Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

- Ch ứng minh hai đườ ng th ẳng đó cùng song song vơi đườ ng th ẳ ng th ứ ba... Cho hình chóp S.ABC.[r]

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Vịtrí tương đối hai đường thẳng khơng gian

Cho hai đường thẳng a b khơng gian Có trường hợp sau

xảy a b :

Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b, theo kết tronh hình học phẳng ta có ba khảnăng sau:

- a b cắt điểm M , ta kí hiệu a =b M

- a b song song với nhau, ta kí hiệu a b

- a b trùng nhau, ta kí hiệu a b

Trường hợp 2: Khơng có mặt phẳng chứa a b, ta nói a b hai đường thẳng chéo

2 Các định lí tính chất

• Trong khơng gian, qua điểm cho trước không nằm đường thẳng a có đường thẳng song song với a

• Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng qui đơi song song

• Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng

• Nếu hai đường thẳng phân biệt song song với

đường thẳng thứ ba chúng song song

b c

a

γ β

α

A

a

b

Δ

β α

b c

a

γ β

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài tốn 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng ( )α ( )β có điểm chung M lần

lượt chứa hai đường thẳng song song d d' giao tuyến ( )α ( )β

là đường thẳng qua M song song với d d'

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB ) (SCD )

Lời giải

Ta có

( )

( )

( ) ( )

AB SAB CD SCD AB CD

S SAB SCD

  

   

  



(SAB) (SCD) d AB CD,S d

  = 

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh

đáy AB CD Gọi I,J trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác SAB

d

B

D C

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB ) ( )IJG

b) Tìm điều kiện AB CD để thiết diện ( )IJG hình chóp hình bình hành

Lời giải

a) Ta có ABCD hình thang I,J trung điểm AD,BC nên IJ / /AB

Vậy

( ) ( )

( )

( )

G SAB IJG AB SAB IJ IJG AB IJ           

(SAB) ( )IJG MN IJ AB

  = với

M SA,N SB 

b) Dễ thấy thiết diện tứ giác MNJI

Do G trọng tâm tam giác SAB MN AB

nên MN SG AB = SE=3

( E trung điểm AB )

MN AB

 =

Lại có IJ 1(AB CD)

= + Vì MN IJ nên MNIJ hình thang, MNIJ

là hình bình hành MN IJ=

( )

2

AB AB CD AB 3CD

 = +  =

Vậy thết diện hình bình hành AB 3CD=

Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta làm theo cách sau:

- Chứng minh chúng thuộc mặt phẳng dùng phương pháp

chứng minh hai đường thẳng song song mặt phẳng

- Chứng minh hai đường thẳng song song vơi đường thẳng thứ ba

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng

hoặc trùng với hai đường thẳng

- Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy

lớn AB Gọi M,N trung điểm SA SB a) Chứng minh MN song song với CD

b) Gọi P giao điểm SC (ADN , I ) giao điểm AN DP Chứng minh SI song song với CD

Lời giải

Lại có ABCD hình thang AB / /CD

Vậy MN AB MN CD CD AB



 



b) Trong (ABCD g) ọi E AD= BC,

(SCD g) ọi P SC= EN Ta có E AD (ADN)

( ) ( )

EN AND P ADN

   

Vậy P SC= (ADN)

Do ( )

( ) ( ) ( )

I SAB I AN

I AN DP SI SAB SCD I DP I SCD

     =     =      Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) AB SAB CD SCD SI CD AB CD

SAB SCD SI

          = 

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy

AD BC Biết AD a,BC b= = Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB,SC M,N Mặt phẳng ( )BCI cắt SA,SD P,Q

a) Chứng minh MN song sonng với PQ

b) Giải sử AM cắt BP E ; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ Tính EF theo a,b

Lời giải

a) Ta có I(SAD) I (SAD) ( ) IBC

Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) AD SAD BC IBC AD BC

SAD IBC PQ

         =  ( )

PQ AD BC

 Tương tự

( ) ( ) ( )

J SBC  J SBC  ADJ

Vậy

( ) ( ) ( ) ( ) AD ADJ BC SBC AD BC

SBC ADJ MN

         =  ( )

MN AD BC



Từ ( )1 ( )2 suy MN PQ b) Ta có ( )

( )

E AMND E AM BP

E PBCQ    =      ; ( ) ( ) F AMND F DN CQ

F PBCQ    =     

Do EF=(AMND) ( PBCQ) Mà AD BC EF AD BC MN PQ MN PQ    

Tính EF : Gọi K CP= EFEF EK KF= +

Ta có EK BC EK PE 1( ) BC PB

 = , PM AB PE PM

EB AB

 =

Mà PM SP PE AB=SA= 3 EB=3

Từ ( )1 suy EK PE PE EK 2BC 2b EB

BC PB PE EB 1 5 PE

= = = =  = =

+ +

Tương tự KF 2a

= Vậy EF EK KF 2(a b)

Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a,b qua hai bốn điểm chứng minh a,b song song cắt nhau, A,B,C,D thuôc mp a,b( )

