ĐỊNH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC

ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo (tỉ số không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo) Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B  C D  có tỉ lệ thức AB A B  AB CD hay   CD C D  A B  C D  A Định lí Ta-lét tam giác D E Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương tứng tỉ lệ B Hình 259  ABC AD AE DB EC AD AE    ,  ,   DE  BC AB AC BA CA DB EC  Nhớ lại tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số a) Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b) Tính chất a c  b d Tính chất (Tính chất tỉ lệ thức): Nếu a c  ad  bc b d Tính chất 2: Nếu ad  bc abcd  ta có bốn tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a c) Tính chất dãy tỉ số Từ dãy tỉ số a c e a c e a c e a c e   , suy     b d f b d f b d  f b d  f Từ định lí Ta-lét ta thu kinh nghiệm thứ năm TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C Cứ nói đến tỉ số hai đoạn thẳng phải nghĩ đến định lí Ta-lét, ta nói đến định lí Ta-lét phải nghĩ đến đường thẳng song song Ý nghĩa kinh nghiệm là: Với toán đề cập đến tỉ số hai đoạn thẳng mà phải vẽ thêm đường phụ, ta vẽ thêm đường thẳng song song để sử dụng định lí Ta-lét II.BÀI TẬP MINH HỌA A CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN DẠNG Tính tỉ số hai đoạn thẳng Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng định nghĩa tỉ số hai đoạn thẳng Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc đường thẳng AB ), gọi chia đoạn thẳng AB theo tỉ số Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học: Nếu ta có: m CA m  ( m, n số dương), ta có:  n CB n CA  mt CA m  (với t  )  CB  nt CB n  Lập tỉ lệ thức đoạn thẳng tỉ lệ áp dụng tính chất dãy tỉ số II VÍ DỤ Ví dụ Điểm C thuộc đoạn thẳng AB chia AB theo tỉ số AB AB ; AC CB Hãy tính tỉ số: Lời giải (hình 260) Vì C chia đoạn AB theo tỉ số nên: CA  3t CA    với t  CB  5t CB  Do AB  AC  CB  8t Vậy TOÁN A AB 8t AB 8t   ,   AC 3t CB 5t HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C Hình 260 B Ví dụ Cho đoạn thẳng AB  10cm CA  Tính độ dài CB CB a) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C cho b) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho DA  Tính độ dài CD DB Lời giải (hình 261) a) A C B Hình 261 Cách 1: Từ giả thiết: CA  3t CA    với t  ; CB  2t CB  Nên AB  10cm  CA  CB  5t  t  2cm Vậy CB  4cm Cách 2: Từ giả thiết CA CA CB CA  CB AB 10        CB 32 5 Vậy CB  4(cm ) Cách 3: Đặt CB  x CA  10  x Từ giả thiết tính chất tỉ lệ thức ta có 3CB  2CA hay 3x  2(10  x )  5x  20  x  4(cm ) b) Từ giả thiết DA  3t DA    DB  2t DB  Mặt khác D thuộc tia đối tia BA nên DA  DB Do AB  10cm  DA  DB  3t  2t  t  10cm , suy DB  20cm Vậy CD  20   24(cm ) Ví dụ Đoạn thẳng AB  44dm chia thành đoạn thẳng liên tiếp AM , MN , NP PB tỉ lệ với 10, 2, a) Tính độ dài đoạn thẳng b) Chứng minh hai điểm M P chia đoạn AN theo tỉ số k tính k c) Cịn hai điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số không? TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Lời giải a) Từ giả thiết tính chất dãy tỉ số ta có: AM MN NP PB AM  MN  NP  PB 44       2, 10 10    20 Vậy AM  22dm, MN  4, 4dm, NP  6, 6dm, PB  11dm b) Từ câu a) ta có MA 22 PA 33   5;  5 MN 4, PN 6, Điều chứng tỏ M P chia đoạn AN theo tỉ số k  c) Vì AM 22 NM 4,   ,   ; AP 33 NP 6, Nên hai điểm A N chia đoạn MP theo tỉ số DẠNG 2.Tính độ dài đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tính độ dài đoạn thẳng:  Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức đoạn thẳng tỉ lệ  Xác định đường thẳng song song với cạnh tam giác  Thay số vào hệ thức giải phương trình Trong bốn đoạn thẳng tỉ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tự biết độ dài ba đoạn kia:  Đặt ba đoạn thẳng hai cạnh góc  Dựng đường thẳng song song để xác định đoạn thẳng thứ tư II VÍ DỤ Ví dụ Tính x trường hợp sau (h 262), biết số hình có đơn vị đo cm Lời giải (hình 262) A D M TỐN P a) MN BC x Q C E HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Hình 