b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.. Tính độ dài đoạn BD.. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. G[r]
(1)ĐỀ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết
A = 10x2 – 7x – B = 2x –
c)Cho x + y = x y 0 Chứng minh
3 2
2
0
1
x y
x y
y x x y
Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b) 2008x+1 + x+2
2007+
x+3
2006=
x+4 2005+
x+5 2004+
x+6
2003
Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF
a) Chứng minhEDF vuông cân
b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho:
a/ DE có độ dài nhỏ
(2)HD CHẤM Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x –
(0,25đ)
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)
= ( x – ) ( x – ) 2 (0,25đ)
b) (0,75đ) Xét
2
A 10x 7x
5x
B 2x 2x
(0,25đ)
Với x Z A B
7
2x Z ( 2x – 3) (0,25đ)
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi 3
x y
y x 1=
4
3
x x y y (y 1)(x 1)
=
4
2
x y (x y) xy(y y 1)(x x 1)
( x + y = 1 y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ)
=
2
2 2 2
x y x y x y (x y)
xy(x y y x y yx xy y x x 1)
(0,25đ) =
2
2 2
x y (x y 1)
xy x y xy(x y) x y xy
(0,25đ) =
2
2 2
x y (x x y y) xy x y (x y)
= 2
x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3)
(0,25đ) =
2
x y x( y) y( x) xy(x y 3)
=
2
x y ( 2xy) xy(x y 3)
(0,25đ) = 2
2(x y) x y
Suy điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x
y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)
⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = (0,25đ) * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x (0,25đ)
* x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = 0 (0,25đ)
⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = 1 (0,25đ)
Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ)
x x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003
⇔ (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
2008 2007 2006 2005 2004 2003
(3)⇔ x+2009
2008 +
x+2009
2007 +
x+2009
2006 =
x+2009 2005 +
x+2009 2004 +
x+2009
2003 ⇔
x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003
(0,25đ)
⇔ (x+2009)(
2008+ 2007+
1 2006−
1 2005−
1 2004 −
1
2003)=0 (0,5đ) Vì
1 2008 2005 ;
1
20072004;
1
2006 2003
Do : 20081 +
2007+ 2006 −
1 2005 −
1 2004 −
1
2003<0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = ⇔ x = -2009
Bài 3: (2 điểm) a) (1đ)
Chứng minh EDF vng cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c) EDF cân D
Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) Eˆ1Fˆ2 Mà Eˆ1Eˆ2Fˆ1 = 900 Fˆ2Eˆ2Fˆ1= 900
EDF= 900 VậyEDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng
Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD
MàEDF vuông cân DI =
1 2EF
Tương tự BI =
1
2EF DI = BI
I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2 điểm) a) (1đ)
DE có độ dài nhỏ
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)
= 2(x –
a
4 )2 +
a
2
a
2 (0,25đ)
A B
E I
D C
O
F
2
1
A D
B
(4)Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x =
a
2 (0,25đ)
BD = AE =
a
2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ)
b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Ta có: SADE =
1
2AD.AE =
2 AD.BD =
2AD(AB – AD)=
2(AD2 – AB.AD) (0,25đ)
= –
1
2 (AD2 – 2
AB
2 .AD +
2
AB ) +
2
AB = –
1
2(AD – AB
4 )2 +
2
AB
2
AB
8 (0,25đ)
Vậy SBDEC = SABC – SADE
AB –
2
AB =
3
8AB2 không đổi (0,25đ)
Do SBDEC =
3
8AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ)
ĐỀ 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y
b) 2x2 – 5x – 7
Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: 4x2−16
x2+2 = A x
Bài 3: Cho phân thức: 25xx+2
+2x
(5)Bài 4: a) Giải phơng trình : x −x+22−
x=
2
x(x −2)
b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3
Bài 5: Giải tốn sau cách lập phơng trình:
Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày
Bài 6: Cho ∆ ABC vng A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM
(6)BIỂU ĐIỂM - ĐÁP ÁN
Đáp án Biểu
điểm Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 điểm)
b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) –
7(x + 1)
= (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm)
A =
4x2−16
¿
2x¿2−42 ¿ ¿
x¿
x¿ ¿
Bài 3: (2 điểm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0
⇔ 2x x + 0
⇔ x x -1 (1 điểm)
b) Rút gọn: 5x+5 2x2+2x=
5(x+1)
2x(x+1)=
5
2x (0,5 điểm)
5
2x=1⇔5=2x⇔x=
5
2 (0,25 điểm)
Vì 52 thoả mãn điều kiện hai tam giác nên x=5
2 (0,25 điểm) Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x
- Giải: x(xx+2)- (x- 2) (x −2) =
2
x(x −2) x
2 + 2x – x +2 = 2; x= (loại) x = - Vậy S = 1
b) x2 – < x2 + 4x +
x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> -
Vậy nghiệm phơng trình x > -
1 đ
1đ Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày
Điều kiện: x nguyên dơng x >
Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày)
(7)- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13
57x – 57 – 50x = 13 7x = 70
x = 10 (thoả mãn điều kiện)
Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày
Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ đ Bài 6: a) Xét ∆ ABC ∆ HBA, có:
Góc A = góc H = 900; có góc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc)
b) áp dụng pitago ∆ vng ABC
ta có : BC = AB2 AC2 = 152 202 = 625= 25 (cm)
vì ∆ ABC ~ ∆ HBA nên 15
25 20 15
HA HB hay BA BC HA AC HB AB
AH = 25 12
05 20
(cm) BH = 25
15 15
(cm)
HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) c) HM = BM – BH =
) ( , 25
2 BH cm
BC
SAHM =
1
AH HM =
12 3,5 = 21 (cm2)
- Vẽ hình: A
B H M C
1 đ đ đ
1 đ
1đ
(8)ĐỀ 3
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b) 1004 x 1986 21 x 1990 17 x
c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác z y x
Tính giá trị biểu thức:
xy z xy xz y xz yz x yz
A 2 2 2
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng CC'
' HC ' BB ' HB ' AA ' HA
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM
c) Chứng minh rằng:
(9)ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính x = 2007 ( điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm )
2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm )
(2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm )
2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( 0,25điểm )
Bài 2(1,5 điểm):
0 z y x
xy yz xz
xyz xz yz xy
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: (z x)(z y)
xy ) z y )( x y ( xz ) z x )( y x ( yz A
( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0a,b,c,d9,a 0 (0,25điểm)
Ta có: abcd k2
m ) d )( c )( b )( a (
abcdk2
abcd1353m2 (0,25điểm)
Do đó: m2–k2 = 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37
k = 56 k = (0,25điểm) Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm)
với k, m N, 31<k<m<100
(10) Bài (4 điểm) :
Vẽ hình (0,25điểm)
a) ' AA ' HA BC ' AA BC ' HA S S ABC HBC
; (0,25điểm) Tương tự: CC'
' HC S S ABC HAB
; BB'
' HB S S ABC HAC (0,25điểm) S S S S S S ' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA ABC HAC ABC HAB ABC HBC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC:
AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC BI (0,5điểm )
BI.AN.CM BN.IC.AM
1 BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB MA CM NB AN IC BI
c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2
AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
4 ' CC ' BB ' AA ) CA BC AB ( 2 2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
ABC đều)
ĐỀ 4 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MƠN: TỐN LỚP 8
(0,5điểm ) (0,5điểm )
(11)Thời gian: 150 phút
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2
2
2
( ) : ( )
2 2
x x x x x
A
x x x x x
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0?
c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho
x y z
a b c
a b c
x yz Chứng minh :
2 2
2 2
x y z
a b c .
