b) Định nghĩa: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Khi đó MAMB.. Chứng minh rằng HAHA. Hai dây cung thay đổi [r]
(1)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG
Tích vơ hướng có nhiều ứng dụng giải toán Sau tiếp cận ứng
dụng giải tốn hình học
I CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC VÀ THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN VNG GĨC 1 Phương pháp giải
Sử dụng điều kiện a b a b
Chú ý: Ta có AB CD ABCD 0, để chứng minh ABCD thông thường phân tích AB CD, qua hai vectơ khơng phương
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Chứng minh hai đường chéo AC BD vng góc với khiAB2 CD2 BC2 AD2
Lời giải
Ta có AB2 CD2 BC2 AD2
CB CA CD BC CD CA
CB CA CD CA CA CD CB
CA BD
2
2
2
2
Do đường chéo AC BD vng góc với CABD. 0 AB2 CD2 BC2 AD2
Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M, N thuộc cạnh AB AD cho
AM DN x
a) Chứng minh CN vng góc với DM
b) Giả sử P điểm xác định BP yBC tìm hệ thức liên hệ x y, a để MN vng góc với MP
Lời giải (hình 2.11) a) Ta có DN xAD
a ,
x
AM AB
a
Suy CN CD DN AB x AD a DM DA AM x AB AD
a
Suy DM CN xAB AD AB xAD
a a
x x x
AB AD AB AD AB AD
a a a
2
2
2
Vì ABCD hình vng nên AB AD
Do DM CN ax ax Vậy CN vng góc với DM
A
D C
B M
N
P
(2)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Ta có MN AN AM a xAB xAD
a a ;
a x
MP MB BP AB yAD
a
Suy MN MP MN MP
a x x a x
AB AD AB yAD
a a a
a x x
AB y AD a x axy
a a
2
2 2
2
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N thỏa mãn BM 1BC AN, 1AB
3
Gọi I giao điểm AM CN Chứng minh BI IC Lời giải
Giả sử AI kAM Ta có
CI AI AC kAM AC k AB BM AC k AB 1BC AC
3 Hay
k k
CI k AB 1AC 1AB AC AB AC
3 3
Mặt khác CN AN AC 1AB AC
Vì CI CN, phương nên 2k k k
3
AI 3AM AB BM AB 1AC 1AB 2AB 1AC
7 7 3 7
Suy BI AI AB 2AB 1AC AB 5AB 1AC
7 7
IC AC AI AC 2AB 1AC 2AB 6AC
7 7
Do BI IC 5AB 1AC 2AB 6AC
7 7
AB AC AB AC
2
1
10 32
49
Vì tam giác ABC nên AB AC AB AC, AB AC .cosA 1AB2
2
Suy BI IC Vậy BI IC
(3)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Lời giải (2.12)
Đặt AB x AC; y : AB AC a Ta có :
CM AM AC 1AB AC 1.x y (1)
2
Gọi J trung điểm CM, ta có :
AG AJ AM AC
AB AC x y
2
( )
3
1 1
( )
2
3
Mặt khác
AI x
IB IA AB
IC IA AC
AI
a
IA IB IA IA
IA IC IA I a
y A
2
2 2
2 2 2
( ) 2
( ) . (2)
2
Từ (1) (2) ta có :
CM GI CM AI AG 1x y AI 1.x 1.y
2
x AI y AI x2 x y x y y2
1 1 1
2 12 6
a2 a2 a2 a2
4 12
Suy GI vng góc với CM 3 Bài tập luyện tập:
Bài 2.96: Cho điểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức
AC2 BD2 AD2 BC2 Chứng minh AB CD
Bài 2.97 : Cho hình vng ABCD, M điểm nằm đoạn thẳng AC cho AM AC , N trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vuông cân Bài 2.98: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Trên cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm M, N, E cho AM BN CE
MB NC EA
Chứng minh AN ME
Bài 2.99: Cho tam giác ABC , độ dài cạnh 3a Lấy M, N, P nằm cạnh BC, CA, AB cho BM a CN, ,a AP x Tính x để AM vng góc với PN
Bài 2.100: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK AC Gọi M, N trung điểm AK CD Chứng minh BMN 900
Bài 2.101: Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB 2a, đáy lớn BC 3a, đáy nhỏ AD a I trung điểm CD Chứng minh AI BD
M
A
B
C
I
G
