Chứng minh rằng với mọi m đồ thị Pm luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số.. Phương trình tiếp tuyến của Parabol Bài 14.[r]
(1)Ebook4Me.Net PHẦN I HÀM SỐ BẬC NHẤT y ax b Kiến thức bản: Hàm số y ax b a : - Tập xác định D R - Hàm số y ax b đồng biến trên R a - Hàm số y ax b nghịch biến trên R a b - Đồ thị là đường thẳng qua A 0; b , B ; a Hàm số y b : - Tập xác định D R - Đồ thị hàm số y b là đường thẳng song song với trục hoành Ox và qua A 0; b Hàm số y x : - Tập xác định D R - Hàm số y x là hàm số chẵn - Hàm số đồng biến trên 0; - Hàm số nghịch biến trên ; d : y ax b và d ' : y a ' x b ' - d song song d ' a a ' và b b ' - d trùng d ' a a ' và b b ' - d cắt d ' a a ' Định lý: Bài tập ví dụ: 1) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng hệ trục tọa độ: y x ; y x ; y x ; y Hàm số y x Hàm số y x Hàm số y x Cho x y , O 0; cho x y 2 , B 0; 2 cho x y , D 0;3 Cho x y , A 1; cho x y , C 1; cho x y , A 1; Hàm số y là đường thẳng song song với trục hoành Ox và qua điểm E 0; (Học sinh tự vẽ hình) 2) Tìm a,b để đồ thị hàm số y ax b qua hai điểm A 2;1 và B 1;3 2a b Giải: Vì đồ thị hàm số y ax b qua hai điểm A 2;1 và B 1; nên ta có hệ phương trình a b Giải hệ ta a 1 và b Vậy hàm số cần tìm là y x 3) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số bậc nhất: tìm tọa độ giao điểm (nếu có) đồ thị hai hàm số bậc sau đây y x và y x y 2x 1 2 x 1 x x Giải: Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ y 2x y 2x y 1 Vậy giao điểm cần tìm là điểm M 1;1 4) Tìm a,b để đường thẳng y ax b qua M 1;1 và song song với đường thẳng y 3x Giải: Vì đường thẳng y ax b song song với đường thẳng y 3x nên ta có a Lop10.com (2) Ebook4Me.Net Vì y ax b qua M 1;1 nên ta có 1.a b , a ta tìm b Vậy đường thẳng cần tìm là y 3x 5) Vẽ đồ thị hàm số cho nhiều công thức: x 1, x Vẽ đồ thị hàm số y f x 2 x, x Với x ta có y x Với x ta có y x Cho x y , A 1; cho x y , C 0; Cho x y , B 2;3 cho x 1 y , D 1;3 BÀI TẬP Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng hệ trục tọa độ: y x ; y x ; y x ; y 2 Vẽ đồ thị các hàm số sau: x 1, x a) y 2 x, x 3 x 1, x 1 b) y x 1, x 1 x 4, x c) y x, x d) x 2, x y x 1, x e) y x f) y x g) y x h) y x Tìm m để các hàm số: a) y m 1 x đồng biến trên R b) y m 3 x nghịch biến trên R c) y m 1 x x m tăng trên R d) y m 3 x x m giảm trên R Tìm a,b để đồ thị hàm số y ax b : a) Đi qua hai điểm A 1; 3 và B 2;3 c) Đi qua điểm M 2; 1 và song song với y x3 b) Đi qua gốc tọa độ và A 2;1 d) Đi qua gốc tọa độ và song song với y x 2009 Tìm m để: a) Đồ thị hàm số y 3x cắt đồ thị hàm số y m x Lop10.com (3) Ebook4Me.Net b) Đồ thị hàm số y x song song với đồ thị hàm số y m 1 x 2m c) Đồ thị hàm số y x trùng với đồ thị hàm số y m x 2m Tìm tọa độ giao điểm có đồ thị hai ham số: a) y 3x và y x b) y 3x và y x c) y x và y x Tìm m để đồ thị ba hàm số sau đồng quy (cùng qua điểm): a) y 2x b) y x 1 c) y 2 x y x và y 3 x và và y mx và y m2 x 3m và y xm3 y m 2 x và Cho hàm số y m x 1 a) Chứng minh đồ thị hàm số trên luôn qua điểm cố định với m b) Tìm m để đồ thị hàm số y m x 1 cắt Ox, Oy hai điểm A, B cho OAB cân O PHẦN Hµm sè bËc hai - mét sè d¹ng to¸n liªn quan Dạng Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a)y= x2- 6x+ b)y= x2- 4x+ d) y= 3x 2+ 7x+ e) y= -x2- 2x+ c)y= -x2 + 5x- Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y x 4x b) y x 4x c) y x x d) y x x e) y x 4x Bµi T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè: a) y = x -5x + trªn ®o¹n [-2;5] b) y = -2x2 + x -3 trªn ®o¹n [1;3] c) y = -3x2 - x + trªn ®o¹n [-2;3] d) y = x2 + 3x -5 trªn ®o¹n [-4; -1] Bài Tìm m để các bất phương trình sau đúng với giá trị m: a) x - 3x + > m b) -x2 +2x - > 4m c) 2x x 2m Lop10.com (4) Ebook4Me.Net d) 3x x 3m e) x 1 x x x m f) x 2x m2 m g) x x x x 3m Dạng Lập phương trình parabol biết các yếu tố nó Bài Xác định phương trình các parabol: a) y= x 2+ ax+ b ®i qua S(0; 1) b) y= ax 2+ x+ b ®i qua S(1; -1) c) y= ax 2+ bx- ®i qua S(1; 2) d) y= ax 2+ bx+ c ®i qua ba ®iÓm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3) e) y= ax 2+ bx+ c c¾t trôc hoµnh t¹i x 1= 2vµ x 2= 3, c¾t trôc tung t¹i: y= f) y= ax 2+ bx+ c qua hai điểm m(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2 g) y= ax 2+ bx+ c đạt cực tiểu –6 x= -3 và qua điểm E(1; -2) h) y= ax 2+ bx+ c đạt cực đại x= và qua điểm F(-1; -2) i) y= ax 2+ bx+ c qua S(-2; 4) vµ A(0; 6) Bài Tìm parabol y=ax2+ bx+ biết parabol đó: a) §i qua hai ®iÓm A(1; 5) vµ B(-2; 8) b)C¾t trôc hoµnh t¹i x1= vµ x2= c) Đi qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng x= d)§¹t cùc tiÓu b»ng 3/2 t¹i x= -1 e) Đạt cực đại x= Bài Tìm parabol y= ax2+ 6x+ c biết parabol đó a) §i qua hai ®iÓm A(1; -2) vµ B(-1; -10) b)C¾t trôc hoµnh t¹i x1= -2 vµ x2= -4 c) Đi qua điểm C(2; 5) và có trục đối xứng x= d)§¹t cùc tiÓu b»ng -1 t¹i x= -1 e) Đạt cực đại x= Bài Lập phương trình (P) y = ax2 + bx + c biết (P) qua A(-1;0) và tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 5x +1 điểm M có hoành độ x = Dạng Sự tương giao parabol và đường thẳng Bài Tìm toạ độ giao điểm các hàm số sau: a) y= x- vµ y= x 2- 2x- c) y= 2x- vµ y=x 2- 4x+ e) y= 3x- vµ y= -x 2- 3x+ b) y=-x+ vµ y= -x2- 4x +1 d) y= 2x+ 1 f) y= - x+ vµ y= vµ y=x2- x- 2 x + 4x+ Bài 10 Tìm toạ độ giao điểm các hàm số sau: a) y= 2x2+3x+ vµ y= -x 2+ x- b) y= 4x2- 8x+ vµ y= -2x2+ 4x- c) y= 3x2+ 10x+ vµ y= -4x 2+ 3x+ d)y= x 2- 6x+ vµ y= 4x2- 5x+ e)y= -x 2+ 6x- vµ y= -x2+ 2x+ f) y= x2- vµ y= -x 2+ Bµi 11 BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) víi parabol (P) Lop10.com (5) Ebook4Me.Net vµ (P): y= x2- 3x+ a) (d): y= mx- b) (d): y= x- 3m+ vµ (P): y= x2- x vµ (P): y= -x2+ 2x+ c) (d): y= (m- 1)x+ d) (d): y= 5x+ 2m+ vµ (P): y= 5x2+ 3x- Bài 12 Cho họ (Pm) y = mx + 2(m-1)x + 3(m-1) với m0 Hãy viết phương trình parabol thuéc hä (Pm) tiÕp xóc víi Ox Bài 13Cho họ (Pm) y = x + (2m+1)x + m2 – Chứng minh với m đồ thị (Pm) luôn cắt đường thẳng y = x hai điểm phân biệt và khoảng cách hai điểm đó số Dạng Phương trình tiếp tuyến Parabol Bài 14 Viết phương trình tiếp tuyến (P) y = x2 - 2x +4 biết tiếp tuyến: a) TiÕp ®iÓm lµ M(2;4) b) TiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng (d1) y = -2x + c) TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(1:2) d) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi (d2) y = 3x + Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến (P) y = -2x2 + 3x -1 biết tiếp tuyến: a) TiÕp ®iÓm lµ M(-1;3) b) TiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng (d1) y = 3x -2 c) TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(-3:2) d) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi (d2) y = -3x -1 Dạng Điểm đặc biệt Parabol Bài 16 Tìm điểm cố định (Pm): y = mx2 + 2(m-2)x - 3m +1 Bài 17 Tìm điểm cố định (Pm): y = (m+1)x2 - 3(m+1)x - 2m -1 Bài 18 Tìm điểm cố định (Pm): y = (m2 - 1)x2 - 3(m+1)x - m2 -3m + D¹ng QuÜ tÝch ®iÓm Bài 19 Tìm quĩ tích đỉnh (Pm) y = x2 - mx + m Bài 20 Tìm quĩ tích đỉnh (Pm) y = x2 - (2m+1)x + m-1 Bµi 21 Cho (P) y = x a) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ đúng hai tiếp tuyến tới (P) b) Tìm quỹ tích tất các điểm mà từ đó ta có thể kẻ hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với Dạng Khoảng cách hai điểm liên quan đến parabol Bµi 22 Cho (P) y x2 vµ ®iÓm M(0;-2) Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua M cã hÖ sè gãc k a) Chøng tá víi mäi m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Tìm k để AB ngắn Bµi 23 Cho (P) y = x 2, lÊy hai ®iÓm thuéc (P) lµ A(-1;1) vµ B(3;9) vµ M lµ mét ®iÓm thuéc cung AB Tìm toạ độ M để diện tích tam giác AMB là lớn Bài 24 Cho hàm số y = x2 +(2m+1)x + m2 - có đồ thị (P) Lop10.com (6) Ebook4Me.Net a) Chứng minh với m, đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng y = x hai điểm phân biệt và khoảng cách hai điểm này không đổi b) Chứng minh với m, (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định Tìm phương trình đường thẳng đó Bài 25 Cho (P) y 2x x Gọi A và B là hai điểm di động trên (P) cho AB=4 Tìm quĩ tÝch trung ®iÓm I cña AB Dạng ứng dụng đồ thị giải phương trình, bpt Bài 26 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: a) x + 2x + = m b) x -3x + + 5m = c) - x2 + 5x -6 - 3m = Bài 27 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: a) x 5x 3m b) x x 2m c) 2x x 4m Bài 28 Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x 2x Bài 29 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x 2x m x x 4m Bài 30 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x x 2m Bµi 31 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña y f ( x) x4 4x x 10x trªn ®o¹n [-1;4] Bài 32 Cho x, y, z thay đổi thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn và nhỏ P= x + y + z + xy + yz + zx Bài 33 Tìm m để bất đẳng thức x 2x m thoả mãn với x thuộc đoạn [1;2] PHẦN III Lop10.com (7) Ebook4Me.Net Phương trình bậc hai & hệ thức Vi-ét Bài tập : Định giá trị tham số m để phương trình x m( m 1) x 5m 20 Cã mét nghiÖm x = - T×m nghiÖm Bài tập : Cho phương trình (1) x mx a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài tập : Cho phương trình (1) x2 8x m a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm phương trình trường hợp này Bài tập : Cho phương trình (m 4) x 2mx m (1) a) m = ? th× (1) cã nghiÖm lµ x = b) m = ? th× (1) cã nghiÖm kÐp Bài tập : Cho phương trình (1) x 2(m 1) x m a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi m b) m =? th× (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) Giả sử x1 , x2 là nghiệm phương trình (1) CMR : M = 1 x2 x1 1 x1 x2 không phụ thuéc m Bài tập : Cho phương trình (1) x 2(m 1) x m a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi m b) Đặt M = x12 x22 ( x1 , x2 là nghiệm phương trình (1)) Tìm M Bài tập 7: Cho phương trình x ax b 0(1); x bx c 0(2); x cx a 0(3) Chứng minh phương trình ít phương trình có nghiệm Bài tập 8: Cho phương trình x (a 1) x a a (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi a b) x1 , x2 là nghiệm phương trình (1) Tìm B = x12 x22 Bài tập 9: Cho phương trình (1) x 2(a 1) x 2a a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi a b) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x1 x2 c) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x12 x22 = Bài tập 10: Cho phương trình x (2m 1) x m (1) Lop10.com (8) Ebook4Me.Net a) m = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n 3x1 x2 11 b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 , x2 kh«ng phô thuéc m Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý Bài tập 11: Cho hai phương trình x (2m n) x 3m 0(1) x (m 3n) x 0(2) Tìm m và n để (1) và (2) tương đương Bài tập 12: Cho phương trình ax bx c 0( a 0) (1) điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm là kb2 (k 1)2 ac 0(k 0) Bài tập 13: Cho phương trình mx 2(m 4) x m (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x2 c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 14: Cho phương trình x (2m 3) x m2 3m (1) a) Chứng minh phương trình có nghiệm với m b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 15: Cho phương trình (m 2) x 2(m 4) x (m 4)(m 2) (1) a) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có nghiệm kép b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m c) TÝnh theo m biÓu thøc A 1 ; x1 x2 d) Tìm m để A = Bài tập 16: Cho phương trình x mx a) (1) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A 2( x1 x2 ) x12 x22 c) Tìm các giá trị m cho hai nghiệm phương trình là nghiệm nguyên Bài tập 17: Với giá trị nào k thì phương trình x kx có hai nghiệm kém đơn vị Bài tập 18: Cho phương trình x ( m 2) x m (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Lop10.com (9) Ebook4Me.Net c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm Bài tập 19: Cho phương trình (1) x ( m 1) x m a) CMR phương rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình Tính x12 x22 theo m c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 x22 = Bài tập 20: Cho phương trình (1) x (2m 1) x m 3m a) Giải phương trình (1) với m = -3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó Tìm hai nghiệm đó Bài tập 21: Cho phương trình (1) x 12 x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 toả mãn x2 x12 Bài tập 22: Cho phương trình (1) ( m 2) x 2mx a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 1 x1 1 x2 1 Bài tập 23: Cho phương trình x 2( m 1) x m (1) a) Giải phương trình với m = b) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với m c) TÝnh A = 1 theo m x13 x23 d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối Bài tập 24: Cho phương trình (1) ( m 2) x 2mx m a) Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc hai b) Giải phương trình m = c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm Bài tập 25: Cho phương trình (1) x px q a) Giải phương trình p = ; q = 3 b) Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2, x2 c) CMR : (1) có hai nghiệm dương x1 , x2 thì phương trình qx px có hai nghiệm dương x3 , x4 d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1va3 x2 ; 1 x x vµ ; vµ 2 x1 x2 x2 x1 Bài tập 26: Cho phương trình x (2m 1) x m a) b) (1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với m Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 ; Lop10.com (10) Ebook4Me.Net c) Tìm m để x12 x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài tập 27: Cho phương trình x 2(m 1) x 2m 10 (1) a) Giải phương trình với m = -6 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 Tìm GTNN biểu thức A x12 x22 10 x1 x2 Bài tập 28: Cho phương trình (m 1) x (2m 3) x m (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính nghiệm này theo nghiệm Bài tập 29: Cho phương trình (1) x 2(m 2) x ( m m 3) 1 x1 x2 x1 x2 Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thoả mãn Bài tập 30: Cho phương trình cã m2 = 16n x mx n CMR hai nghiệm phương trình , có nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài tập 31 : Gọi x1 , x2 là các nghiệm phương trình x 3x Không giải phương trình , h·y tÝnh : a) c) 1 ; x1 x2 b) ( x1 x2 ) ; d) x1 x2 x3 x3 Bài tập 32 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm : b) - vµ + a) vµ ; Bài tập 33 : CMR tồn phương trình có các hệ số hữu tỷ nhận các nghiệm là : a) 3 ; 3 b) 2 ; 2 c) 2 Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm : a) Bình phương các nghiệm phương trình x x ; b) Nghịch đảo các nghiệm phương trình x mx Bài tập 34 : Xác định các số m và n cho các nghiệm phương trình x mx n còng lµ m vµ n Bài tập 35: Cho phương trình (1) x mx ( m 1) a) Giải phương trình (1) m = -1 b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , đó nghiệm bình phu¬ng nghiÖm cßn l¹i Bài tập 36: Cho phương trình (1) x2 5x x1 ( Với x1 , x2 là hai nghiệm phương trình) TÝnh x1 x2 x2 Bài tập 37: Cho phương trình (2m 1) x 2mx (1) a)Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; ) b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 x22 10 Lop10.com (11) Ebook4Me.Net Bµi tËp 38 : Cho phương trình x - (2k - 1)x +2k -2 = (k là tham số) Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm Bµi tËp 39: Tìm các giá rị a để ptrình : ( a a 3) x a x 3a NhËn x=2 lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i cña ptr×nh ? Bµi tËp 40 Xác định giá trị m phương trình bậc hai : x2 8x m để + là nghiệm phương trình Với m vừa tìm , phương trình đã cho còn nghiÖm n÷a T×m nghiÖm cßn l¹i Êy? Bài tập 41: Cho phương trình : x 2(m 1) x m (1) , (m lµ tham sè) 1) 2) Giải phương trình (1) với m = -5 Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt m 3) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ ( x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (1) nói phần 2/ ) Bµi tËp 42: Cho phương trình Giải phương trình b= -3 và c=2 Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích chúng Bµi tËp 43: Cho phương trình x – 2mx + m2 – m + = với m là tham số và x là ẩn số a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 c) Với điều kiện câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ Bµi tËp 44: Cho phương trình ( ẩn x) : x4 - 2mx2 + m2 – = 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt Bµi tËp 45: Cho phương trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2 – =0 (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm là số đo cạnh góc vuông tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là: x1 3 1) vµ x 3 TÝnh : P = 3 3 Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x x x m có đúng hai nghiệm phân biệt 11 Lop10.com (12) Ebook4Me.Net Bài tập 48: Cho hai phương trình sau : x (2m 3) x x2 x m ( x lµ Èn , m lµ tham sè ) Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng nghiệm chung Bµi tËp 49: Cho phương trình : x 2(m 1) x m với x là ẩn , m là tham số cho trước 1) Giải phương trình đã cho kho m = 2) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều kiện x12 x22 Bµi tËp 50: Cho phương trình : m x 1 2m x m ( x lµ Èn ; m lµ tham sè ) 1) Giải phương trình m = - 2) CMR phương trình đã cho có nghiệm với m 3) Tìm tất các giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lÇn nghiÖm Bài tập 52: Cho phương trình x2 + x – = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1 là nghiệm âm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : P x18 10 x1 13 x1 Bài tập 53: Cho phương trình với ẩn số thực x: x2 - 2(m – ) x + m - =0 (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó Bµi tËp 54: Cho phương trình : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để nghiệm x1 , x2 (1) thoả mãn : x12 x22 14 Bµi tËp 55: a) Cho a = nguyªn 11 , b 11 CMR a, ,b là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số b) Cho c 10, d 10 CMR c , d là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyªn Bài tập 56: Cho phương trình bậc hai : x 2( m 1) x m m (x lµ Èn, m lµ tham sè) 1) Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt âm 2) Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : x1 x2 3) Tìm tất các giá trị tham số m để tập giá trị hàm số y= x 2( m 1) x m2 m chøa ®o¹n 2;3 12 Lop10.com (13) Ebook4Me.Net Bài tập 57:Cho phương trình : x2 - 2(m-1) x +2m - =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có nghiệm này bình phương nghiệm Bài tập 58: Cho phương trình : x x 6a a 1) Với giá trị nào a thì phương trình có nghiệm 2) Giả sử x1 , x2 là nghiệm phương trình này Hãy tìm giá trị a cho x2 x13 x1 Bµi tËp 59: Cho phương trình : mx -5x – ( m + 5) = (1) đó m là tham số, x là ẩn a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với m c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , hãy tính theo m giá trị biểu thức B = 10 x1 x2 3( x12 x22 ) Tìm m để B = Bµi tËp 60: a) Cho phương trình : x 2mx m ( m là tham số ,x là ẩn số) Tìm tất các giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện 2000 x1 x2 2007 b) Cho a, b, c, d R CMR ít phương trình sau có nghiệm ax 2bx c 0; bx 2cx d 0; cx 2dx a 0; dx 2ax b 0; Bµi tËp 61: 1) Cho a, b , c, là các số dương thoả mãn đẳng thức a b ab c CMR phương trình x x ( a c)(b c) cã hai nghiÖm ph©n biÖt Cho phương trình x x p có hai nghiệm dương x1 , x2 Xác định giá trị p x14 x24 x15 x25 đạt giá trị lớn Bài tập 62: Cho phương trình : (m + ) x2 – ( 2m + ) x +2 = , víi m lµ tham sè a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm này gấp lần nghiệm Bài tập 63: Cho phương trình : x y xy x 10 y (1) 1) Tìm nghiệm ( x ; y ) phương trình ( ) thoả mãn x y 10 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình (1) Bài tập 64: Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x : a1 x b1 x c1 vµ a2 x b2 x c2 Cã nghiÖm chung CMR : a1c2 a2 c1 a1b2 a2b1 b1c2 b2c1 Bµi tập 65: Cho phương trình bậc hai ẩn x : 13 Lop10.com (14) Ebook4Me.Net x 2( m 1) x 2m 3m a) Chứng minh phương trình có nghiệm và m b) Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình , chứng minh : x1 x2 x1 x2 Bài tập 66: Cho phương trình bậc hai ẩn x : x 2mx m a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm b) Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình , tìm giá trị lớn biểu thức : A x1 x2 x1 x2 Bài tập 67: Cho phương trình bậc hai ẩn x : (m 1) x 2(m 1) x m víi m (1) a) CMR (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình (1) , tìm m để x1 x2 và x1 x2 Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài cạnh tam giác CMR phương trình x (a b c) x ab bc ac v« nghiÖm Bài tập 69: Cho các phương trình bậc hai ẩn x : ax bx c 0(1); cx dx a 0(2) BiÕt r»ng (1) cã c¸c nghiÖm m vµ n, (2) cã c¸c nghiÖm p vµ q CMR : m n p q Bài tập 70: Cho các phương trình bậc hai ẩn x : x bx c có các nghiệm x1 , x2 ; phương trình x b2 x bc có các nghiệm x3 , x4 Biết x3 x1 x4 x2 Xác định b, c Bài tập 71 : Giải các phương trình sau a) 3x4 - 5x2 +2 = b) x6 -7x2 +6 = c) (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24 e) f) g) 3x2+ 3x = x x +1 1 ) +6 =0 (x + ) - ( x x x 2x x x 20 x 20 x x 48 i) 10( ) x x Bài tập 72 giải các phương trình sau a) x2 - x - =0 h) c) ( - 3) x ( 1) b) - x2- x +1=0 d)5x4 - 7x2 +2 = f) (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 +1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = +1 Bài tập 73.Cho phương trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có hai nghiệm là x , x 1/ không giải phương trình tính giá trị các biểu thức sau: x1 x 1 5 7 A ; B ; C x1 x ; D x1 x 2 x1 x2 x1 x2 2/ lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng: a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3 e) (x2 +2x g) 2x2+ 2x = x2 x 14 Lop10.com (15) Ebook4Me.Net 1 ,v= x1 x 1 Bài tập 74 Cho hai phương trình : x2 - mx +3 = và x2- x +m+2= a) Tìm m để phương trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phương trình tương đương Bài tập 75 Cho phương trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = a) tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 1 b) T×m a cho + <3 x1 x c) Tìm hệ thức độc lập x1, x2 Bài tập 76 Cho phương trình bậc hai: x2 +(m+2)x +m= a) Giải phương trình với m =- b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 b) u = 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C x1 x Bµi tËp 77: Cho phương trình: mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu Khi đó hai nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn ? c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bài tập 78: Cho phương trình mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm các giá trị m để nghiệm x1 ;x2 PT tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x12 + x22 = Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu (m – 1)x2 – 2x + = Bµi tËp 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) = Tìm các GT m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : 1 x1 x2 x1 x2 Bài tập 81 Cho PT : x – (m+2) x + ( 2m – 1) = có các nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ x1; x2 độc lËp víi m Bµi tËp 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – = (1) a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi a b) Víi mäi gi¸ trÞ cña a th× (1) cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x1 < < x2 c) Víi GT nµo cña a th× (1) cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = Bµi tËp 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = (1) mx2 + 10x – = (2) ( m kh¸c kh«ng ) 1) Chứng minh nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm PT hai 2) Víi GT nµo cña m th× PT (1) cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 6x1 + x2 = Bài tập 84: Cho Phương trình x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – = (1) 1) C/mr víi mäi m PT lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu 2) Tìm GT m để PT (1) có nghiệm x = -1 3) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 = 4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 = m2 – 2m + Bµi tËp 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a = a) Tìm các GT a cho tổng lập phương các nghiệm b) Với GT nào a thì tổng các bình phương các nghiệm có GTNN Bài 14: Cho PT x2 – 5x + = (1) Không giải PT lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 a) Đều là số đối các nghiệm PT (1) b) §Òu lín h¬n c¸c nghiÖm c¶u PT(1) lµ Bài tập 87 Cho Phương trình x2 – (m – 1) x – m2 +m – = 15 Lop10.com (16) Ebook4Me.Net a) b) c) Gi¶i PT m = C/mr phgương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với GT m Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x1 ; x2 Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn 3 x1 x2 đạt GTLN x2 x1 Bài tập 88: Cho Phương trình : x2 – mx – m – = (*) a) C/mr PT (*) có nghiệm x1 ; x2 với GT m ; tính nghiệm kép ( có ) PT và GT m tương ướng b) §Æt A = x12 + x22 – 6x1.x2 1) Chøng minh A = m2 -8m + 2) T×m m cho A= 3) Tìm GTNN a và GT m tương ứng Bài tập 89: Cho phương trình x2 – 2(a- 1) x + 2a – = (1) a) C/mr PT(1) cã nghiÖm víi mäi a b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× (1) cã nghiÖm x1 ,x2 tho¶ m·n x1 < < x2 c) Với giá trị nào a thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 =6 Bài tập 90: Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m – = ( *) a) Chøng minh (*) cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm giá trị m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu c) Gi¶ sö x1 ; x2 lµ nghiÖm cña PT (*) Chøn minh r»ng : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1 Bài tập 91: Cho phương trình : x2 – (1- 2n) x + n – = a) Gi¶i PT m = b) Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña n c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm cảu PT đã cho Chøng minh r»ng biÓu thøc : x1(1 + x2) + x2(1 +x1) Bài tập 92: Các nghiệm phương trình x2 + ax + b + = (b kh¸c -1) lµ nh÷ng sè nguyªn Chøng minh r»ng a2 + b2 lµ hîp sè Bµi tËp 93: Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c C/m: x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca = v« nghiÖm Bài tập 94: Cho các phương trình ax2 + bx + c = ( a.c 0) và cx2 + dx + a = có các nghiệm x1; x2 và y1 ; y2 tương ướng C/m x12 + x22 + y12 + y 22 Bài tập 95: Cho các phương trình x2+ bx +c =0 (1) và x2 +cx +b = (2) 1 Trong đó b c Bài tập 96: Cho p,q là hai số dương Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình px2 + x +q = và x3 ; x4 là nghiệm phương trình qx2 + x + p = x1.x2 x3 x4 C/m : Bài tập 97: Cho a,b,c là ba số thực Chứng minh ít ba phương trình sau có nghiệm x ax b 0; x bx c 0; x cx a : Bài tập 98: Cho phương trình bậc hai :x2 + (m+2) x + 2m = (1) a) C/m phương trình luôn luôn có nnghiệm b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình Tìm m để 2(x12 + x22 ) = 5x1x2 Bài tập 99: Cho phương trình x2 + a1x + b1 = (1) ; x2 + a2x + b2 = (2) Có các hệ số thoả mãn a1a2 b1 b2 Cmr ít hai phương trình trên có nghiệm 16 Lop10.com (17) Ebook4Me.Net Bài tập 100: Chứng minh phương trình : a x b2 a c x b2 V« nghiÖm NÕu a + b > c vµ a b c Bài tập 101: Cho hai phương trình : x2 + mx + = (1) x2 + x + m = (2) a) Tìm m để hai phương trình trên có ít nghiệm chung b) Tìm m để hai phương trình trên tương đương Bµi tập 102: Cho phương trình: x2 – 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = (1) a) C/mr phương trình (1) luôn có nghiệm Trong trường hợp phương trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c Biết a2 + b2 + c2 = 14 Bài tập 103: Chứng minh phương trình :x2 + ax + b = và x2 + cx + d = có nghiệm chung thì : (b – d)2 + (a- c)(ad – bc) = Bài tập 104: Cho phương trình ax2 + bx + c = C/mr b > a + c thì phương trình luôn có nghiệm phân biÖt Bài tập 105: G/s x1 , x2 là hai nghiệm hai phương trình x2 + ax + bc = và x2 , x3 là hai nghiệm phương trình x2 + bx + ac = ( với bc khác ac ) Chứng minh x1, x3 là nghiệm phương trình x2 + cx + ab = Bài tập 106: Cho phương trình x2 + px + q = (1) Tìm p,q và các nghiệm phương trình (1) biết thêm vào các nghiệm nó chúng chở thành nghiệm phương trình : x2 – p2x + pq = Bài tập 107: Chứng minh phương trình : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = Lu«n cã nghiÖm víi mäi a,b,c Bài tập 108: Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + = T×m GTLN cña biÓu thøc A = x1 x2 x1 x2 Bµi tËp 109: Cho a Chøng minh r»ng : G/s x1 ; x2 là nghiệm phương trình x ax 0 2a x 41 x24 Bài tập 110 Cho phương trình x ax Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình a2 T×m GTNN cña E = x14 x2 Bµi tËp 111: Cho pt x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) = a) Với giá trị nào a thì phương trình có nghiệm kép b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm lớn – 17 Lop10.com (18) Ebook4Me.Net Hệ phương trình bậc hai ẩn ax by c a ' x b ' y c ' D¹ng Giải hệ phương trình 3 x y 2) x y 5 ( 1) x y 1) 4 x ( 1) y Giải và biện luận hệ phương trình mx y 5 x my (m 5) x y m (m 1) x my 3m 1) 2) Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có vô số nghiệm mx ny m n mx (2m 1) y 3m (2m 1) x my 3m 1) 2) nx my 2mn Tìm m để hai đường thẳng sau song song x y , ( m 1) x ym m Tìm m để hai đường thẳng sau cắt trên Oy x my 2 m , x (2m 3) y 3m Hệ gồm phương trình bậc vàmột phương trình bậc hai hai ẩn ax by c 2 cx dxy ey gx hy k D¹ng (1) ( 2) PP gi¶i: Rót x hoÆc y ë (1) råi thÕ vµo (2) Giải hệ phương trình 2 x y 1) 2 3 x y xy 3( x y ) 5 2) 3 x y y 2 x y 3) 2 2 x xy y 10 x 12 y 100 Giải và biện luận hệ phương trình mx y 1) 2 mx y 2) 2 x y Tìm m để đường thẳng x 8(m 1) y m x y c¾t parabol x y x t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Hệ phương trình đối xứng loại I D¹ng f ( x, y ) ; víi f i ( x, y) = f i ( y, x) f ( x, y ) 18 Lop10.com (19) Ebook4Me.Net x y S ; S 4P xy P PP giải: đặt Giải hệ phương trình x y xy x y xy 11 2) 1) 2 x y xy 2 x y y x 30 1 1 4) x y x y 243 x y xy 19 3) x y x y 931 1 x y 17 ( x y )1 xy 5) 6) x x ( x y )1 49 y y 2 x y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 2 x y x y) x y 1) 2) x y m ( x 1)( y 1) xy m x y m Cho hệ phương trình 2 x y xy Giả sử x; y là nghiệm hệ Tìm m để biểu thức F= x y xy đạt max, đạt Hệ phương trình đối xứng loại II D¹ng f ( x, y ) f ( y, x) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( y , x ) PP giải: hệ tương đương f ( x, y ) f ( y , x ) f ( x, y ) f ( y , x ) hay Giải hệ phương trình y y x x x y y xy x 2) x xy y y y x 4) x x y 1) y yx 40 x 3) x xy 40 y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm y ( x y ) 2m 1) x ( x y ) 2m y x x mx 2) x y y my Hệ phương trình đẳng cấp (cÊp 2) ax bxy cy d (1) 2 a ' x b' xy c' y d ' (2) PP giải: đặt y tx x D¹ng Giải hệ phương trình 19 Lop10.com (20) Ebook4Me.Net 2 x xy y 2 x 3xy y 13 1) 2) x xy y x xy y 2 x y 1 3 x xy y 17 3) 4) x y 16 7 y xy Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 3 x xy y 11 x xy y 1) 2) x xy y 17 m x xy y m Một số Hệ phương trình khác Giải hệ phương trình x y 1) 2 x xy y xy( x y ) 3) 3 x y 2 x y 5) x y x y xy 49 2) 2 x y y x 180 2 xy 4) 3 8( x y ) 9( x y ) 2 2 y ( x y ) x 6) ( x y ) x 10 y Giải hệ phương trình x y x y 1) x y x y x y z 14 3) xz y x y z 2x 2 5 y y 2x 2) 3 x y Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung a) x 3m vµ x 4m 12 b) ( m 1) x ( m 2) x vµ x 2x m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y a ( xy 1) x y xy x y m y x Tìm m, n để hệ phương trình sau có nhiều h¬n nghiÖm ph©n biÖt x nxy y x m( x y ) y x y m PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa Chứng minh các bất đẳng thức sau 20 Lop10.com (21)