Đang tải... (xem toàn văn)
- Ch ứng minh hai đườ ng th ẳng đó cùng song song vơi đườ ng th ẳ ng th ứ ba... Cho hình chóp S.ABC.[r]
(1)HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA
1 Vịtrí tương đối hai đường thẳng khơng gian
Cho hai đường thẳng a b khơng gian Có trường hợp sau
xảy a b :
Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b, theo kết tronh hình học phẳng ta có ba khảnăng sau:
- a b cắt điểm M , ta kí hiệu a =b M
- a b song song với nhau, ta kí hiệu a b
- a b trùng nhau, ta kí hiệu a b
Trường hợp 2: Khơng có mặt phẳng chứa a b, ta nói a b hai đường thẳng chéo
2 Các định lí tính chất
• Trong khơng gian, qua điểm cho trước không nằm đường thẳng a có đường thẳng song song với a
• Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng qui đơi song song
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng
(2)• Nếu hai đường thẳng phân biệt song song với
đường thẳng thứ ba chúng song song
b c
a
γ β
α
A
a
b
Δ
β α
b c
a
γ β
(3)B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài tốn 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng ( )α ( )β có điểm chung M lần
lượt chứa hai đường thẳng song song d d' giao tuyến ( )α ( )β
là đường thẳng qua M song song với d d'
Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB ) (SCD )
Lời giải
Ta có
( )
( )
( ) ( )
AB SAB CD SCD AB CD
S SAB SCD
(SAB) (SCD) d AB CD,S d
=
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh
đáy AB CD Gọi I,J trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác SAB
d
B
D C
(4)a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB ) ( )IJG
b) Tìm điều kiện AB CD để thiết diện ( )IJG hình chóp hình bình hành
Lời giải
a) Ta có ABCD hình thang I,J trung điểm AD,BC nên IJ / /AB
Vậy
( ) ( )
( )
( )
G SAB IJG AB SAB IJ IJG AB IJ
(SAB) ( )IJG MN IJ AB
= với
M SA,N SB
b) Dễ thấy thiết diện tứ giác MNJI
Do G trọng tâm tam giác SAB MN AB
nên MN SG AB = SE=3
( E trung điểm AB )
MN AB
=
Lại có IJ 1(AB CD)
= + Vì MN IJ nên MNIJ hình thang, MNIJ
là hình bình hành MN IJ=
( )
2
AB AB CD AB 3CD
= + =
Vậy thết diện hình bình hành AB 3CD=
(5)Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Phương pháp:
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta làm theo cách sau:
- Chứng minh chúng thuộc mặt phẳng dùng phương pháp
chứng minh hai đường thẳng song song mặt phẳng
- Chứng minh hai đường thẳng song song vơi đường thẳng thứ ba
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng
hoặc trùng với hai đường thẳng
- Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng
Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy
lớn AB Gọi M,N trung điểm SA SB a) Chứng minh MN song song với CD
b) Gọi P giao điểm SC (ADN , I ) giao điểm AN DP Chứng minh SI song song với CD
Lời giải
(6)Lại có ABCD hình thang AB / /CD
Vậy MN AB MN CD CD AB
b) Trong (ABCD g) ọi E AD= BC,
(SCD g) ọi P SC= EN Ta có E AD (ADN)
( ) ( )
EN AND P ADN
Vậy P SC= (ADN)
Do ( )
( ) ( ) ( )
I SAB I AN
I AN DP SI SAB SCD I DP I SCD
= = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) AB SAB CD SCD SI CD AB CD
SAB SCD SI
=
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy
AD BC Biết AD a,BC b= = Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB,SC M,N Mặt phẳng ( )BCI cắt SA,SD P,Q
a) Chứng minh MN song sonng với PQ
b) Giải sử AM cắt BP E ; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ Tính EF theo a,b
Lời giải
a) Ta có I(SAD) I (SAD) ( ) IBC
(7)Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) AD SAD BC IBC AD BC
SAD IBC PQ
= ( )
PQ AD BC
Tương tự
( ) ( ) ( )
J SBC J SBC ADJ
Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) AD ADJ BC SBC AD BC
SBC ADJ MN
= ( )
MN AD BC
Từ ( )1 ( )2 suy MN PQ b) Ta có ( )
( )
E AMND E AM BP
E PBCQ = ; ( ) ( ) F AMND F DN CQ
F PBCQ =
Do EF=(AMND) ( PBCQ) Mà AD BC EF AD BC MN PQ MN PQ
Tính EF : Gọi K CP= EFEF EK KF= +
Ta có EK BC EK PE 1( ) BC PB
= , PM AB PE PM
EB AB
=
Mà PM SP PE AB=SA= 3 EB=3
(8)Từ ( )1 suy EK PE PE EK 2BC 2b EB
BC PB PE EB 1 5 PE
= = = = = =
+ +
Tương tự KF 2a
= Vậy EF EK KF 2(a b)
(9)Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Phương pháp:
Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a,b qua hai bốn điểm chứng minh a,b song song cắt nhau, A,B,C,D thuôc mp a,b( )
Để chứng minh ba đường thẳng a,b,cđồng qui ngồi cách chứng minh §1, ta chứng minh a,b,c giao tuyến hai ba mặt phẳng ( ) ( ) ( )α , β , δ có hai giao tuyến cắt Khi theo tính chất giao tuyến ba mặt phẳng ta a,b,c đồng qui
Các ví dụ
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M,N,E,F trung điểm cạnh bên SA,SB,SC SD a) Chứng minh ME,NF,SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) b) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng
Lời giải
a) Trong (SAC g) ọi I ME= SO, dễ thấy I trung điểm SO , suy FI
là đường trung bình tam giác SOD Vậy FI / /OD
Tương tự ta có NI OB nên N,I,F thẳng hàng hay I NF
Vậy minh ME,NF,SO đồng qui
b) Do MENF I= nên ME NF xác định mặt phẳng Suy M,N,E,F đồng phẳng
I
F
E N
M
O A
B C
(10)Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi
M,N,E,F trọng tâm tam giác SAB,SBC,SCD SDA Chứng minh:
a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng
b) Ba đường thẳng ME,NF,SO đồng qui ( O giao điểm AC BD )
Lời giải
a) Gọi M',N',E',F' trung điểm cạnh AB,BC,CD DA
Ta có SM SN, SM SN SM'=3 SN'= 3 SM'=SN'
( )
MN M'N'
Tương tự SE SF EF E'F' 2( ) SE'=SF'
Lại có M'N' AC M'N' E'F' 3( ) E'F' AC
Từ ( ) ( )1 , ( )3 suy MN EF Vậy bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng
b) Dễ thấy M'N'E'F' hình bình hành O M'E' N'F'= Xét ba mặt phẳng (M'SE' , N'SF' ) ( ) (MNEF ta có : )
(M'SE') ( N'SF')=SO
I F
E
N
E'
N' F' M'
O
D
B C
A S
(11)(M'SE') ( MNEF)=ME
(N'SF') ( MNEF)=NF MENF I=
Do theo định lí giao tuyến ba mặt phẳng ba đường thẳng
ME,NF,SO đồng qui
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
19 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm cạnh AB AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (DMN ) (BCD )
20. Cho hình chóp S.ABC Gọi G ,G l1 2 ần lượt trọng tâm tam giác SBC SAB
a) Chứng minh G G1 2 AC
b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (BG G 1 2) (ABC )
21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD)
b) Gọi M điểm cạnh SC Xác định giao điểm N SD với
(ABM) Tứ giác ABMN hình gì?
c) Giả sử I AN= BM Chứng minh I thuộc đường thẳng cốđịnh M chạy cạnh SC
22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh SA,SB,SC,SD
(12)b) Gọi I điểm cạnh BC Xác định thiết diện hình chóp với
(IMN)
23 Cho tứ diện ABCD Gọi I,J trung điểm BC BD , E điểm thuộc cạnh AD ( E khác A D )
a) Xác định thiết diện tứ diện với ( )IJE
b) Tìm vị trí điểm E AD cho thiết diện hình bình hành
c) Tìm điều kiện tứ diện ABCD vị trí điểm E AD cho thiết diện hình thoi
24. Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M,N trung điểm CD AB
a) Hãy xác định điểm I AC J DN cho IJ BM b) Tính IJ theo a
25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang.Một mặt phẳng ( )α
cắt cạnh SA,SB,SC SD điểm M,N,P,Q
a) Giả sử MN PQ I = , ABCD E= Chứng minh I,E,S thẳng hàng b) Giả sử Δ=( ) (IBC IAD) Δ( )α
Chứng minh MQ NP AB CD
26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với AD BC M
điểm di động tứ giác ABCD Qua M vẽcác đường thẳng song song với SA,SB cắt mặt (SBC ) (SAD l) ần lượt N,P
a) Nêu cách dựng điểm N,P
(13)27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy
AD a= BC b= Gọi M,N,P trung điểm cạnh AB,CD SB
a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ADP ) (SBC )
b) Tìm độdài đoạn giao tuyến (ADP ) (SMN n) ằm bên hình chóp
28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I,J lần
lượt trọng tâm tam giác SAB SAD , M điểm cạnh SA cho MA 2MS= Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( )MIJ
29. Cho hình chóp S.ABC , M điểm nằm tam giác ABC Các
đường thẳng qua M song song SA,SB SC cắt mặt
(SBC , SCA , SAB l) ( ) ( ) ần lượt điểm A',B',C' a) Nêu cách dựng điểm A',B',C'
b) Chứng minh MA' MB' MC'
SA + SB + SC có giá trịkhơng đổi O di động tam giác ABC
c) Xác định vị trí điểm M để tích MA'.MB'.MC' lớn
30. Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng ( )α cắt bốn canh AB,BC,CD,DA Lần lượt điểm M,N,P,Q
Chứng minh : MA.NB.PC.QD AB.BC.CD.AD 16
Khi đẳng thức xảy
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/