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK
(12)HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án Điểm
Bài 1
a 2,0
3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = 1,0
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5
= (x - 2)(3x - 1) 0,5
b 2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5
= (x - a)(ax - 1) 0,5
Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 2
4 0
2
3 x x x x x x x x x x 1,0
2 2 2
2
2 (2 ) (2 ) (2 )
( ) : ( )
2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
1,0
2
4 (2 )
(2 )(2 )
x x x x
x x x
0,5
2 ( 2) (2 ) (2 )(2 )( 3)
x x x x x
x x x x
0,25
Vậy với x0,x2,x3
2 4x A x
0,25
b 1,0
Với
2
0, 3, : 0
3 x
x x x A
x
0,25
3 x
0,25
3( )
x TMDKXD
0,25
Vậy với x > A > 0,25
(13)7
7 x
x
x
0,5
11( )
3( )
x TMDKXD
x KTMDKXD
0,25
Với x = 11 A =
121
2 0,25
Bài 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 0,5
Do : (x1)2 0;(y 3)20;(z1)2 0 0,5
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) 0,25
b 2,5
Từ :
ayz+bxz+cxy
0
a b c
x y z xyz 0,5
ayz + bxz + cxy = 0,25
Ta có :
2
1 ( )
x y z x y z
a b c a b c 0,5
2 2
2 2 2( )
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
0,5
2 2
2 2
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
0,5
2 2
2 2 1( )
x y z
dfcm
a b c
0,25
(14)O F
E
K H
C
A
D
B 0,25
a 2,0
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEODFO g c g( ) 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành 0,25
b 2,0
Ta có: ABC ADC HBC KDC 0,5
Chứng minh : CBH CDK g g( ) 1,0
CH CK
CH CD CK CB CB CD
0,5
b, 1,75
Chứng minh : AFDAKC g g( ) 0,25
AF
A
AK
AD AK F AC AD AC
0,25
Chứng minh : CFDAHC g g( ) 0,25
CF AH CD AC
0,25
Mà : CD = AB
CF AH
AB AH CF AC AB AC
0,5
Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
(15)ĐỀ 5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
.
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: 31<k<m<100
(16)b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD ĐÁP ÁN
Bài 1:
a) (x + y + z)
3 – x3 – y3 – z3 =
3 3 3 3
x y z x y z
= ⇔
= ⇔ = 3y z x x y z x y = 3x y y z z x
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =
4
x x 2010x 2010x 2010
= ⇒ = ⇔ . Bài 2:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
x 241 x 220 x 195 x 166
1
17 19 21 23
x 258 x 258 x 258 x 258
17 19 21 23
x 258 1 1
17 19 21 23
x 258
Bài 3:
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
.
ĐKXĐ: x 2009; x 2010 .
(17)
2 2
2 2
a a a a 19
49
a a a a
2
a a 19
3a 3a 49
2
49a 49a 49 57a 57a 19
8a2 8a 30 0
2a 12 42 2a 2a 5
3 a
2 a
2
(thoả ĐK)
Suy x =
4023
2 x = 4015
2 (thoả ĐK)
Vậy x = ⇔ x =
4015
2 giá trị cần tìm.
Bài 4:
2
2010x 2680 A
x
=
2 2
2
335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)
335 335
x x
Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – Bài 5:
a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E A F 90 o)
Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC
b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ nhất
D hình chiếu vng góc A lên BC.
Bài 6:
a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF .
Ta có BAC 1800(*)
Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF
OFD OED ODF 90 o(1)
Ta có OFD OED ODF 270o(2) O
A
B C
F
D E
E F
A B
C
(18)(1) & (2) 180o (**)
(*) & (**) BAC BDF .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
B, C
AEF DBF DEC ABC
BD BA 5BF 5BF 5BF
BD BD BD
BF BC 8 8
CD CA 7CE 7CE 7CE
CD CD CD
CE CB 8 8
AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC
CD BD
(3)
Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5
ĐỀ 6
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 7x 6
2 x4 2008x2 2007x 2008
Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: x2 3x 2 x1 0
2
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bài 3: (2điểm) CMR với a,b,c,là số dơng ,ta có: (a+b+c)( 1a+
1
b+
1
c¿≥9
3 Tìm số d phép chia biểu thức x2 x4 x6 x82008 cho đa thức
2
10 21
x x
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E
O A
B C
F
D E
s
(19)1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo
m AB .
2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC G Chứng minh:
GB HD BC AH HC
BàI 1
Câu
Nội dung Điểm
1. 1.1 2,0
(20)
2 7 6 6 6 1 6 1
x x x x x x x x
x1 x6
0.5 0,5 1.2
(1,25 điểm)
4 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007
x x x x x x x
0,25
2
4 1 2007 1 1 2007 1
x x x x x x x x
0,25
x2 x 1 x2 x 1 2007x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008
0,25
2. 2,0
2.1 x2 3x 2 x 1 0 (1)
+ Nếu x1: (1)
1
x x
(thỏa mãn điều kiện x1).
