Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

Tiếp nối luận văn của tác giả Nịnh Thị Thu với đề tài "Phương pháp vector", bảo vệ thành công năm 2015 xem [7], tôi tự đặt cho mình bài toán nghiên cứu các ứng dụng của các phéptoán tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 Tích vô hướng trong không gian vector Euclid 5

1.1 Định nghĩa không gian vector Euclid 5

1.2 Các đẳng thức vector và bất đẳng thức vector 7

1.2.1 Các đẳng thức vector 7

1.2.2 Các bất đẳng thức vector 8

1.3 Tích vô hướng trong hình học phẳng 8

1.3.1 Chứng minh hệ thức hình học và tính biểu thức 9

1.3.2 Chứng minh bất đẳng thức hình học 15

1.3.3 Chứng minh quan hệ vuông góc 17

1.3.4 Sáng tạo các bất đẳng thức nhờ tích vô hướng 24

1.4 Tích vô hướng trong Hình học không gian 27

1.4.1 Chứng minh tính vuông góc trong không gian 27

1.4.2 Tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích 30

1.5 Ứng dụng tích vô hướng giải bài toán đại số 39

1.5.1 Giải phương trình 39

1.5.2 Giải bất phương trình 41

1.5.3 Giải hệ phương trình 42

1.5.4 Chứng minh bất đẳng thức 43

1.5.5 Tìm cực trị hình học và cực trị đại số 46

1.6 Bài tập 49

Kết luận Chương 1 52 2 Tích giả vô hướng và tích có hướng 53 2.1 Tích giả vô hướng của hai vector trong E2 53

2.1.1 Nhắc lại một số thuật ngữ và ký hiệu 53

2.1.2 Tích giả vô hướng (tích ngoài) của hai vector 54

2.1.3 Biểu diễn một số sự kiện hình học theo tích giả vô hướng 57

2.1.4 Ứng dụng vào diện tích đại số 58

2.1.5 Các ví dụ ứng dụng 61

2.2 Tích có hướng của hai vector 64

2.2.1 Định nghĩa và tính chất 64

2.2.2 Tích hỗn tạp của 3 vector 66

2.2.3 Biểu diễn các sự kiện hình học 66

2.2.4 Ứng dụng của tích có hướng trong hình học 67

2.2.5 Ứng dụng của tích có hướng trong Vật lý 72

2.3 Bài tập 75

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướngdẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Việt Hải, giảng viên cao cấp TrườngĐại học Hải Phòng Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và xingửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều Thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo Sau đại học, các quýThầy Cô giảng dạy lớp Cao học K7B (khóa 2013-2015) Trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạođiều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luônđộng viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thựchiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Tác giả

Nguyễn Trọng Nghĩa

Mở đầu

Trong toán học hiện đại, tất cả các cấu trúc toán học đều dựa trên cấu trúc khônggian vector Chỉ với hai phép toán cộng hai vector và nhân một số với một vector,không gian ấy đã mô tả được nhiều sự kiện quan trọng của toán học nói riêng vàcủa các ngành khoa học tự nhiên nói chung Vector là một công cụ mạnh để giải cácbài toán hình học phổ thông Phương pháp vector ngày nay đã trở nên quen thuộc đểgiải các bài toán hình học cũng như các loại toán khác thay cho cách giải toán truyềnthống, nó góp phần làm nên vẻ đẹp mới trong mỗi lời giải bài toán Tiếp nối luận văn

của tác giả Nịnh Thị Thu với đề tài "Phương pháp vector", bảo vệ thành công năm

2015 (xem [7]), tôi tự đặt cho mình bài toán nghiên cứu các ứng dụng của các phéptoán tích vô hướng và tích có hướng vào giải các bài toán Hình học, Đại số và một

số bài toán của Vật lý Mục đích của đề tài là:

1 Nêu bật các kỹ thuật thường gặp khi ứng dụng tích vô hướng và tích có hướng

để giải các bài toán Các kỹ thuật này được minh họa qua hàng loạt các ví dụtường minh

2 Hệ thống các bài toán có thể giải bằng cách ứng dụng các phép toán trên, đặcbiệt nêu rõ ứng dụng của các phép toán vector vào các bài toán phi hình họcnhư: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; chứng minh bấtđẳng thức, tìm cực trị hình học, cực trị đại số

3 Trình bày thêm tích giả vô hướng (tích ngoài) của hai vector, diện tích đại số,

ví dụ về đại số Lie, các kiến thức có ích mà chương trình đại học chưa đề cậpđến

Phạm vi của đề tài là ứng dụng các phép toán của không gian vector vào các bài toántrong chương trình phổ thông, đặc biệt chú ý đến các bài toán thi học sinh giỏi cáccấp, thi Olympic trong nước và Quốc tế, các bài thi vào Trung học phổ thông chuyên

và các đề thi Đại học Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo nội dungluận văn được chia làm hai chương:

• Chương 1 Tích vô hướng trong không gian vector Euclid dành để trình bày

những ứng dụng của tích vô hướng giải các bài toán Hình học phẳng, Hình họckhông gian và các bài toán Đại số.

