Đang tải... (xem toàn văn)
Cách 1 : Viết các biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu.. Ta chứng minh bằng phản chứng.[r]
(1)§1 SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI Chứng minh là số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 ab ab a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : bc ca ab a b c b) Cho a, b, c > Chứng minh : a b c c) Cho a, b > và 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c là các số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b a b Tìm liên hệ các số a và b biết : a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > và abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm các giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 2 2 12 Tìm các số a, b, c, d biết : a + b + c + d = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị nào a và b thì M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ đó 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh không có giá trị nào x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = A x 4x 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : 17 So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : a) 15 và 23 19 và c) 27 b) 17 và d) và 18 Hãy viết số hữu tỉ và số vô tỉ lớn 2 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 21 5 2x x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > và 2x + xy = (2) S 21 Cho 1 1 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 Hãy so sánh S và 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ 23 Cho các số x và y cùng dấu Chứng minh : x y 2 y x a) x y2 x y 0 b) y x y x x y4 x y2 x y 2 c) y x y x y x 24 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) 1 m n với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ b) 25 Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? x y x y2 3 y x 26 Cho các số x và y khác Chứng minh : y x x y2 z2 x y z 2 2 y z x y z x 27 Cho các số x, y, z dương Chứng minh : 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ là số vô tỉ 29 Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : x y x y 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A x 6x 17 x y z A y z x với x, y, z > 33 Tìm giá trị nhỏ : 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không : (3) a a) ab và b là số vô tỉ a b) a + b và b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d 2 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : b c c d d a a b 2 x 2 x 1 2x 39 Chứng minh 40 Cho số nguyên dương a Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh các số đó, tồn hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96 A2 A § HẰNG ĐẲNG THỨC 41 Tìm các giá trị x để các biểu thức sau có nghĩa : A= x G 3x B x 4x C x 2x D 1 x2 E x 2x x 5x x x 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào ? 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M x 4x x 6x 4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81 c) Giải phương trình : 2 43 Giải phương trình : 2x 8x x 4x 12 44 Tìm các giá trị x để các biểu thức sau có nghĩa : A x2 x E 2x x B 1 3x G C 2 9x x x x2 D x 5x H x 2x x x 3x 0 x 45 Giải phương trình : 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B x x 48 So sánh : a) a và b= 1 b) 13 và c) n n và n+1 n (n là số nguyên dương) 49 Với giá trị nào x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 1 6x 9x (3x 1) 31 (4) 50 Tính : a) 4 b) 11 d) A m 8m 16 m 8m 16 c) 27 10 e) B n n n n (n ≥ 1) M 51 Rút gọn biểu thức : 41 45 41 45 41 2 52 Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y) (y 2) (x y z) 0 2 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 25x 20x 25x 30x 54 Giải các phương trình sau : a) x x b) x x x 0 x 2x 1 d) x c) x x x x 0 e) x 4x x 0 h) x 2x x 6x 1 i) k) x x x x 1 g) x x x x x 25 l) 8x 3x 7x 2x 55 Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = và x > y CMR: x y2 2 x y 56 Rút gọn các biểu thức : a) 13 30 b) m m m m c) 57 Chứng minh 58 Rút gọn các biểu thức : a) C 6 3 d) 227 30 123 22 2 2 62 2 2 6 6 3 b) D 9 59 So sánh : a) 20 và 1+ b) 17 12 và 1 c) 28 16 và 2 60 Cho biểu thức : A x x 4x a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn các biểu thức sau : a) 11 10 c) 11 52 62 10 b) 14 (5) 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1 a b2 c2 a b c x 16x 60 x 2 64 Tìm x cho : x x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A 16 x b) B x 8x 2x 1 x 2x A x x 2x x x 2x x x 2x x x 2x 67 Cho biểu thức : a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | 68 Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên số : =5 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 71 Trong hai số : n n và n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn ? 72 Cho biểu thức A Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( 5)( 5)( 5)( 5) 74 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 ; 75 Hãy so sánh hai số : a 3 và b=2 ; 4 ; 2 3 và 1 2 và số 4 Q 2 3 77 Rút gọn biểu thức : 76 So sánh 4 3 7 78 Cho P 14 40 56 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 2 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x y y x 1 80 Tìm giá trị nhỏ và lớn : A x x (6) M 81 Tìm giá trị lớn : a b với a, b > và a + b ≤ 82 CMR các số 2b c ad ; 2c d ab ; 2d a bc ; 2a b cd có ít hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N 18 84 Cho x y z xy yz zx , đó x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > và a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n a b 2 2(a b) ab 86 Chứng minh : (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG (x 2) 8x B ab b a A x b b x 88 Rút gọn : a) b) a 2 2 a 89 Chứng minh với số thực a, ta có : Khi nào có đẳng thức ? 