Chương trình học kỳ 2 - Môn Toán (Khối 12)

4 Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm.. 5 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần...[r]

(1)

SỞ GD−ĐT AN GIANG TRUYỀN HÌNH AN GIANG HƯỚNG DẪN HỌC TẬP QUA TRUYỀN HÌNH

CHƯƠNG TRÌNH HỌC KỲ 2 − MƠN TỐN KHỐI 12

Chương NGUYÊN HÀM − TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§1 NGUN HÀM − §2 TÍCH PHÂN

(2)

§1 NGUYÊN HÀM

1 Định nghĩa nguyên hàm. Tính chất nguyên hàm.

(3)

1 Định nghĩa nguyên hàm.

2 Tính chất nguyên hàm.

(4)

(5)

3 Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp.

(6)

3 Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp. Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm.

(7)

(8)

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm sốf(x)xác định trênK Hàm sốF(x)được gọi lànguyên hàm hàm sốf(x)trênK F0(x)=f(x),với x∈K (K khoảng, đoạn, nửa khoảng tậpR)

Ví dụ 1.

* Do(sinx)0=cosxnêny=sinxlà nguyên hàm hàm sốy=cosx. *y=x2+3 ngun hàm hàm sốy=2xvì ¡

x2+3¢0

=2x

NếuF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)trênKthìF(x)+C,C∈Rlà họ tất nguyên hàm hàmf(x)trênK Kí hiệu

Z

(9)

Ví dụ 1.

* Do(sinx)0=cosxnêny=sinxlà nguyên hàm hàm sốy=cosx. *y=x2+3 nguyên hàm hàm sốy=2xvì ¡

x2+3¢0

=2x

Z

(10)

Ví dụ 1.

* Do(sinx)0=cosxnêny=sinxlà nguyên hàm hàm sốy=cosx.

*y=x2+3 nguyên hàm hàm sốy=2xvì ¡

x2+3¢0

=2x

NếuF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)trênKthìF(x)+C,C∈Rlà họ tất ngun hàm hàmf(x)trênK Kí hiệu

Z

(11)

Ví dụ 1.

x2+3¢0

=2x

Z

(12)

Ví dụ 1.

x2+3¢0

=2x

NếuF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)trênKthìF(x)+C,C∈Rlà họ tất ngun hàm hàmf(x)trênK Kí hiệu

Z

(13)

2 Tính chất

Z

f0(x)dx=f(x)+C

Hay

Z

d¡

f(x)¢

=f(x)+C.

Z

k.f(x)dx=k

Z

f(x)dx+C (k∈R)

3

Z £

f(x)g(x)Ô

dx=

Z

f(x)dx

Z

g(x)dx

(14)

2 Tính chất

Z

f0(x)dx=f(x)+C.Hay

Z

d¡

f(x)¢

=f(x)+C.

2

Z

k.f(x)dx=k

Z

f(x)dx+C (kR)

3

Z Ê

f(x)g(x)Ô

dx=

Z

f(x)dx±

Z

g(x)dx

(15)

2 Tính chất

Z

f0(x)dx=f(x)+C.Hay

Z

d¡

f(x)¢

=f(x)+C.

Z

k.f(x)dx=k

Z

f(x)dx+C (k∈R)

3

Z Ê

f(x)g(x)Ô

dx=

Z

f(x)dx±

Z

g(x)dx

(16)

2 Tính chất

Z

f0(x)dx=f(x)+C.Hay

Z

d¡

f(x)¢

=f(x)+C.

Z

k.f(x)dx=k

Z

f(x)dx+C (k∈R)

3

Z Ê

f(x)g(x)Ô

dx=

Z

f(x)dx

Z

g(x)dx

(17)

2 Tính chất

Z

f0(x)dx=f(x)+C.Hay

Z

d¡

f(x)¢

=f(x)+C.

Z

k.f(x)dx=k

Z

f(x)dx+C (k∈R)

3

Z £

f(x)g(x)Ô

dx=

Z

f(x)dx

Z

g(x)dx

(18)

3 Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp *Chú ý:Nếu

Z

f(x)dx=F(x)+Cthì vớik6=0 d(kx+b)=kdxta có

Z

f(kx+b)dx=1

k

Z

f(kx+b)d(kx+b)hay

Z

f(kx+b)dx=1

k·F(kx+b)+C

Nguyên hàm hàm sơ cấp bản Nguyên hàm mở rộng,k∈R\ {0}

1

Z

0dx=C

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

Z

(kx+b)αdx=1

k·

(kx+b)α+1

α+1 +C

Z 1

xdx=ln|x| +C

Z 1

kx+bdx= k·ln

¯ ¯kx+b

¯ ¯+C

4

Z

axdx= a

x

lna+C

Z

akx+bdx=1

k· akx+b

lna +C

Z

exdx=ex+C

Z

ekx+bdx=1

k·e

kx+b

(19)

Z

f(kx+b)dx=1

k

Z

f(kx+b)d(kx+b)

hay

Z

f(kx+b)dx=1

k·F(kx+b)+C

1

Z

0dx=C

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

Z

(kx+b)αdx=1

k·

(kx+b)α+1

α+1 +C

Z 1

xdx=ln|x| +C

Z 1

kx+bdx= k·ln

¯ ¯kx+b

¯ ¯+C

4

Z

axdx= a

x

lna+C

Z

akx+bdx=1

k· akx+b

lna +C

Z

exdx=ex+C

Z

ekx+bdx=1

k·e

kx+b

(20)

Z

f(kx+b)dx=1

k

Z

f(kx+b)d(kx+b)hay

Z

f(kx+b)dx=1

k·F(kx+b)+C

1

Z

0dx=C

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

Z

(kx+b)αdx=1

k·

(kx+b)α+1

α+1 +C

Z 1

xdx=ln|x| +C

Z 1

kx+bdx= k·ln

¯ ¯kx+b

¯ ¯+C

4

Z

axdx= a

x

lna+C

Z

akx+bdx=1

k· akx+b

lna +C

Z

exdx=ex+C

Z

ekx+bdx=1

k·e

kx+b

(21)

Z

f(kx+b)dx=1

k

Z

f(kx+b)d(kx+b)hay

Z

f(kx+b)dx=1

k·F(kx+b)+C

1

Z

0dx=C

2

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

Z

(kx+b)αdx=1

k·

(kx+b)α+1

α+1 +C

Z 1

xdx=ln|x| +C

Z 1

kx+bdx= k·ln

¯ ¯kx+b

¯ ¯+C

4

Z

axdx= a

x

lna+C

Z

akx+bdx=1

k· akx+b

lna +C

Z

exdx=ex+C

Z

ekx+bdx=1

k·e

kx+b

(22)

Z

f(kx+b)dx=1

k

Z

f(kx+b)d(kx+b)hay

Z

f(kx+b)dx=1

k·F(kx+b)+C

1

Z

0dx=C

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

Z

(kx+b)αdx=1

k·

(kx+b)α+1

α+1 +C

3

Z 1

xdx=ln|x| +C

Z 1

kx+bdx= k·ln

¯ ¯kx+b

¯ ¯+C

4

Z

axdx= a

x

lna+C

Z

akx+bdx=1

k· akx+b

lna +C

Z

exdx=ex+C

Z

ekx+bdx=1

k·e

kx+b

(23)

