BDHSG 12 ung dung cua ham so

Tìm m để phương trình đó chỉ có duy nhất một nghiệm.[r]

PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM GIẢI TOÁN PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM GIẢI TOÁN

DẠNG TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ Giải phương trình

1 cos x2 sin x2

2  cos 2x 0 x 2  x 1 3 2x2  1 2x2 (Khối A-1970) 3x 4x 5x

  (BĐTS) 2log cot gx log cos x3  (HVQHQT-1996) 2x4 1 2x4

27

  

6 2x 2   2x 1 2 3 3x 2  9x2 3 0

Ví dụ Giải phương trình sau

1  1 xlog 23  x

x

3 2006log2004x1  2004log2006x1 2

3 (TH&TT) 2x 6x 3x 5x

   4.(TH&TT T7/289) 4x2 2x 3x2 3x

5  

2

3

3

1

log 2

5

x x

x x

   

    

 

Ví dụ Giải bất phương trình

(ĐHY-1999) 2.2x 3,3x 6x 1

  

x x

x x

2

3

  

Ví dụ Giải hệ phương trình

a (ĐH Luật-1996)

3

3

3

2x y y y

2y z z z

2z x x x

    



   

 

   



b

tgx tgy y x 2x 7y

x, y

2



   



  



  

  



Ví dụ Giải bất phương trình

(ĐHXD-1994) x

tg 2x

4 0

4 x x 

 

  

(ĐH Luật-1996) x

x

3 2x

0

4



 

 

Ví dụ 6

1 (ĐHXD-1994) Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

   

x k x 2x

1

2

4  log x 2x 2  log x k

     

Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm

   

1 a

a

CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Giải phương trình sau

(Phương Đông-1996) sin x4 1 sinx4 17

  

x 3x 6 x

2x x

   



 

2

2

1 x 2x

x x 1

2

2 x

 

  

x x

2 x

2 log

x

 

  ecos x2 esin x2 cos 2x

 

(ĐHBK-1999) sin x cos x 2n n n2 

  với n ,n 2  0;2 

 

 

 

7 (SPHN-2001) 3x 5x 6x

  

Bài Giải phương trình sau

2x  3 x 1

  25x 2 3x 10 5  x 2  3 x 0 3x 1 100 7x 1

  log 12  x log x3 4x x 1 2x2 2x 1

     xlog 92 x 32 log x2  xlog 32

7log x 15    5log x 17  2 2log x 35   x

x2 3log x2 xlog 52 10 25x  x 5   x 2x 0 

12 4x 3x 1

 

11   2     

3

x log x 1  4 x log x 1   16 0

Bài Giải bất phương trình, hệ phương trình

6 2  x  17 12 2  x  34 24 2 x 1 3x 4x 8x 15x

x

x

1

2cos 4cos

7 2cos

7

 

     

   

   

 

 

 

 

4 (HVQY-1996)

1 x x

3 3x

0

2



 

 

(ĐHKTQD-1996)

3

x 5x

x 3x 9x 10

   

 

   

 

Bài Giải hệ phương trình

2

2

x y

y z

z x

  



  

  



2

3

3

3

x y y y

y z z z

z x x x

    



   



    

(BĐTS)

cot gx cot gy x y 5x 8y

0 x, y

  

 

  



   



4

tgx tgy x y sin x sin y

x, y

2



  

 

 



  

  



(ĐHTN-1997)    

x y

2

2

e e log y log x xy

x y

    

 

 

 

(ĐHQG-1995)    

x y

2

2 y x xy

x y

    

 

 

 

Bài 5

2x 1  2x 1 2 2004 2005  x x2 2004 2005 0 (BĐTS) Chứng minh với a 0 hệ phương trình sau ln có

nghiệm

2

2

a 2x y

y a 2y x

x 

  

 

  

 

(ĐHBK-1998) Biện luận theo a số nghiệm phương trình

2

2 x sin x  x cos x   a a 1 (ĐH Hàng Hải-1999) Giải biện luận theo m hệ phương trình

2

4

1 x

x 4x m m

   

     



Bài Giải phương trình

(ĐHSPHN2-1999)

2 x cos x

2

  6x 4sin x

3 

 

log2 2 3x2  2x 2  log2 3x2  2x 3 

3 x sin x x

3  

DẠNG TOÁN TÌM THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM

Ví dụ Tìm tham số để phương trình f(x) = m, x X có nghiệm. (ĐHXD-1994) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

6

(ĐHGTVT-1999) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

mcos 2x 4sin x cos x m 0   

(HVBCVT-1999) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

 

x x  x 12 m  x  x (ĐHKTQD-1997) Tìm a để phương trình sau có nghiệm

   

1 x  x  x 1  a

Ví dụ 2

(ĐHQG khối A-1999) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

2 2

sin x cos x sin x

2 3 m.3

(ĐH TM-1998) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

3

x 3x

x 3x x m 15m

   

 

   

 

3 (ĐH-CĐ Khối B năm 2005) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

 1 1 2 2 1 1 1

m x   x    x   x   x

Ví dụ 3

1 (ĐH TM-1996) Tìm k để phương trình x4 4x3 8x k

    có bốn nghiệm phân biệt

2 (khối A-1978) Chứng minh n số tự nhiên chẵn, a > phương trình sau vơ nghiệm

n x n 2 3 n x  n 1 an 2 0

    

3 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

2 4 3

4

1

1

x x

m m

   

  

   

CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài Tìm tham số để phương trình sau có nghiệm

x2 x 1 x2 x m

      (ĐHNT-1997) 31 x 31 x a  (ĐHAN-1997) x2 2x 4 x2 2x m

     

(BĐTS) sin x cos x m sin 2x6   (khối A-1986)

6

2

cos x sin x

2atg2x cos x sin x



 

Tìm k nguyên để phương trình: 2sin x 6cos2 x 5 2k

   có nghiệm

Bài 2

(BĐTS) Tùy theo m biện luận số nghiệm số phương trình 2n n 2

x x x

m

2n n 2

 

   

  n  

(BĐTS) Biện luận số nghiệm số phương trình

4 4

x 4x m  x 4x m 6 

(ĐHBK-1999) Tìm a để đồ thị hàm số y f x   x3ax+2 cắt trục hoành điểm

(ĐHLN-1996) Chứng minh phương trình x3 mx2 3 0

   ln có nghiệm dương Tìm m để phương trình có nghiệm (BĐTS) Tìm p để phương trình sau có nghiệm

2

2

2

4x 2px

1 p

1 2x x 1 x   

Tìm a để phương trình 2x2 3x 5a 8x 2x    2 có nghiệm nhất. Tìm a để phương trình2x210x x  2 5x a có bốn nghiệm khác (ĐHNT - 1998) Tìm m để phương trình

2

x x

4

1

m m

5

 

 

  

 

  có bốn

nghiệm phân biệt

(Đề 49III1) Với giá trị m phương trình 1x 1 3m

2    có nghiệm

10 (Đề 99III1) Xác định k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

   

x k x 2x

1

2

4  log x 2x 2  log x k

     

Bài 3

(HVQHQT-1999) Tìm m để hệ

2

x 10x

x 2x m

   

 

   

 

có nghiệm (ĐHBK-1995) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

 

 

2

2

x 3m x 6m

x 2m x m 5m

    

 

     

 

(ĐHTCKT-1996) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

x x

9 m.3 m 0 

(Đ3I2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x x 1   x 3  x m x



    



(Đ5II2) Tìm tất giá trị tham số a để phương trình 1 a tg x 2 3a

cosx

     có nhiều nghiệm khoảng 0; 

 

 

 

DẠNG TỐN TÌM GTLN, GTNN CỦA Y=f(x); x X

Ví dụ 1

Tìm GTLN, GTNN hàm số y 3x 0;2

x  

 trªn (HVNHTHHCM-1998) Tìm GTLN, GTNN

2

2

20x 10x y

3x 2x

 



 

3 (ĐHBK-1997) Cho tam giác ABC với góc thỏa mãn A > B > C Tìm GTNN hàm số f x  x sin A x sin B

x sin C x sin C

 

  

  Từ suy phương

trình x sin A  x sin B  x sin C có nghiệm

Ví dụ 2

(HVNH-1998) Tìm GTNN y 1 sin x cos x

   víi < x <

2 (ĐH Luật-1999) Tìm GTLN, GTNN y sin x cos x20 20

 

(ĐHBK-1996) Tìm GTLN, GTNN y cos x.sin xp q 0 x 

 víi  

(p, q số tự nhiên)

4 (ĐH - CĐ khối B năm 2006) Tìm giá trị nhỏ biêu thức

 12  12 2

A x  y  x  y  y

5 (ĐH - CĐ khối D - 2004) Tìm GTLN- GTNN hàm số

1

x y

x

 