90 Tính : A hai cách 5 và 6,9 b) 91 So sánh : a) 2 2 P 2 2 92 Tính : 13 12 và 7 2x 2 1.3.5 (2n 1) Pn 2.4.6 2n 2n ; n Z+ 94 Chứng minh ta luôn có : 93 Giải phương trình : x 2x x 95 Chứng minh a, b > thì x 96 Rút gọn biểu thức : A= a2 b2 a b b a 4(x 1) x 4(x 1) x 1 x 4(x 1) (7) 97 Chứng minh các đẳng thức sau : b) a b b a : a b ab a b a) 14 15 b) : (a, b > ; a ≠ a a a a c) 1 1 a a a (a > 0) 98 Tính : a) c) 5 29 20 ; b) 13 48 28 16 48 99 So sánh : a) c) 3 48 và 15 18 19 và b) 15 và 12 d) 16 và 25 100 Cho đẳng thức : a a2 b a a2 b a b 2 (a, b > và a2 – b > 0) Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2 2 2 2 2 10 30 2 10 2 : ; b) 3 2 17 12 32 17 12 2 31 101 Xác định giá trị các biểu thức sau : xy x y 1 1 1 1 x a , y b xy x y với 2 a 2 b 2am a bx a bx x , m 1 b) B b m a bx a bx với a) A 2 P(x) (a > ; b > 1) 2x x 3x 4x 102 Cho biểu thức a) Tìm tất các giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > thì P(x).P(- x) < A 103 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A nguyên x 2 x x 24 x 4 1 x2 x b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là số (8) 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) các biểu thức sau: a) x b) x x (x 0) c) x g) 2x 2x e) 3x 106 Rút gọn các biểu thức sau : a) b) x 2x h) 105 Rút gọn biểu thức : A x 2x d) x x 2x x 3 48 10 4 10 10 a b a 2x , ba cách ? c) 94 42 b a a b 94 42 b 107 Chứng minh các đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) i) a a2 b a a2 b a b 2 b) 108 Rút gọn biểu thức : A x 2x x 2x 109 Tìm x và y cho : xy x y a b2 c2 d 110 Chứng minh bất đẳng thức : 2 a c b d a b c a bc 111 Cho a, b, c > Chứng minh : b c c a a b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a b c 3,5 113 CM : a c2 b2 c2 b) a a b b c c a d b d (a b)(c d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A x x A (x a)(x b) x 115 Tìm giá trị nhỏ : 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 2 x upload.123doc.net Giải phương trình : x 117 Tìm giá trị lớn A = x + 119 Giải phương trình : 5x 3x x x x x 2 2 120 Giải phương trình : 3x 21x 18 x 7x 2 121 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 14 4 2x x 122 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : ; 2 123 Chứng minh x x 2 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : (9) a b b c b(a c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a b) a b a b b a 127 Chứng minh với a, b ≥ a b c 2 b c a c a b 128 Chứng minh với a, b, c > 2 129 Cho x y y x 1 Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A x x x x 131 Tìm GTNN, GTLN A x x 2 132 Tìm giá trị nhỏ A x x 2x 2 133 Tìm giá trị nhỏ A x 4x 12 x 2x 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A 2x x b) A x 99 101 x a b 1 x y 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn (a và b là số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx z x y với x, y, z > , x + y + z = 137 Tìm GTNN x2 y2 z2 A x y y z z x biết x, y, z > , xy yz zx 1 138 Tìm GTNN A 139 Tìm giá trị lớn : a) b) B a b a c A a b a d với a, b > , a + b ≤ b c b d c d với a, b, c, d > và a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = A b c cd a b 141 Tìm GTNN 142 Giải các phương trình sau : a) x 5x 3x 12 0 d) x x 2 với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ b) x 4x 8 x e) x x h) x x x x 1 x 1 c) 4x 3x 1 g) x 2x x i) x x x 1 2x (10) k) x2 x x l) 2x 8x x 2x m) x x x o) x x n) x x 10 x x x 1 x 3x p) 2x x 2x 4 2x x 1 x q) 2x 9x 2x 2x 21x 11 § BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI 143 Rút gọn biểu thức : A 2 3 144 Chứng minh rằng, n Z+ , ta luôn có : a) 145 Trục thức mẫu : 146 Tính : a) 5 3 29 20 a 3 147 Cho b 18 1 20 2 10 1 2 n 1 b) b) 13 48 3 2 c) x x 1 5 3 29 12 Chứng minh a là số tự nhiên 32 17 12 17 12 b có phải là số tự nhiên không ? 148 Cho 149 Giải các phương trình sau : a) c) x x 4 x 0 x x 3 x 5 x x b) 2 x 2 1 x 3 d) x x 5 150 Tính giá trị biểu thức : M 12 29 25 21 12 29 25 21 1 1 1 2 3 n 1 n 151 Rút gọn : 1 1 P 2 3 4 2n 2n 152 Cho biểu thức : A a) Rút gọn P b) P có phải là số hữu tỉ không ? 1 1 1 100 99 99 100 153 Tính : 1 1 n n 154 Chứng minh : A n 1 (11) 155 Cho a 17 Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : 157 Chứng minh : a a 1 a 2 x2 x 0 a (a ≥ 3) (x ≥ 0) 158 Tìm giá trị lớn S x y , biết x + y = 159 Tính giá trị biểu thức sau với 160 Chứng minh các đẳng thức sau : a 10 15 2 10 8 d) a) 15 c) 2a 2a : A 2a 2a b) 48 2 1 e) 17 161 Chứng minh các bất đẳng thức sau : 5 5 10 5 5 1 c) 0, 1,01 1 1 2 3 2 3 3 d) 3 2 6 2 2 a) 27 48 e) h) 2 3 b) 21 5 2 162 Chứng minh : 1,9 g) 3 3 n 1 n i) 17 12 31 2 0,8 2 n n n Từ đó suy ra: 1 2005 1006009 2 3 a) 4 163 Trục thức mẫu : 2004 b) 2 3 3 và y= 3 Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 164 Cho 2002 2003 2002 2003 2003 2002 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2 x 3xy y A x y2 166 Tính giá trị biểu thức : với x 3 và y 3 x (12) 167 Giải phương trình : 168 Giải bất các pt : a) 3 5x 72 b) 6x 3 x x x 1 x 10x 14 1 c) 2 2x 4 169 Rút gọn các biểu thức sau : a) A c) C 3 29 12 b) B a a(a 1) a x x2 2x x 1 E 1 2 3 d) D x 5x x x 3x x (x 2) x 24 25 A 170 Tìm GTNN và GTLN biểu thức 2 x2 A x x với < x < 171 Tìm giá trị nhỏ 172 Tìm GTLN : a) A x y biết x + y = ; B a1 a b) y x1 x y 173 Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 So sánh a với b, số nào lớn ? a) A 174 Tìm GTNN, GTLN : 52 6 x b) B x 2x 175 Tìm giá trị lớn A x x 176 Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 177 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = 178 Tìm GTNN, GTLN A x x y y biết 179 Giải phương trình : x y 1 x 1 x x 3x (x 2) 3 x § RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 2 180 Giải phương trình : x 2x 4x 2x 1 1 2 (n 1) n 181 CMR, n Z+ , ta có : 1 1 A 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 Hãy so sánh A và 1,999 182 Cho (13) x y là số hữu tỉ Chứng minh số 183 Cho số x, y và số hữu tỉ 184 Cho a 3 ; b 32 6 3 CMR : a, b là các số hữu tỉ 2 a a 2 a a a a P a a a a 185 Rút gọn biểu thức : (a > ; a ≠ 1) a 1 a 186 Chứng minh : x 2 187 Rút gọn : x ; y là a1 a a 4a a 1 a (a > ; a ≠ 1) 8x x x (0 < x < 2) b ab a b a b a : a b ab b ab a ab 188 Rút gọn : 5a 2 2 x x a x a (a ≠ 0) 189 Giải bất phương trình : 1 a a 1 a a A a : a a a 190 Cho a) Rút gọn biểu thức A a 1 b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị nào a thì | A | = A B 191 Cho biểu thức : a b1 a b b b a ab ab a ab a ab b) Tính giá trị B a 6 a) Rút gọn biểu thức B c) So sánh B với -1 1 a b A : 1 a a b a a b a b 192 Cho a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | = -A c) Tính giá trị A a 5 ; b 2 a 1 A a 193 Cho biểu thức a1 a a a 1 a a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A a 2 c) Tìm giá trị a để A A (14) a a a a a A 2 a a 1 a 1 194 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A để A = - 1 a 1 a 1 a 1 a A : 1 a 1 a 1 a 1 a 195 Thực phép tính : 2 2 B 2 2 196 Thực phép tính : 197 Rút gọn các biểu thức sau : y 1 a) A : xy xy x y x y xy với x 2 ; y 2 x B x x y2 2(x y) c) 1 a x 2 a x x với d) D (a b) E e) 2a x a 1 a ; 0<a<1 1 b 1 c2 với a, b, c > và ab + bc + ca = x 2 x x x x 2x x 198 Chứng minh : với x > y > a x y2 x b) C 1 y