Z

f(kx+b)dx=1

k

Z

f(kx+b)d(kx+b)hay

Z

f(kx+b)dx=1

k·F(kx+b)+C

1

Z

0dx=C

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

Z

(kx+b)αdx=1

k·

(kx+b)α+1

α+1 +C

Z 1

xdx=ln|x| +C

Z 1

kx+bdx= k·ln

¯ ¯kx+b

¯ ¯+C

4

Z

axdx= a

x

lna+C

Z

akx+bdx=1

k· akx+b

lna +C

Z

exdx=ex+C

Z

ekx+bdx=1

k·e

kx+b

(24)

Z

f(kx+b)dx=1

k

Z

f(kx+b)d(kx+b)hay

Z

f(kx+b)dx=1

k·F(kx+b)+C

1

Z

0dx=C

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

Z

(kx+b)αdx=1

k·

(kx+b)α+1

α+1 +C

Z 1

xdx=ln|x| +C

Z 1

kx+bdx= k·ln

¯ ¯kx+b

¯ ¯+C

4

Z

axdx= a

x

lna+C

Z

akx+bdx=1

k· akx+b

lna +C

5

Z

exdx=ex+C

Z

ekx+bdx=1

k·e

kx+b

(25)

Z

f(kx+b)dx=1

k

Z

f(kx+b)d(kx+b)hay

Z

f(kx+b)dx=1

k·F(kx+b)+C

1

Z

0dx=C

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

Z

(kx+b)αdx=1

k·

(kx+b)α+1

α+1 +C

Z 1

xdx=ln|x| +C

Z 1

kx+bdx= k·ln

¯ ¯kx+b

¯ ¯+C

4

Z

axdx= a

x

lna+C

Z

akx+bdx=1

k· akx+b

lna +C

Z

exdx=ex+C

Z

ekx+bdx=1

k·e

kx+b

(26)

Nguyên hàm hàm sơ cấp bản Nguyên hàm mở rộng,k∈R

Z

cosxdx=sinx+C

Z

cos(kx+b)dx=1

k·sin(kx+b)+C

7

Z

sinxdx= −cosx+C

Z

sin(kx+b)dx= −1

k·cos(kx+b)+C

Z 1

cos2xdx=tanx+C

Z 1

cos2(kx+b)dx=

1

k·tan(kx+b)+C

Z 1

sin2xdx= −cotx+C

Z 1

sin2(kx+b)dx= −

1

(27)

Z

cosxdx=sinx+C

Z

cos(kx+b)dx=1

k·sin(kx+b)+C

Z

sinxdx= −cosx+C

Z

sin(kx+b)dx= −1

k·cos(kx+b)+C

8

Z 1

cos2xdx=tanx+C

Z 1

cos2(kx+b)dx=

1

k·tan(kx+b)+C

Z 1

sin2xdx= −cotx+C

Z 1

sin2(kx+b)dx= −

1

(28)

Z

cosxdx=sinx+C

Z

cos(kx+b)dx=1

k·sin(kx+b)+C

Z

sinxdx= −cosx+C

Z

sin(kx+b)dx= −1

k·cos(kx+b)+C

Z 1

cos2xdx=tanx+C

Z 1

cos2(kx+b)dx=

k·tan(kx+b)+C

9

Z 1

sin2xdx= −cotx+C

Z 1

sin2(kx+b)dx= −

1

(29)

Z

cosxdx=sinx+C

Z

cos(kx+b)dx=1

k·sin(kx+b)+C

Z

sinxdx= −cosx+C

Z

sin(kx+b)dx= −1

k·cos(kx+b)+C

Z 1

cos2xdx=tanx+C

Z 1

cos2(kx+b)dx=

k·tan(kx+b)+C

Z 1

sin2xdx= −cotx+C

Z 1

sin2(kx+b)dx= −

1

(30)

Ví dụ 2.

Tìm nguyên hàm hàm sốf(x)=

3x+2

Lời giải Ta có

Z

f(x)dx=

Z 1

3x+2dx=

3·ln|3x+2| +C Ví dụ 3.

Tìm nguyên hàm hàm sốf(x)=2x

2−5 x+1 Lời giải

Ta cóf(x)=2x

2−5

x+1 =2x−2−

x+1 Do

Z 2x2−5

x+1 dx=x

(31)

Ví dụ 2.

3x+2 Lời giải

Ta có

Z

f(x)dx

=

Z 1

3x+2dx=

3·ln|3x+2| +C Ví dụ 3.

Ta cóf(x)=2x

2−5

x+1 =2x−2−

x+1 Do

Z 2x2−5

x+1 dx=x

(32)

Ví dụ 2.

Ta có

Z

f(x)dx=

Z 1

3x+2dx

=1

3·ln|3x+2| +C Ví dụ 3.

Tìm ngun hàm hàm sốf(x)=2x

Ta cóf(x)=2x

2−5

x+1 =2x−2−

x+1 Do

Z 2x2−5

x+1 dx=x

(33)

Ví dụ 2.

Tìm ngun hàm hàm sốf(x)=

Ta có

Z

f(x)dx=

Z 1

3x+2dx=

3·ln|3x+2| +C

Ví dụ 3.

Ta cóf(x)=2x

2−5

x+1 =2x−2−

x+1 Do

Z 2x2−5

x+1 dx=x

(34)

Ví dụ 2.

Ta có

Z

f(x)dx=

Z 1

3x+2dx=

3·ln|3x+2| +C Ví dụ 3.

2−5 x+1

Lời giải Ta cóf(x)=2x

2−5

x+1 =2x−2−

x+1 Do

Z 2x2−5

x+1 dx=x

(35)

Ví dụ 2.

Ta có

Z

f(x)dx=

Z 1

3x+2dx=

3·ln|3x+2| +C Ví dụ 3.

Ta cóf(x)=2x

2−5

x+1 =2x−2− x+1

Do

Z 2x2−5

x+1 dx=x

(36)

Ví dụ 2.

Ta có

Z

f(x)dx=

Z 1

3x+2dx=

3·ln|3x+2| +C Ví dụ 3.

Ta cóf(x)=2x

2−5

x+1 =2x−2−

x+1 Do

Z 2x2−5

x+1 dx=x

(37)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx=

Z 1−sin2x

sin2x dx=

Z µ 1

sin2x−1

¶

dx= −cotx−x+C

Nếu sử dụng cơng thức 1+cot2x=

sin2x ta có cách giải sau:

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

(38)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx

=

Z 1−sin2x

sin2x dx=

Z µ 1

sin2x−1

¶

dx= −cotx−x+C

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

(39)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx=

Z 1−sin2x

sin2x dx

=

Z µ 1

sin2x−1

¶

dx= −cotx−x+C

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

(40)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx=

Z 1−sin2x

sin2x dx=

Z 1

sin2x1

ả

dx

= −cotx−x+C

Nếu sử dụng công thức 1+cot2x=

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

(41)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx=

Z 1−sin2x

sin2x dx=

Z 1

sin2x1

ả

dx= −cotx−x+C

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

(42)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx=

Z 1−sin2x

sin2x dx=

Z µ 1

sin2x−1

¶

dx= −cotx−x+C

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

(43)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx=

Z 1−sin2x

sin2x dx=

Z µ 1

sin2x−1

¶

dx= −cotx−x+C

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx

=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

(44)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx=

Z 1−sin2x

sin2x dx=

Z µ 1

sin2x−1

¶

dx= −cotx−x+C

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

1 dx

(45)

Ví dụ 4.