(4)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Bài 2.102: Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC BD cắt O Gọi H K trực tâm tam giác ABO CDO Và I, J trung điểm AD BC Chứng minh HK vng góc với IJ
Bài 2.103: Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC D hình chiếu H lên AC, M trung điểm HD Chứng minh AM vng góc với DB
Bài 2.104: Cho tam giác ABC khơng cân Đường trịn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB tương ứng A', B' C' Gọi P giao điểm BC với B'C' Chứng minh IP vuông góc AA'
Bài 2.105: Cho tam giác ABC có AB 4, AC A 600 Lấy điểm E tia AC đặt AE kAC Tìm k để BE vng góc với trung tuyến AF tam giác ABC Bài 2.106: Cho tam giác ABCcó BC a CA, b AB, c G trọng tâm , I tâm đường trịn nội tiếp Tìm điều kiện a b c, , để IG vng góc với IC
Bài 2.107 : Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M, P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh : MP BC MAMC MD MB
Bài 2.108: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H Qua A vẽ đường thẳng song song với BE, CF cắt đường thẳng CF, BE P Q Chứng minh PQ vng góc với trung tyến AM ABC
III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ BIỂU THỨC HÌNH HỌC
1 Phương pháp giải Sử dụng bất đẳng thức
• Cho a b, Khi ta có
+ a b a b dấu xảy cos ,a b hay a b; hướng + a b a b dấu xảy cos ,a b hay a b; ngược hướng • u2 Dấu xảy u
• Bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki ) 2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G M điểm Chứng minh
MA2 MB2 MC2 MAGA MBGB MC GC GA2 GB2 GC2
Lời giải
Ta có MAMG MAMG .cos MA MG; MAMG Tương tự MBGB MBGB MC GC ; MC GC
(5)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
MAGA MBGB MC GC MG GA GA MG GB GB MG GC GC
MG GA GB GC GA2 GB2 GC2 GA2 GB2 GC2
Suy MAGA MBGB MC GC GA2 GB2 GC2 (*) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
MA2 MB2 MC2 GA2 GB2 GC2 2MAGA 2MBGB 2MC GC Kết hợp (*) suy
MA2 MB2 MC2 GA GB2 GC2 MAGA MBGB MC GC GA GB2 GC2 hay
MA2 MB2 MC2 MAGA MBGB MC GC
Vậy ta có điều phải chứng minh
Nhận xét:
• Ta có GA 2m GBa, 2m GCb, 2mc
3 3
a b c
GA2 GB2 GC2 m2 m2 m2 a2 b2 c2
9
Suy với điểm M
a b c
m MA. m MB. m MC. a2 b2 c2
MA2 MB2 MC2 a2 b2 c2
3
a b c
MA2 MB2 MC2 m MA m MB m MC
3
Đặc biệt
• Với M O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có
OA2 OB2 OC2 OAGA. OB GB. OC GC. GA2 GB2 GC2
Mặt khác ta có OA OB OC R, ta có
R GA GB GC 3R2
hay ma mb mc 9R
2 suy ma mb mc R
1 1
R GA GB GC GA2 GB2 GC2
hay a b c
a b c
m m m R
m m m
2 2 3
2 R2 GA2 GB2 GC2
3 hay ma2 mb2 mc2 27R2
4 , R a b c
2 2
9
• Với M I tâm đường trịn nội tiếp tam giác, ta có IAGA. IB GB. IC GC. GA2 GB2 GC2 Mặt khác IA r IB r IC r
A, B, C
sin sin sin
2 2
ta có
a b c
m m m a b c
A B C r
2 2
2
sin sin sin
2 2
(6)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
CA CA AC C
HC R C
CHA B B
' ' cos
2 cos
sin ' sin sin
Tương tự ta có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC Do cos A cos B cos C p
R
2 2
3
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC điểm M Chứng minh cosA.MA cosB.MB cosC.MC a b c
2 2
Lời giải (2.13)
Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có
A B C
cos cos cos
2 2
a IA b IB c IC IA IB IC
IA IB IC
0
Vì
cos cos
cos
A A
A
MA MAIA MAIA
IA2 IA2
2 , tương tự ta có
cos
cos B B
MB MB IB
IB2
2
cos
cos
C C
MC MC IC
IC2
Mà
cos cos cos
A B C
MAIA MB IB MC IC
IA2 IB2 IC2
A B C
cos cos cos
2 2 cos . cos . cos .
