Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài Với một bài toán công việc của người giải toán cần [r]
(1)1 Mục lục Trang Mở đầu Chương I Yêu cầu việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1 Vấn đề rèn luyện kỹ giải toán 1.2 Phương pháp tìm lời giải các bài toán 1.3 Cách thức dạy học tìm lời giải các bài toán 12 Chương II Xây dựng số phương pháp giải phương trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 14 A Kiến thức sở và kiến thức phục vụ giải phương trình vô tỷ 14 B Các phương pháp giải phương trình vô tỷ 25 Chương III Kiểm chứng sư phạm 74 Tài liệu tham khảo 79 Lop10.com (2) Mở đầu I Lý chọn đề tài Bài tập toán học có vai trò quan trọng môn toán, nó có vai trò giá mang hoạt động học sinh thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng và thể định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến toán học, hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh là vấn đề quan trọng dạy học, nó phải tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục qua tất các lớp Việc giải bài toán là quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết người giải toán Có người phải mò mẫm lâu, thử hết cách này đến cách khác, có người lại có thể tìm cách giải nhanh Vậy đâu là bí cho kỹ giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng nào? Những đường mà người giải toán có thể trải qua để đến các lời giải thoả đáng là gì? Trong giai đoạn nay, việc đổi phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập hoạt động và hoạt động" Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh là yêu cầu việc đổi phương pháp dạy học Trong chương trình môn toán, phương trình vô tỷ đưa vào từ lớp và xuyên suốt chương trình môn toán trường phổ thông Nó có vai trò quan trọng và làm sở để nghiên cứu các kiến thức toán học có liên quan Lop10.com (3) Trong chương trình toán THPT, phương trình vô tỷ thể các hình thức chủ yếu: Các phương trình vô tỷ thông thường, các phương trình vô tỷ chứa các hàm lượng giác, các phương trình vô tỷ chứa hàm lôgarit Việc giải thành thạo các phương trình vô tỷ thể khả lựa chọn công cụ, linh hoạt và sáng tạo suy luận và phân tích bài toán Từ lý đã nói trên với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày số phương pháp giải phương trình vô tỷ" II Mục đích nghiên cứu Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh trên sở trình bày các phương pháp giải phương trình vô tỷ, nhằm góp phần nâng cao hiệu việc dạy và học môn toán III Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 3.2 Xây dựng các phương pháp giải phương trình vô tỷ theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 3.3 Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh IV Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống các phương pháp giải phương trình vô tỷ theo hướng rèn luyện kỹ giải toán và sử dụng có hiệu hệ thống các phương pháp đó thì có thể phát triển kỹ giải toán cho học Lop10.com (4) sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán trường phổ thông V phương pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu lý luận dạy học, phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng việc giải bài tập toán Nghiên cứu SGK, sách tham khảo phương trình vô tỷ để thấy vị trí và tầm quan trọng phương trình vô tỷ, vấn đề nội dung và phương pháp giảng dạy phương trình vô tỷ 5.2 Điều tra quan sát + Thực tiễn dạy học giải phương trình vô tỷ trường THPT + Những khó khăn và sai lầm học sinh giải phương trình vô tỷ VI Cấu trúc luận văn - Mở đầu - Chương I: Yêu cầu việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh - Chương II: Xây dựng các phương pháp giải phương trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh - Chương III: Kiểm chứng sư phạm Lop10.com (5) Chương I Yêu cầu việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1 Vấn đề rèn luyện kỹ giải toán * Theo tâm lý học thì kỹ là khả vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phương pháp …) để giải nhiệm vụ Thực chất hình thành kỹ là hình thành cho học sinh nắm vững hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ thông tin chứa đựng bài tập, nhiệm vụ và đối chiếu chúng với hành động cụ thể Muốn vậy, hình thành kỹ (chủ yếu là kỹ học tập) cho học sinh cần: - Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ chúng - Giúp học sinh hình thành mô hình khái quát để giải các bài tập, các đối tượng cùng loại - Xác lập mối liên quan bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng * Việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh bao gồm hai nội dung chủ yếu đó là: Rèn luyện việc tìm lời giải bài toán và rèn luyện việc giải bài toán Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung này có tiến hành đồng thời có tách thành hai quá trình riêng biệt Tuy mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau, độc lập với chúng có mối quan hệ hỗ trợ lẫn Mỗi nội dung đảm nhận yêu cầu riêng biệt công việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Lop10.com (6) Trong quá trình dạy học người giáo viên cần làm cho học sinh nhận thức rõ ý nghĩa, tác dụng nội dung và mối quan hệ hai nội dung đó 1.1.1 Vấn đề giải bài toán Đây là vấn đề quan trọng quá trình rèn luyện kỹ giải toán Vì rằng, từ chỗ tìm phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán là quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững các kiến thức nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật Nói cách ngắn gọn lời giải phải đúng và tốt Điều này đòi hỏi người giải toán phải học tập nghiêm túc, chăm và hiệu Để phát huy tác dụng việc giải bài toán trước hết cần nắm vững các yêu cầu lời giải Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiện cho việc thực các yêu cầu lời giải quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu sau: (i) Kết đúng, kể các bước trung gian; Kết cuối cùng phải là đáp số đúng thoả mãn yêu cầu đề Kết các bước trung gian phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa sai lầm tính toán, suy luận, biến đổi biểu thức … (ii) Lập luận chặt chẽ; (iii) Lời giải đầy đủ; Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không bỏ sót trường hợp nào, khả năng, chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không thiếu khả nào … (iv) Ngôn ngữ chính xác; Lop10.com (7) Đây là yêu cầu giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt cho tất các môn Việc dạy học môn toán phải tuân thủ yêu cầu này (v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật; Yêu cầu này đặt lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách xếp các yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, …) lời giải (vi) Tìm nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất; Ngoài các yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho cùng bài toán, phân tích, so sánh cách giải khác để tìm lời giải ngắn gọn, hợp lý số các lời giải đã tìm hay nói cách khác là nhìn nhận bài toán nhiều góc độ (vii) Nghiên cứu giải bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu bản, (v) là yêu cầu mặt trình bày còn (vi) và (vii) là yêu cầu đề cao Quá trình phân tích trên chứng tỏ tính chất quan trọng việc rèn luỵện giải bài toán (khi đã có đường lối giải) Nhưng dù phải xem việc rèn luyện khả tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất định toàn công việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.2 Vấn đề rèn luyện khả tìm lời giải các bài toán Đây là khâu quan trọng có tính chất định việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Vì vậy, quá trình dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ lưỡng, làm cho họ ý thức vai trò đặc biệt quan trọng khâu này, thể chỗ: - Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo thực các thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi chưa có Lop10.com (8) phương hướng giải chưa có phương hướng giải tốt thì chưa thể có lời giải lời giải tốt - Khi đã có phương hướng giải thì việc thực các thao tác trình bày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có sáng tạo, phân tích quan trọng lớn tìm phương hướng giải - Mặt khác, ý thức tầm quan trọng khâu rèn luỵên phương pháp tìm lời giải bài toán chính là sở quan trọng cho việc rèn luyện khả làm việc độc lập sáng tạo, khả không thể thiếu người giải toán Như vậy, từ hai vấn đề đã nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quá trình rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán quan trọng định là khâu tìm lời giải các bài toán 1.2 Phương pháp tìm lời giải các bài toán Chúng ta không thể có thuật giải tổng quát để giải bài toán Ngay lớp bài toán riêng biệt có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài Với bài toán công việc người giải toán cần đặt là tìm hiểu nội dung bài toán: phân biệt cái đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện cho bài toán để từ đó xác định dạng bài toán, tìm phương hướng giải bài toán và lựa chọn công cụ thích hợp Bước là yêu cầu quan trọng và định việc tìm lời giải bài toán Năng lực người giải toán thể rõ bước này Nhiều Lop10.com (9) người giải toán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích các giả thiết hay tìm mối liên hệ quan trọng bài toán mà ghi chép, nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình giải cái gì Đó là cách tìm lời giải máy móc và không hiệu Có thể nói bước này là thước đo lực người giải toán, vì không thể đánh giá kỹ giải toán tốt mà thể khâu tiếp thu và vận dụng tốt Bước 2: Tìm cách giải Tìm tòi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán hay liên hệ các giả thiết, các điều kiện đã cho với tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự, trường hợp riêng, bài toán tổng quát hay bài toán nào đó có liên quan Bước này nhằm rèn luyện kỹ sâu vào bài toán: Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán và kết nó giúp cho người giải toán hiểu rõ quá trình xảy có tính quy luật bài toán Nghĩa là, người giải toán biết với các giả thiết, các điều kiện đã cho thì tất yếu kết phải diễn nào? Làm tốt bước này người giải toán có đủ lòng tin vào đường lối mình đã tiến hành và hy vọng tính đúng đắn thao tác, biến đổi Ngoài ra, nó còn giúp ích nhiều cho người giải toán việc tìm kiếm các bài toán liên quan, sáng tạo các bài toán Bước 3: Trình bày cách giải Từ cách giải đã phát hiện, xếp các việc phải làm thành chương trình gồm các bước theo trình tự định và thực các bước đó Bước này nhằm rèn luyện cho người giải toán khả trình bày lời giải chính xác, chặt chẽ, lôgic và thẩm mỹ Lop10.com (10) 10 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải, nghiên cứu giải bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo bài toán Để làm tốt việc này trước hết người giải toán phải phân tích kỹ để nắm đặc điểm và chất bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó Như có thể thấy mối liên hệ các bài toán cùng loại bài toán và các loại bài toán khác Ví dụ: Giải phương trình: 5x 14x x x 20 x (1) ĐKXĐ: x Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài Phương trình có vẻ khá phức tạp, bình phương hai vế (1) thì thu phương trình phức tạp và không có hướng giải tiếp Tuy nhiên có thể biến đổi phương trình dạng tương đương: 5x 14x x x 20 x Do hai vế không âm, cách bình phương hai vế, rút gọn ta thu được: 2x2 - 5x + = x x 20 x 1 (2) Nếu bình phương hai vế lần ta thu phương trình tương đương có bậc nên việc giải chắn khó khăn Bước 2: Tìm cách giải Việc giải bài toán dễ dàng ta xác định mối liên hệ các biểu thức có mặt hai vế phương trình (2) Ta có: x2 - x - 20 = (x + 4) (x -5) (x2 - x - 20)(x+ 1) = (x + 4) (x -5) (x + 1) = (x + 4) (x2 -4x - 5) Lop10.com (11) 11 và 2x2 - 5x + = 2(x2 - 4x - 5) + (x+4) Việc phát mối liên hệ đó cho phép ta thu phương trình: 2(x2 - 4x - 5) + (x+4) = x 4x x Để giải phương trình này, ta có thể chuyển phương trình bậc hai hay phương trình Bước 3: Trình bày cách giải 5x 14x x x 20 x Ta có (1) Do hai vế không âm, bình phương hai vế ta thu được: (1) 2x2 - 5x + = x 2x2 - 5x + = x x 5x 1 2x2 - 5x + = x x x 20 x 1 4x 2(x2 - 4x - 5) + (x+4) = x 4x x (Chú ý 2x2 - 5x + > 0, x 5) Do x nên x + > 0, chia hai vế cho (x + 4) ta được: x 4x x 4x 35 x4 x4 Đặt t = x 4x 0, ta được: x4 2t2 - 5t + = 0, t t = t = Với t = x 4x =1 x4 Lop10.com (12) 12 x 4x =1 x4 x2- 4x - = x +4 x2 - 5x - = x= 61 Đối chiếu điều kiện x 5, có x = Với t = 61 thoả mãn x 4x = x4 x 4x = x4 4x2 - 25x - 56 = x = x= - Chỉ có x = thoả mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = 61 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Từ ví dụ này ta có thể đưa phương pháp chung để giải phương trình tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu thức dấu 1.3 Các thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán Một câu hỏi đặt là làm nào để học sinh hiểu và vận dụng phương pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải bài toán cụ thể mà họ gặp chương trình Học phương pháp tìm lời giải không phải là học thuật giải mà học kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm Lop10.com (13) 13 tòi, phát Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, cách thức dạy học phương pháp để tìm lời giải bài toán sau: - Thông qua việc giải bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắm phương pháp tìm lời giải các bài toán và có ý thức vận dụng bước phương pháp này quá trình giải toán - Cũng thông qua việc giải bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình để học sinh biết sử dụng câu hỏi này phương tiện kích thích, tìm tòi, dự đoán, phát để thực bước phương pháp tìm lời giải bài toán Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp tìm lời giải bài toán là quá trình biến tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp tìm lời giải bài toán tới cách giải bài toán cụ thể còn là chặng đường đòi hỏi lao động tích cực người học sinh, đó có nhiều yếu tố sáng tạo Lop10.com (14) 14 Chương II Xây dựng số phương pháp giải phương trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Nội dung chương này trình bày hệ thống các phương pháp giải phương trình vô tỷ Mỗi phương pháp trình bày trên sở xét các ví dụ điển hình để làm rõ đặc điểm phương pháp minh hoạ các quá trình phân tích bài toán để đến lời giải Trước trình bày các phương pháp chính, luận văn đã trình bày nội dung quan trọng: Kiến thức sở và kiến thức phục vụ việc giải phương trình vô tỷ - Kiến thức sở chủ yếu đề cập số sai lầm thường gặp giải phương trình vô tỷ - Kiến thức phục vụ việc giải phương trình vô tỷ mà chúng tôi đưa bao gồm: Phương trình và cách giải, hệ phương trình đối xứng, biểu diễn đa thức theo các đa thức khác A Kiến thức sở và kiến thức phục vụ việc giải phương trình vô tỷ I Kiến thức sở Khi giải các phương trình vô tỷ, việc đầu tiên là phải xác định điều kiện cho ẩn số (khoảng xác định) Chú ý đến các thức bậc chẵn chứa ẩn Cần đặt điều kiện không âm cho các biểu thức bậc chẵn này Khi giải các phương trình vô tỷ điều kiện cần lưu ý là tính không thuận nghịch các phép toán Chẳng hạn phương trình nào đó, ta thay A B (với A, B là các biểu thức có chứa x) AB thì điều kiện xác định phương trình có thể bị mở rộng, vì A B có điều kiện xác định là A và B 0, đó Lop10.com AB xác (15) 15 định A < và B < Như vậy, sau phép biến đổi đó ta thu phương trình hệ Ngược lại, ta thay AB A B thì điều kiện xác định có thể bị thu hẹp lại, đó ta có thể làm nghiệm phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình: x (x 5) x3 x 3 (1) Ta xem xét lời giải sau: (1) (x 3)(x 3) (x 5) x3 x 3 (x 3) (x 3) (x 5) x3 x 3 x5 (x 3) x =0 x 3 (x 3) (x 3) x3 2(x 3) (x 5) x 3 x x3 (x 11) x 11 x 11 x 3 x x (x 5) Như vậy, lời giải trên đã làm nghiệm x = -3 * Nguyên nhân: Các phép biến đổi trên có nhiều bước không cho ta phương trình tương đương Sau các phép biến đổi đó ta đã làm thu hẹp điều kiện xác định phương trình nên đã vô tình làm nghiệm x = -3 * Ta có thể giải sau: Lop10.com (16) 16 (1) (x 3).