Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 4.[r]
(1)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến BÀI TẬP
PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM MỘT BIẾN
CHƯƠNG 2
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 1
• Tính đạo hàm hàm số sau:
2
2 ln
2012
2
2
3
sin
1. sin 7. arctan sin
2. 8. sin
3. 2 9.
4. log ln 10. 1 . . 5 log sin 11.
sin 6. cot 12.
x
x x
x
x x
x
x
x
x
y x y x
y x x y x
y y x
y x y x e x
x y x x x
x
y arc x y
x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Các phương pháp tính đạo hàm
• Cơng thức bản: tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp.
• Biến đổi, rút gọn
• Lấy logarit
• Căn thức thường đưa dạng lũy thừa cho dễ tính.
Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 2
• Tính đạo hàm điểm định nghĩa
0
' lim
h
f a h f a
f a
h
0
' lim
h
f a h f a
f a
h
0
' lim
h
f a h f a
f a
h
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 2.1
• Cho
• Tính
1, 0
1
0 , 0
x
x x
f x e
x
' 0 f
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 2.2
• Cho
• Tính
• f’(x) có liên tục x=0 hay khơng?
2sin1 , 0
0 , 0
x x
f x x
x
' 0
(2)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 2.3
• Cho
Tìm n để:
a) f(x) liên tục x=0
b) f(x) có đạo hàm hữu hạn x=0 c) f(x) có đạo hàm liên tục x=0
1
sin , 0
0 , 0
n
x x
f x x
x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 2.4
• Cho
Tìm a để f(x) có đạo hàm x=0
, 0
1 , 0
x
e x
f x
x ax x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 2.5,2.6,2.7
2
5 Cho Tính .
6 Cho 2 3 1 5 Tính .
1 , 1
7 Cho 1 2 ,1 2
2 , 2
Tính .
f x x x f x
f x x x f x
x x
f x x x x
x x
f x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 3,4
• Tính đạo hàm dạng tham số t x
t
y y
x
0
0 0 0
0
t x
t
y t
y x voi x t x
x t
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 3,4
• Tính đạo hàm dạng tham số
• Tìm y’(x0) hàm số.
2
2 5
2 ln 1
1. 2.
2 arctan
arccot
3. 4.
arctan sin
t t
t t
x
x t
y
y t t
x e
x t
y t y e t
3
5 0
3 1
1. , 1
3 5 1
2. , 1
cos t t
x t t
x
y t t
x e
x
y e t
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 5
• Tính đạo hàm hàm ẩn
• Tính đạo hàm, giải phương trình tìm y’
• Nhớ kết hợp qui tắc tính đạo hàm biết
2
3
2 ln
1. ln 0
2.
3. 4 0
4. cos 3
y y x
x x
x y x e
x y
x y
(3)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 6
• Tìm vi phân
• Cơng thức:
2
1.d x e. x 2 ln 1d x 3.d xx
dy y x dx
n
n n
d y y x dx
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 7
• Tìm vi phân hàm ẩn:
5
1. 1
2 cos
3. ln
y y x
xy x
y xy
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 8
• Tìm điều kiện để hàm số liên tục, khả vi R.
• Dùng tính chất liên tục, khả vi khoảng của hàm sơ cấp.
• Xét liên tục, khả vi điểm
• Giới hạn trái, phải…
2 2 , 0
, 0
x x x
f x
ax b x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 9
• Cho hàm số:
• Tính:
1 2 100
f x x x x x
0 ?
f
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 10
• Tính đạo hàm cấp dạng tham số
. .
x t t t t t
x x x
t t
y x y y x
y y
x x
2
cos 1.
sin ln 1
2. khi 0
t t
x e t
y e t
x t
t
y t
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 11
• Tính đạo hàm cấp hàm ẩn taïi
4
0
1.
2. 1 0,1
3. sin
x y
e xy
x xy y M
(4)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 12
• Tính đạo hàm cấp cao dạng tích 10
10
1. 1 sin , .
