HƯỚNG DẪN GIẢI TOAN 12 - ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó... Cho hình chóp.[r]

BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG PHẦN – LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Cho đường thẳng a mặt phẳng  P Căn vào số điểm chung đường thẳng mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

   

a P   aP P a   P  A  a cắt  P

   ,    a P  A B  a P 2 Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng a khơng nằm mặt phẳng  P song song với đường thẳng  P a song song với

 P

Tức là, a P nếu: a dP  P  aP P 3 Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P mặt phẳng  Q chứa a mà cắt  P cắt theo giao tuyến song song với a

Tức là,

 

     

a P

a d

a Q Q P d

             P P

Hệ 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng nào mặt phẳng

Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với một đường thẳng giao tuyến (nếu có) chúng song song với đường thẳng Tức là:        

P Q d

P a d a

Q a         P P P

Hệ 3: Nếu a b hai đường thẳng chéo qua a có mặt phẳng song song với b

PHẦN – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M N hai điểm ,SA SB cho

SM SN

SA SB  Chứng minh MN //ABCD

Theo định lí Talet, ta có

SM SN

SA SB suy MN song song với AB Mà AB nằm mặt phẳng ABCD suy MN //ABCD

BÀI TẬP MẪU 2

Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Gọi O O là, tâm ABCD ABEF M trung điểm , CD Khẳng định sau sai ?

A OO //1 BEC B OO //1 AFD. C OO //1 EFM D MO cắt 1 BEC Xét tam giác ACE có O O trung điểm ,, AC AE

Suy OO đường trung bình tam giác ACE 1  OO1//EC Tương tự, OO đường trung bình tam giác BFD nên 1 OO // 1 FD Vậy OO //1 BEC, OO //1 AFD OO //1 EFC Chú ý rằng:

EFC  EFM

Chọn D.

Dạng 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng

BÀI TẬP MẪU

Cho tứ diện ABCD Gọi , , , , , M N P Q R S theo thứ tự trung điểm cạnh

, , , , ,

AC BD AB CD AD BC Bốn điểm sau không đồng phẳng? A , , , P Q R S B , , , M P R S C M R S N D , , , , , , M N P Q Theo tính chất đường trung bình tam giác ta có

PS // AC //QR suy , , ,P Q R S đồng phẳng

Tương tự, ta có PM // BC // NQ suy ,P M N Q đồng, , phẳng

Và NR // CD // SN suy M R S N đồng phẳng Chọn C., , ,

Dạng 3: Tìm thiết diện mặt phẳng với hình chóp

BÀI TẬP MẪU 1

Cho tứ diện ABCD Gọi H điểm nằm tam giác ABC,   mặt phẳng qua H song song với AB CD Mệnh đề sau thiết diện   tứ diện?

Qua H kẻ đường thẳng  d song song AB cắt BC AC lần, lượt M N,

Từ N kẻ NP song song vớ CD P CD  . Từ P kẻ PQ song song với AB Q BD  

Ta có MN // PQ // AB suy M N P Q đồng phẳng AB //, , , MNPQ

Suy MNPQ thiết diện   tứ diện Vậy tứ diện hình bình hành Chọn C.

LUYỆN TẬP

Câu 1. Cho đường thẳng a mặt phẳng  P khơng gian Có vị trí tương đối a  P ?

A 2. B 3. C 1. D

Lời giải.

Có vị trí tương đối a  P , là: a nằm  P , a song song với  P a cắt  P

Chọn B

Câu 2. Cho hai đường thẳng phân biệt ,a b mặt phẳng   Giả sử a b , b  Khi đó: A a  B a 

C a cắt   D a  a  Lời giải Chọn D

Câu 3. Cho hai đường thẳng phân biệt ,a b mặt phẳng   Giả sử a  , b  Khi đó:

A a b B ,a b chéo

Vì a  nên tồn đường thẳng c  thỏa mãn a c Suy , b c đồng phẳng xảy ra trường hợp sau:

 Nếu b song song trùng với c a b

 Nếu b cắt c b cắt     a c,  nên ,a b khơng đồng phẳng Do ,a b chéo nhau. Chọn C

Câu 4. Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng   Giả sử b  Mệnh đề sau đúng? A Nếu b  b a

B Nếu b cắt   b cắt a C Nếu b a b 

D Nếu b cắt     chứa b giao tuyến     đường thẳng cắt a

b

Lời giải Chọn C  A sai Nếu b  b a ,a b chéo nhau.  B sai Nếu b cắt   b cắt a ,a b chéo nhau.

 D sai Nếu b cắt     chứa b giao tuyến     đường thẳng cắt a song song với a

Câu 5. Cho hai đường thẳng phân biệt ,a b mặt phẳng   Giả sử a  b  Mệnh đề sau đúng?

A a b khơng có điểm chung.

B a b song song chéo nhau.

C a b song song chéo cắt nhau. D a b chéo nhau.

Lời giải Chọn C

B Nếu  P cắt a  P cắt b C Nếu  P chứa a  P chứa b D Các khẳng định A, B, C sai.