(x 3) (x 5) x3 x 3 2 (x 3) x3 (x 3) (x 5) x 3 x 3 2 (x 3) x3 x3 x (x 5) x x 5 x 3 x 3 x 3 x x 3 x 3 2(x 3) x víi x 2 x x 2(3 x) x víi x x x 0 x x x x 11 x x 1 3x x x 11 x x * Ví dụ trên cảnh báo rằng, thực các phép tính thức để biến đổi phương trình thì nói chung không phương trình tương đương Để tránh sai lầm trên, trường phổ thông, ta thường dựa vào hai sau đây để biến đổi phương trình: + Căn 1: Nếu phép biến đổi cho ta thu phương trình hệ thì kết cuối cùng, ta thử trực tiếp vào phương trình để loại bỏ nghiệm ngoại lai Ví dụ: Giải phương trình: 3x x (1) 3x x = 16 Lop10.com (1) (17) 17 3x - + x + + 3x 4x 16 3x 4x = - 2x 3x2 + 4x - = (8 - 2x)2 3x2 + 4x - = 64 - 32x + 4x2 x2 - 36x + 68 = (x - 2)(x - 34) = x x 34 Thử trực tiếp kết thu vào phương trình đầu ta thấy x = là nghiệm đúng, còn x = 34 không thoả mãn Vậy phương trình có nghiệm x = + Căn 2: Dựa vào định lý biến đổi phương trình mà học sinh đã học Cụ thể là hai định lý cho phép biến đổi phương trình thành phương trình tương đương với nó (học từ lớp 8, khái quát lớp 10) và ba định lý biến đổi tương đương hệ phương trình (học lớp 9) Nếu dựa vào này để giải phương trình, hãy tìm điều kiện xác định phương trình, các điều kiện để thực các phép biến đổi đồng hay biến đổi tương đương phương trình và đặt điều kiện xác định đó cùng với phương trình hệ Hệ này chắn tương đương với phương trình đã cho Khi sử dụng này thì ta phải chú ý đến điều kiện phát sinh quá trình biến đổi phương trình, phát sinh thường gặp là thay đổi tập xác định phương trình Sau đây là số đồng thức có điều kiện: A = A với A 0; A B = AB A và B A A A và B > B B Lop10.com (18) 18 AB = A B A 0; B A A A 0; B < B B A B A B A 0; B A B A B A 0; B B A AB A 0, B > B B A AB A 0; B < B * Khi giải phương trình vô tỷ ta thường sử dụng đến kết sau đây: + Với số tự nhiên n: 2n g(x) f (x) = g(x) 2n f (x) g(x) + Với số tự nhiên n: 2n 1 f (x) = g(x) f(x) = (g(x))2n+1 + Hai dạng phương trình và phép biến đổi tương đương g(x) f (x) g(x) f (x) (g(x)) g(x) f (x) g(x) f (x) f (x) g(x) Ví dụ: a) Giải phương trình : Giải: Ta có: 2x x = - x Lop10.com 2x x = - x (19) 19 4 x x 2 2x x (4 x) 2x x 16 8x x x x 9 157 9 157 x 2 157 x x x 9x 19 Vậy phương trình có nghiệm là: x b) 9 157 2x 7x 1 3x 1 Giải: Ta có: 2x 7x 1 3x 1 3x 1 x 2x 7x 3x 2x 4x x 2x(x 2) x x 0 x 0 x Vậy phương trình có nghiệm x = II Kiến thức phục vụ việc giải phương trình vô tỷ Phương trình a) Đa thức Đa thức hai biến p(u, v) gọi là đa thức bậc n tất các hạng tử nó có bậc n b) Phương trình Phương trình p(u, v) = gọi là phương trình bậc n đa thức vế trái p(u, v) là đa thức bậc n Lop10.com (20) 20 c) Các phương pháp giải phương trình * Có hai cách giải: + Cách 1: Đưa phương trình ẩn - Chia hai vế cho hạng tử chứa ẩn có bậc cao phương trình Giả sử ẩn v có bậc cao là n, ta chia hai vế cho - Đặt ẩn phụ t = u , ta phương trình bậc n với ẩn t v Giải phương trình ẩn t: - Thay t u Giải phương trình ẩn u, v v + Cách 2: Đưa phương trình tích - Phân tích đa thức hai biến thành tích - Giải phương trình tích d) Ví dụ: Giải phương trình: 2(x2+ x + 1)2 - 7(x - 1)2 = 13(x3-1) Giải: Biến đổi để đưa phương trình nhất: Nhận thấy: x3 - = (x - 1)(x2 + x + 1) Đặt u = x - 1, v = x2 + x + 1, ta được: 2v2 - 7u2 =13uv (*) (*) là phương trình hai biến bậc hai Giải (*) theo hai cách 1 + Cách 1: Do v = x2 + x + = x x, chia hai vế 2 cho v2 được: u u 13 v v Đặt t = u , ta - 7t2 = 13t hay 7t2 + 13t - = v Lop10.com (21)