 1;2

Ví dụ 3

Tùy theo giá trị m tìm GTLN, GTNN hàm số

4

y sin x cos x msin x cos x  

(ĐHQG khối D-1996) Tìm GTLN, GTNN biểu thức

2

2

x y

A

x xy y  

3 (CĐCN HN - 2005) Cho 0; , 0;

2

x   y  

    tgx3tgy Tìm giá trị lớn tg x y  

CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài

1 (ĐHKTr-1998) Tìm GTLN, GTNN

2

2cos x cos x A

cos x

 





2 (ĐH - CĐ khối B - 2004) Tìm GTLN,GTNN A x 4 x2

  

Bài 2

(ĐHGTVT-1997) Tìm GTLN, GTNN y sin x cos x2

  

Tìm

GTLN, GTNN y cos x sin x2m 2n

  với m, n *

Bài (HVQHQT-1996) Cho x 0; y 0; x y 1.    Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: y

x 

 x

P=

y+1

Bài (HVKTQS-1996) Với b tham số Tìm GTNN hàm số

 

4 2

y x  6bx  b trªn -1;

Bài 5

(BĐTS) Tìm a để GTNN hàm số y 4x2 4 2a  

  ax+a2  trªn -2; (BĐTS) Tìm GTNN 2

1 y lg x

lg x

 



Bài

(HVNH-1996) Tìm GTLN, GTNN y 3sin x sin 3x3

 

(ĐH Huế-1998) Tìm GTNN

 

2

2 a

y x 2x

x

   

 với a 0 (ĐH Quy Nhơn-1997) Tìm GTNN y 4cos x 3sin x 7sin x2

  

(ĐHNN-1999) Tìm GTLN, GTNN của: y x c x 0; 

 

    

 

2

os víi x Tìm GTLN, GTNN y sin 2x2

2 cos x 

 

Tìm GTLN, GTNN y x22 2x

x 2x

 



 

Cho x2 y2 xy 1 Tìm GTLN, GTNN A x  xy y

Bài 8

Tìm GTLN, GTNN hàm số y 8cos x2 8sin x2

  từ giải phương trình

2

cos x sin x

8 8 10 cos 2 t Tìm tất giá trị a, b để hàm số y

x 

 

ax+b

x có GTNN GTLN

Bài 9

(BĐTS) Cho x , x1 nghiệm phương trình

2

2 12

12x 6mx m

m

     Tìm m để x13 x32 đạt GTLN, GTNN (BĐTS) Tìm GTLN y x 2  x từ giải phương trình

2

x 2  x x  6x 11

Bài 10

(ĐHSPHN2-1995) Tìm GTLN, GTNN y

sin x cos x 



(ĐHBK-1995) Cho f x  x4  2mx2 4 víi m 0 Tìm GTNN f(x) với x m 

(ĐHKTQD-1997) Tìm GTLN

 

3

yx 3x  72x 90 trªn -5;

DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1

Cho a + b = Chứng minh a4 b4 2

 

Chứng minh a2 a 1 a2 a 2; a

        

Chứng minh   x  1;1 số nguyên dương n > ta có

1 x n 1 x n 2n

Ví dụ Chứng minh rằng

3x 2sin x tgx

2 2 x 0;

2

  

     

 

(ĐHXD-1996)

2

x x

e x x

2

(BĐTS)

2 n

x x x

e x

2! n!

     với n nguyên dương x > (ĐHXD-1994)

2 x cos x

2

  víi  0

Ví dụ 3

Với < b < a Chứng minh a b lna a b

a b b

 

 

Chứng minh a b b - a

2 cosa 2cos b

 

   th× sin 

Ví dụ 4

(ĐHSPHN2-1998) Chứng minh với tam giác nhọn ta có

   

2

sin A sin B sin C tgA tgB tgC

3   3    

(ĐHAN-1997) n số nguyên dương lẻ, n 3 Chứng minh x

  ta có

2 n n

x x x x x

1 x x

2! n! 2! 3! n!

   

         

   

   

Ví dụ

1 (ĐH - CĐ khối A - 2003) Cho số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện x y z 1 Chứng minh rằng

2 2

2 2

1 1

82

x y z

x y z

     

2 (ĐH-CĐ khối A năm 2006)

CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1

Chứng minh

2

2x 2x

4; x

x x

 

  

  

(BĐTS) Chứng minh x4 px q 0; x 256q3 27p4

     

Chứng minh ex 1 x; x 0

   Từ chứng minh 1

1 x

4 e dx

4

   



Bài 2

Chứng minh 2sin x 2tgx 2x 1  

    

 

x 0; Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có

sin A sin B sin C tgA tgB tgC 2       (ĐH Quy Nhơn-1997) Chứng minh 3a24 34a 8 2; a

giải bất phương trình x 4 x

2

3 2cos x

   

 

        (BĐTS) Giải hệ

x y 2y

4

4 3.4

x 3y log

  

  



  

 (BĐTS) Giải hệ

x y

2

x y

  



  

Bài 3

Chứng minh

3 x

sin x x x

6

  víi   

2 x

ln x x x

2

   víi 

arctga arctgb  a b ; a,b   arctgx ln x 1 ln 2; x 1;1

4

  

       

 

3

x x

x arctgx x ; x (0;1]

3

     

Bài 4

(BĐTS) Nếu a, b, c số dương tùy ý thỏa mãn a2 b2 c2 1

  

Chứng minh rằng: 2 a 2 2 b 2 2 c 2 3 b c c a a b  (ĐHNN1-1998) Chứng minh

2

x x

2

e dx e e



 

(ĐHSP Vinh-1998) Chứng minh

x

1

1 dx 

 

(BĐTS) Chứng minh

3

6

3 s

dx

4





 inx  x

(ĐHNN1-1999) Chứng minh a b a b ; a,b

1 a b a b

 

  

    

Bài 5

(TH&TT số 10/2000) Chứng minh

2003 2004 2001 2x

0

x e dx

2 2003 2004

  

 



(TH&TT T9/311) Chứng minh x 0; 

 

2

4

sin x  x x

 

3 Chứng minh với tam giác ABC ta có

c c c

3   2

A B C

os os os

2 2

A B C

1+sin 1+sin 1+sin

2 2

DẠNG TỐN TÌM THAM SỐ ĐỂ f x  m f x   m ; x X  

Ví dụ 1

(ĐHKTr-1997) Tìm m để x2 2x m2 0; x 1;2

     

(ĐHGTVT - 1998) Tìm m để 1 2x x   m 2x2 5x 3

     

Ví dụ 2

(ĐHGTVT-1997) Tìm a để a.4x a 2 x 2 a 0;

      

(ĐHBH-1996) Tìm k lớn thỏa mãn

 

k sin x  cos x 1 sin 2x  cos x  sin x 2; x  

(ĐHTCKT-1996) Tìm m để m.92x2x 2m 6 2x2x m.42x2x 0

   

thỏa mãn với x mà x 

Ví dụ 3

(ĐHKTr-1999) Tìm m để  x 2;5 thỏa mãn x x m  Tìm a để 2a 15

5

sin x cos x a

log 0; x

5 

    

  

 

 



CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1

(HVBCVT-1998) Tìm m để x2 2 m x m  2m 0; x 0;1

      

(CĐ Hải Quan-1996) Tìm m để

cos 2x 8sin x cos x 4m 0; x 0; 

 

       

 

(ĐHKTr-1995) Cho  

 

2

2

2

cos x

1 sin x x 3x f x

1

m 2m

2 



  



 

    

(BĐTS) Tìm m để

2

2

mcos x m m

0; x m mcos x

 

 

 

5 (BĐTS) Tìm a để x 0; 

 

    ta ln có

   

5

sin x cos x a sin x cos x   sin x cos x sin x cos x Tìm a để sin x cos x a; x3

    

Bài 2

(ĐHBK-1997) Tìm m để

3

x 3mx ; x

x

     

(BĐTS) Tìm a để: x2 ax+1>0; x 0

  

(BĐTS) Tìm a để bất phương trình 4 x x    x2 2x a 18

      

được thỏa mãn với   x  2;4

(ĐHNN-1997) Tìm m để hàm số sau xác định với x

  4

f x  sin x cos x 2msin x cos x  Tìm m để bất phương trình sau thỏa mãn với x

 

x x

m.25 4 m 5 m 0  (ĐH Mỏ Địa Chất-1998) Tìm m để bất phương trình

 

x x

9  m 3  2m 0; x    

Bài 3

(ĐHAN-1996) Chứng minh 4cos x 2sin x    3; x (BĐTS) Cho y x 1 x2 a

    Tìm a để hàm số không nhận giá trị dương x tập xác định

Bài Tìm a để 2a 13

5

sin x cos x a

log 0; x

5  

    

  

 

 