Giải tích hàm nâng cao

ðiều ñó chứng tỏ mọi dãy Cauchy trong không gian ñịnh chuẩn H,.. ñều hội tụ tới một phần tử của H,.[r]

Lớp k15d2 – Cao học Toán Giải tích – Tr.ðHSP Hà Nội Nguyễn Văn Xá Nhóm GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO ðề bài Chứng minh không gian Hilbert ñều là không gian ñịnh chuẩn Chứng minh không gian Hilbert ñều là không gian Banach Bài làm Giả sử H là không gian Hilbert trên trường số K (K là ℝ ℂ) với tích vô hướng ., Theo ñịnh nghĩa tích vô hướng ., thì x, y = y, x , ∀x, y ∈H, nên x, x = x, x , ∀x ∈H, hay x, x ∈ ℝ, ∀x ∈ H Lại có x, x ≥ 0, ∀x ∈ H Nghĩa là với x ∈ H thì x, x là số thực không âm Ta ñặt x = ⇔ x,x ,x ∈ H Rõ ràng x ≥ 0, ∀x ∈ H, và x = ⇔ x, x = ⇔ x, x = ⇔ x = ∈ H Lấy tuỳ ý x ∈ H, λ ∈ K thì λ.x = = λ.λ x, x = λ.λ x, x = λ.x, λ.x = λ x, λ.x = λ λ.x, x λ x, x = λ x Nghĩa là λ.x = λ x với ∀x ∈ H, ∀λ ∈K Theo bất ñẳng thức Cauchy-Schawrt thì x, y Hơn với số ≤ x,x y, y , ∀x, y ∈ H a + a ≤ a a ∈K ta luôn có Dẫn tới x, y + x, y ≤ x, y ≤ x,x y, y = x y , ∀x, y ∈ H Với x, y ∈ H thì x + y = x + y, x + y = x, x + y + y, x + y = x + y, x + x + y, y = = x, x + y, x + x, y + y, y = x, x + y, x + x, y + y, y = x, x + x, y + + x, y + y, y = x 2 + ( x, y + x, y ) + y ≤ x = ( x + y ) nên x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ H Lop10.com 2 + x y + y = Vậy ánh xạ : H → ℝ, x ֏ x = x, x là chuẩn trên H, và (H, ) là không gian ñịnh chuẩn trên K Ta lại xét ánh xạ d : H → ℝ, (x, y) ֏ d(x, y) = x − y Thấy d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ H, và d(x, y) = ⇔ x − y = ⇔ x − y = ∈ H ⇔ x = y Với x, y ∈ H thì d(x, y) = x − y = (−1).(y − x) = −1 y − x = = y − x = d(y, x) Vậy d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ H Với x, y, z ∈ H thì d(x, y) = x − y = (x − z) + (z − y) ≤ ≤ x − z + z − y = d(x, z) + d(z, y) Hay d(x, y) ≤ d(x,z) + d(z, y), ∀x, y,z ∈ H Vậy d là mêtric trên H, và (H, d) là không gian mêtric trên K Theo ñịnh nghĩa không gian Hilbert thì (H, d) là không gian mêtric ñầy ñủ Xét dãy Cauchy bất kì {x n } không gian ñịnh chuẩn (H, ) Ta có lim x m − x n = ⇒ lim d(x m , x n ) = lim x m − x n = ⇒ {x n } là m,n →+∞ m,n →+∞ m,n →+∞ dãy Cauchy không gian mêtric ñầy ñủ (H, d) ⇒ {x n } hội tụ (theo mêtric d) tới x ∈ H, tức là lim d(x n , x ) = Rõ ràng lim x n − x = n →+∞ n →+∞ = lim d(x n , x ) = ⇒ {x n } hội tụ (theo chuẩn ) ñến x không n →+∞ gian ñịnh chuẩn (H, ) ðiều ñó chứng tỏ dãy Cauchy không gian ñịnh chuẩn (H, ) ñều hội tụ tới phần tử (H, ) Vậy (H, ) là không gian Banach Lop10.com