x y x 2x 2x x2 x x x x2 2x x x với x ≥ 1 1 ,b 2 199 Cho Tính a7 + b7 200 Cho a a) Viết a2 ; a3 dạng m m , đó m là số tự nhiên a b) Chứng minh với số nguyên dương n, số an viết dạng trên 201 Cho biết x = là nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = với các hệ số hữu tỉ Tìm các nghiệm còn lại 202 Chứng minh n 3 203 Tìm phần nguyên số 1 2 n 2 n với n N ; n ≥ (có 100 dấu căn) (15) 204 Cho a 2 Tính a) 205 Cho số x, y, hữu tỉ a a b) x y là số hữu tỉ Chứng minh số x , y là số 1 1 2 (n 1) n 206 CMR, n ≥ , n N : 1 1 9 a1 a2 a3 a 25 207 Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk : Chứng minh 25 số tự nhiên đó tồn số 2 x 208 Giải phương trình 2 x 2 2 x 2 x 1 x 1 x a x x 209 Giải và biện luận với tham số a x y 2y y z 2z z x 2x 210 Giải hệ phương trình 211 Chứng minh : a) Số b) Số 83 3 có chữ số liền sau dấu phẩy 10 có mười chữ số liền sau dấu phẩy n (n N*), ví dụ : 1 a1 1 ; 1, a 1 ; 1,7 a 2 ; 1 1 a1980 Tính : a1 a a 212 Kí hiệu an là số nguyên gần 213 Tìm phần nguyên các số (có n dấu căn) : b) a n c) a) 2 a 2 a n a n 1996 1996 1996 1996 2 214 Tìm phần nguyên A với n N : A 4n 16n 8n x= 3 200 215 Chứng minh viết số dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 216 Tìm chữ số tận cùng phần nguyên 217 Tính tổng A 24 3 250 (16) § CĂN BẬC BA 218 Tìm giá trị lớn A = x2(3 – x) với x ≥ 219 Giải phương trình : a) x x 2 b) x x 3 a b 220 Có tồn các số hữu tỉ dương a, b không : a) b) a b 221 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) b) 234 a bc abc 222 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với số không âm : a b c d 1 223 Cho a, b, c, d > Biết a b c d Chứng minh : abcd 81 x y2 z2 x y z 2 2 y z x với x, y, z > 224 Chứng minh bất đẳng thức : y z x 3 3 225 Cho a ; b 2 Chứng minh : a < b n 1 1 226 a) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có : n n b) Chứng minh các số có dạng n (n là số tự nhiên), số 3 có giá trị lớn 2 227 Tìm giá trị nhỏ A x x x x 228 Tìm giá trị nhỏ A = x2(2 – x) biết x ≤ 2 229 Tìm giá trị lớn A x x 230 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 – 6) biết ≤ x ≤ 231 Một miếng bìa hình vuông có cạnh dm Ở góc hình vuông lớn, người ta cắt hình vuông nhỏ gấp bìa để cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích hộp là lớn 232 Giải các phương trình sau : a) x 16 x c) e) h) b) 2 x x 1 d) 2x x x x 5x x 3x x 1 x 2 (x 1) (x 1) x 1 3 7 x x 6 x 7 x 3 x g) i) x x x 0 (17) k) x x x 3 l) a x b x a b 2x (a, b là tham số) A a a b2 b4 233 Rút gọn a ab b 2 234 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x x x 235 Xác định các số nguyên a, b cho các nghiệm phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = là 236 Chứng minh là số vô tỉ 237 Làm phép tính : a) 2 b) 3 238 Tính : a 20 14 20 14 3 239 Chứng minh : 2 A 48 28 16 48 240 Tính : 241 Hãy lập phương trình f(x) = với hệ số nguyên có nghiệm là : x 3 x 3 242 Tính giá trị biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với 243 Giải các phương trình : a) b) 3 5 x 25 x 3 x (x 3) 244 Tìm GTNN biểu thức : c) x 32 x 32 3 A x3 x3 1 x3 x 1 245 Cho các số dương a, b, c, d Chứng minh : a + b + c + d ≥ abcd P 246 Rút gọn : 8 x 2 x x2 :2 2 x 3 x x2 x x x 2 x ; x>0,x≠ 3 247 CMR : x 17 17 là nghiệm phương trình x3 – 6x – 10 = x 248 Cho 15 15 Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987 a 249 Chứng minh đẳng thức : 2 9 5 a2 a a 3 2,1 250 Chứng minh bất đẳng thức : (18) 251 Rút gọn các biểu thức sau : A 2 a a b b a ab b2 a) b b) b 8 a a 2a b a b a b C 3 a a ab c) ab b 1 23 4b b b b 24 b 8 3a § BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 2 252 Cho M x 4a x 4x Tính giá trị biểu thức M biết rằng: x 4x x 4x 2 2 2 253 Tìm giá trị nhỏ : P x 2ax a x 2bx b (a < b) 254 Chứng minh rằng, a, b, c là độ dài cạnh tam giác thì : abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) 255 Tìm giá trị biểu thức | x – y | biết x + y = và xy = -1 256 Biết a – b = +1,b–c= - 1, tìm giá trị biểu thức : A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca 257 Tìm x, y, z biết : x y z 2 x y z 258 Cho y x x x x CMR, ≤ x ≤ thì giá trị y là số 259 Phân tích thành nhân tử : M 7 x x3 x2 x (x ≥ 1) 260 Trong tất các hình chữ nhật có đường chéo , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn 261 Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c c ab Chứng minh ta luôn có : 262 Cho các số dương a, b, c, a’, b’, c’ Chứng minh : aa' bb ' cc' (a b c)(a ' b ' c ') thì a b c a' b ' c ' Nếu 263 Giải phương trình : | x2 – | + | x2 – | = 264 Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y : C x y x y xy xy x y x y x y 4xy với x > ; y > (19) 265 Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a: 2 a a a a a a D a a a 1 a c ac B a a c với a > ; a ≠ 1 a c a c ac c ac a ac 266 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị nào a và c để B > ; B < 2mn 2mn A= m+ m 1 2 1+n 1 n n 267 Cho biểu thức : với m ≥ ; n ≥ b) Tìm giá trị A với m 56 24 a) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nhỏ A 1 x 1 x 1 x x D 1 x 1 x 1 x2 1 x2 x x 1 x 1 x 268 Rút gọn x x P : 1 x 1 x x x x x 1 269 Cho a) Rút gọn biểu thức P với x ≥ ; x ≠ b) Tìm x cho P < x2 x 2x x y 1 x x 1 x 270 Xét biểu thức a) Rút gọn y Tìm x để y = c) Tìm giá trị nhỏ y ? b) Giả sử x > Chứng minh : y - | y | = GIẢI BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG I ĐẠI SỐ § SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI Giả sử là số hữu tỉ m m2 hay 7n m 7 n n (tối giản) Suy (1) Đẳng thức này chứng tỏ m 7 mà là số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) và (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có m n2 và vì là số nguyên tố nên n m và n cùng chia hết cho nên phân số n không tối giản, trái giả thiết Vậy không phải là số hữu tỉ; đó là số vô tỉ (20) Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a) b) vì (ad – bc)2 ≥ Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S = x = y = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ mim S = x = y = b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương bc ca bc ab ca ab và ; và ; và a b a c b c , ta có: bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab 2 2c; 2 2b 2 2a a b a b a c a c b c ;b c cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c 3a 5b 3a.5b c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : 12 12 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ max P = Dấu xảy 3a = 5b = 