Tính nguyên hàm

Z

cot2xdx.

Z

cot2xdx=

Z cos2x

sin2xdx=

Z 1−sin2x

sin2x dx=

Z µ 1

sin2x−1

¶

dx= −cotx−x+C

Z

cot2xdx=

Z ³

cot2x+1−1´dx=

Z ³

cot2x+1´dx−

Z

(46)

Ví dụ 5.

GọiF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=cos5xcosxthỏa mãnF³π

´

=0 TínhF³π

6

´

Lời giải Ta có : F(x)=

Z

(cos5xcosx)dx=1

2

Z

(cos6x+cos4x)dx=

12sin6x+

8sin4x+C. Theo giả thiết ta có :F³π

3

´

=0⇔− p

3

16 +C=0⇔C=

p

3 16 VậyF(x)=

12sin6x+

8sin4x+

p

3 16 ⇒F

³π

6

´

= p

(47)

Ví dụ 5.

´

=0 TínhF³π

6

´

Z

(cos5xcosx)dx

=1

2

Z

(cos6x+cos4x)dx=

12sin6x+

3

´

=0⇔− p

3

16 +C=0⇔C=

p

3 16 VậyF(x)=

12sin6x+

8sin4x+

p

3 16 ⇒F

³π

6

´

= p

(48)

Ví dụ 5.

´

=0 TínhF³π

6

´

Z

(cos5xcosx)dx=1

2

Z

(cos6x+cos4x)dx

=

12sin6x+

3

´

=0⇔− p

3

16 +C=0⇔C=

p

3 16 VậyF(x)=

12sin6x+

8sin4x+

p

3 16 ⇒F

³π

6

´

= p

(49)

Ví dụ 5.

´

=0 TínhF³π

6

´

Z

(cos5xcosx)dx=1

2

Z

(cos6x+cos4x)dx=

12sin6x+

8sin4x+C.

Theo giả thiết ta có :F³π

´

=0⇔− p

3

16 +C=0⇔C=

p

3 16 VậyF(x)=

12sin6x+

8sin4x+

p

3 16 ⇒F

³π

6

´

= p

(50)

Ví dụ 5.

´

=0 TínhF³π

6

´

Z

(cos5xcosx)dx=1

2

Z

(cos6x+cos4x)dx=

12sin6x+

3

´

=0⇔− p

3

16 +C=0⇔C=

p

3 16

VậyF(x)=

12sin6x+

8sin4x+

p

3 16 ⇒F

³π

6

´

= p

(51)

Ví dụ 5.

´

=0 TínhF³π

6

´

Z

(cos5xcosx)dx=1

2

Z

(cos6x+cos4x)dx=

12sin6x+

3

´

=0⇔− p

3

16 +C=0⇔C=

p

3 16 VậyF(x)=

12sin6x+

8sin4x+

p

3 16

⇒F³π

´

= p

(52)

Ví dụ 5.

´

=0 TínhF³π

6

´

Z

(cos5xcosx)dx=1

2

Z

(cos6x+cos4x)dx=

12sin6x+

3

´

=0⇔− p

3

16 +C=0⇔C=

p

3 16 VậyF(x)=

12sin6x+

8sin4x+

p

3 16 ⇒F

³π

6

´

= p

(53)

Ví dụ 6.

Một nguyên hàm hàm sốf(x)=x(3x+2)là

A. 3x3+2x2+1 B.x3+2x2+1 C.x3−x2+1 D.x3+x2+1

Lời giải

Z

x(3x+2)dx=

Z ³

(54)

Ví dụ 6.

A. 3x3+2x2+1 B.x3+2x2+1 C.x3−x2+1 D.x3+x2+1 Lời giải

Z

x(3x+2)dx=

Z ³

3x2+2x´dx

(55)

Ví dụ 6.

Z

x(3x+2)dx=

Z ³

3x2+2x´dx=x3+x2+C.

(56)

Ví dụ 6.

Z

x(3x+2)dx=

Z ³

3x2+2x´dx=x3+x2+C ChọnC=1

(57)

Ví dụ 6.

Z

x(3x+2)dx=

Z ³

(58)

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 Phương pháp đổi biến số

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cthì

Z

f(t(x))t0(x)dx=F(t(x))+C. Các bước giải theo PP đổi biến số

* Để tính nguyên hàmI=

Z

g(x)dx, ta thực bước:

+ Bước 1: Phân tíchg(x)dx=f[t(x)]t0(x)dx

+ Bước 2: Đặtt=t(x) (hoặc đặtt=a·t(x)+btuỳ vào cụ thể)

+ Bước 3: Lấy vi phân củattheox, ta dt=t0(x)dx.

+ Bước 4: Thay t=t(x)và dt=t0(x)dxvào

Z

f(t(x))·t0(x)dx

+ Bước 5: Giải nguyên hàm

Z

(59)

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cthì

Z

f(t(x))t0(x)dx=F(t(x))+C

Các bước giải theo PP đổi biến số * Để tính nguyên hàmI=

Z

f(t(x))·t0(x)dx

Z

(60)

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cthì

Z

f(t(x))·t0(x)dx

Z

(61)

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cthì

Z

+ Bước 1: Phân tíchg(x)dx=f[t(x)]t0(x)dx.

Z

f(t(x))·t0(x)dx

Z

(62)

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cthì

Z

f(t(x))·t0(x)dx

Z

(63)

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cthì

Z

f(t(x))·t0(x)dx

Z

(64)

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cthì

Z

f(t(x))·t0(x)dx

Z

(65)

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cthì

Z

f(t(x))·t0(x)dx

Z

(66)

1 Phương pháp đổi biến số Ví dụ 7.

Tìm họ nguyên hàm hàm sốf(x)=x(x+1)2020

Lời giải

Xét họ nguyên hàmI=

Z

x(x+1)2020dx Đặtt=x+1 dt=dxvà x=t−1 Khi I=

Z

(t−1)t2020dt=

Z ³

t2021−t2020´dt= t

2022 2022−

t2021 2021+C. Vậy họ nguyên hàm hàm sốf(x)=x(x+1)2020

Z

f(x)dx=(x+1)

2022 2022 −

(x+1)2021

(67)

Tìm họ nguyên hàm hàm sốf(x)=x(x+1)2020 Lời giải

Z

x(x+1)2020dx

Đặtt=x+1 dt=dxvà x=t−1 Khi I=

Z

(t−1)t2020dt=

Z ³

t2021−t2020´dt= t

2022 2022−

Z

f(x)dx=(x+1)

2022 2022 −

(x+1)2021

(68)

Tìm họ ngun hàm hàm sốf(x)=x(x+1)2020 Lời giải

Z

x(x+1)2020dx Đặtt=x+1 dt=dxvà x=t−1

Khi I=

Z

(t−1)t2020dt=

Z ³

t2021−t2020´dt= t

2022 2022−

Z

f(x)dx=(x+1)

2022 2022 −

(x+1)2021

(69)

Z

(t−1)t2020dt=

Z ³

t2021−t2020´dt

= t

2022 2022−

Z

f(x)dx=(x+1)

2022 2022 −

(x+1)2021

(70)

Tìm họ ngun hàm hàm sốf(x)=x(x+1)2020 Lời giải

Z

(t−1)t2020dt=

Z ³

t2021−t2020´dt= t

2022 2022−

t2021 2021+C.

Vậy họ nguyên hàm hàm sốf(x)=x(x+1)2020

Z

f(x)dx=(x+1)

2022 2022 −

(x+1)2021

(71)

Z

(t−1)t2020dt=

Z ³

t2021−t2020´dt= t

2022 2022−

Z

f(x)dx=(x+1)

2022 2022 −

(x+1)2021

(72)

Tính

Z

cosxsin3xdx

Lời giải

Đặtt=sinxthì dt=cosxdx

Thay vào tích phân cho ta

Z

cosxsin3xdx=

Z

t3dt= t 4 +C. Vậy

Z

cosxsin3xdx=sin

4x +C.

*Chú ý:Ta trình bày vi phân sau:

Z

cosxsin3xdx=

Z

sin3xd(sinx)=sin

(73)

Tính

Z

cosxsin3xdx

Lời giải

Z

cosxsin3xdx=

Z

t3dt= t 4 +C. Vậy

Z

cosxsin3xdx=sin

4x +C.

Z

cosxsin3xdx=

Z

sin3xd(sinx)=sin

(74)

Tính

Z

cosxsin3xdx

Lời giải

Z

cosxsin3xdx=

Z

t3dt= t 4 +C.

Vậy

Z

cosxsin3xdx=sin

4x +C.

Z

cosxsin3xdx=

Z

sin3xd(sinx)=sin

(75)

Tính

Z

cosxsin3xdx

Lời giải

Z

cosxsin3xdx=

Z

t3dt= t 4 +C. Vậy

Z

cosxsin3xdx=sin

4x +C.

Z

cosxsin3xdx=

Z

sin3xd(sinx)=sin

(76)

Tính

Z

cosxsin3xdx

Lời giải

Z

cosxsin3xdx=

Z

t3dt= t 4 +C. Vậy

Z

cosxsin3xdx=sin

4x +C.

Z

cosxsin3xdx=

Z

sin3xd(sinx)=sin

(77)

1 Phương pháp đổi biến số Một số cách đổi biến số

Dạng tích phân Biểu thức cần đặtt

Z

f(sinx) cosxdx Đặtt=sinx

Z

f(cosx) sinxdx Đặtt=cosx

Z f(tanx)

cos2x dx Đặtt=tanx

Z f(cotx)

(78)

Z

Z f(tanx)

Z f(cotx)

(79)

Z

Z f(tanx)

Z f(cotx)

(80)

Z

Z f(tanx)

Z f(cotx)

(81)

Dạng nguyên hàm Biểu thức cần đặtt

Z α·u0(x)

u(x) dx Đặtt=u(x)

Z

f³eu(x)´·u0(x)dx Đặtt=u(x)hoặct=eu(x)

Z

f³pn u(x)

´

·u0(x)dx Đặtt=pn u(x)

Z

f(lnx)·dx

x Đặtt=lnx

(82)

Z α·u0(x)

Z

f³pn u(x)

´

Z

f(lnx)·dx

x Đặtt=lnx

(83)

Z α·u0(x)

Z

f³pn u(x)

´

Z

f(lnx)·dx

x Đặtt=lnx

(84)

Z α·u0(x)

Z

f³pn u(x)

´

Z

f(lnx)·dx

x Đặtt=lnx

(85)

Z α·u0(x)

Z

f³pn u(x)

´

Z

f(lnx)·dx

x Đặtt=lnx

(86)

Biết

Z

f(x)dx=2xln(3x−1)+C Tìm họ nguyên hàm

Z

f(3x)dx

Lời giải

Đặtt=3x, ta có dt=3 dx⇒

3dt=dx Khi

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(t)dt=1

3[2tln(3t−1)]+C=

3[2·3xln(3·3x−1)]+C. Vậy

Z

f(3x)dx=2xln(9x−1)+C. Dùng vi phân

Ta có

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(3x)d(3x)=1

(87)

Biết

Z

f(3x)dx

Lời giải

3dt=dx

Khi

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(t)dt=1

3[2tln(3t−1)]+C=

3[2·3xln(3·3x−1)]+C. Vậy

Z

Ta có

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(3x)d(3x)=1

(88)

Biết

Z

f(3x)dx

Lời giải

3dt=dx Khi

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(t)dt

=1

3[2tln(3t−1)]+C=

3[2·3xln(3·3x−1)]+C. Vậy

Z

Ta có

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(3x)d(3x)=1

(89)

Biết

Z

f(3x)dx

Lời giải

3dt=dx Khi

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(t)dt=1

3[2tln(3t−1)]+C

=1

3[2·3xln(3·3x−1)]+C. Vậy

Z

Ta có

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(3x)d(3x)=1

(90)

Biết

Z

f(3x)dx

Lời giải

3dt=dx Khi

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(t)dt=1

3[2tln(3t−1)]+C=

3[2·3xln(3·3x−1)]+C.

Vậy

Z

Ta có

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(3x)d(3x)=1

(91)

Biết

Z

f(3x)dx

Lời giải

3dt=dx Khi

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(t)dt=1

3[2tln(3t−1)]+C=

3[2·3xln(3·3x−1)]+C. Vậy

Z

f(3x)dx=2xln(9x−1)+C.

Dùng vi phân Ta có

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(3x)d(3x)=1

(92)

Biết

Z

f(3x)dx

Lời giải

3dt=dx Khi

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(t)dt=1

3[2tln(3t−1)]+C=

3[2·3xln(3·3x−1)]+C. Vậy

Z

Ta có

Z

f(3x)dx=1

3

Z

f(3x)d(3x)=1

(93)

2 Phương pháp tính nguyên hàm phần Công thức

Nếu hai hàm sốu=u(x)vàv=v(x)có đạo hàm liên tục trênK

Z

u(x).v0(x)dx=u(x)v(x)−

Z

u0(x)v(x)dx

Hay

Z

udv=uv− Z

(94)

2 Phương pháp tính nguyên hàm phần Công thức

Nếu hai hàm sốu=u(x)vàv=v(x)có đạo hàm liên tục trênK

Z

u(x).v0(x)dx=u(x)v(x)−

Z

u0(x)v(x)dx

Hay

Z

udv=uv− Z

(95)

2 Phương pháp tính ngun hàm phần Ví dụ 10.

Tìm họ nguyên hàm hàm sốf(x)=xsinx.

Lời giải Đặt

½u

=x

dv=sinxdx; Chọn

½du

=dx v= −cosx

Z

xsinxdx= −xcosx−

Z

(−cosx)dx= −xcosx+sinx+C. Vậy

Z

(96)

2 Phương pháp tính nguyên hàm phần Ví dụ 10.

Tìm họ nguyên hàm hàm sốf(x)=xsinx. Lời giải

Đặt

½u

=x

dv=sinxdx;

Chọn

½du

=dx v= −cosx

Z

(97)

Tìm họ ngun hàm hàm sốf(x)=xsinx. Lời giải

Đặt

½u

=x

dv=sinxdx; Chọn

½du

=dx v= −cosx

Z

(98)

2 Phương pháp tính ngun hàm phần Ví dụ 10.

Đặt

½u

=x

dv=sinxdx; Chọn

½du

=dx v= −cosx

Z

(−cosx)dx

= −xcosx+sinx+C. Vậy

Z

(99)

Đặt

½u

=x

dv=sinxdx; Chọn

½du

=dx v= −cosx

Z

(−cosx)dx= −xcosx+sinx+C.

Vậy

Z

(100)

Tìm họ ngun hàm hàm sốf(x)=xsinx. Lời giải

Đặt

½u

=x

dv=sinxdx; Chọn

½du

=dx v= −cosx

Z

(101)

2 Phương pháp tính nguyên hàm phần Chú ý

Khi tính

Z

f(x)dxbằng phương pháp nguyên hàm phần ta cần ý đặt u,dv thỏa yêu cầu sau:

* u·dv=f(x)dx

* Chọn đượcvtừ

Z

dv=v+C.

* Nguyên hàm

Z

vduđơn giản

Z

f(x)dx

Vì

Z

f(x)dx=

Z

udv=uv−

Z

(102)

Khi tính

Z

* u·dv=f(x)dx

Z

dv

=v+C.

* Nguyên hàm

Z

vduđơn giản

Z

f(x)dx

Vì

Z

f(x)dx=

Z

udv=uv−

Z

(103)

Khi tính

Z

* u·dv=f(x)dx

Z

dv=v+C.

* Nguyên hàm

Z

vduđơn giản

Z

f(x)dx

Vì

Z

f(x)dx=

Z

udv=uv−

Z

(104)

Khi tính

Z

* u·dv=f(x)dx

Z

dv=v+C.

* Nguyên hàm

Z

vduđơn giản

Z

f(x)dx

Vì

Z

f(x)dx=

Z

udv=uv−

Z

(105)

Khi tính

Z

* u·dv=f(x)dx

Z

dv=v+C.

* Nguyên hàm

Z

vduđơn giản

Z

f(x)dx

Vì

Z

f(x)dx=

Z

udv=uv−

Z

(106)

2 Phương pháp tính nguyên hàm phần

Các dạng tính nguyên hàm phần thường gặp

Dạng nguyên hàm Cách đặtu,dv

I =

Z

P(x) sin(ax+b)dx, đóP(x)là đa thức

Đặt

½u

=P(x)

dv=sin(ax+b)dx

I =

Z

P(x) cos(ax+b)dx, đóP(x)là đa thức

Đặt

½u

=P(x)

(107)

I =

Z

Đặt

½u

=P(x)

dv=sin(ax+b)dx

I =

Z

Đặt

½u

=P(x)

(108)

I =

Z

Đặt

½u

=P(x)

dv=sin(ax+b)dx

I =

Z

Đặt

½u=P(x)

(109)

I =

Z

P(x)eax+bdx, P(x)là đa thức

Đặt

(

u=P(x)

dv=eax+bdx

I =

Z

P(x) ln (mx+n)dx, đóP(x)là đa thức

Đặt

½u

=ln (mx+n)

(110)

I =

Z

P(x)eax+bdx, P(x)là đa thức

Đặt

(

u=P(x)

dv=eax+bdx

I =

Z

P(x) ln (mx+n)dx, đóP(x)là đa thức

Đặt

½u=ln (mx+n)

(111)

§2 TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa tích phân. Tính chất tích phân.

(112)

§2 TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa tích phân.

2 Tính chất tích phân.

(113)

§2 TÍCH PHÂN

(114)

§2 TÍCH PHÂN

3 Phương pháp đổi biến số để tính tích phân.

(115)

§2 TÍCH PHÂN

(116)

I ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 1 Định nghĩa

Chof(x)là hàm số liên tục đoạn[a;b] Giả sửF(x)là nguyên hàm f(x)trên đoạn[a;b]

Hiệu sốF(b)−F(a)được gọi làtích phântừađếnbcủa hàm sốf(x), ký hiệu

b

Z

a

f(x)dxhayF(x)

¯ ¯ ¯

b a

b Z

a

f(x)dx=F(x)

¯ ¯ ¯ b

a=F(b)−F(a)

Ta gọi

b

Z

a

là dấu tích phân,a cận dưới,blà cận trên,f(x)dxlà biểu thức

(117)

b

Z

a

f(x)dxhayF(x)

¯ ¯ ¯

b a

b Z

a

f(x)dx=F(x)

¯ ¯ ¯ b

a=F(b)−F(a)

Ta gọi

b

Z

a

(118)

b

Z

a

f(x)dxhayF(x)

¯ ¯ ¯

b a

b Z

a

f(x)dx=F(x)

¯ ¯ ¯ b

a=F(b)−F(a)

Ta gọi

b

Z

a

(119)

b

Z

a

f(x)dxhayF(x)

¯ ¯ ¯

b a

b Z

a

f(x)dx=F(x)

¯ ¯ ¯ b

a=F(b)−F(a)

Ta gọi

b

Z

a

(120)

b

Z

a

f(x)dxhayF(x)

¯ ¯ ¯

b a

b Z

a

f(x)dx=F(x)

¯ ¯ ¯ b

a=F(b)−F(a)

Ta gọi

b

Z

a

là dấu tích phân,alà cận dưới, blà cận trên,f(x)dxlà biểu thức

(121)

Chú ý

1 Trong trường hợp a=bhoặca>b, ta quy ước

a

Z

a

f(x)dx=0;

b

Z

a

f(x)dx= −

a

Z

b

f(x)dx

2 Tích phân hàm sốf từa đếnbcó thể ký hiệu

b

Z

a

f(x)dxhay

b

Z

a

f(t)dt

(122)

Chú ý

1 Trong trường hợp a=bhoặca>b, ta quy ước

a

Z

a

f(x)dx=0;

b

Z

a

f(x)dx= −

a

Z

b

f(x)dx

2 Tích phân hàm sốf từađến bcó thể ký hiệu

b

Z

a

f(x)dxhay

b

Z

a

f(t)dt

(123)

Ý nghĩa hình học tích phân

Nếu hàm số f(x) liên tục không âm đoạn

[a;b],

b

Z

a

f(x)dx diện tích S hình thang

cong giới hạn đồ thị f(x), trục Ox hai đường thẳng

x=a,x=b.

S=

b

Z

a

f(x)dx

x y

O

S

b a

(124)

Nếu hàm số f(x) liên tục khơng âm đoạn

[a;b],

b

Z

a

x=a,x=b.

S=

b

Z

a

f(x)dx

x y

O

S

b a

(125)

Nếu hàm số f(x) liên tục khơng âm đoạn

[a;b],

b

Z

a

x=a,x=b.

S=

b

Z

a

f(x)dx

x y

O

S

b a

(126)

Tính chất

b

Z

a

k.f(x)dx=k

b

Z

a

f(x)dx

2

b

Z

a

[f(x)±g(x)]dx=

b

Z

a

f(x)dx±

b

Z

a

g(x)dx

3

b

Z

a

f(x)dx=

c

Z

a

f(x)dx+

b

Z

c

(127)

Tính chất

b

Z

a

k.f(x)dx=k

b

Z

a

f(x)dx

2

b

Z

a

[f(x)±g(x)]dx=

b

Z

a

f(x)dx±

b

Z

a

g(x)dx

3

b

Z

a

f(x)dx=

c

Z

a

f(x)dx+

b

Z

c

(128)

Tính chất

b

Z

a

k.f(x)dx=k

b

Z

a

f(x)dx

2

b

Z

a

[f(x)±g(x)]dx=

b

Z

a

f(x)dx±

b

Z

a

g(x)dx

3

b

Z

a

f(x)dx=

c

Z

a

f(x)dx+

b

Z

c

(129)

Ví dụ 11. Tính tích phân

1

Z

0

¡

x3+2x2+1¢

dx

Lời giải

1

Z

0

¡

x3+2x2+1¢

dx=

³x4

4 +2 x3

3 +x

´¯ ¯ ¯

1 0=

³14

4 +2 13

3 +1

´

−

³04

4 +2 03

3 +0

´

=23

(130)

1

Z

0

¡

x3+2x2+1¢

dx

Lời giải

1

Z

0

¡

x3+2x2+1¢

dx=

³x4

4 +2 x3

3 +x

´¯ ¯ ¯

1

=

³14

4 +2 13

3 +1

´

−

³04

4 +2 03

3 +0

´

=23

(131)

1

Z

0

¡

x3+2x2+1¢

dx

Lời giải

1

Z

0

¡

x3+2x2+1¢

dx=

³x4

4 +2 x3

3 +x

´¯ ¯ ¯

1 0=

³14

4 +2 13

3 +1

´

−

³04

4 +2 03

3 +0

´

=23

(132)

1

Z

0

¡

x3+2x2+1¢

dx

Lời giải

1

Z

0

¡

x3+2x2+1¢

dx=

³x4

4 +2 x3

3 +x

´¯ ¯ ¯

1 0=

³14

4 +2 13

3 +1

´

−

³04

4 +2 03

3 +0

´

=23

(133)

Ví dụ 12.

Chof(x)liên tục trênR Biết

Z

1

f(x)dx=3

Z

1

f(x)dx=7 TínhI=

5

Z

3

2f(x)dx

A.I=4 B.I=6 C.I=8 D.I=14

Lời giải Xét

5

Z

1

f(x)dx=

3

Z

1

f(x)dx+

5

Z

3

f(x)dx=7⇒

Z

2

f(x)dx=7−3=4

VậyI=

5

Z

3

2f(x)dx=8

(134)

Ví dụ 12.

Z

1

f(x)dx=3

Z

1

f(x)dx=7 TínhI=

5

Z

3

2f(x)dx

A.I=4 B.I=6 C.I=8 D.I=14 Lời giải

Xét

Z

1

f(x)dx=

3

Z

1

f(x)dx+

5

Z

3

f(x)dx

=7⇒

Z

2

f(x)dx=7−3=4

VậyI=

5

Z

3

2f(x)dx=8

(135)

Ví dụ 12.

Z

1

f(x)dx=3

Z

1

f(x)dx=7 TínhI=

5

Z

3

2f(x)dx

Xét

Z

1

f(x)dx=

3

Z

1

f(x)dx+

5

Z

3

f(x)dx=7

⇒

5

Z

2

f(x)dx=7−3=4

VậyI=

5

Z

3

2f(x)dx=8

(136)

Ví dụ 12.

Z

1

f(x)dx=3

Z

1

f(x)dx=7 TínhI=

5

Z

3

2f(x)dx

Xét

Z

1

f(x)dx=

3

Z

1

f(x)dx+

5

Z

3

f(x)dx=7⇒

5

Z

2

f(x)dx=7−3=4

VậyI=

5

Z

3

2f(x)dx=8

(137)

Ví dụ 12.

Z

1

f(x)dx=3

Z

1

f(x)dx=7 TínhI=

5

Z

3

2f(x)dx

Xét

Z

1

f(x)dx=

3

Z

1

f(x)dx+

5

Z

3

f(x)dx=7⇒

5

Z

2

f(x)dx=7−3=4

VậyI=

5

Z

3

2f(x)dx=8

(138)

Ví dụ 12.

Z

1

f(x)dx=3

Z

1

f(x)dx=7 TínhI=

5

Z

3

2f(x)dx

Xét

Z

1

f(x)dx=

3

Z

1

f(x)dx+

5

Z

3

f(x)dx=7⇒

5

Z

2

f(x)dx=7−3=4

VậyI=

5

Z

3

2f(x)dx=8

(139)

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1 Phương pháp đổi biến số

Nếu

Z

f(t)dt=F(t)+Cvàt=t(x)là hàm số có đạo hàm liên tục đoạn[a;b]thì

b

Z

a

f(t(x))t0(x)dx=

t(b)

Z

t(a)

f(t)dt=F¡

t(b)¢

−F¡

t(a)¢

(140)

Các bước giải theo PP đổi biến số dạng 1 * Để tính tích phânI=

b

Z

a

+ Bước 2: Đặtt=t(x), lấy vi phân củat theox, ta dt=t0(x)dx.

+ Bước 3: Đổi cận:

½x

=a⇒t=t(a)

x=b⇒t=t(b) + Bước 4: Khi đó:

b

Z

a

g(x)dx=

t(b)

Z

t(a)

f(t)dt

(141)

b

Z

a

½x

=a⇒t=t(a)

b

Z

a

g(x)dx=

t(b)

Z

t(a)

f(t)dt

(142)

b

Z

a

½x

=a⇒t=t(a)

b

Z

a

g(x)dx=

t(b)

Z

t(a)

f(t)dt

(143)

b

Z

a

½x

=a⇒t=t(a)

x=b⇒t=t(b)

+ Bước 4: Khi đó:

b

Z

a

g(x)dx=

t(b)

Z

t(a)

f(t)dt

(144)

b

Z

a

½x

=a⇒t=t(a)

b

Z

a

g(x)dx=

t(b)

Z

t(a)

f(t)dt

(145)

b

Z

a

½x

=a⇒t=t(a)

b

Z

a

g(x)dx=

t(b)

Z

t(a)

f(t)dt

(146)

Ví dụ 13.

Tính tích phânI=

π

Z

0

cos3xdx

Lời giải

Phân tíchcos3xdx=cos2x·cosxdx Màcosxdx=d(sinx)vàcos2x=1−sin2x. NênI=

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

(1−sin2x) cosxdx Đặtt=sinx⇒dt=cosxdx

Đổi cận:x=0→t=sin0=0; x=π

2→t=1 I=

Z

0

³

1−t2´dt=

Ã

t−t

3 ! ¯ ¯ ¯ 0=

Dùng vi phânI=

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

(1−sin2x)d(sinx)=

Ã

sinx−sin

(147)

Ví dụ 13.

Tính tích phânI=

π

Z

0

cos3xdx

Lời giải

Phân tíchcos3xdx=cos2x·cosxdx Màcosxdx=d(sinx)vàcos2x=1−sin2x.

NênI=

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

2→t=1 I=

Z

0

³

1−t2´dt=

Ã

t−t

3 ! ¯ ¯ ¯ 0=

Dùng vi phânI=

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

(1−sin2x)d(sinx)=

Ã

sinx−sin

(148)

Ví dụ 13.

Tính tích phânI=

π

Z

0

cos3xdx

Lời giải

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

2→t=1 I=

Z

0

³

1−t2´dt=

Ã

t−t

3 ! ¯ ¯ ¯ 0=

Dùng vi phânI=

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

(1−sin2x)d(sinx)=

Ã

sinx−sin

(149)

Ví dụ 13.

Tính tích phânI=

π

Z

0

cos3xdx

Lời giải

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

2→t=1

I=

1

Z

0

³

1−t2´dt=

Ã

t−t

3 ! ¯ ¯ ¯ 0=

Dùng vi phânI=

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

(1−sin2x)d(sinx)=

Ã

sinx−sin

(150)

Ví dụ 13.

Tính tích phânI=

π

Z

0

cos3xdx

Lời giải

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

2→t=1 I=

Z

0

³

1−t2´dt=

Ã

t−t

3 ! ¯ ¯ ¯ 0=

Dùng vi phânI=

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

(1−sin2x)d(sinx)=

Ã

sinx−sin

(151)

Ví dụ 13.

Tính tích phânI=

π

Z

0

cos3xdx

Lời giải

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

2→t=1 I=

Z

0

³

1−t2´dt=

Ã

t−t

3 ! ¯ ¯ ¯ 0=

Dùng vi phânI=

π

Z

0

cos3xdx=

π

Z

0

(1−sin2x)d(sinx)=

Ã

sinx−sin

(152)

Ví dụ 14.

Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục R có đồ thị hình bên Tính tích phânI=

2

Z

0

f0(2x−1)dx A.I= −2 B.I= −1 C.I=1 D.I=2

x y

O

−2

2

−1

Lời giải Ta có:I=

2

Z

0

f0(2x−1)dx=1

2

Z

0

f0(2x−1)d(2x−1)=1

2f(2x−1)

¯ ¯ ¯

2 0=

1

Ê

f(3)f(1)Ô

=2

(153)

Ví dụ 14.

2

Z

0

f0(2x−1)dx A.I= −2 B.I= −1 C.I=1 D.I=2

x y

O

−2

2

−1

2

Z

0

f0(2x−1)dx=1

2

Z

0

f0(2x−1)d(2x−1)=

1

2f(2x−1)

¯ ¯ ¯

2 0=

1

Ê

f(3)f(1)Ô

=2

(154)

Ví dụ 14.

2

Z

0

f0(2x−1)dx A.I= −2 B.I= −1 C.I=1 D.I=2

x y

O

−2

2

−1

2

Z

0

f0(2x−1)dx=1

2

Z

0

f0(2x−1)d(2x−1)=1

2f(2x−1)

¯ ¯ ¯

2

=1

2

Ê

f(3)f(1)Ô

=2

(155)

Ví dụ 14.

2

Z

0

f0(2x−1)dx A.I= −2 B.I= −1 C.I=1 D.I=2

x y

O

−2

2

−1

2

Z

0

f0(2x−1)dx=1

2

Z

0

f0(2x−1)d(2x−1)=1

2f(2x−1)

¯ ¯ ¯

2 0=

1

Ê

f(3)f(1)Ô

=2

(156)

Ví dụ 14.

2

Z

0

f0(2x−1)dx A.I= −2 B.I= −1 C.I=1 D.I=2

x y

O

−2

2

−1

2

Z

0

f0(2x−1)dx=1

2

Z

0

f0(2x−1)d(2x−1)=1

2f(2x−1)

¯ ¯ ¯

2 0=

1

Ê

f(3)f(1)Ô

=2

(157)

Ví dụ 14.

2

Z

0

f0(2x−1)dx A.I= −2 B.I= −1 C.I=1 D.I=2

x y

O

−2

2

−1

2

Z

0

f0(2x−1)dx=1

2

Z

0

f0(2x−1)d(2x−1)=1

2f(2x−1)

¯ ¯ ¯

2 0=

1

Ê

f(3)f(1)Ô

=2

(158)

thi THPTQG năm 2019−Câu 26. Cho 55 Z 16 dx

xpx+9=aln2+bln5+cln11 vớia,b,clà số hữu tỉ Mệnh đề đúng?

A.a+b=c. B.a+b=3c C.a−b= −c. D.a−b= −3c

Lời giải

Đặtt=px+9⇒t2=x+9⇒2tdt=dx Đổi cận

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(159)

Đề thi THPTQG năm 2019−Câu 26. Cho 55 Z 16 dx

A.a+b=c. B.a+b=3c C.a−b= −c. D.a−b= −3c Lời giải

Đặtt=px+9

⇒t2=x+9⇒2tdt=dx Đổi cận

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(160)

Đặtt=px+9⇒t2=x+9

⇒2tdt=dx Đổi cận

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(161)

Đặtt=px+9⇒t2=x+9⇒2tdt=dx

Đổi cận

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(162)

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(163)

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t

=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(164)

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9

=1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(165)

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 

=2

3ln2+ 3ln5−

1 3ln11

(166)

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(167)

½x

=16⇒t=5 x=55⇒t=8

55

Z

16 dx xpx+9=

8

Z

5

2tdt

(t2−9)t=2

Z

5 dt t2−9=

1   Z dt t−3−

8

Z

5 dt t+3

 =

2 3ln2+

1 3ln5−

1 3ln11

(168)

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1 Phương pháp đổi biến số dạng 2

Cho hàm sốf(x)liên tục đoạn [a;b] Giả sử hàm sốx=ϕ(t)có đạo hàm liên tục trên[α;β]sao choϕ(α)=a,ϕ(β)=bvới mọit∈[α;β] Khi

b

Z

a

f(x)dx=

β

Z

α

(169)

Các bước giải theo PP đổi biến số dạng 2 Để tính tích phânI=

b

Z

a

f(x)dx, ta thực bước:

+ Bước 1: Đặtx=x(t) Lấy vi phân củaxtheot, ta dx=x0(t)dt.

Vớix=agiải PTx(t)=atìmα Vớix=bgiải PTx(t)=btìmβ

b

Z

a

f(x)dx=

β

Z

α

f(ϕ(t))ϕ0(t)dt=

β

Z

α

(170)

b

Z

a

b

Z

a

f(x)dx=

β

Z

α

f(ϕ(t))ϕ0(t)dt=

β

Z

α

(171)

b

Z

a

b

Z

a

f(x)dx=

β

Z

α

f(ϕ(t))ϕ0(t)dt=

β

Z

α

(172)

b

Z

a

b

Z

a

f(x)dx

=

β

Z

α

f(ϕ(t))ϕ0(t)dt=

β

Z

α

(173)

b

Z

a

b

Z

a

f(x)dx=

β

Z

α

f(ϕ(t))ϕ0(t)dt

=

β

Z

α

(174)

b

Z

a

b

Z

a

f(x)dx=

β

Z

α

f(ϕ(t))ϕ0(t)dt=

β

Z

α

(175)

Một số cách chọnt trong PP đổi biến số dạng 2 R¡

a2−x2¢

thì đặt

 

x=asint;t∈

h

−π

2;

π

2

i

x=acost;t∈[0;π]

R¡

a2+x2¢

thì đặtx=atant;t∈³−π

2;

π

2

´

R¡

x2−a2¢

thì đặtx= a

cost;t∈[0;π] \

nπ

2

o

(176)

Ví dụ 15.

Tính tích phânI=

1

Z

0 dx 1+x2

Lời giải

Đặtx=tant,t∈

³

−π

2;

π

2

´

⇒dx=(1+tan2t)dt *x=0⇒tant=0⇒t=0

*x=1⇒tant=1⇒t=π

4

I=

π

4 Z

0

(1+tan2t)dt 1+tan2t =

π

4 Z

0

dt=t¯¯ ¯

π

4

0 =

π

(177)

Ví dụ 15.

