Chuyên đề Bất phương trình

Muốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: a Đưa vế trái của bất phương trình vế phải của bất phương trình là 0 về dạng tích, thương của các nhị thức, [r]

Bất phương trình Giải bất phương trình không chứa tham số Muốn giải bất phương trình bậc cao, chúng ta phải tìm cách: a) Đưa vế trái bất phương trình (vế phải bất phương trình là 0) dạng tích, thương các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự mụcI) b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự mục I) để đưa bất phương trình bËc hai quen thuéc Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a)  x  x b) x   x Gi¶i: a ) BPT  XÐt x2  x2  x  x  10    0  (*) x x 2x x  x  10   x  2; x  2x   x  Ta cã b¶ng xÐt dÊu :  2x   *  *   x 2 x  x  10  *     VT (*) A    x  (0; 2)  ( ; ) Xem b¶ng xÐt dÊu ta cã nghiÖm cña bpt lµ: x2  6x  0 (**) x x  x    x  1; x  b) BPT  XÐt MÉu x   x  Ta cã b¶ng xÐt dÊu: x x x2  5x  VT (**)     *  *   *     A    Xem b¶ng xÐt dÊu ,vËy nghiÖm bpt (**) lµ x  (;0)  (1;5) Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sau x  x  x  32 x   Lop10.com Hướng dẫn: Phân tích vế trái BPT đã cho dạng tích các nhị thức , tam thức bậc C¸ch 1: T¸ch nhãm c¸c sè h¹ng cho hîp lý Ta cã: x  x3  3x  32 x   x  x  x3  32 x  x            x2 x2   8x x2   x2   x2  x2  8x  C¸ch 2:XÐt nghiÖm cña ®a thøc g ( x)  x  x  x  32 x  , nÕu cã nghiÖm h÷u tû x ­íc (kÓ c¶ ©m ) cña 4; q lµ ­íc cña  nghiÖm h÷­ tû nÕu cã cña g ( x) chØ cã thÓ lµ Dùng lược đồ Hoocne ta thấy x  2 , và đó chia g ( x) cho x  x   ta g ( x)  x  x  x  x  1 Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định VD3  T11 , ta đưa g ( x)  x  x  x  1 VËy BPT  x  x  x  1  Ta cã b¶ng xÐt dÊu:  x 2  15  15  x2    *   *  x2  8x  VTBPT   *   0  *    0   VËy nghiÖm cña BPT : x  ; 2   15;     15;   Ví dụ2: Giải bất phương trình ( x  3)  ( x  5)  (1) Gi¶i: §Æt t  x    x   x  t   (1) trë thµnh: t  14  t  14   t  6t   t  3  10 (t   )  t  3  10 Tõ t  3  10  x    10   x  x  19  10   x  4    x  4   10  10  Vậy nghiệm bpt đã cho là VÝ dô 3: x  4  10  3; x  4  Giải bất phương trình sau x  21x  74 x  105 x  50  Lop10.com (2) 10  p p q 2; 4 lµ Gi¶i: ThÊy BPT (2)  x  , chia hai vÕ BPT (2) 25  5   x   (2)   x    21 x    74  , x  x   đặt t  x   BPT trở thành x 2(t  10)  21t  74   2t  21t  54    t  9   x  x VD1  x  (0; 2)  ( ; )  x  (1; 2)  ( ;5) VËy ta cã    x    x  (;0)  (1;5)  x KÕt luËn nghiÖm cña BPT lµ x  (1; 2)  ( ;5) cho Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau (4) x0 kh«ng tho¶ m·n x  14 x  24 x  Gi¶i:  m  BPT (4)  x  m XÐt   14  2m  x 2  24 x   m (4 ') f ( x)  14  2m  x  24 x   m   ' f  144  14  2m   m    144  112  14m  16m  2m3   32  14m  16m  2m3   m  1m   Chän m Khi đó cho: (4 ') trë  ' f    14  2m  chän m 1 thµnh: x  1  4 x  32   x    x2   4x  x2   4x      4x  x2  4x      x   x  x   x   x  4x    x    x  ; 2   2  6;      Vậy nghiệm BPT đã cho là: x  ; 2   2  Bài tập tương tự: Giải BPT sau ( tham số a  ) a x  6a x  x  9a   Lop10.com  6;  2;   (4 '') Hướng dẫn: * NÕu a   (4 '')  x  *NÕu a  , nh©n hai vÕ cña (4 '') víi a  (4 '')  a x  6a3 x  ax  9a  3a  §Æt t  ax  BPT trë thµnh: t  6at  t  9a  3a   (4 ''')   2t  1  4.9 t  t   4t  4t  1 2t  1 , VT (4 ''') có hai nghiệm ẩn a là:  9a  2t  a  t  t  XÐt a 2 2 t2  t 1 t  t a ; a 3 t  t 1 t  t  VT (4 ''')  9(a  )(a  )  t  t   3a t  t  3a 3  Thay t  ax , ta cã (4 ''') trë thµnh: ax  x  a x  ax  3a    MÆt kh¸c ta cã §¸p sè : a x 2        ax  3a   0x  (4 '')  ax  x   *a   (4 '')  x  *0  a  *a  1   12a   12a  (4 '')  x  ;x  12 2  (4 '')  x  R 12 II.Bất phương trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm bất phương trình C¬ së lý thuyÕt: * ax  bx  c  (a  0) v« nghiÖm * ax  bx  c  (a  0) v«  ax  bx  c  0, x  R    a  nghiÖm  ax  bx  c  0, x  R    a  *Cho bất phương trình: ax  bx  c  (1) Điều kiện cần và đủ để BPT (1) thoả mãn với x  E là: E  X , với X là tập nghiệm BPT (1) ,( Tập E cho trước có thể là:  ;  ;  ;  ; ; ;  ;   ) VÝ dô1: Cho tam thøc: f ( x)  m  1 x  m  1 x  2m  Xác định m cho: a ) Bất phương trình f ( x)  vô nghiệm; b) Bất phương trình f ( x)  có nghiệm Gi¶i: a ) * m  1: f ( x)   4 x    x  Vậy m  không thoả mãn kiện bài toán * m  1:  '  m  12  m  12m  1  m2  5m f ( x)  v« nghiÖm  f ( x)  0, x  R   m  5m   '    m5 a  m   Lop10.com b) §Ó m xác định m cho bất phương trình cho f ( x)  v« nghiÖm'' f ( x)  có nghiệm , ta giải bài toán:''Xác định * m  1: f ( x)   4 x    x  VËy m  kh«ng thÝch hîp * m  1: Ta cã: f ( x)  v«nghiÖm  f ( x)  0, x  R   m  5m   '  o   m0 a  m   Tóm lại, điều kiện để f ( x)  vô nghiệm là m  Vậy, điều kiện để f ( x)  có nghiệm là m  Bài tập tương tự: Với giá trị nào m thì : x  mx  1  6, x  R 2x2  x  (1) Hướng dẫn: a   x  x      9  2 (1)  x  x   x  mx   x  x  §Ó ý thÊy VËy    f ( x)  x  1  m  x    (1')  g ( x)  x  6  m  x   1  0,  f  HÖ (1') cã nghiÖm víi x  R   9  0,  g  §¸p sè:  m  Ví dụ 2:Cho bất phương trình: mx  3x  m   a ) Tìm m để bất phương trình (2) thoả mãn với x  b) Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm x  Gi¶i: a ) Cách giải1: Phương pháp tam thức bậc hai Gäi X lµ tËp nghiÖm cña BPT (1) Ta t×m m : 0;    X (*) + m  kh«ng thÝch hîp + m  : (2)  3x    x   X   ;   , kh«ng tho¶ m·n 3 + m  :    4m m     2m  12m    XÐt dÊu  vµ a : 9   TH1 : m    X  R  (*) tho¶ m·n a  9 m   2    A 0  a  *  *    9 TH : 00  X  ; x2  x1 ;   a  Lop10.com (2) (*) (*)  x2  x1    9   P    m  4 S   Tæng hîp c¸c kÕt qu¶ trªn, ta ®­îc: m  4 Cách giải 2: Phương pháp hàm số: Đối với học sinh đã học kiến thức khảo sát hàm số thì phương pháp giải này là khá hiệu ( Nếu việc cô lập tham số từ bất phương trình đã cho là đơn giản) C¬ së lý thuyÕt: Gi¶ sö hµm sè y  f ( x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn f ( x)  m * BPT f ( x)  m cã nghiÖm x  D  Max xD * BPT f ( x)  m, x  D  Min f ( x)  m * BPT f ( x)  m * BPT f ( x)  m, x  D  Max f ( x)  m liªn tôc trªn xD cã nghiÖm x  D  Min f ( x)  m xD xD Trë l¹i bµi to¸n ta cã: m 3x  x2  Yªu cÇu bµi to¸n XÐt D, f y'  1  (do x   0, x  R ) m y  3 x  x  x  (2)  m x   x  3x  , x  (*) x2  1  x   0;    0   x   0;   Ta cã b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè y    x y' y 4A 3x  , x  0;   x2  nh­ sau: A Xem b¶ng biÕn thiªn ta cã 4  y  , x  0;   , vËy (*) ®­îc tho¶ m·n b) C¸ch  m  4 giải1( phương pháp tam thức bâc hai - bạn đọc tự giải) Cách giải2: Phương pháp hàm số Tương tự câu a) Yêu cầu bài toán trở thành : x  0;  : m  y  3x2  (***) x 1 Tương tự câu a ) ta cã 4  y  Bài tập tương tự: Xác định a ) x  x   m  , x  1; 2 m 1 , x  0;    (***)  m  2 để bất phương trình : b)  x  x  m  0, x  §¸p sè: a ) m  1 hoÆc m 1 Lop10.com D b) m  VÝ dô 3: T×m m : f (m, x)  x  px  q ax  bx  c  0, x  R (a  0) C¸ch gi¶i: Gäi h( x)  x  px  q, g ( x)  ax  bx  c f ( x)  0, x  R  x  R ta cã h( x), g ( x) kh«ng tr¸i dÊu víi  a    f     g  o a b c     (*)  p q Chó ý: Trong (*) quy ­íc mÉu thøc b»ng th× tö thøc còng b»ng Bài tập áp dụng: Tìm m để f ( x)  x  x  1x  x  m  0, x  R Gi¶i: Ta cã h( x)  x  x    h  0, m Bởi f ( x)  0, x  R  h( x) và g ( x)  x  x  m là tương đương VËy 1 m    m  1 1 1 VÝ dô 4: Cho f ( x)  x  a   x  x  2a Tìm a để f ( x)  0, x  R Gi¶i: ViÕt l¹i f ( x)  f1 (a)  a  2( x  1)a  x  x  x   'a   2 x  1  f1 (a )   a1  x  x, a2  x  x   f1 (a )  a  a1 a  a2      x  x   a x  x  a  f ( x) Gäi Ta h ( x )  x  x   a; g ( x )  x  x  a h( x)  0, x  R thÊy  2  f ( x)  0, x  R    g ( x)  0, x  R 2 3  a   'h     a  3 1  a   'g  §¸p sè: a  3 Bài tập tương tự: Tìm a để f ( x)  x  x3  a  5 x  a  3 x  a  1a    0, x  R Hướng dẫn: ViÕt l¹i f ( x)  f1 (a)   x  x   a 2 x  x   a  Yªu cÇu bµi to¸n   h  3  7 a    0 7 3   g   a  1  a  a  5     2a Lop10.com