12 : a = ; b = 6/5 Ta có b = – a, đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ Dấu “=” xảy a=½ Vậy M = ¼ a = b = ½ Đặt a = + x b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x = Với a = 1, b = thì a3 + b3 = và a + b = Vậy max N = a = b = Hiệu vế trái và vế phải (a – b)2(a + b) Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 4ab > ab > Vậy a và b là hai số cùng dấu a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥ b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)] ≥ 64abc = 64.1 = Vậy (a + 1)(b + 1) (c + 1) ≥ 10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển và rút gọn, ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) x 2x 1 x 3x 4 2x x 2x x x 2 x 2 11 a) (21) b) x2 – 4x ≤ (x – 2)2 ≤ 33 | x – | ≤ -3 ≤ x – ≤ -1 ≤ x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – (2x – 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên có thể : 2x –1=0 Vậy : x = ½ 12 Viết đẳng thức đã cho dạng : a + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do đó ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998 a b 0 a 0 b 0 Dấu “ = “ xảy có đồng thời : Vậy M = 1998 a = b = 14 Giải tương tự bài 13 15 Đưa đẳng thức đã cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = A 16 1 1 max A= x 2 x 4x x 5 15 16 3 7 Vậy 15 < 17 16 4 7 49 45 17 a) b) 23 19 23 16 23 2.4 5 25 27 3 c) d) Giả sử 2 18 12 18 12 2 Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : 18 Các số đó có thể là 1,42 và 2 19 Viết lại phương trình dạng : 3(x 1) 5(x 1) 16 6 (x 1) Vế trái phương trình không nhỏ 6, còn vế phải không lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 a b ab ab ab viết lại dạng 20 Bất đẳng thức Cauchy (*) (a, b ≥ 0) Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta : 2x xy 2x.xy 4 (22) Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức là x = 1, y = max A = x = 2, y = 2 ab a b Áp dụng ta có S > 21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : 1998 1999 22 Chứng minh bài x y x y2 2 xy 23 a) y x x y2 A x y b) Ta có : (x y) x y 0 2 xy y x Vậy x y x y2 x y x y x y x y y x y x 2xy x y2 A x y Theo câu a : x y x y 1 1 0 y x y x x y4 x y x y 2 0 c) Từ câu b suy : y x y x Vì y x (câu a) Do đó : 4 2 x y x y x y 2 x y x y x y 24 a) Giả sử = m (m : số hữu tỉ) lí) b) Giả sử m + n = a (a : số hữu tỉ) = m2 – n =a–m là số hữu tỉ (vô = n(a – m) là số hữu tỉ, vô lí 25 Có, chẳng hạn (5 2) 5 x y x y2 x y2 a a 2 y x y x y x 26 Đặt Dễ dàng chứng minh nên a2 ≥ 4, đó | a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – + ≥ 3a a2 – 3a + ≥ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ thì (2) đúng Nếu a ≤ -2 thì (2) đúng Bài toán chứng minh 27 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x z y x z x x z y x z y xyz x y2 z 0 Cần chứng minh tử không âm, tức là : x z (x – y) + y x (y – z) + z3y2(z – x) ≥ (1) Biểu thức không đổi hoán vị vòng x y z x nên có thể giả sử x là số lớn Xét hai trường hợp : 3 (23) a) x ≥ y ≥ z > Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ Dễ thấy x – y ≥ , x3 – y2z ≥ , y – z ≥ , yx2 – z3 ≥ nên bất đẳng thức trên đúng b) x ≥ z ≥ y > Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với : x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 2 x y z x y z 1 1 1 3 y z x y z x 28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải là số vô tỉ 29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển và rút gọn ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) Tương tự câu b 30 Giả sử a + b > (a + b)3 > a3 + b3 + 3ab(a + b) > + 3ab(a + b) >8 ab(a + b) > ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 (a – b)2 < 0, vô lí Vậy a + b ≤ 31 Cách 1: Ta có : x ≤ x ; y ≤ y nên x + y ≤ x + y Suy x + y là số nguyên không vượt quá x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, x y là số nguyên lớn không vượt quá x + y (2) Từ (1) và (2) suy : x + y ≤ x y Cách : Theo định nghĩa phần nguyên : ≤ x - x < ; ≤ y - y < Suy : ≤ (x + y) – ( x + y ) < Xét hai trường hợp : - Nếu ≤ (x + y) – ( x + y ) < thì x y = x + y (1) - Nếu ≤ (x + y) – ( x + y ) < thì ≤ (x + y) – ( x + y + 1) < nên x y x y = x + y + (2) Trong hai trường hợp ta có : x + y ≤ 32 Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên tử và mẫu A là các số dương , suy A > đó : A lớn A nhỏ x2 – 6x + 17 nhỏ (24) Vậy max A = x = 33 Không dùng phép hoán vị vòng quanh x y z x và giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : x y z x y z A 33 y z x y z x x y z x y z 3 x y z y z x y z x Do đó x y z x y y z y x y 2 y z x y x z x x y x Cách : Ta có : Ta đã có (do x, y > 0) x y z y z y 3 1 nên để chứng minh y z x ta cần chứng minh : z x x (1) (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) đúng với giả thiết z là số nhỏ số x, y, z, đó (1) đúng Từ đó x y z y z x tìm giá trị nhỏ 34 Ta có x + y = x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥ x2 – 2xy + y2 ≥ Từ đó suy 2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ A = và x = y = 35 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ xyz (1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ (x y)(y z)(z x) (2) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A A ≤ 2 max A = và x = y = z = 36 a) Có thể b, c) Không thể 37 Hiệu vế trái và vế phải (a – b)2(a + b) 38 Áp dụng bất đẳng thức xy (x y) với x, y > : a c a ad bc c 4(a ad bc c ) bc d a (b c)(a d) (a b c d) 2 (1) b d 4(b ab cd d ) (a b c d) Tương tự c d a b (2) (25) a b c d 4(a b c d ad bc ab cd) (a b c d) Cộng (1) với (2) b c c d d a a b = 4B Cần chứng minh B ≥ , bất đẳng thức này tương đương với : 2B ≥ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : đúng 39 - Nếu ≤ x - x < ½ thì ≤ 2x - x < nên 2x = x - Nếu ½ ≤ x - x < thì ≤ 2x - x < ≤ 2x – (2 x + 1) < 2x = x +1 40 Ta chứng minh tồn các số tự nhiên m, p cho : 96 000 00 m chữ số a 15p m m Tức là 96 ≤ 10 10 < 97 ≤ a + 15p < 97000 00 m chữ số (1) Gọi a + 15 là số có k chữ số : 10k – ≤ a + 15 < 10k a 15 a 15p 15 k k 1 xn k k 10 10 Theo (2) ta có x1 < và 10 k < 10 10 10 (2) Đặt Cho n nhận các giá trị 2, 3, 4, …, các giá trị xn tăng dần, lần tăng không quá đơn vị, đó x n trải qua các giá trị 1, 2, 3, … Đến lúc nào đó a 15p k x p k ta có = 96 Khi đó 96 ≤ xp < 97 tức là 96 ≤ 10 10 < 97 Bất đẳng thức (1) chứng minh § CĂN THỨC BẬC HAI - HẰNG ĐẲNG THỨC A2 A 42 a) Do hai vế bất đẳng thức không âm nên ta có : | A + B | ≤ | A | + | B | | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2 