Một số bài toán về bất đẳng thức

phương Lấy căn bậc hai hai vế hai vế đều dương ta được điều phải chứng minh Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1... Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:.[r]

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh với số thực không âm a, b, c ta có: a b c    bc ca ab Giải: Xét các biểu thức sau a b c S   bc ca ab c a b b c a B   A   cb ca a b bc ca ab Ta có A + B = Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì: ab bc ca   3 S A bc ca a b ab bc ca S A   3 bc ca a b Cộng theo vế ta có A + B +2S ≥3  S≥ (Điều phải chứng minh) Bài 2: Chứng minh với số thực không âm a, b, c, d ta có: a b c d    2 bc cd d a a b Giải : Đặt a b c d    bc c d d a a b b c a a A    bc cd d a ab S B c d a b    bc cd d a ab Theo bất đẳng thức Cauchy thì: http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com ab bc cd d a    4 bc cd d a a b ac bd ca d b    S A bc cd d a a b ac ca bd d b     bc d a cd ab 4(b  d ) 4(a  c)  4  abcd abcd SB Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 S≥ (Điều phải chứng minh) Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng: x3 y3 z3    (1  y)(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) Ta có: x3 1 y 1 z x   3 (1  y)(1  z ) 8 Tương tự ta có: 1 x 1 z y3 y   3 (1  z )(1  x) 8 z3 z 1 x 1 y   3 (1  x)(1  y) 8 Cộng theo vế rút gọn ta có: x3 y3 z3     (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) x  y  z 3 xyz   2 x3 y3 z3    (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng: a3 b3 c3 d3     bcd cd a abd abc Ta có (a + b + c + d)2 = [(a + c)+(b + d)]2 ≥4(a + c)(b + d) = 4(ab + bc + cd + da) =  a + b + c + d ≥ ( a, b, c, d >0) a3 b  c  d a 2a     bcd 12 Tương tự ta có b3 a  c  d b 2b     cd a 12 c3 a  b  d c 2c     abd 12 d3 a  b  c d 2d     abc 12 Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có: a3 b3 c3 d3 a bcd 1         bc d c d a a bd a bc 3 3 a3 b3 c3 d3     bcd cd a abd abc Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng: 1 27    a(a  b) b(b  c) c(a  c) 2(a  b  c) (1) Giải: VT(1) ≥ 3 abc(a  b)(b  c)(c  a)  abc (a  b)(b  c)(c  a) http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com  27  a  b  c 2(a  b  c) 2(a  b  c) * 3 Dấu ‘=’ xảy  a  b  c   a=b=c a  b  b  c  c  a Bài 6:Chứng minh với số thực dương a, b, c ta luôn có: 1 1    a3  b3  abc b3  c3  abc a  c3  abc abc Giải  a, b, c >0 ta luôn có (a - b)2(a + b) ≥0  (a - b)(a2 - b2) ≥0  a3+b3-a2b-ab2≥0 3 2 3  a +b ≥ a b+ab  a +b ≥ab(a+b) abc abc c    a  b3  abc ab(a  b)  abc a  b  c Tương tự ta có abc abc a   3 b  c  abc bc(b  c)  abc a  b  c abc abc b   a3  c3  abc ac(a  c)  abc a  b  c Cộng theo vế ta có: abc abc abc a b c  3  3  1 a  b  abc b  c  abc a  c  abc a  b  c  1 1    a3  b3  abc b3  c3  abc a  c3  abc abc Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện x2+ y2+z2=3 Chứng minh rằng: xy yz zx    (1) z x y http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com Giải : Ta có:  x2 y y z z x2   x2 y y z   x2 y z x2   y z z x2  2                x y   z x   z y   x y   z x2 y y z z x2  2x  y  z     z x y VT(1) bình phương ta được: x2 y y z z x2   + x  y2  z 2 z x y 2    x  y2  z  2 x  y2  z +  x  y  z  =  x  y2  z  =VP(1) bình phương Lấy bậc hai hai vế (hai vế dương) ta điều phải chứng minh Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích Chứng minh rằng: xy yz xz   1 x5  xy  y y  y  z x5  xz  z Giải: 2  x, y, z dương ta luôn có: (x-y) (x+y)(x +xy+y )  2 3 5 2  (x -y )(x -y )   x -y  x y (x+y) z xy xy     xy  x y2 x  y  xy( x  y) x  y  z x  xy  y   Tương tự ta có xz y yz x   zy  z y2  z  y  x  y  z , zx  z x  z  x  x  y  z cộng theo vế các bất đẳng thức ta có xy yz xz x yz    1 x5  xy  y y  y  z x5  xz  z x  y  z http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com Bài 9: Cho các số thực dương x1, x2, , xn thoả mãn 1    1  x1  x2  xn Chứng minh rằng: x1.x2 xn  (n-1)n Giải:Ta có  x1 1   1      x1  x1   x2  xn  n 1 n 1 (1  x )(1  x ) (1  x ) n  x2 1   1      x2  x2   x1  xn  n 1 n 1 (1  x )(1  x ) (1  x ) n  xn 1   1      xn  xn   x1  xn 1  n 1 n 1 (1  x )(1  x ) (1  