2 2
cos cos cos
2 2
A B C
MI IA IB IC IA IB IC
IA IB IC
A B C a b c
IA IB IC AE BF CD
2
Do cos AMA cosB.MB cosC.MC a b c
2 2
Tổng quát
Cho đa giác lồi AA A1 2 n(n 3) ngoại tiếp đường tròn tâm J Chứng minh với điểm M A MA JA
n
i
i i
i=1
cos
2
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với G trọng tâm Qua điểm O nằm tam giác kẻ đường thẳng song song với GA, GB, GC tương ứng cắt CA, AB, BC điểm A', B', C' Xác định vị trí điểm M để m MAa ' m MBb ' m MCc ' đạt giá trị nhỏ
Lời giải
Ta có m MAa ' 3GAMA ' 3GAMA ' 3GA MO OA'
2 2
Tương tự m MBb GB MO OB m MCc GC MO OC
(7)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Suy m MA m MB m MCa ' b ' c ' GA GB GC GAOA ' GBOB ' GC OC '
2
Hay m MAa ' m MBb ' m MCc ' m OAa ' m OBb ' m OCc ' Dấu xảy M trùng với O
Vậy với M trùng với O m MAa ' m MBb ' m MCc ' đạt giá trị chỏ Ví dụ 4: Cho tam giác ABC và ba số thực x y z, ,
Chứng minh x2 y2 z2 2yzcosA 2zxcosB 2xycosC Lời giải
Gọi I r; đường tròn nội tiếp ABC, tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P
Khi x IM y IN z IP
0
x IM2 y IN2 z IP2 2xyIM IN 2yzIN IP 2zxIP IM 0
cos cos cos
x2 y2 z r2 2r xy2 1800 C yz 1800 A zx 1800 B 0 cos cos cos
x2 y2 z2 2yz A 2zx B 2xy C
đpcm
Nhận xét:
+ Khi chọn x y z ta có: cosA cosB cosC
2
+ Khi chọn y z ta có cosA x cosB cosC 1x2
2
3 Bài tập luyện tập
Bài 2.109: Cho tam giác ABC ba số thực x y z, , Chứng minh rằng: yzcos2A zxcos2B xycos2C x2 y2 z2
2
Bài 2.110: Cho tam giác ABC không nội tiếp đường trịn (O) Tìm đường trịn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đến ba đỉnh tam giác nhị nhất, lớn Bài 2.111: Cho tam giác ABC vuông A Gọi góc hai trung tuyến BD CK Tìm giá trị nhỏ cos
Bài 2.112: Cho M điểm nằm mặt phẳng tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ T MA MB MC
a b c
Bài 2.113: Cho tam giác ABCABC Tìm điểm M cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: A
T 2.cos MA MB MC
2
Bài 2.114: Cho tam giác ABC Chứng minh a) ama2 bmb2 cmc2 abc
9
(8)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) am mb c bm mc a cm ma b abc
9
c) ma mb mc a b c
a b c ab bc ca
2 2 9 3
4
Bài 2.115: Cho tam giác ABC Chứng minh a) a2 b2 c2 9R2 b) R 2r
c) R2 a2 b2 c2 d) S ab bc ca abc a3 b3 c3
e) a b b c c a 8R R 2r
Bài 2.116: Cho tam giác ABC, O điểm tam giác Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, BC, CA cắt BC, CA, AB A', B', C' Chứng minh với điểm M ta có cMA' aMB' bMC' cOA' aOB' bOC'
Bài 2.117: Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cho MA 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ
Bài 2.118: Cho đa giác lồi AA A1 2 n(n 3), e ,i i 1,n, O điểm nằm đa giác.Gọi Bi hình chiếu điểm O lên AiAi+1 Chứng minh với điểm M ta có
n
i i i i
i
AA 1 MB OB
1
0
Bài 2.119: Cho đa giác AA A1 2 n Tìm điểm M cho tổng MA1 MA2 MAn nhỏ
Bài 2.120: Cho tam giác ABC; O điểm tam giác, đặt
BOC ,COA ,AOB Chứng minh với điểm M ta có MAsin MBsin MC sin OAsin OBsin OC sin
Bài 2.121: Cho tam giác ABC, tìm vị trí điểm M để P a MA b MB c MC đạt giá trị nhỏ nhất.Biết:
a) M điểm
a) M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) M nằm đường thẳng d