A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy AB ≥ b) Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy và (x + 2)(3 – x) ≥ -2 ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M = -2 ≤ x ≤ c) Phương trình đã cho | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x | (2x + 5)(4 – x) ≥ -5/2 ≤ x ≤ x x 5 43 Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥ Đặt ẩn phụ x 4x y 0 , ta : 2y2 – 3y – = (y – 2)(2y + 1) = (26) 45 Vô nghiệm 46 Điều kiện tồn = x là x ≥ Do đó : A = x + x ≥ A = x 47 Điều kiện : x ≤ Đặt x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x x = – y2 13 13 13 11 B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + ≤ max B = y = ½ x = 48 a) Xét a2 và b2 Từ đó suy a = b b) 13 (2 1) Vậy hai số này c) Ta có : n2 n 1 n n 1 và n+1 n n n 1 Mà n n n n nên n+2 n n n 49 A = - | – 3x | + | 3x – |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾ Từ đó suy : A = ¾ x = ½ x = 1/6 51 M = 52 x = ; y = ; z = -3 x 53 P = | 5x – | + | – 5x | ≥ | 5x – + – 5x | = P = 54 Cần nhớ cách giải số phương trình dạng sau : A 0 (B 0) a) A B A B B 0 d) A B A B A B a) Đưa phương trình dạng : b) Đưa phương trình dạng : b) B 0 A B A B A 0 e) A B 0 B 0 A 0 c) A B 0 B 0 A B A B A B 0 d) Đưa phương trình dạng : A B c) Phương trình có dạng : e) Đưa phương trình dạng : | A | + | B | = g, h, i) Phương trình vô nghiệm k) Đặt trái l) Đặt : x = y ≥ 0, đưa phương trình dạng : | y – | + | y – | = Xét dấu vế 8x u 0 ; 3x v 0 ; 7x z 0 ; 2x t 0 u v z t 2 2 Ta hệ : u v z t Từ đó suy : u = z tức là : 8x 7x x 3 (27) 55 Cách : Xét x y 2(x y) x y 2(x y) 2xy (x y 2) 0 x y2 x y2 2 8 x y x y Cách : Biến đổi tương đương (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ (x2 + y2 – 4)2 ≥ Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1 (x y) 2 (x y) x y x y x y x y x y (x > y) Dấu đẳng thức xảy x 6 6 ;y 2 6 6 ;y 2 1 1 1 2(c b a 1 1 2 b c abc ab bc ca a 62 a b c a b c = 1 2 2 a b c Suy điều phải chứng minh = x x 16x 60 0 (x 6)(x 10) 0 x 6 x 0 x 6 x 10 x 10 x 6 63 Điều kiện : Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 x > Nghiệm bất phương trình đã cho : x ≥ 10 64 Điều kiện x2 ≥ Chuyển vế : x 0 x 0 x2 ) ≤ Vậy nghiệm bất phương trình : x = ; x ≥ ; x ≤ -2 Đặt thừa chung : x (1 - x ≤ x2 – (1) x x 2 x 65 Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + = - x2 ≤ Do đó : A2 – 4A + ≤ (A – 1)(A – 3) ≤ ≤ A ≤ A = x = 0, đó y = ± max A = x = 0, đó y = ± 66 a) ½ ≤ x ≠ (28) b) B có nghĩa x 4 x 4 16 x 0 x 4 2 2x (x 4) x 4 2 x 8x 0 x 4 2 x x x 2x 0 x(x 2) 0 x 2 x 2 x x 2x x x 2x 67 a) A có nghĩa b) A = x 2x với điều kiện trên c) A < kq 68 Đặt x 2x < x2 – 2x < (x – 1)2 < - < x – < 0,999 99 20 chữ số 2 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên a là các chữ số Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a < a(a – 1) < a2 – a < a2 < a Từ a2 < a < suy a < a < 0,999 99 0,999 99 20 chữ số 20 chữ số Vậy 69 a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b | A ≤ | x | + + | y | + = + max A = + (khi chẳng hạn x = - 2, y = 3) b) Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b A ≥ | x | - | y | - = - A = - (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70 Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy : x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) Mặt khác, dễ dàng chứng minh : Nếu a + b + c = thì a2 + b2 + c2 ≥ Do đó từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ (2) Từ (1) , (2) : A = x = y = z = § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG (29) 71 Làm bài 8c (§ 2) Thay vì so sánh n2 n n và n+1 ta so sánh n và n n Ta có : n 1 n 1 n n n n 1 n 2 72 Cách : Viết các biểu thức dấu thành bình phương tổng hiệu Cách : Tính A2 suy A 73 Áp dụng : (a + b)(a – b) = a2 – b2 74 Ta chứng minh phản chứng r2 15 a) Giả sử tồn số hữu tỉ r mà = r + 15 + = r2 Vế trái là số vô tỉ, vế phải là số hữu tỉ, vô lí Vậy là số vô tỉ b), c) Giải tương tự 75 a) Giả sử a > b biến đổi tương đương : 3 3 2 3 2 2 3 2 2 27 15 225 128 đúng b) Bình phương hai vế lên so sánh 76 Cách : Đặt A = 4 4 Cách : Đặt B = = 4 4 Vậy a > b là , rõ ràng A > và A2 = A = 7 2 2.B 0 B 2 3 2 3 2.3 2.4 Q 1 2 3 2 3 77 78 Viết 40 2 2.5 ; 56 2 2.7 ; 140 2 5.7 Vậy P = 2 79 Từ giả thiết ta có : x y 1 y x Bình phương hai vế đẳng thức này ta : y x Từ đó : x2 + y2 = 80 Xét A2 để suy : ≤ A2 ≤ Vậy : A = = 81 Ta có : M a b a b a x = ± ; max A = x b 2a 2b 2 a b max M 2 a b a b 1 82 Xét tổng hai số : 2a b cd 2c d ab a b ab c d cd a c = (30) = a c a b c d a c 83 N 18 12 = = 2 2 2 2 2 2 2 2 y y z 2 x z 84 Từ x y z xy yz zx Vậy x = y = z 85 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho và ( i = 1, 2, 3, … n ) x 0 86 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ và ab ≥ 0, ta có : a b ab 2 2(a b) ab hay a b 2 2(a b) ab Dấu “ = “ xảy a = b 87 Giả sử a ≥ b ≥ c > Ta có b + c > a nên b + c + bc > a hay b c Do đó : a b c a Vậy ba đoạn thẳng a , b , c lập thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 88 a) Điều kiện : ab ≥ ; b ≠ Xét hai trường hợp : * Trường hợp : a ≥ ; b > : A A * Trường hợp : a ≤ ; b < : (x 2) 8x 0 x x 0 x b) Điều kiện : b.( a b) b b b2 ab b2 a a b b b a b a 1 b a a 1 b b x x 2 Với các điều kiện đó thì : (x 2) 8x (x 2) x x x x x x x Nếu < x < thì | x – | = -(x – 2) và B = - x Nếu x > thì | x – | = x – và B = x B a b (31) a 2 a 1 89 Ta có : Cauchy: a 1 a 1 2 a 1 1 a 1 a a 1 a 1 a Áp dụng bất đẳng thức a2 2 a 1 Vậy a 1 a 1 2 Đẳng thức xảy : a 0 2x 2x 4 93 Nhân vế pt với , ta : 94 Ta chứng minh qui nạp toán học : 5/2 ≤ x ≤ 1 P1 (*) đúng a) Với n = ta có : 1.3.5 (2k 1) Pk 2.4.6 2k 2k 2k b) Giả sử : (1) c) Ta chứng minh (*) đúng n = k + , tức là : Pk 1 1.3.5 (2k 1) 2.4.6 (2k 2) 2k 2k (2) 2k 2k 2k Với số nguyên dương k ta có : 2k (3) Nhân theo vế các bất đẳng thức (1) và (3) ta bất đẳng thức (2) Vậy n Z+ ta có 1.3.5 (2n 1) Pn 2.4.6 2n 2n 95 Biến đổi tương đương : a b ( a b)(a ab a2 b2 a b b a ab b) x 4(x 1) 0 x 4(x 1) 0 x 4(x 1) 96 Điều kiện : x 0 ab a a b3 a b ab ab b a b 0 1 x x 2 2 A và A= 1 x x-1 Xét trên hai khoảng < x < và x > Kết : 105 Cách : Tính A Cách : Tính A2 Cách : Đặt 2x = y ≥ 0, ta có : 2x – = y2 (đúng) (32) y 2y y y 2 y 2y 2x 2x 2 A (y y 1) 2 Với y ≥ (tức là x ≥ 1), A 2x 2x 2y A (y y 1) y 4x 2 2 Với ≤ y < (tức là ≤ x < 1), 108 Nếu ≤ x ≤ thì A = 2 Nếu x ≥ thì A = x x y x y Bình phương hai vế rút gọn, ta : 2(x y 2) xy Lại bình phương hai vế rút gọn : (2 – y)(x – 2) = 109 Biến đổi : Đáp : x = , y ≥ , x ≥ , y = 110 Biến đổi tương đương : 2 2 (1) a + b + c + d + a a b2 c2 d ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd b2 c2 d ≥ ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) chứng minh * Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với : (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd (ad – bc)2 ≥ (3) Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) chứng minh 111 Cách : Theo bất đẳng thức Cauchy : a2 bc a2 b c a a2 bc 2 2 a a bc bc bc b2 ac c2 ab b ; c ab Tương tự : a c a2 b2 c2 abc abc a b c 2 Cộng vế bất đẳng thức : b c c a a b Cách : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2 Ta có : a 2 b 2 c 2 X b c c a a b bc ca ab ≥ b c a b c c a ab ca ab ≥ bc a2 b2 c2 a2 b2 c2 abc 2(a b c) (a b c) b c ca ab bc ca ab (33) 112 a) Ta nhìn tổng a + dạng tích 1.