• Chương 2 Tích giả vô hướng và tích có hướng, giới thiệu mới về phép toán "

tích giả vô hướng", các ứng dụng của 2 phép toán này trong phạm vi kiến thứccủa Hình học phổ thông

Mỗi chương đều có phần giới thiệu chung về lý thuyết cần dùng đến trongchương Nội dung nào đã có thì nêu tài liệu trích dẫn, nội dung nào mới thì đượctác giả chứng minh chi tiết và chặt chẽ Ý tưởng đó được tác giả lưu ý trong suốt luậnvăn

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Trọng Nghĩa

Danh sách hình vẽ

1.1 Ví dụ 1.3 9

1.2 Ví dụ 1.4 10

1.3 Ví dụ 1.5 12

1.4 Ví dụ 1.10 16

1.5 Ví dụ 1.11 17

1.6 Ví dụ 1.12 18

1.7 Ví dụ 1.13 19

1.8 Ví dụ 1.14 21

1.9 Ví dụ 1.15 23

1.10 Ví dụ 1.16 24

1.11 Ví dụ 1.25 28

1.12 31

1.13 31

1.14 32

1.15 Ví dụ 1.20 33

1.16 Ví dụ 1.29 (Trường hợp 1) 35

1.17 Ví dụ 1.29 (Trường hợp 2) 35

1.18 Ví dụ 1.22 36

1.19 Ví dụ 1.23 37

1.20 Ví dụ 1.23 (Chú ý) 38

1.21 Ví dụ 1.40 47

2.1 Mệnh đề 2.3 55

2.2 Ví dụ 2.7 68

2.3 Ví dụ 2.8 69

2.4 Ví dụ 2.9 70

2.5 Ví dụ 2.10 71

2.6 Ví dụ 2.11 72

2.7 Ví dụ 2.12 73

2.8 Ví dụ 2.14 74

Chương 1

Tích vô hướng trong không gian vector Euclid

Trong không gian vector ta có các khái niệm cơ bản như độc lập tuyến tính, phụthuộc tuyến tính, tập sinh, cơ sở, tọa độ, không gian con k-chiều (đường thẳng, mặtphẳng, ) Ngoài các phép toán cộng, trừ các vector, nhân một số với một vector tacần đến phép toán mới để diễn tả các khái niệm mang nội dung hình học nhiều như:

Độ dài của vector, góc giữa hai vector, tính trực giao, thể tích khối đa diện Đó là

phép toán nhân vô hướng của hai vector Phép toán đó cũng cho ta khái niệm không gian vector Euclid(có thể xem chi tiết trong [8])

1.1 Định nghĩa không gian vector Euclid

Định nghĩa 1.1 Một không gian vector E trên trường số thực R được gọi là một

không gian vector Euclid thựcnếu có một dạng song tuyến tính đối xứng hα, βi : E×

E → R thỏa mãn điều kiện hα, αi > 0 với mọi vector α 6= 0 Dạng song tuyến tính

đối xứng này được gọi là tích vô hướng của E.

Nói cách khác, tích vô hướng của hai vector α, β ∈ E là số thực hα, βi, ký hiệuđơn giản là α.β, thỏa mãn bốn tiên đề sau

(1) α.β = β.α

(2) (α1+ α2).β = α1.β + α2.β

(3) k.(α.β) = (k.α).β với mọi k ∈ R

(4) α.α = α2; và α.α = 0 khi và chỉ khi α = θ

Ta xét một số ví dụ về không gian vector Euclid

Ví dụ 1.1 Các không gian sau cùng tích vô hướng xác định

(1) Không gian vector tự do trong hình học sơ cấp là một không gian vector Euclidvới tích vô hướng −→α −→

β = |−→α |.|−→β | cos(−→α ,−→β )

(2) Giả sử E là không gian vector thực n chiều và −→e1, −→e

xiyi Nói riêng nếu E = Rn thì tích vô

hướng trên là tích vô hướng chính tắc trên Rn

Định nghĩa 1.2 Chuẩn hay độ dài của một vector −→α ∈ E là đại lượng |−→α | =

√−→

α −→α Nếu |−→α | = 1thì −→α được gọi là một vector định chuẩn.