Bài 2.122: Cho n điểm AA A1 2 n,và n số dương 1, , ,2 n.O điểm thoã mãn n
i i
i
OA
0 Chứng minh với điểm M ta có bất đẳng thức
n n n
i i i i i i i
i i i
MA2 OA MA OA2
1 1
Bài 2.123: Cho tam giác ABC vuông cân A Xác định điểm M cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
a) 2MA MB MC b) 2MA 10 MB MC Bài 2.124: Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có
cos2A cos2B cos2C 6cos cos cosA B C Bài 2.125: Cho tam giác ABC Chứng minh : a) sin A2 sin B2 sin C2
4 b)
3
sinA sinB sinC
(9)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
c) sinA.sinB.sinC 3
8 d)
2A B 2C
cos cos cos
2 2
e) cosA cosB cosC 3
2 2 f)
A B C 3
cos cos cos
2 2
IV KHÁI NIỆM PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM TỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG
1 Phương pháp giải
a) Bài toán: Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A, B Chứng minh MAMB. MO2 R2
Chứng minh: Vẽ đường kính BC đường trịn (O;R) Ta có MA hình chiếu MC lên đường thẳng MB Theo cơng thức hình chiếu ta có
MAMB MC MB MO OC MO OB
MO OB MO OB MO2 OB2 MO2 R2
Từ toán ta có định nghĩa sau:
b) Định nghĩa: Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định
Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường trịn hai điểm A, B Khi MAMB. MO2 R2
đại lượng không đổi gọi phương tích điểm M đường trịn (O;R), kí hiệu PM O/
Chú ý: Nếu M ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT Khi PM/O MT2 MO2 R2 c) Các tính chất:
• Cho hai đường thẳng AB CD cắt M Điều kiện cần đủ để bốn điểm , , ,
A B C D nội tiếp đường tròn MAMB MC MD (hay
MAMB MC MD )
• Cho đường AB cắt đường
thẳng M điểm C
thẳng C M đường
Điều kiện cần đủ để
tiếp tuyến đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC
MAMB MC2
C
C M
D
A M C
A
B
B
D
Hình 2.15
A
O C
M
O C
B A B
M
(10)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA', BB', CC' cắt H Chứng minh HAHA ' HB HB ' HC HC '
Lời giải(hình 2.17)
Ta có BB C' BC C' 900 suy tứ giác ' '
BCB C nội tiếp đường trịn (C) đường kính BC Do HB HB ' HC HC ' (vì phương tích từ điểm H tới đường trịn (C)) (1)
Tương tự tứ giác ACA C' ' nội tiếp nên ' '
HAHA HC HC (2) Từ (1) (2) suy
' ' '
HAHA HB HB HC HC
Ví dụ 2: Cho đường trịn (O;R) điểm P cố định
bên đường trịn Hai dây cung thay đổi AB CD ln qua điểm P vng góc với
a) Chứng minh AB2 CD2
không đổi b) Chứng minh PA2 PB2 PC2 PD2
khơng phụ thuộc vị trí điểm P Lời giải(hình 2.18)
a) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD suy OE AB OF CD
Ta có AB2 CD2 2AE 2CF AO2 OE2 CO2 OF2
4
R2 OE2 OF2 R2 OP2
4
Suy AB2 CD2 không đổi b)
PA2 PB2 PC2 PD2 PA PB PC PD 2PAPB 2PC PD
AB2 CD2 2PAPB 2PC PD
Mặt khác theo câu a) ta có AB2 CD2 4 2R2 OP2
( )
P O
P PAPB PC PD PO2 R2
Suy PA2 PB2 PC2 PD2 2R2 OP2 PO2 R2 4R2 Vậy PA2 PB2 PC2 PD2
khơng phụ thuộc vị trí điểm P
Ví dụ 3: Cho đường trịn đường kính AB đường thẳng vng góc với AB H ,
H A H B Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn M, N đường thẳng AM, AN cắt M', N'
Δ
O A
M B
C
Hình 2.16
H A
B A' C
B' C'
Hình 2.17
P
O
A
B
C
D
E
F
(11)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
a) Chứng minh bốn điểm M, N, M', N' thuộc đường trịn (C) b) Chứng minh đường trịn (C) ln qua hai điểm cố định
Lời giải(hình 2.19)
a) Vì M HB' M MB' 900 nên tứ giác BHM M' nội tiếp suy
'
AH AB AM AM (1)
Tương tự Vì N HB' N NB' 900 nên tứ giác '
HBN N nội tiếp suy
'
AH AB AN AN (2)
Từ (1) (2) suy AM AM' AN AN'
Suy bốn điểm M, N, M', N' thuộc đường tròn b) Gọi P, Q giao điểm đường tròn (C) với đường thẳng AB E, F giao điểm với đường trịn đường kính AB
Khi ta có AP AQ AM AM ' AH AB Mặt khác
AH AB AE EH AB AE AE EB AE2
AH AB AF FH AB AF AF FB AF2
Suy AP AQ AE2 AF2
Do P, Q thuộc đường trịn (S) tiếp xúc với AE, AF E, F
Vì (S) đường tròn cố định nên P, Q cố định thuộc đường trịn (C)
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) bán kính R Giả sử M điểm di động đường tròn (O) Nối AM, BM, CM cắt (O) A', B', C' Tìm tập hợp điểm M cho
' ' '
MA MB MC
MA MB MC
Lời giải(hình 2.20) Ta có ĐT
' ' '
MA MB MC
MA MA MB MB MC MC
2 2
3
' ' '
MA MB MC
MA MA MB MB MC MC
2 2
3 (*) Mặt khác
/( ) ' ' '
M O
P MA MA MB MB MC MC MO2 R2
Suy (*) MA2 MB2 MC2 MO2 R2 (1)
Gọi G trọng tâm tam giác ABC , I trung điểm GO Ta có:
( )
MA MB MC MG GA MG GB MG GC
MG MG GA GB GC GA GB GC
MG GA GB GC
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3
Từ (1) (2) ta có 3MG2 GA2 GB2 GC2 3 MO2 R2
M O
A
A'
B C
C'
B'
Hình 2.20 Δ
P F E M'
H A
B M
N N'
Q
(12)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
MG MO R GA GB GC
MI IG MI IO R GA GB GC
MI IO R GA GB GC
MI R GA GB GC IO
MI k
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
2
3
1
2
Trong k2 1R2 GA2 GB2 GC2 IO2
2
Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính R k 3 Bài tập luyện tập
Bài 2.126: Trong đường tròn tâm (O;R) cho hai dây cung AA' BB' vng góc với S Gọi M trung điểm AB Chứng minh SM A B' '
Bài 2.127: Cho hai đường tròn (O) (O'); AA', BB' tiếp tuyến chung chúng đường thẳng AB' theo thứ tự cắt (O) (O') M, N Chứng minh AM B N' Bài 2.128: Cho tam giác ABC không cân A; AM, AD trung tuyến, phân giác tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC E, F Chứng minh
BE CF
Bài 2.129: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định
Bài 2.130: Cho đường tròn (O;R) điểm P cố định nằm đường tròn Giả sử AB dây cung thay đổi ln qua P Tiếp tuyến đường trịn (O) A, B cắt C Tìm tập hợp điểm C
Bài 2.131: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định
Bài 2.132: Cho đường tròn đường kính AB, H điểm nằm AB đường thẳng
vng góc với AB H Gọi E, F giao điểm đường tròn Vẽ đường trịn tâm A, bán kính AE đường trịn (C) qua H, B Giả sử hai đường trịn cắt M N, chứng minh AM AN hai tiếp tuyến (C)
Bài 2.133: Cho hai đường tròn đồng tâm O C1 C2 ( C2 nằm C1 ) Từ điểm A nằm C1 kẻ tiếp tuyến AB tới C2 AB giao C1 lần thứ hai C D trung điểm AB Một đường thẳng qua A cắt C2 E, F cho đường trung trực đoạn DF EC giao điểm M nằm AC Tính AM
MC ?
Bài 2.134: Cho đường tròn (O;R) hai điểm P, Q cố định (P nằm (O), Q nằm (O)) Dây cung AB (O) qua Q PA, PB giao (O) lần thứ hai D, C Chứng minh CD qua điểm cố định
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/