(a + 1) và áp dụng bđt Cauchy : xy xy (a 1) a 1 2 b c b 1 1 ; c 1 1 2 Tương tự : abc a 1 b 1 c 1 3,5 Cộng vế bất đẳng thức : a 1.(a 1) Dấu “ = ” xảy a + = b + = c + a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = a b c 3,5 Vậy : b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với hai ba số : a b b c c a ab bc ca (1 1)X ab bc ca ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6 C ab bc ca B b c a 113 Xét tứ giác ABCD có AC BD, O là giao điểm hai đường chéo OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > Ta có : O d A AB a2 c2 ; BC b c2 ; AD a2 d ; CD b d AC = a + b ; BD = c + d Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD Thật ta có : AB.BC ≥ 2SABC ; AD.CD ≥ 2SADC Suy : Suy : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD a c b c2 a d b2 d (a b)(c d) Vậy : Chú ý : Giải cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có : 2 2 (a + c )(c + b ) ≥ (ac + cb) Tương tự : a d d b a c2 c2 b2 ≥ ac + cb (1) ≥ ad + bd (2) Cộng (1) và (2) suy đpcm 1 1 A x x x Vaäy A 2 4 114 Lời giải sai : Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) ≥ - , chưa trường hợp xảy f(x) = - D (34) x Xảy dấu đẳng thức và Vô lí x phải có x ≥ Do đó A = x + Lời giải đúng : Để tồn x = x ≥ A = (x a)(x b) x ax + bx + ab ab x (a b) x x x 115 Ta có ab x 2 ab x Theo bất đẳng thức Cauchy : nên A ≥ ab + a + b = A a b a b ab x x x ab x và chi A = 116 Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có : A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2) Vói cách trên ta không số α mà A2 ≤ α Bây giờ, ta viết A2 dạng : A2 = A 2x 3y áp dụng (1) ta có : 2 x y (2 3)(2x 3y ) 5.5 25 x y x y 2x 3y 5 Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ A = -5 x y x y 1 2x 3y max A = 117 Điều kiện x ≤ Đặt x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x 1 9 a 2 y y y max A = y x 2 4 4 upload.123doc.net Điều kiện x ≥ ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 x ≥ Chuyển vế, bình phương hai vế : x – = 5x – + 3x – + 15x 13x 2 (3) Rút gọn : – 7x = 15x 13x Cần có thêm điều kiện x ≤ 2/7 Bình phương hai vế : – 28x + 49x2 = 4(15x2 – 13x + 2) 11x2 – 24x + = (11x – 2)(x – 2) = x1 = 2/11 ; x2 = Cả hai nghiệm không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 119 Điều kiện x ≥ Phương trình biến đổi thành : x 1 x 2 x 1 x 1 (35) * Nếu x > thì : xét x x 1 * Nếu ≤ x ≤ thì : x 1 x 1 x 2 , không thuộc khoảng x 2 Vô số nghiệm ≤ x ≤ Kết luận : ≤ x ≤ 2 120 Điều kiện : x2 + 7x + ≥ Đặt x 7x = y ≥ x2 + 7x + = y2 Phương trình đã cho trở thành : 3y2 – + 2y = 3y2 + 2y – = (y – 1)(3y + 5) = y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có x 7x = x2 + 7x + = (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + ≥ là nghiệm (1) 2 121 Vế trái : 3(x 1) 5(x 1) 5 Vế phải : – 2x – x2 = – (x + 1)2 ≤ Vậy hai vế 5, đó x = - Với giá trị này hai bất đẳng thức này trở thành đẳng thức Kết luận : x = - = a (a : hữu tỉ) - = a2 là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ Vô lí Vậy là số vô tỉ 122 a) Giả sử 3 6 a2 Vế phải b) Giải tương tự câu a x = b, ta có a2 + b = Sẽ chứng minh a + b ≤ Cộng a2 b2 A a ; b 2 vế bất đẳng thức : 123 Đặt x = a, b 124 Đặt các đoạn thẳng BH = a, HC = c trên đường thẳng c a Kẻ HA BC với AH = b Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH B 125 Bình phương hai vế rút gọn, ta bất đẳng thức tương đương : (ad – bc)2 ≥ Chú ý : Cũng có thể chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki 126 Giả sử a ≥ b ≥ c > Theo đề bài : b + c > a Suy : b + c + bc > a b c a b c a Vậy ba đoạn thẳng có độ dài b , c , a lập thành tam giác 127 Ta có a, b ≥ Theo bất đẳng thức Cauchy : (a b)2 a b a b 1 1 a b ab a b 2 2 1 ab a b ≥ a b b a Xét hiệu hai vế : Cần chứng minh : C (36) 1 ab a b 2 ab a b = ab a b a b = = 2 1 1 ab a b 2 ≥ Xảy dấu đẳng thức : a = b = a = b = bc bca bc 1 : a 2a a 128 Theo bất đẳng thức Cauchy : Do đó : a 2a b c a b c Tương tự : Cộng vế : b 2b ; ac abc c 2c ab abc a b c 2(a b c) 2 bc ca ab abc a b c b c a a b c 0 c a b Xảy dấu đẳng thức : , trái với giả thiết a, b, c > Vậy dấu đẳng thức không xảy 129 Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ta có : x y2 y x2 x y y x Đặt x + y = m, ta : ≤ m(2 - m) (m – 1) ≤ m = (đpcm) 2 2 2 Cách : Từ giả thiết : x y 1 y x Bình phương hai vế : 2 x2(1 – y2) = – 2y x + y2(1 – x2) x2 = – 2y x + y2 2 = (y - x )2 y = x x2 + y2 = 130 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ≤ x ≤ 2 131 Xét A2 = + x Do ≤ x ≤ ≤ + x ≤ ≤ A2 ≤ A = với x = ± , max A = với x = 132 Áp dụng bất đẳng thức : a2 b2 c2 d (a c)2 (b d)2 (bài 23) A x2 12 (1 x)2 22 (x x)2 (1 2)2 10 1 x A 10 2 x x (x 2)(6 x) 0 x 4x 12 0 x 3 (x 1)(3 x) x 2x 133 Tập xác định : (1) Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > (37) A2 (x 2)(6 x) (x 1)(3 x) Xét : Hiển nhiên A2 ≥ dấu “ = ” không xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) + = (x 1)(6 x) (x 2)(3 x) 3 A2 ≥ Do A > nên A = với x = 134 a) Điều kiện : x2 ≤ * Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : A2 = (2x + x )2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = 25 A2 ≤ 25 x 0 x x A 25 x 4(5 x ) x 2 x 5 x 5 Với x = thì A = Vậy max A = với x = * Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, không xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ≤ - ≤ x ≤ Do đó : 2x ≥ - và x ≥ Suy : A = 2x + x ≥ - Min A = - với x = - b) Xét biểu thức phụ | A | và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacôpxki và Cauchy : A x 99 99 101 x x (99 1)(99 101 x ) x 10 200 x x 200 x 10 1000 x 101 99 99 A 1000 x 10 101 x x 200 x Do đó : - 1000 < A < 1000 A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10 a b ay bx b x y a x y x y 135 Cách : A = x + y = 1.