Lời giải Gọi   Q  a b,   A sai Khi b   P  Q  b P

 C sai Khi    P  Q  b P

 Xét khẳng định B, giả sử  P khơng cắt b b P b P Khi đó, b a nên a P a cắt  P (mâu thuẫn với giả thiết  P cắt a)

Vậy khẳng định B Chọn B

Câu 7. Cho d  , mặt phẳng   qua d cắt   theo giao tuyến d Khi đó:

A d d B d cắt d

C d d chéo nhau. D d d

Lời giải Ta có: d       Do d d thuộc   nên d cắt d d d Nếu d cắt d Khi đó, d cắt   (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy d d Chọn A

Câu 8. Có mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau?

A 1. B 2. C 3. D Vô số.

Lời giải

Gọi a b đường thẳng chéo nhau, c đường thẳng song song với a cắt b Gọi     b c,  Do a c  a 

Giả sử       Mà b   b  Mặt khác, a   a 

Câu 9. Cho hai đường thẳng chéo a b Khẳng định sau sai? A Có mặt phẳng song song với a b

B Có mặt phẳng qua a song song với b

C Có mặt phẳng qua điểm M , song song với a b (với M điểm cho trước)

D Có vơ số đường thẳng song song với a cắt b

Lời giải Có có vơ số mặt phẳng song song với đường thẳng chéo nhau. Do A sai Chọn A

Câu 10. Cho ba đường thẳng đôi chéo , ,a b c Gọi  P mặt phẳng qua a,  Q mặt phẳng qua b cho giao tuyến  P  Q song song với c Có nhiều mặt phẳng  P  Q thỏa mãn yêu cầu trên?

A Một mặt phẳng  P , mặt phẳng  Q B Một mặt phẳng  P , vô số mặt phẳng  Q C Một mặt phẳng  Q , vô số mặt phẳng  P D Vô số mặt phẳng  P  Q

Lời giải.

Vì c song song với giao tuyến  P  Q nên c P c Q

Khi đó,  P mặt phẳng chứa a song song với ,c mà a c chéo nên có mặt phẳng

Tương tự có mặt phẳng  Q chứa b song song với c

Vậy có nhiều mặt phẳng  P mặt phẳng  Q thỏa yêu cầu toán Chọn A Câu 11. Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi M N trung điểm SA SC Khẳng

định sau đúng?

C MN //mp SCD  D MN //mp SBC 

Lời giải Xét tam giác SAC có M N trung điểm ,, SA SC Suy MN // AC mà AC ABCD   MN//mp ABCD . Chọn A

Câu 12. Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABD Q thuộc cạnh AB cho,

2 ,

AQ QB P trung điểm AB Khẳng định sau đúng? A MN //BCD B GQ //BCD

C MN cắt BCD D Q thuộc mặt phẳng CDP Lời giải.

Gọi M trung điểm BD

Vì G trọng tâm tam giác ABD

2 AG AM  

Điểm Q AB cho

2 AQ AQ QB AB    Suy AG AQ GQ AM AB   //BD Mặt khác BD nằm mặt phẳng BCD suy GQ //BCD. Chọn B

Câu 13. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có cạnh đáy 10 M điểm SA cho

SM

SA  Một mặt phẳng   qua M song song với AB CD cắt hình chóp theo tứ, giác có diện tích là:

Ta có   P AB CD mà , , ,A B C D đồng phẳng suy    P ABCD

Giả sử   cắt mặt bên SAB , SBC , SCD , SDA điểm , ,N P Q với

, ,

N SB P SC Q SD   suy     MNPQ

Khi MN // AB  MN đường trung bình tam giác SAB

2 SM MN

SA AB

  

Tương tự, ta có

2 NP PQ QM

BC CD DA  MNPQ hình vng.

Suy

2

2 4 400

.10.10

3 9

MNPQ ABCD ABCD

S   S  S  

  Chọn A

Câu 14. Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang cân đáy lớn AD , M N hai trung điểm AB CD  P mặt phẳng qua MN cắt mặt bên SBC theo giao tuyến Thiết diện  P hình chóp

A Hình bình hành. B Hình thang

C Hình chữ nhật. D Hình vng

Lời giải.

Lấy điểm P SB , qua P kẻ đường thẳng song song với BC cắt BC Q

Suy   P  SBC PQ nên thiết diện  P hình chóp tứ giác MNQP có MN // PQ // BC Vậy thiết diện hình thang MNQP Chọn B

Câu 15. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M điểm thuộc cạnh SA (không trùng với S A )  P mặt phẳng qua OM song song với AD Thiết diện  P hình chóp

A Hình bình hành. B Hình thang C Hình chữ nhật. D Hình tam giác

Lời giải.

Qua M kẻ đường thẳng MN // AD cắt SD N  MN//AD

Qua O kẻ đường thẳng PQ // AD cắt AB CD ,, Q P PQ//AD

Suy MN // PQ // AD   M N P Q, , , đồng phẳng   P cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện hình thang MNPQ Chọn B

Câu 16. Cho tứ diện ABCD Gọi ,I J thuộc cạnh AD BC cho , IA2ID JB2JC Gọi  P mặt phẳng qua IJ song song với AB Thiết diện  P tứ diện ABCD

A Hình thang. B Hình bình hành. C Hình tam giác. D Tam giác

Giả sử  P cắt mặt tứ diện ABC ABD theo hai giao tuyến JH IK Ta có   P  ABCJH,   P  ABD IK

ABC  ABD AB,  P

// AB   JH // IK //AB

Theo định lí Thalet, ta có JB HA

JC HC  suy

HA IA IH HC ID  //CD Mà IH P suy IH song song với mặt phẳng  P