Khái niệm chuẩn là mở rộng khái niệm độ dài thông thường lên không gian nhiềuchiều

Ví dụ 1.2 Với mọi vector −→α = (a1, , an) ∈ Rn ta có |−→α | = √

α | ∀c ∈ R; ∀−→α ∈ E(3) −→β =

cos ϕ =

−

→α −→β

|−→α |.|−→β|

Khái niệm này phù hợp với khái niệm góc thông thường trong hình học Kết quả

sau cũng gọi là Định lý cosin: Nếu ϕ là góc giữa hai vector −→α ,−→

β thì

−

→α ±−→β

−

→β

· cos ϕ

Định nghĩa 1.4 Giả sử S1 và S2 là hai tập hợp các vector trong E Ta gọi S1 trực giaovới S2 nếu −→α −→

β = 0với mọi vector −→α ∈ S1, −→

β ∈ S2

Do tính đối xứng của tích vô hướng nên nếu −→α và−→β trực giao với nhau thì −→β

và −→α cũng trực giao với nhau Ta có định lý mở rộng của Định lý Pitago: Nếu −→α ,−→

β

là hai vector trực giao thì |−→α +−→β |2 = |−→α |2+ |−→

β |2.

(3) Mọi không gian vector Euclid hữu hạn chiều đều có cơ sở trực chuẩn.

Tính chất (3) được chứng minh bằng phép trực giao hóa Gram-Schmidt: Trong

E cho hệ vector độc lập tuyến tính−→α

β1,−→

β1)

·−→β1

• −→AC= k−→

AB;

• −→OC= k−→

OA + (1 − k)−→

OBvới O là điểm tùy ý và k 6= 0

(2) Bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình bình hành khi và chỉ khi −→AB =

M B

(5) AM là trung tuyến của tam giác ABC khi và chỉ khi −→AB +−→

AC= 2−−→

AM.(6) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi−→GA +−→

GB +−→

GC = −→

0 (7) −→AB.−−→

Dễ chứng minh được các bất đẳng thức sau:

(9) −→u −→v ≤ |−→u |.|−→v |, dấu đẳng thức xảy ra ⇐⇒ −→u , −→v cùng hướng

(10) −→u −→v ≥ −|−→u |.|−→v |, dấu đẳng thức xảy ra ⇐⇒ −→u , −→v ngược hướng

(11) |−→u + −→v | ≤ |−→u | + |−→v |, dấu đẳng thức ⇐⇒ −→u , −→v cùng hướng

(12) |−→u − −→v | ≤ |−→u | + |−→v |, dấu đẳng thức ⇐⇒ −→u , −→v ngược hướng

(13) |−→u + −→v + −→w | ≤ |−→u | + |−→v | + |−→w |, dấu đẳng thức xảy ra ⇐⇒ −→u , −→v , −→w cùnghướng

1.3 Tích vô hướng trong hình học phẳng

Để sử dụng được tích vô hướng trong giải toán hình học ta cần biết một số kỹthuật cơ bản sau:

Kỹ thuật 1 Sử dụng các điều kiện trong Mục 1.2, chuyển ngôn ngữ hình học

sang ngôn ngữ vector

Kỹ thuật 2 "Bình phương vô hướng" một đẳng thức vector đã có hoặc sử dụng

"đặc trưng của vector không"

Kỹ thuật 3 Kết hợp với tọa độ vector để thực hiện tính toán

1.3.1 Chứng minh hệ thức hình học và tính biểu thức

Cách thức chứng minh

• Khi phải chứng minh hệ thức chứa độ dài đoạn thẳng hoặc tích các độ dài đoạnthẳng, chúng ta có thể chuyển hệ thức trên về dạng chứa bình phương vô hướngcủa các vectơ tương ứng

• Để chứng minh đẳng thức vector, vế phải là vector không, ta có thể áp dụngtính chất đặc trưng của vector không

Bình phương vô hướng ta có

AB2.CM2 = M A2CB2+ M B2CA2+ 2M A.M B.−→

CB.−→

CA

= M A2CB2+ M B2CA2+ M A.M B.(a2+ b2 − c2)

Cuối cùng, c2.CM2 = a2.M A2+ b2.M B2+ M A.M B.(a2+ b2− c2)

Từ công thức này ta có thể tính được độ dài của một số đường theo ba cạnh tamgiác, chẳng hạn đường trung tuyến: Khi M là trung điểm AB thì

Ví dụ 1.5 (Olympic Bulgaria, vòng 3, năm 1997 (xem [9])) Cho tứ giác lồi ABCD

nội tiếp trong một đường tròn Gọi F là giao của hai đường chéo AC, BD và E làgiao của hai đường thẳng AD, BC Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB,

AB

CD − CD

AB

... A2

!

1.4 Tích vơ hướng Hình học khơng gian

Mục đích phần ứng dụng tích vơ hướng vào tốn chứng minh

và tính đại lượng hình học khơng gian Nếu... tích

vơ hướng hai vector

Khi ứng dụng tích vơ hướng vào dạng tốn ta cần lưu ý kỹ thuật:

• Kỹ thuật chọn gốc hệ sở: Hệ {−→a ,−→

b , −→c }cần có. .. việc ứng dụng tích vơ hướng qua hai nội dung

• Chứng minh tính vng góc;

• Tính đại lượng hình học

1.4.1 Chứng minh tính vng góc khơng gian

Tích vơ hướng