, cot Do cot Ta lại có tan 1

cot 2 6

cos

cot cos cot sin

sin 5

b) Ta có sin4 cos4 sin4 sin2

2

4 4

6 sin 2 sin sin sin sin

2 2

(17)

Suy sin2

Ta lại có cos2 1 sin2 1 1

2

Suy

2

1 1

2

A

Ví dụ 3: a) Cho cos

3 Tính

tan cot

A

b) Cho tan Tính 3 sin 3cos

sin cos sin

B

c) Cho cot Tính C sin2 sin cos cos2 Lời giải

a) Ta có

2 2

2

1

1 2

tan tan 3

tan cos 1 2 cos

1 tan 1

tan

tan cos

A

Suy 2.4 17

9

A

b)

2

3

3 3

sin cos

tan tan tan

cos cos

sin cos sin tan tan tan

cos cos cos

B

Suy 9

27 2.3 9

B c) Ta có

2 2

2

sin sin cos cos cos cos

sin sin

sin

sin sin

C

2

1

1 cot cot 5

6

1 cot 1 5

Ví dụ 4: Biết sinx cosx m

a) Tìm sin cosx x sin4x cos4x b) Chứng minh m

(18)

a) Ta có sinx cosx sin2x sin cosx x cos2x sin cosx x (*) Mặt khác sinx cosx m nên m2 sin cos hay

2 1 sin cos

2 m

Đặt A sin4x cos4x

Ta có

2 2

sin cos sin cos sin cos sin cos

A x x x x x x x x

2

2 sin cos sin cos 1 2 sin cos 1 2 sin cos

A x x x x x x x x

2 2

2 1 1

2

m m m m

A

Vậy

2

3

2

m m

A

b) Ta có sin cosx x sin2x cos2x kết hợp với (*) suy

sinx cosx sinx cosx

Vậy m

3 Bài tập luyện tập

Bài 6.20: Tính giá trị lượng giác lại, biết a) sin

5 với

0

0 90

b) cos

5 với

c) tan

d) cos 0, tan cot

Bài 6.21: a) Cho cos

a Tính cot tan

2 cot tan

a a

A

a a

b) Chosin

a Tính cot tan

cot tan

a a

B

a a

c) Cho tana Tính sin cos

sin cos

a a

C

a a ;

(19)

Bài 6.22: Biết tanx cotx m a) Tìm tan2x cot2x b)

6

4

tan cot

x x

x x c) Chứng minh m

Bài 6.23: Cho sin cos 12

25 Tính

3

sin cos

Bài 6.24: Cho tana cota Tính giá trị biểu thức sau:

a) A tan2a cot2a b) B tana cota c) C tan4a cot4a

Bài 6.25: Cho sin4 cos4