2. , .
x
y x x tính y
e
y tính y
x
Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 13
Tính đạo hàm cấp n
2
1 1.
1 1 2.
3 2
3. xsin 3 1
y x x y
x x
y e x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 14
• Sử dụng cơng thức L’Hospitale (Lô – pi – tan)
2
0
2
0
2
0
0
2 arcsin
1 lim 2 lim
cos sin
sin
1 1 2
3 lim 4 lim
sin sin
sin
5 lim 6 lim ln
arcsin ln 1
1 1 1 1
7 lim 8 lim
arcsin 1
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
e e x x x
x x x
x x
e e x
x x x x x
x x x x
x x
x e x x
2
1 1
9 lim
arctan
x x x x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài tập chương
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 1
• Tìm đạo hàm riêng hàm số sau
4 3 2
) ) ln tan
) 2 ) ln
) arctan ) 1 y
y
a z x y b z
x
c z x y x y d z x x y
y
e z f z xy
x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 2
• Tìm đạo hàm riêng (𝜋3; 4)của hàm số sau
, sin
(5)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 3
• Tính vi phân tồn phần hàm số:
• Tính vi phân cấp hàm số:
) tan 3 6x y ) arcsin x
a z x y b z
y
3 2
2
) 4 5 ) ln
) 2 ) xln sin ln
a z x x y y b z x y
c z xy y d z e y y x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 4
• Tìm cực trị hàm số sau
3
4 2
2
3 3
2 2
3
) 3 15 12
) 2
) 1
) 1
) 2 6 6 3 2 1
) 2 3 2 6 3
) 1 2
) 2 6 1 3 10 2
a z x xy x y
b z x y x xy y
b z x xy y x y
c z x y x y
d z x x y y x y
e z y x x y x y
f z x y
g z x x y y
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài tập chương
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài Tích phân đổi biến số
3
2
3
4
4
4
2 3
sin
. .
1
. .
2
1 sin 2
. .
2 9 3 cos
. .
3 sin 4 cos 5 2 5
sin 2
. .
4 7 sin cos
x
a dx b a x dx
x x
c x dx d dx
a x x x
x
e dx f dx
x x x
x dx
g dx h
x x
x x
x dx x
i dx j
x x x x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài Tích phân phần
2
2
2
2
. arccos arctan
ln 1 .
1 .
a x xdx
b xdx
x x x
c dx
x
d a x dx
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài Tính tích phân
2
2
1
0
1
0
3
. , 0
2 cos 1
arcsin sin
. .
1 2 cos 1
. . cos ln
sin .
cos
x e
x x
dx
a a
x x a
x dx
x xdx
b c
x x x
e dx
d e x dx
e e
x x dx f
(6)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài Tính tích phân
2
3
0
3
2 2
3
5
1
2
0
1. 2.
1 1
arctan
3. 4.
1 1
1
5. 6.
1 2 1 2 3
1 ln
7. 8.
1 1
9. 10. .
4 5
a
x
dx dx
x
x x
dx x dx
x x x
dx dx
x x x x x
x
dx dx
x x
dx x e dx
x x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 5
1
0
1
2 2
1
3
2
3
1
2
0
1. 2.
3 2
3. 4.
4
5. 6.
9 4 3
ln
7. ln sin 8.
1
dx dx
x x
x
dx dx
x x
dx dx
x x x
x
x dx dx
x
• Tính tích phân:
Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 6
• Xét hội tụ tích phân:
2
1
1
3
1
1
4
0
ln
1. 2.
1 1
1 4 sin 2
3. 4.
cos
5. 6.
1 1
x
x
x
xdx xdx
x x e
x dx dx
e x
x x
x dx dx
e x
Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài 7
• Xét hội tụ tích phân:
1
4
0
1
sin sin
0
1
sin 6
1. 2.
1 1
3. 4.
1 cos
5.
x x
x x dx
dx
x x
xdx dx
e e x
dx