(x + y) = ay bx ay bx 2 2 ab x y x y Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : (38) Do đó A a b ab A a b a b ay bx x y a b 1 x y x, y với x a ab y b ab Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : a b a b A (x y).1 (x y) x y x y x y a b Từ đó tìm giá trị nhỏ A 136 A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z) 2 A = chẳng hạn y = z = , x = - xy yz xy yz 2 2y z x z x 137 Theo bất đẳng thức Cauchy : yz zx zx xy 2z ; 2x y z Tương tự : x y Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = A = với x = y = z = x y2 z2 x yz 138 Theo bài tập 24 : x y y z z x Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz zx xy yz zx x+y+z xy ; yz ; zx nên 2 2 2 1 x y z A = 139 a) A a b a b a b 2a 2b 2 a b max A 2 a b a b 1 b) Ta có : a b a b a b 2(a b 6ab) (39) Tương tự : c d a c b c 4 6bc) ; d 2(a c 6ac) ; a d 2(b c b 2(a d 6ad) 2(b d 6bd) 2(c d 6cd) Suy : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ a b c d max B 6 a b c d a b c d 1 x y x y xy 140 A 3 2 3 2 2 18 A = 18 với x = y = 141 Không tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy : bc A a bcd b c bc c c a b c d c d c d cd a b cd cd a b 2(c d) c d a b Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : xy y y x y x y x y 1 2 2 2y y x 2y x 2y x 2y x 2 A d 0 , x y , b c a d ; chẳng hạn A a 1, b 1,c 2,d 0 2 142 a) (x 3) ( x 3) 0 Đáp số : x = b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + 2 c) Đáp số : x = 20 d) x 2 x Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm x x 1 x Bình phương hai vế Đáp số : x = e) Chuyển vế : g) Bình phương hai vế Đáp số : ≤ x ≤ y y x h) Đặt = y Đưa dạng y y y y 1 i) Chuyển vế : x x 1 = Chú ý đến bất đẳng thức : Tìm ≤ y ≤ Đáp số : ≤ x ≤ 11 x , bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x 16 = 25 ) 16 k) Đáp số : 25 l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương hai vế rút gọn : (40) 2(x 1) (x 3)(x 1) x Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = x 25 loại Nghiệm là : x = ± m) Vế trái lớn x, vế phải không lớn x Phương trình vô nghiệm n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm là : x = - o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, đó x = 1, thỏa mãn phương trình p) Đặt 2x x y ; 2x x z (1) Ta có : y z 1 x ; y z 1 x Suy y – z = Từ đó z x (2) Từ (1) và (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1) q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b ≥ Phương trình là : a b a 15b ;5 Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : § BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI 144 Ta có : 2 k k k k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 1 2( 1) 2( 2) 2( n Vậy : = 2( n 1) (đpcm) k 2 k 1 3) 2( n k n) = 150 Đưa các biểu thức dấu dạng các bình phương đúng M = -2 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = 152 Ta có : a a 1 n - ( a a 1) P ( 2n 1) P không phải là số hữu tỉ (chứng minh phản chứng) 1 (n 1) n n n n 153 Ta hãy chứng minh : 1 1 1 n n n n 154 A 10 n 1 155 Ta có a + = 17 Biến đổi đa thức ngoặc thành tổng các lũy thừa số a+1 A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 (41) = (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 156 Biến đổi : a a 1 a a1 a 3 a 2 a 2 1 1 x x x x 0 2 2 157 1 x và x 2 Dấu “ = “ không xảy vì không thể có đồng thời : 1 x x x x ; a 2 2 158 Trước hết ta chứng minh : a b 2(a b ) (*) (a + b ≥ 0) Áp dụng (*) ta có : S x y 2(x y 2) x x y max S x y 4 y 5 * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy 170 Ta phải có A ≤ Ta có : Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : x2 x 0 B 2 A x2 x 2 max A 2 B 2 x x 0 Khi đó 2 max B x x Khi đó A = 2x x B 1 x x Khi đó : 171 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : 2 2x x (1) 2x x B 2 2 B 2 1 x x 1 x x 0 x (2) Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 x = – x Do < x < nên x = – x 21 x= Như B = 2 x = - 2x x 2x x 2 3 x 1 x x 1 x 1 A B 1 x x Bây ta xét hiệu : Do đó A = 2 + và x = - 172 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : (42) a b ab Ở đây ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a b 2(a b ) A x y 2(x y 3) x y x 1,5 max A x y 4 y 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : ab a b x , y là các tích : 2(y 2) x 1.(x 1) , y x 1.(x 1) x 1 x 2x Theo bất đẳng thức Cauchy : x Ta xem các biểu thức y 2.(y 2) y 2 y y 2y 2 x 1 x 2 2 max B 4 y 2 y 4 1 ,b 1997 1996 1998 1997 Ta thấy 173 1997 1996 1998 1997 a Nên a < b 174 a) A = - với x = max A = với x = ± b) B = với x = ± max B = với x = x (1 x ) A x (1 x ) 2 175 Xét – ≤ x ≤ thì A ≤ Xét ≤ x ≤ thì x 1 x 2 max A x 2 x 2 176 A = x – y ≥ 0, đó A lớn và chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki : 1 A (x y) 1.x 2y (x 4y ) 4 2 (43) 2y x max A = x 2 x 4y 1 y 10 x y 10 177 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : x x 0 x 1 x y3 x y 1 y y 0 y 1 x x max A 1 x 0, y 1 V x 1, y 0 y y b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = x + y ≤ đó : x y x xy 1 Do y3 x y (x y3 )(x y) Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 2 2 y x3 y3 x x x y3 y = (x + y ) = 2 A x y 2 179 Đặt x a ; y b , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = a = b = x = x = 1, y = (a b) 1 1 ab ab 3ab A x y 4 4 4 Ta có 180 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : x 3 x (x 1)(x 2) 3 x 3 x x (x 1)(x 2) x x (x 1)(x 2) § RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 181 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt có dạng : x 2x = y ≥ 0, phương trình y 3 y - y - 12 = (y - )(y + 2 ) = y 2 (loai vì y 0 (44) Do đó x 2x = x2 + 2x + = 18 (x – 3)(x + 5) = x = ; x = -5 182 Ta có : 1 1 k k k (k 1)k (k 1) k k 1 k k 1 k k 1 1 2 k 1 k k 1 (k 1) k k = Do đó : k k 1 k 1 1 1 1 2 (n 1) n 2 n Vậy : 1 2 n = (đpcm) 183 Dùng bất đẳng thức Cauchy ab a b n 1 (a, b > ; a ≠ 0) y = b (1) thì a, b Q a) Nếu b = thì x = y = 0, đó x , y Q x y a a x y b x y b x + 184 Đặt x – y = a , b) Nếu b ≠ thì Từ (1) và (2) : 190 Nhận xét : Q 1 a x b Q ; 2 b x2 a2 x 5a 2 x x2 a Do a ≠ nên : x2 a 1 a y b Q 2 b x a x a Do đó : (1) x x a x a x x x x x 0 x a 5 Vì : (1) (2) x2 a2 x x2 a x x2 a2 x a x , x x 0 x a x 5x 3 x a x 25x 9x 9a Suy : x 0 x a 0 x a (45) x 198 c) Trước hết tính x theo a 2a a(1 a) Sau đó tính x a(1 a) Đáp số : B = d) Ta có a + = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 2 199 Gọi vế trái là A > Ta có A2 2x x Suy điều phải chứng minh 1 2 2 200 Ta có : a + b = - , ab = - nên : a + b = (a + b) – 2ab = + 17 4 2 2 a + b = (a + b ) – 2a b = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - 4 17 239 1 64 Do đó : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = 64 2 201 a) a ( 1) 3 2 a ( 1)3 2 5 50 b) Theo khai triển Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + N 49 )n = A + B với A, B Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n Nếu n chẵn thì A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ thì A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn thì : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) * Nếu n lẻ thì : an = ( - 1)n = - (1 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) 202 Thay a = )n = B - A = A2 2B2 2B2 Điều kiện A Điều kiện vào phương trình đã cho : 2 + 2a + b + c = (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = đó 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình đã cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình đã cho là: ± 203 Đặt A 1 n và - a (46) a) Chứng minh A n : Làm giảm số hạng A : 2 2 k k k k 1 k k 1 k A n n Do đó 2 n 1 2 n 2 n n b) Chứng minh A n : Làm trội số hạng A : 2 2 k k k k k k k1 A n n 2 n Do đó : 204 Kí hiệu a n có n dấu Ta có : a1 ; a a1 3 ; a a 3 a100 a 99 3 Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, đó [ a100 ] = 205 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có 48 nên < < 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 thì x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 thì y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức là < y < Do đó 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức là [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 206 Đặt x – y = a ; a) Nếu b ≠ thì x y b x y a x y b (1) thì a và b là số hữu tỉ Xét hai trường hợp : x y a b là số hữu tỉ (2) Từ (1) và (2) ta có : 1 a 1 a x b y b 2 b là số hữu tỉ ; 2 b là số hữu tỉ b) Nếu b = thì x = y = 0, hiển nhiên x , y là số hữu tỉ n 1 n n n(n 1) n n (n 1) n n n n 207 Ta có n n n 2 n 1 n n 1 n 1 Từ đó ta giải bài toán 208 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào Không tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … (47) a25 ≥ 25 Thế thì : 1 1 1 a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 1 25 24 25 25 24 24 2 2 2 2 25 24 24 23 24 24 23 23 2 2 25 9 1 9 a1 a2 a 25 Từ (1) và (2) suy : 25 số a1 , a2 , … , a25 209 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt , trái với giả thiết Vậy tồn hai số x a 0 ; Ta có : ab = x , a2 + b2 = Phương trình là : a2 - a2b + b2 + ab2 = (2) x b 0 a2 b2 2 a 2 b (2 - b + a - ab) (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) a–b= (chú ý : a2 + b2 = 4) (do ab + ≠ 0) Bình phương : a2 + b2 – 2ab = 2ab = ab = =3 x = Tìm x 210 Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : 1 x2 a1 a 1 a Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối cùng : x = a Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm là x = a a Với a ≥ 211 Nếu x = thì y = 0, z = Tương tự y và z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > Từ hệ phương trình đã cho ta có : 2y 2y x y 1 y y Tương tự y z ; z x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” các bất đẳng thức trên với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 212 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh bài toán, cần tìm số B cho < B < 10 và A + B là số tự nhiên (48) Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > vì > Ta có + > 10 suy : 83 7 8 107 107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a là số tự nhiên B 107 và A + B là số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy Do Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a n là số tự nhiên, n khác số chính n không có dạng ,5 Do đó ứng với số n 213 Ta thấy với n là số chính phương thì phương thì n là số vô tỉ, nên N* có số nguyên an gần n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … thì an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận các giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1 x 1 2 có hai nghiệm tự nhiên 1 2 x 2 2 có bốn nghiệm tự nhiên 1 3 x 3 2 có sáu nghiệm tự nhiên 1 k x k 2 có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức Tổng quát : 1 tương đương với : k2 – k + < x < k2 + k + Rõ ràng bất phương trình này có 1 2k nghiệm tự nhiên là : k2 – k + ; k2 – k + ; … ; k2 + k Do đó : 1 1 1 1 1 1 2.44 88 a1 a2 a1980 1 2 2 2 44 44 44 soá 88 soá soá 214 Giải tương tự bài 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = 2 c) Ta thấy : 44 = 1936 < 1996 < 2025 = 45 , còn 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ thì 45 < an < 46 Như với n = thì [ an ] = 44, với n ≥ thì [ an ] = 45 215 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm và làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp (49) 16n 8n < 4n + Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 4n + < 2 4n2 + 4n + < 4n2 + 16n 8n < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + (2n + 1)2 < 4n2 + 16n 8n < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 216 Để chứng minh bài toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y là số tự nhiên có tận cùng (2) y= 3 200 Ta chọn Ta có < < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) chứng minh Bây ta chứng minh x + y là số tự nhiên có tận cùng Ta có : xy 3 200 3 200 52 100 5 100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A và b có tổng 10, tích nên chúng là nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức là : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức là Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 - Sn+1 (mod 10) Do đó Sn+4 - Sn+2 Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + )0 + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn là số tự nhiên, và S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận cùng 2, tức là tổng x + y là số tự nhiên có tận cùng Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) và (2) suy điều phải chứng minh 217 Biến đổi 3 250 52 125 Phần nguyên nó có chữ số tận cùng (Giải tương tự bài 36) 218 Ta có : A 15 16 24 Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, các số thuộc nhóm 2, các số thuộc nhóm 3, các số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 (50)