262 24 10,5 N x B 8,5 b) PQ EF F a) Áp dụng định lí Ta-lét vào ABC có MN  BC , ta được: BM CN x 8,  4.3, hay   x   2, MA NA 5 b) Áp dụng định lí Ta-lét vào DFE có PQ  EF , ta được: DP DQ x 24  10, 5.15  hay  x   17, PE QF 10, 9 O Ví dụ Tính x hình 263 x 16 20 P Q 15 Lời giải (hình 263) M Áp dụng định lí Ta-lét vào OMN có PQ  MN , ta được: N Hình 263 MP NQ x  16 15  hay    x  16  12  x  28 PO QO 16 20 Ví dụ Cho ba đoạn thẳng có độ dài m, n, p (cùng đơn vị đo) Hãy dựng đoạn thẳng có độ dài x cho m n  x p Lời giải (hình 264)  Vẽ góc zOt  Trên tia Oz đặt đoạn OA  n,OB  p  Trên tia Ot đặt OC  m  z B p A n O m C D t x Hình 264 Vẽ BD  AC OD  x đoạn thẳng cần dựng Thật vậy, áp dụng định lí Ta-lét vào OBD có AC  BD , ta được: m n OA OC hay   x p OB OD DẠNG Chứng minh hệ thức hình học I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xác định đường thẳng song song với cạnh tam giác Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức đoạn thẳng tỉ lệ Sử dụng tính chất tỉ lệ thức cộng theo vế đẳng thức hình học TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com II VÍ DỤ Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB  CD ) Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự M N Chứng minh rằng: a) AM BN  MD NC b) AM CN   AD CB Lời giải (hình 265) a) B A Gọi I giao điểm đường chéo AC với MN I M N Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác ACD ACB có MI  CD, IN  AB , ta được: AM AI BN AI (1); (2)   MD IC NC IC Từ (1) (2) suy ra: b) D C Hình 265 AM BN  MD NC Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác ACD ACB ta có MI  CD, IN  AB ta AM AI CN CI (3); (4)   AD AC CB CA Cộng theo vế đẳng thức (3) (4), thu được: AM CN CI  AI CA     AD CB CA CA Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có M , N trung điểm AB CD Gọi P ,Q thứ tự giao điểm AN CM với đường chéo BD Chứng minh rằng: DP  PQ  QB Lời giải (hình 266) Áp dụng định nghĩa giả thiết vào hình bình hành ABCDD, ta được: P Q N Hình 266 AM  NC , AM  NC Tứ giác AMCN có hai cạnh đối song song nên hình bình hành, MC  AN , suy TỐN M A HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C B MQ  AP , PN  QC Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác APB DQC có MQ  AP , PN  QC , ta được: BQ BM    BQ  QP (1) QP MA DP DN    DP  PQ (2) PQ NC Từ (1) (2) ta có: DP  PQ  QB DẠNG 4* Vẽ thêm đường thẳng song song để tính tỉ số hai đoạn thẳng I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vẽ thêm đường thẳng song song Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học Áp dụng định lí Ta-lét II VÍ DỤ Ví dụ Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho đoạn AD cho BC  Điểm I thuộc BD AI AK  Gọi K giao điểm BI AC Tính tỉ số ID KC Lời giải (hình 267) A K Kẻ thêm DE  BK DE  IK I Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADE có IK  DE , ta được: AK  1t AK AI     (với t  ) KE  2t KE ID  Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác BCK có DE  BK , ta được: KC BC    KC  4KE  8t KE BD Vậy AK 1t   KC 8t TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B E D Hình 267 C Ví dụ Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho BC  2BD Trên đoạn AD lấy điểm O cho AO AI  Gọi I giao điểm CO AB Tính tỉ số OD IB Lời giải (hình 268) A Kẻ thêm DH  CI DH  IO Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADH có DH  IO , ta được: I O H AI  3t AI AO     (với t  ); IH  2t IH OD  B D C Hình 268 Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác BIC có DH  IC , ta được: BI BC AI 3t    BI  2IH  2.2t  4t Vậy   IH CD IB 4t C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG BÀI CƠ BẢN Bài 1: Cho tam giác ABC , trung tuyến AD, BE ,CF cắt G a) Tính AE AC b) Tính AG GD b) Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG GD Bài 2: Cho đoạn thẳng AM , M điểm đoạn AB Tính tỉ số nếu: a) MA  MB b) MA  MB c) AM MB AB AB MA m  MB n Bài 3: Cho góc xOy Trên tia Ox , lấy theo thứ tự điểm A, B cho OA  2cm, AB  3cm Trên tia Oy , lấy điểm C với OC  3cm Từ B , kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy D Tính độ dài CD Bài 4: Cho tam giác ACE có AC  11cm Lấy điểm B cạnh AC cho BC  6cm Lấy điểm D cạnh AE cho DB  EC Giả sử AE  ED  25,5cm Hãy tính: a) Tỉ số DE ; AE TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Độ dài đoạn thẳng AE,DE AD Bài 5: Cho tam giác ABC điểm D cạnh BC cho cho BD  , điểm E đoạn AD BC AE AK  Gọi K giao điểm BE AC Tính tỉ số KC AD Bài 6: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến điểm E thuộc đoạn thẳng MC Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB D cắt AM K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC F Chứng minh CF  DK Bài 7: Cho ABC Từ D cạnh AB , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC E Trên tia đối tia CA , lấy điểm F cho CF  DB Gọi M giao điểm DF BC DM AC Chứng minh  MF AB Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên AH, lấy điểm K, I cho AK  KI  IH Qua I, K vẽ đường thẳng EF //BC , MN //BC ( E, M  AB, F, N  AC) a) Tính MN EF BC BC b) Cho biết diện tích tam giác ABC 90 cm2 Tính diện tích tứ giác MNFE LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN Bài 1: a) Có E trung điểm AC (vì BE trung tuyến) AE   (tính chất trung điểm đoạn thẳng) AC b) ABC có trung tuyến AD, BE, CF cắt G  G trọng tâm ABC AG   ( G trọng tâm ABC ) GD c) G trọng tâm ABC  AG BG CG   GD GE GF  BG GE cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG GD  CG GF cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG GD TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 2: a) MA MA MB MA  MB AB MA MB        ;  MB 2 12 AB AB b) Có c) B M A MA MA MB MA  MB AB MA MB        ;  MB 74 11 AB 11 AB 11 MA m MA MB MA  MB AB MA m MB n        ;  MB n m n m n m n AB m  n AB m n Bài 3: Xét OBD có: AC / /BD (gt)  AO OC (định lí Ta-let tam giác)  AB CD  CD  AB OC 3.3   4, 5(cm ) OA Bài 4: a) Theo định lý Ta-lét ACE , ta có: DE BC DE    AE AC AE 11 DE  AE 17  AE 11 Từ tính AE  16,5cm; DE  9cm AD  7, 5cm b) Cách Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: Cách Áp dụng tính chất dãy tỉ số DE Cách Thay DE  25,  AE vào  AE 11 Bài 5: Kẻ DM / / BK ( M  AC ) Áp dụng định lý Ta-lét CBK , ta có: KM BD KM (1)    KC BC KC AK Tương tự với ADM ADM , ta có: (2)  KM 10 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A K E M B D C AK  KC Bài 6: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến điểm E thuộc đoạn thẳng MC Qua E kẻ Từ (1) (2), tìm được: đường thẳng song song với AC, cắt AB D cắt AM K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC F Chứng minh CF  DK Hướng dẫn giải Chứng minh ADEF hình bình hành, từ đó: EF  AD   (1) Kẻ MG //AC (G AB), ta G trung điểm AB Áp dụng định lý Ta-lét ABC , ta có: CF AC (2)  EF AB Tương tự với AGM ABC , ta có: DK MG MG AC (3)    AD AG BG AB Từ (1), (2), (3) ta suy CF  DK A D G F B Bài 7: Xét ABC có: DE / /BC  AC AB AC EC (định lí Ta-let tam giác) 1  hay  EC BD AB BD Xét DEF có: DE / /MC (vì DE / /BC )  DM EC (định lí Ta-let tam giác)    MF CF Mà CF  DB (gt)  3 nên từ 1 ,    3  DM AC  MF AB Bài 8: AK AN AN    AH AC AC MN AN MN    MN //BC  BC AC BC AI AF AF    +) IF //CH  AH AC AC EF AF EF    EF //BC  BC AC BC 11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) +) NK //CH  M E C b) MNFE có MN //FE KI  MN Do MNEF hình thang có đáy MN, FE, chiều cao KI  S MNEF  (MN FE) KI  1   BC  BC AH    3   SABC  30(c m ) ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... DE  BK DE  IK I Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADE có IK  DE , ta được: AK  1t AK AI     (với t  ) KE  2t KE ID  Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác BCK có DE  BK , ta được:... 7: Xét ABC có: DE / /BC  AC AB AC EC (định lí Ta-let tam giác) 1  hay  EC BD AB BD Xét DEF có: DE / /MC (vì DE / /BC )  DM EC (định lí Ta-let tam giác)    MF CF Mà CF  DB (gt)  3... dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác ACD ACB có MI  CD, IN  AB , ta được: AM AI BN AI (1); (2)   MD IC NC IC Từ (1) (2) suy ra: b) D C Hình 265 AM BN  MD NC Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam