a.Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành và tọa độ tâm của hình bình hành đó.. b.Tìm tọa độ điểm E trên Ox sao cho ABEC là hình thang có đáy là AB và CE.[r]
(1)A.Đại Số: I.Các phép toán trên tập tập hợp R Phương Pháp: *Để tìm A B ta làm các bước sau: +Vẽ trục số,sắp xếp các số từ nhỏ đến lớn,xác định dấu ngoặc(có dấu“=”là ],không có dấu”=” là ) +Gạch bỏ phía ngoài tập A và phía ngoài tập B +Phần trống còn lại là A B VD: Tìm 1; 2 0; 4 /////////(/////[ ]///////]///////// - -1 Khi đó: 1; 2 0; 4 0; 2 + *Để tìm A B ta làm các bước sau: +Vẽ trục số, xếp các số từ nhỏ đến lớn và xác định các dấu ngoặc +Tô đậm tập A ,tô đậm tập B và gạch bỏ ngoài phần tô đậm +Phần tô đậm là A B VD: Tìm 1; 2 0; 4 ////////( [ ] ]///////////// - -1 Khi đó: 1; 2 0; 4 (1; 4] + *Để tìm A \ B ta làm các bước sau: +Vẽ trục số, xếp các số từ nhỏ đến lớn và xác định các dấu ngoặc +Tô đậm tập A, gạch bỏ ngoài A và gạch bỏ tập B +Phần tô đậm không gạch bỏ là A \ B Lưu ý : đổi dấu ngoặc điểm giao phần tô đậm A và phần gạch bỏ B VD: Tìm 1; 2\ 0; 4 ////////( [/////////////]///////]//////////// - -1 Khi đó: 1; 2\ 0; 4 (1;0) + Bài tập : 1.Cho hai tập hợp A x R / x 4và B x R / x 5 Tìm A B; A B; A \ B và R \ ( A B ) Cho hai tập hợp A x R / x 4 và B x R / x 2 Tìm A B; A B ; CRA và CRB Tìm các tập hợp sau: (1;3) [0;5] ; (2; 2] 1;3 ; R \ [1;5] và R \ (2;3] [0; ) II.Xác định hàm số y ax b và y ax bx c 1.Xác định hàm số y ax b , có đồ thị là đường thẳng (d): a.Đường thẳng (d) qua hai điểm A và B : Phương pháp: + Thế lần luợt tọa độ điểm A và điểm B vào phương trình y ax b + Khi đó ta có hệ phương trình theo a và b Giải hệ phương trình tìm a và b + Thay a và b vào phương trình y ax b ta có hàm số cần tìm GVBM: Lê Minh Nhã Trang Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (2) VD: Xác định hàm số y ax b biết đồ thị hàm số qua A(-1 ; 1) và B(1 ; 5) Do hàm số có đồ thị qua hai điểm A(-1 ; 1) và B(1 ; 5) nên: 1 a (1) b a b a Vậy hàm số cần tìm là : y x a.1 b ab b b.Đường thẳng (d) qua điểm M và song song với đường thẳng (d’): y a ' x b ' Phương pháp: + Khi đó ta có a a ' và b b ' + Ta tiếp tục thay tọa độ điểm M vào phương trình y ax b + Giải hệ phương trình phương pháp tìm b và suy phương trình hàm số VD: Xác định hàm số y ax b biết đồ thị hàm số qua M(-1 ; 4) và song song với đường thẳng (d’) có phương trình: y 2008 x Do hàm số có đồ thị qua M(-1 ; 4) và song song với đường thẳng (d’) có phương trình: a 3 a 3 a 3 a 3 y 2008 x nên : b 2008 b 2008 b 2008 b 1 4 a (1) b 4 (3)(1) b b 1 Vây hàm số cần tìm là : y 3 x c.Đường thẳng (d) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d’): y a ' x b ' Phương pháp: + Khi đó ta có a.a ' 1 + Ta tiếp tục thay tọa độ điểm M vào phương trình y ax b + Giải hệ phương trình phương pháp tìm b và suy phương trình hàm số VD: Xác định hàm số y ax b biết đồ thị hàm số qua M(2 ; 3) và vuông góc với đường thẳng (d’) có phương trình: x y Do hàm số có đồ thị qua M(2 ; 3) và vuông góc với đường thẳng (d’) có phương trình: a2 a.( ) 1 a y x nên : 2 3 2.2 b b 1 a.2 b Vây hàm số cần tìm là : y x Lưu ý : a còn gọi là hệ số góc đường thẳng (d) Bài tập: Xác định hàm số y ax b biết : a/ Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ và điểm A(-2 ; 4) b/ Đồ thị hàm số qua M(-2 ; -5) và song song với đường thẳng (d’): x y 10 c/ Đồ thị hàm số qua N(1 ; 4) và vuông góc với đường thẳng (d’): x y d/ Đồ thị hàm số qua I( -2 ; 0) và có hệ số góc -3 2.Xác định hàm số y ax bx c ( a 0) , có đồ thị là parabol (P) Một số điểm cần nhớ parabol : b b b *Có đỉnh I ( ; ) I ( ; f ( )) 2a 4a 2a 2a b b *Hoành độ đỉnh là và tung độ đỉnh là ( f ( ) ) 2a 4a 2a b *Có trục đối xứng x 2a *Cắt trục tung thì x , còn cắt trục hoành thì y GVBM: Lê Minh Nhã Trang Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (3) VD: Xác định hàm số y ax bx ( a 0) , biết đồ thị hàm số là parabol (P) : a/Đi qua hai điểm A(1 ; 0) và B(-1 ; 8) Do parabol qua hai điểm A và B nên : a (1) b.1 a b 3 a Vậy hàm số cần tìm là : y x x b 4 8 a (1) b(1) a b b/Có đỉnh I(2 ; 7) Do parabol có đỉnh I(2 ; 7) nên : b b 4a 2 b 4a a 1 2a b4 7 a.22 b.2 7 4a 2(4a ) a 1 Vậy hàm số cần tìm là : y x x c/Cắt trục hoành điểm có hoành độ là -3 và có trục đối xứng x 1 Do parabol cắt trục hoành điểm có hoành độ là -3 và có trục đối xứng x 1 nên: b 1 b 2a b 2a a 1 2a 0 a (3) b(3) 9a 3b 3 3a 3 b 2 Vậy hàm số cần tìm là : y x x d/Cắt trục hoành điểm có hoành độ -1 và có tung độ đỉnh là -1 Do parabol cắt trục hoành điểm có hoành độ -1 và có tung độ đỉnh là -1 nên : 0 a (1) b(1) b a3 a b 3 b a 1 4a b 4ac 4a (a 3) 16a 4a a 1 b a b a3 b a 1 a a 10a a b 12 Vậy có hai parabol thỏa ycbt là : y x x và y x 12 x Bài tập : 1.Xác định hàm số y x bx c ( a 0) ,biết đồ thị hàm số là parabol : a/Đi qua hai điểm A(0 ; -1) và B(4 ; 0) b/Có đỉnh I(-1 ; -2) c/Có trục đối xứng x và cắt truc tung điểm có tung độ d/Có hoành độ đỉnh là và qua điểm M(1 ; -2) 2.Xác định hàm số y ax x c ( a 0) ,biết đồ thị hàm số là parabol : a/Đi qua hai điểm A(1 ; -2) và B(2 ; 3) b/Có đỉnh I(-2 ; -1) c/Có trục đối xứng x và cắt truc hoành điểm có hoành độ d/Có hoành độ đỉnh là -3 và qua điểm M(-2 ; 1) 3.Xác định hàm số y ax bx c ( a 0) ,biết đồ thị hàm số là parabol : a/Có đỉnh I(3 ; 4) và qua điểm M(-1 ; 0) b/Đi qua điểm A(0 ; 2); B(3 ; 4) và có trục đối xứng x c/Có đỉnh I(-2 ; 1) và cắt Oy điểm có tung độ d/Đi qua ba điểm A(1 ; 0), B(1 ; 6) và C(3 ; 2) GVBM: Lê Minh Nhã Trang Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (4) 3.Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) đường thẳng (d): y mx n và parabol (P): y ax x c Phương pháp: Giao điểm (nếu có) đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm hệ phương trình : y mx n Giải hệ phương trình tìm các ( x; y ) chính là tọa độ các giao điểm có y ax bx c Chú ý : Giải hệ phương pháp và hệ vô nghiệm thì đt(d) và parabol (P) không có giao điểm VD: Tìm giao điểm đường thẳng (d): y x và parabol (P) có phương trình : y x x Giao điểm (nếu có) đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm hệ phương trình : y x4 y x4 y x4 2 y x 4x x x 4x x 5x x1 y x y1 2 x1 x x y2 1 Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có hai giao điểm là : A(2 ; -2) và B(3 ; -1) Bài tập: 1.Tìm giao điểm đường thẳng (d): y x và parabol (P) có phương trình : y x x 2.Tìm giao điểm đường thẳng (d): y x và parabol (P) có phương trình : y x x III.Giải phương trình quy bậc nhất, bậc hai: 1.Phương trình chứa ẩn mẫu: Phương pháp: + Đặt điều kiện các biểu thức mẫu khác 0.(dấu bậc hai mẫu thì biểu thức lớn 0) + Quy đồng mẫu số chung cho hai vế phương trình ,bỏ mẫu và rút gọn + Giải phương trình vừa rút gọn tìm x và đối chiếu với điều kiện VD: Giải các phương trình sau: 2 x x x 1 a/ 3 x Điều kiện : x x Phương trình đã cho trở thành: 2 x x (3 x)( x 1) x 3(l ) 2 x x x x x x x x 2(n) Vậy phương trình có nghiệm x x b/ x 1 x x x x 1 x 1 Điều kiện : x Phương trình đã cho trở thành: x x x x( x 2) ( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) Vậy phương trình có nghiệm x 4 x 1(l ) 2 x x x x 3x x 4(n) GVBM: Lê Minh Nhã Trang Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (5) Bài tập: Giải các phương trình sau: x x 24 x 3x a/ x 1 b / x3 2 x x3 x x6 2x 1 x2 5x c/ x2 d/ x4 x 1 x 1 x4 2x 1 9x 1 x 3 2x e/ 3 f / 4 x x 2x x x 5x 2.Phương trình A B : Phương pháp: *Nếu ngoài dấu giá trị tuyệt đối có x nên áp dụng định nghĩa: +Nếu A thì phương trình trở thành: A B +Nếu A thì phương trình trở thành : ( A) B B0 *Nếu dấu giá trị tuyệt đối có x nên áp dụng : A B A ( B ) VD: Giải các phương trình sau : x2 1 a/ x Nếu x x thì phương trình trở thành : x 1(n) x2 1 x 1 5( x 1) x x x x 4(n) Nếu x x thì phương trình trở thành : x 1(l ) x2 1 ( x 1) 5( x 1) x x x x 6(n) Vậy phương trình có ba nghiệm : x 1; x 4; x 6 b/ x x x 2x x x x x2 x x x x (2 x 7) Ta có : 7 x x 2 x 2(n); x 8(n) x x 16 x x x 3(n); x 3(n) Vậy phương trình có nghiệm x 2; x 8; x 3; x Bài tập: Giải các phương trình sau: a / 3x x b / 3x x x c / 4x x2 2x d / x2 4x x e / x2 4x x f / x 3x x 3.Phương trình A B: GVBM: Lê Minh Nhã Trang Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (6) (a b) a 2ab b B0 Phương pháp: A B Lưu ý: (a b) a 2ab b A B VD: Giải các phương trình sau: 2x 1 x2 6x 2x 2 x x (2 x 1) a/ 1 x x x 2 x x x x 3 x x x 1(l ); x (n) Vậy phương trình có nghiệm x x3 x 3 x 1 x 2 x ( x 3) x 1 x 6x b/ x3 x3 x x 10 x 2(l ); x 5(n) Bài tập: Giải các phương trình sau: a x x b x x d 2x2 4x 2x f 4x 1 2x 1 c x x x e 2 x 10 x x g x x 10 x IV.Chứng minh bất đẳng thức: *Dùng các đẳng thức bản: (a b) a 2ab b (a b) a 2ab b a b (a b)(a b) a b3 (a b)(a ab b ) a b (a b )(a b ) a b3 (a b)(a ab b ) VD: Chứng minh các bất đẳng thức: a b a.b a, b a/ 2a 2b 2ab a 2ab b a b (a b) a b (dung ) b / a b a 3b ab3 a, b a a 3b b ab3 a (a b) b3 (a b) (a b)(a b3 ) (a b)(a b)(a ab b ) (a b) (a 2ab b a b ) (a b) [(a b) a b ] c / a b ab a b a, b (dpcm) 2a 2b 2ab 2a 2b (a 2ab b ) (a 2a 1) (b 2b 1) (a b) (a 1) (b 1) (dpcm) Bài tập: Chứng minh các bất đẳng thức sau: GVBM: Lê Minh Nhã Trang Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (7) a / x y x y xy x 0; y b / x y z 14 x 12 y z 2 c /(ab cd ) (a c )(b d ) d / a b c d a(a b c d ) e /(a b c) 3(a b c ) f / a b c ab bc ca *Dùng bất đẳng thức Cô-Si : Cho hai số dương a và b đó trung bình cộng hai số ( ( a.b ) hai số đó ab ) lớn trung bình nhân ab ab a b ab Dấu “=” xãy a = b Tương tự cho ba số dương a,b,c ta có: abc abc Dấu “= ”xãy a = b = c VD: Chứng minh các bất đẳng thức sau biết a,b,c,d là các số dương : a/ 1 (a b)( ) a b Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số dương a và b ta có : Tương tự cho hai số ab ab a b ab (1) 1 1 1 và ta có : (2) a b a b a b 1 1 (a b)( ) Lấy (1) nhân (2) theo vế ta có : (a b)( ) ab a b ab a b (dpcm) b/ (a b)(b c)(c a ) 8abc Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số dương a và b ta có : ab ab a b ab (1) Tương tự ta có : b c bc và c a ca Khi đó nhân các BĐT cùng chiều ta có : (a b)(b c)(c a ) ab.bc.ca (a b)(b c)(c a ) a 2b c (a b)(b c)(c a ) 8abc (dpcm) Bài tập: Chứng minh các bất đẳng thức sau biết a,b,c là các số dương: 1 b / a 2b 2a a 1 b 1 1 d / (a b3 )( ) (a b) a b c abc a b a / a2 c/ e/ Cho a, b,c là ba số dương thỏa GVBM: Lê Minh Nhã 1 ab cb Chứng minh : a c b 2a b 2c b Trang Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (8) B Hình học I.Chứng minh đẳng thức vectơ: Một số quy tắc và tính chất cần nhớ : *Quy tắc cộng ba điểm : AB BC AC ( điểm cuối vectơ thứ I là điểm đầu vectơ thứ II ) *Quy tắc trừ ba điểm : AB AC CB ( hai vectơ phải có cùng điểm đầu ) *Quy tắc hình bình hành ABCD : AB AD AC (vectơ tổng là đường chéo hình bình hành ) IA BI *I là trung điểm AB IA IB ( M y ) MA MB MI GA 2GM *G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC MA MB MC MG ( M y ) Lưu ý : Khi chứng minh đẳng thức vectơ: Trước tiên ta kiểm tra xem đẳng thức có áp dụng các quy tắc tính chất trên chưa Nếu áp dụng thì áp dụng để chứng minh Nếu chưa áp dụng thì ta thực chèn các điểm thích hợp để áp dụng và chứng minh VD:Cho tam giác ABC Gọi M,N,P là trung điểm AB, BC, CA và G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh : NP AP AM BM BN NP MP BM BN a (do BMPN là hình bình hành ) NP BN BM BN BP BM BN b AM BN CP AM MP PA AA AB AC AN AN ( AB AC ) c AN BP CM Ta có: BA BC BP BP ( BA BC ) CA CB 2CM CM (CA CB ) đó: AN BP CM ( AB BA BC CB AC CA) 2 d GM GN GP 2GA 2GB 2GC 2(GA GB GC ) 2.0 e.Với điểm O tùy ý Chứng minh rằng: OA OB OC OM ON OP VP OM ON OP OA AM OB BN OC CP Ta có : OA OB OC ( AM BN CP ) OA OB OC (cau b) OA OB OC VT GVBM: Lê Minh Nhã Trang Lop10.com (dung ) Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (9) Bài tập: Bài 1:Cho sáu điểm minh : A,B,C,D,E,F.Chứng a AB CD AD CB b AB CD AC BD c AD BE CF AE BF CD d AC BD EF AF BC ED Bài 2:Cho hình bình hành ABCD tâm O.Gọi I,J là trung điểm BC và AD.Chứng minh các đẳng thức vectơ sau: a / AB BC AD BA b / AD BC AC BD c / AB IC IB AI AJ d / IA IC IB ID e / AB OC OB AD CD Bài 3:Cho tứ giác ABCD.Gọi I,J là trung điểm AD và BC K là trung điểm IJ.Chứng minh rằng: a / IA ID JB JC b / KA KD KB KC II.Hệ trục tọa độ: 1.Hệ trục toạ độ ĐềCác vuông góc : Trục x’Ox là trục hoành có vectơ đơn vị i Truïc y’Oy laø truïc tung coù vectô ñôn vò j vaø i j O(0 , 0) gọi là gốc toạ độ 2.Toạ độ vectô : u ( x; y ) u xi y j x x' x x ' Cho u ( x; y ) và v( x '; y ') Khi đó : u v vaø u v y y' y y' x y u cùng phương với v : xy ' x ' y x' y' Neáu A( x A ; y A ) vaø B ( xB ; yB ) thì AB ( xB x A ; yB y A ) Phân tích x theo hai vectơ không cùng phương a và b : x k a hb 3.Toạ độ điểm : A( x; y ) OA ( x; y ) OA xi y j x A xB xM M là trung điểm đoạn thẳng AB y y A yB M x A xB xC xG G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC y y A yB yC G x x A xC xB Nếu ABCD là hình bình hành thì AD BC D yD y A yC yB GVBM: Lê Minh Nhã Trang Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (10) VD: Trong maët phaúng Oxy cho tam giaùc ABC.Bieát A(2 ; 5);B(1 ; -2) vaø C(-5 ; 6) a.Tìm toạ độ trung điểm BC và toạ độ trọng tâm tam giác ABC b.Tìm toạ độ điểm D cho ABCD là hình bình hành c.Tìm toạ độ điểm M cho MA MB BC d.Phaân tích vectô a (8;6) theo AB vaø AC a.Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC ta có : xB xC (5) xI xI x 2 I I là trung điểm BC Vậy I(-2 ; 2) yI y yB yC y 2 I I x A xB xC (5) x xG G xG 3 G là trọng tâm tam giác ABC y y y ( 2) A B C y y yG G G 3 Vậy G(-2/3 ; 3) b.Do ABCD là hình bình hành nên: AD BC mà AD ( xD x A ; yD y A ) ( xD 2; yD 5) và BC ( xC xB ; yC yB ) (6;8) x 6 x 4 Vì AD BC nên: D Vậy D(-4 ; 13) D yD yD 13 MA ( x A xM ; y A yM ) (2 xM ;5 yM ) c.Ta có : và BC ( xC xB ; yC yB ) (6;8) MB ( xB xM ; yB yM ) (1 xM ; 2 yM ) 2 xM 2(1 xM ) (6) x 6 Mà MA MB BC Vậy M(-6 ; -1) M yM 2(2 yM ) yM 1 AB ( xB x A ; yB y A ) (1 2; 2 5) (1; 7) d Ta có AC ( xC x A ; yC y A ) (5 2;6 5) (7;1) 8 k (1) h(7) k h 8 k Giả sử a k AB h AC Vậy a AB AC k (7) h.1 7 k h h Bài Tập 1.Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2 ; 4) ; B(1 ; 5) vaø BC 3i j a.Tìm toạ độ trung điểm AC và toạ độ trọng tâm tam giác ABC b.Tìm toạ độ điểm D cho ABDC là hình bình hành c.Tìm toạ độ điểm M cho MA MB 3MC d.Phaân tích vectô AG theo AB vaø AC 2.Trong maët phaúng Oxy cho A(-2 ; 3) ; B(5 ; 2) vaø G(2 ; -1) a.Tìm toạ độ trung điểm AB và tọa độ điểm C cho tam giác ABC nhận G làm trọng tâm b.Tìm toạ độ điểm D cho ABDG là hình bình hành c Phaân tích vectô a (3; 4) theo GB vaø GC d.Tìm toạ độ các đỉnh IJK cho A,B,C là trung điểm IJ,JK và KI GVBM: Lê Minh Nhã Trang 10 Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (11) Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(-2 ; 3) ; B(5 ; 2) vaø C(-1 ; 0) a.Tìm toạ độ trung điểm AB và toạ độ trọng tâm tam giác ABC b.Tìm toạ độ điểm D cho OBCD là hình bình hành c.Tìm toạ độ điểm M cho MA MB MC d.Phaân tích vectô a (4;8) theo CA vaø CB Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(1 ; 3) ; B(5 ; 2) vaø C(-3 ; 0) a.Tìm toạ độ trung điểm BC và toạ độ trọng tâm tam giác ABC b.Tìm toạ độ điểm D trên trục hồnh cho A,B,D thẳng hàng c.Tìm toạ độ điểm M cho MA MB MC d.Phaân tích vectô CG theo CA vaø CB 5.Trong maët phaúng Oxy cho A(0 ; -3) ; B(-4 ; 1) vaø C(1 ; 1) a.Tìm tọa độ điểm D cho ABCD là hình bình hành và tọa độ tâm hình bình hành đó b.Tìm tọa độ điểm E trên Ox cho ABEC là hình thang có đáy là AB và CE c.Tìm tọa độ điểm F trên Oy cho tam sao giác BCF có trọng tâm trên Ox d.Tìm toạ độ vectơ u AB AC 3BC GVBM: Lê Minh Nhã Trang 11 Lop10.com Ôn tập thi HKI.Năm học:2008-2009 (12)