x n 1 ) Nhân hai vế n bất đẳng thức trên ta có: x1.x2 .xn  1  x1 1  x2  .1  xn    n  1 n 1 n (1  x1 )(1  x2 )(1  x3 ) (1  xn )  n 1 n  x1.x2 xn  (n-1) Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4 Chứng minh rằng: a b c d    2 2 2 1 b c 1 c d 1 d a 1 a b Giải: Ta có: http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com a ab 2c ab 2c ab c b a.a.c b(a  ac)           a a a a a  b2c  b2c 2 2b c a ba  abc a    b2c Tương tự ta có: b bc  bcd c cd  cda b   c   , ,  c2d  c2d d da  dab d    d 2a Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta có: a b c d     2 2 1 b c 1 c d 1 d a 1 a b abcd   ab  bc  cd  da  abc  bcd  cda  dab  Mặt khác ta có: 42 = (a+b+c+d)2  4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da) hay ab+bc+cd+da  a+b+c+d Tương tự abc+bcd+cda+dab  a+b+c+d a b c d     2 2 1 b c 1 c d 1 d a 1 a b abcd  a  b  c  d  1 ( a  b  c  d )   (điều phải chứng minh) = 2 Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng 3, chứng minh rằng: a2 b2 c2   1 2 a  2b b  2c c  2a Giải: http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com 2  a  b2  c  2 a b c    a  2b2 b  2c c  2a a3  b3  c3   a 2b2  b 2c  c a  Do đó ta cần chứng minh (a2 +b2+c2)2  a3+ b3+ c3+2(a2b2+ c2b2+ a2c2) 4 3 a + b + c  a + b + c Thật 3(a3+ b3+ c3) = (a3+ b3+ c3)(a+b+c)  (a2 +b2+c2)2 2 2  (a +b +c )(1+1+1)  (a+b+c) =9 Do đó a2 +b2+c2  3, suy a3+ b3+ c3  a2 +b2+c2 (a4+ b4+ c4)( a2 +b2+c2)  (a3+ b3+ c3)2  a4+ b4+ c4  a3+ b3+ c3 Dấu đẳng thức xảy và a=b=c=1 Bài 12: Giả sử x  y  z  0, chứng minh rằng: x2 y y z z x    x2  y  z z x y Giải:Từ giả thiết ta có: x2 y y z z x x2 z y x z y      z x y y z x   xy  yz  zx  x  y  y  z  x  z   xyz x2 y y z z x x2 z y x z y       z x y y z x  x y y z z x   x y y z z x  x z y x z y             z x y z x y y z x      Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:  x y y z z x  x z y x z y  2 2      x  y  z      z x y y z x    http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com  x2 y y z z x  2 2 x y z          z x y   x2 y y z z x    x  y  z  x, y , z   z x y 1 Bài 13:Giả sử x, y, z  và x  y  z  , chứng minh rằng: x  y  z  x 1  y 1  z 1 Giải: x 1 y 1 z 1 1    1    Ta có: x y z x y z Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:  x 1 y 1 z 1  x+y+z=( x+y+z)  x  y  z   x   y   z      x  y  z  x 1  y 1  z 1 Dấu đẳng thức xảy và x=y=z=3/2  Bài 14:Chứng minh a, b, c  và abc=1 ta luôn có: 1   1 2a 2b 2c Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 1 a b c 2   1 1 1 1  2a 2b 2c 2a 2b 2c Luôn tồn các số thực dương x, y, z cho a = x/y, b = y/z, c = z/x Khi đó bất đẳng thức trên trở thành: http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com x/ y y/ z z/ x   1 2 x/ y 2 y / z 2 z / x x y z    1 x  2y y  2z z  2x theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  x  y  z x y z    1 x  y y  z z  x x( x  y )  y ( y  z )  z ( z  x) Đẳng thức xảy và x = y = z hay a = b = c= Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a  a  2b b  b  2c c 1 c  2a Giải:Xét các biểu thức: S= a  a  2b b  b  2c c c  2a P  a(a  2a)  b(b  2c)  c(c  2a)  (a  b  c)  Theo bất đẳng thức Holder ta có: S3.P  (a +b +c)4  S3  (a +b +c)2 =  S  Dấu đẳng thức xảy và a = b = c = 1/3 Bài 16: Cho a1, a2, , an dương và có tổng 1, tìm GTNN biếu an a1 a2    thức:  a  a2  an Giải: http://kinhhoa.violet.vn 10 Lop10.com A an a1 a2     a1  a2  an B = a1(1 - a1) + a2(1 – a2) + + an(1 – an) Theo bất đẳng thức Holder ta có : A2B  (a1 + a2 + + an)3 =    a a a   n 1 n 2   Dễ thấy B =1-(a1 + a2 + + an )≤ 1n n đó A  n 1 i  1, n n Đẳng thức xáy = n Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1 1     Chứng minh : x y yz zx Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > ta có ax = – yz   x a Xét hàm số sau f  x   x y 1   yz zx 2x  y  z  x2   x2  yz x  a  x2    x2  a Mặt khác: f  x  yz  x  x x  '   x  1 x  a  x    0, nên f  x  nghịch biến a 1     f x f a   Ta có   a2  a a http://kinhhoa.violet.vn 11 Lop10.com       a  2 a      a a  a  1   a  1     1    f x f     Nên a Dấu đẳng thức xảy và x = y =1, z = các hoán vị http://kinhhoa.violet.vn 12 Lop10.com