Tính tích phânI=

1

Z

0 dx 1+x2

Lời giải

Đặtx=tant,t∈

³

−π

2;

π

2

´

⇒dx=(1+tan2t)dt

*x=0⇒tant=0⇒t=0 *x=1⇒tant=1⇒t=π

4

I=

π

4 Z

0

π

4 Z

0

dt=t¯¯ ¯

π

4

0 =

π

(178)

Ví dụ 15.

Tính tích phânI=

1

Z

0 dx 1+x2

Lời giải

Đặtx=tant,t∈

³

−π

2;

π

2

´

4

I=

π

4 Z

0

π

4 Z

0

dt=t¯¯ ¯

π

4

0 =

π

(179)

Ví dụ 15.

Tính tích phânI=

1

Z

0 dx 1+x2

Lời giải

Đặtx=tant,t∈

³

−π

2;

π

2

´

4

I=

π

4 Z

0

(1+tan2t)dt 1+tan2t

=

π

4 Z

0

dt=t¯¯ ¯

π

4

0 =

π

(180)

Ví dụ 15.

Tính tích phânI=

1

Z

0 dx 1+x2

Lời giải

Đặtx=tant,t∈

³

−π

2;

π

2

´

4

I=

π

4 Z

0

π

4 Z

0

dt=t¯¯ ¯

π

4

0 =

π

(181)

Ví dụ 16.

Tính tích phânI=

2

Z

1

dx x2−4x+5

Lời giải I=

2

Z

1

dx x2−4x+5=

2

Z

1

dx

(x−2)2+1 Đặtx−2=tant,t∈

³

−π

2;

π

2

´

⇒ dx=(1+tan2t)dt Đổi cận:x=1⇒tant= −1⇒t= −π

4 x=2⇒tant=0⇒t=0 I=

0

Z

−π4

0

Z

−π4

dt=t¯¯ ¯

0 −π4 =

π

(182)

Ví dụ 16.

Tính tích phânI=

2

Z

1

dx x2−4x+5

Lời giải I=

2

Z

1

dx x2−4x+5=

2

Z

1

dx

(x−2)2+1

Đặtx−2=tant,t∈

³

−π

2;

π

2

´

4 x=2⇒tant=0⇒t=0 I=

0

Z

−π4

0

Z

−π4

dt=t¯¯ ¯

0 −π4 =

π

(183)

Ví dụ 16.

Tính tích phânI=

2

Z

1

dx x2−4x+5

Lời giải I=

2

Z

1

dx x2−4x+5=

2

Z

1

dx

³

−π

2;

π

2

´

⇒ dx=(1+tan2t)dt

Đổi cận:x=1⇒tant= −1⇒t= −π

4 x=2⇒tant=0⇒t=0 I=

0

Z

−π4

0

Z

−π4

dt=t¯¯ ¯

0 −π4 =

π

(184)

Ví dụ 16.

Tính tích phânI=

2

Z

1

dx x2−4x+5

Lời giải I=

2

Z

1

dx x2−4x+5=

2

Z

1

dx

³

−π

2;

π

2

´

4 x=2⇒tant=0⇒t=0

I=

0

Z

−π4

0

Z

−π4

dt=t¯¯ ¯

0 −π4 =

π

(185)

Ví dụ 16.

Tính tích phânI=

2

Z

1

dx x2−4x+5

Lời giải I=

2

Z

1

dx x2−4x+5=

2

Z

1

dx

³

−π

2;

π

2

´

4 x=2⇒tant=0⇒t=0 I=

0

Z

−π4

0

Z

−π4

dt=t¯¯ ¯

0 −π4 =

π

(186)

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2 Phương pháp tích phân phần

Nếuu=u(x)vàv=v(x)là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên[a;b]thì

b

Z

a

u(x)v0(x)dx=u(x)¯¯

b a−

b

Z

a

u0(x)v(x)dxhay

b

Z

a

udv=uv¯ ¯

b a−

b

Z

a

(187)

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2 Phương pháp tích phân phần

Tích phân dạng

b

Z

a

P(x) ln(ax+b)dx

Đặt

½u

=ln(ax+b)

dv=P(x)dx ⇒

    

du= a

ax+bdx v=

Z

P(x)dx

Ta có

b

Z

a

udv=uv¯ ¯

b a−

b

Z

a

(188)

2 Phương pháp tích phân phần Tích phân dạng

b

Z

a

P(x) sin(ax+b)dx;

b

Z

a

P(x) cos(ax+b)dx;

b

Z

a

P(x)eax+bdx

Đặt           

u=P(x)

dv=

  

sin(ax+b) cos(ax+b)

eax+b

·dx⇒

                    

du=P0(x)dx

v=         −1

acos(ax+b)

asin(ax+b)

ae

ax+b

Ta có

b

Z

a

udv=uv¯ ¯ b a− b Z a

(189)

Ví dụ 17. BiếtI=

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯ 1− Z xdx= ³

x2lnx´ ¯¯ ¯ 1− Ã x2 !¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(190)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx

dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯ 1− Z xdx= ³

x2lnx´ ¯¯ ¯ 1− Ã x2 !¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(191)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx

⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯ 1− Z xdx= ³

x2lnx´ ¯¯ ¯ 1− Ã x2 !¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(192)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx

v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯ 1− Z xdx= ³

x2lnx´ ¯¯ ¯ 1− Ã x2 !¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(193)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯ 1− Z xdx= ³

x2lnx´ ¯¯ ¯ 1− Ã x2 !¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(194)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯ 1− Z xdx = ³

x2lnx´ ¯¯ ¯ 1− Ã x2 !¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(195)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯

2 1−

2

Z

1

xdx=³x2lnx´ ¯¯ ¯

2 1−

Ã

x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

2

1

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(196)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯

2 1−

2

Z

1

xdx=³x2lnx´ ¯¯ ¯

2 1−

Ã

x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

2

1

=4ln2−3

2

⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(197)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯

2 1−

2

Z

1

xdx=³x2lnx´ ¯¯ ¯

2 1−

Ã

x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

2

1

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2

Vậya−b=6

(198)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯

2 1−

2

Z

1

xdx=³x2lnx´ ¯¯ ¯

2 1−

Ã

x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

2

1

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(199)

2

Z

1

2xlnxdx=aln2+3

b Tínha−b?

A.2 B.4 C.1 D.6

½u

=lnx dv=2xdx ⇒

  

du=1

xdx v=x2

⇒I=x2lnx¯¯ ¯

2 1−

2

Z

1

xdx=³x2lnx´ ¯¯ ¯

2 1−

Ã

x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

2

1

=4ln2−3

2 ⇒a=4,b= −2 Vậya−b=6

(200)

Ví dụ 18.

Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàmf0(x)liên tục trên[0;2], f(2)=3,

2

Z

0

f(x)dx=3 Tính

Z

0

x.f0(x)dx

A.0 B.−3 C.3 D.6

½u=x

dv=f0(x)dx Ta

½du=dx

Chọnv=f(x)

Khi đóI=

2

Z

0

x·f0(x)dx=x·f(x)¯¯ ¯

2 0−

2

Z

0

f(x)dx=2·3−3=3