Để chứng minh ba đường thẳng a,b,cđồng qui ngồi cách chứng minh §1, ta chứng minh a,b,c giao tuyến hai ba mặt phẳng ( ) ( ) ( )α , β , δ có hai giao tuyến cắt Khi theo tính chất giao tuyến ba mặt phẳng ta a,b,c đồng qui

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M,N,E,F trung điểm cạnh bên SA,SB,SC SD a) Chứng minh ME,NF,SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) b) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng

Lời giải

a) Trong (SAC g) ọi I ME= SO, dễ thấy I trung điểm SO , suy FI

là đường trung bình tam giác SOD Vậy FI / /OD

Tương tự ta có NI OB nên N,I,F thẳng hàng hay I NF

Vậy minh ME,NF,SO đồng qui

b) Do MENF I= nên ME NF xác định mặt phẳng Suy M,N,E,F đồng phẳng

I

F

E N

M

O A

B C

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi

M,N,E,F trọng tâm tam giác SAB,SBC,SCD SDA Chứng minh:

a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng

b) Ba đường thẳng ME,NF,SO đồng qui ( O giao điểm AC BD )

Lời giải

a) Gọi M',N',E',F' trung điểm cạnh AB,BC,CD DA

Ta có SM SN, SM SN SM'=3 SN'= 3 SM'=SN'

( )

MN M'N'



Tương tự SE SF EF E'F' 2( ) SE'=SF'

Lại có M'N' AC M'N' E'F' 3( ) E'F' AC



 



Từ ( ) ( )1 , ( )3 suy MN EF Vậy bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng

b) Dễ thấy M'N'E'F' hình bình hành O M'E' N'F'=  Xét ba mặt phẳng (M'SE' , N'SF' ) ( ) (MNEF ta có : )

(M'SE') ( N'SF')=SO

I F

E

N

E'

N' F' M'

O

D

B C

A S

(M'SE') ( MNEF)=ME

(N'SF') ( MNEF)=NF MENF I=

Do theo định lí giao tuyến ba mặt phẳng ba đường thẳng

ME,NF,SO đồng qui

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

19 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm cạnh AB AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (DMN ) (BCD )

20. Cho hình chóp S.ABC Gọi G ,G l1 2 ần lượt trọng tâm tam giác SBC SAB

a) Chứng minh G G1 2 AC

b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (BG G 1 2) (ABC )

21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD)

b) Gọi M điểm cạnh SC Xác định giao điểm N SD với

(ABM) Tứ giác ABMN hình gì?

c) Giả sử I AN= BM Chứng minh I thuộc đường thẳng cốđịnh M chạy cạnh SC

22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh SA,SB,SC,SD

b) Gọi I điểm cạnh BC Xác định thiết diện hình chóp với

(IMN)

23 Cho tứ diện ABCD Gọi I,J trung điểm BC BD , E điểm thuộc cạnh AD ( E khác A D )

a) Xác định thiết diện tứ diện với ( )IJE

b) Tìm vị trí điểm E AD cho thiết diện hình bình hành

c) Tìm điều kiện tứ diện ABCD vị trí điểm E AD cho thiết diện hình thoi

24. Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M,N trung điểm CD AB

a) Hãy xác định điểm I AC J DN cho IJ BM b) Tính IJ theo a

25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang.Một mặt phẳng ( )α

cắt cạnh SA,SB,SC SD điểm M,N,P,Q

a) Giả sử MN PQ I = , ABCD E= Chứng minh I,E,S thẳng hàng b) Giả sử Δ=( ) (IBC  IAD) Δ( )α

Chứng minh MQ NP AB CD

26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với AD BC M

điểm di động tứ giác ABCD Qua M vẽcác đường thẳng song song với SA,SB cắt mặt (SBC ) (SAD l) ần lượt N,P

a) Nêu cách dựng điểm N,P

27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy

AD a= BC b= Gọi M,N,P trung điểm cạnh AB,CD SB

a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ADP ) (SBC )

b) Tìm độdài đoạn giao tuyến (ADP ) (SMN n) ằm bên hình chóp

28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I,J lần

lượt trọng tâm tam giác SAB SAD , M điểm cạnh SA cho MA 2MS= Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( )MIJ

29. Cho hình chóp S.ABC , M điểm nằm tam giác ABC Các

đường thẳng qua M song song SA,SB SC cắt mặt

(SBC , SCA , SAB l) ( ) ( ) ần lượt điểm A',B',C' a) Nêu cách dựng điểm A',B',C'

b) Chứng minh MA' MB' MC'

SA + SB + SC có giá trịkhơng đổi O di động tam giác ABC

c) Xác định vị trí điểm M để tích MA'.MB'.MC' lớn

30. Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng ( )α cắt bốn canh AB,BC,CD,DA Lần lượt điểm M,N,P,Q

Chứng minh : MA.NB.PC.QD AB.BC.CD.AD 16

 Khi đẳng thức xảy

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/