+ Nếu x1: (1)
2 4 3 0 3 1 0 1 3 0
x x x x x x x
x1; x3 (cả hai không bé 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x1
0,5 0,5 2.2
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x0
(2)
2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
2 2 1
8 x x x x 16
x x
0
x hay x
x0.
Vậy phơng trình cho có nghiệm x8
0,25 0,5 0,25
3 2.0
3.1 Ta có:
A= (a+b+c)(1a+
1
b+
1
c)=1+ a b+
a c+
b a+1+
b c+
c a+
c b+1
(21)Mà: xy+ y
x≥2 (BĐT Cô-Si)
(22)3.2 Ta có:
( ) 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
Đặt tx210x21 (t3;t7), biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) 2008 1993 P x t t t t
Do chia t2 2t 1993
cho t ta có số d 1993
0,5
0,5
4 4,0
4.1
+ Hai tam giác ADC BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 1350
(vì tam giác AHD vng cân H
theo giả thiết) Nên AEB 450
tam giác ABE vuông cân A Suy
ra: BEAB 2m
1,0
0,5 4.2
Ta có:
1
2
BM BE AD
BC BC AC (do BEC ADC)
mà AD AH (tam giác AHD vuông vân H)
nên
1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE (do ABH CBA)
Do BHM BEC (c.g.c), suy ra: 1350 450
BHM BEC AHM
0,5 0,5 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM cịn phân
giác góc BAC
Suy ra:
GB AB
GC AC , mà
(23) //
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
0,5
ĐỀ 7
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1( điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2
2 21
:
4 12 13 20 4
x x x x
x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P
1
x
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P >
Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:
a)
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
c)
2 3 5
x
(24)Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời
Bài (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P
d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm,
9 16
PD
PB Tính cạnh hình chữ nhật
ABCD
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng:
2
1 1 2
(25)Đáp án biểu điểm Bài 1: Phân tích:
4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x
0,5đ a) Rút gọn P =
2
2
x x
2đ
b)
1
x
2
x
1
x
+)
1
x
… P =
+)
1
x
…P =
2
3 1đ c)
P =
2
2
x x
=
2
5 x
Ta có: 1Z Vậy PZ
2
5 Z
x
x – Ư(2)
Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – = -2 x = (TMĐK) x – = -1 x = (KTMĐK) x – = x = (TMĐK) x – = x = (TMĐK)
KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1đ d) P =
2
2
x x
=
2
5 x
0,25đ
Ta có: > Để P >
2
(26)Với x > P > 0,25 Bài 2:
a)
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x
ĐK: x 4;x 1
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)
…
3x.(x + 4) = 0
3x = x + = 0
+) 3x = => x = (TMĐK) +) x + = => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
148 169 186 199
1
25 23 21 19
x x x x
(123 – x)
1 1
25 23 21 19
= 0
Do
1 1
25 23 21 19
>
Nên 123 – x = => x = 123
S = {123} 1đ c)
2 3 5
x
Ta có: x 2 0 x => x 2 3 > nên
2 3 2 3
x x
(27) x = – 3
x = 2
+) x - = => x = +) x - = -2 => x =
S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là:
3
( / )
1 10
3 3
x x
km h
(3h20’ =
3 h ) 0,25đ Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là:
5 /
10 x
km h
0,25đ Theo đề ta có phơng trình:
3
5 3 10
x
x
0,5đ x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là:
3.150
45 /
10 km h
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5đ
A B
C D
O M
P
I E
(28)a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD
PO đường trung bình tsm giác CAM AM//PO
tứ giác AMDB hình thang 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA
Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF DBA g g nên
MF AD
FA AB không đổi (1đ)
d)
Nếu
9 16 PD
PB 16 , 16
PD PB
k PD k PB k
Nếu CPBD
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
1đ CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ
do BC = (cm)
CD = (cm) 0,5đ Bài 5:
a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có đpcm
b) 2
1 1 2
(29)
2
2
2
2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
Vì x1;y1 => xy1 => xy1 0