Gián án HỆ THỨC LƯỢNG T24

KIỂM TRA BÀI CŨ A B C a b c 2R= Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp đường tròn bán kính R và có , , .BC a CA b AB c= = = Hãy tính ; ; sin sin sin a b c A B C theo R Giải Vì tam giác ABC vuông ở A nội tiếp đường tròn bán kính R nên a = 2R Ta có 0 2 2 ; sin sin 90 a R R A = = sin B = b a sin 2 b B R ⇒ = 2 sin b R B ⇒ = Tương tự 2 sin sin sin a b c R A B C ⇒ = = = BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GiẢI TAM GIÁC (tiết 24) 2. Định lí sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có 2 . sin sin sin a b c R A B C = = = Chứng minh. Ta chứng minh hệ thức 2 . sin a R A = a A B C D A B C D a )a a A B C D • O Xét hai trường hợp: - Nếu góc A nhọn, ta vẽ đường kính BD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó tam giác BCD vuông tại C .sinBC BD D⇒ = 2 .sina R D⇒ = Mà · · BAC BDC= (cùng chắn cung ) » BC µ µ A D⇒ = 2 .sina R A⇒ = 2 . sin a R A ⇒ = )b a A B C D - Nếu góc A tù, ta vẽ đường kính BD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O µ µ 0 180A D⇒ + = sin sinD A⇒ = Tam giác BCD vuông tại C ta cũng có 2 .sina R D= 2 .sina R A⇒ = 2 . sin a R A ⇒ = Các đẳng thức 2 sin b R B = và 2 sin c R C = được chứng minh tương tự. Vậy 2 . sin sin sin a b c R A B C = = = Hãy phát biểu định lí sin bằng lời b) Các ví dụ Ví dụ 1. Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đều Giải. Theo định lí sin 2 a R sinA = 2sin a R A ⇒ = 0 2sin 60 a R⇒ = 3 3 3 a a = = cạnh a Ví dụ 2. A B C a c 210 0 31 0 20 Cho tam giác ABC có µ µ 0 0 20 , 31B C= = và cạnh b = 210 cm. Tính các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. µ ,A Giải. Ta có µ µ µ ( ) 0 180A B C= − + 0 129 .= Theo định lí sin ta có : ( ) 2 1 sin sin sin a b c R A B C = = = Từ (1) suy ra a = sin sin b A B 0 0 210.sin129 sin 20 = ( ) 477,2 .cm≈ c = sin sin b C B 0 0 210.sin 31 sin 20 = ( ) 316,2 .cm≈ 2sin a R A = 0 477,2 2.sin129 = ( ) 307,02 .cm≈ 3. Công thức diện tích tam giác Trong tam giác ABC ta kí hiệu A, B, C là ba góc, a, b, c và , , a b c h h h lần lượt là độ dài các cạnh và độ dài các đường cao tương ứng. S là diện tích Hãy viết công thức tính S theo độ dài các cạnh và chiều cao tương ứng Ta có : 1 1 1 . 2 2 2 a b c S ah bh ch= = = A A A B B BC C CH H H a a a b b b c c c a h a h )a )b )c Hãy tính theo cạnh b và góc C a h - Hình a) ứng với góc C nhọn, ta có ( ) 0 .sin 180 a h b C= − - Hình b) ứng với góc C tù, ta có .sin . a h b C= sin .b C= - Hình c) ứng với góc C vuông, ta có a h b= sin .b C= 1 2 a S ah⇒ = 1 sin . 2 ab C= Ta có 1 sin 2 S ab C= 1 sin 2 bc A= 1 sin ; 2 ca B= ; 4 abc S R = ;S pr= ( ) ( ) ( ) S p p a p b p c= − − − (công thức Hê-rông). (1) (2) (3) (4) Hãy chứng minh công thức (2) Hãy chứng minh công thức (3) A B C a b c O r H I K Chứng minh công thức (3) OBC OCA OAB S S S S= + + 1 1 1 2 2 2 ra rb rc= + + ( ) 1 2 r a b c= + + .pr= (trong các công thưc trên R, r và p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và nửa chu vi của tam giác ABC) Việc chứng minh công thức Hê-rông dựa vào định lí côsin và công thức 1 sin 2 S ab C= xem như bài tập về nhà. Ví dụ 1. Cho tam giac ABC có ba cạnh a = 13 m, b = 14 m, c = 15 m. a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC Giải a) Ta có ( ) 1 2 p a b c= + + 21.= Theo công thức ( ) ( ) ( ) S p p a p b p c= − − − ( ) ( ) ( ) 21 21 13 21 14 21 15S⇒ = − − − ( ) 2 84 .m= b) Từ công thức S pr= S r p ⇒ = ( ) 84 4 . 21 m= = Từ công thức 4 abc S R = R⇒ = 4 abc S 13.14.15 4.84 = = ( ) 8,125 .m Vậy bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là: 4 ,r m= 8,125R m= Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có cạnh , cạnh và 2 3a = 2b = µ 0 30C = Tính cạnh c, góc A và diện tích tam giác đó Giải Theo định lí côsin ta có 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 3 12 4 2.2 3.2. 2 = + − 4= 2.c⇒ = 2b c⇒ = = µ µ 0 30B C⇒ = = µ 0 120 .A⇒ = 1 sin 2 S ab C= 1 1 .2 3.2. 2 2 = 3= (đơn vị diện tích) Vậy µ 0 2, 120c A= = và diện tích tam giác ABC là 3. Ví dụ 3. Tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và diện tích S. CMR 2 2 2 cot 4 b c a A S + − = Giải Ta có osA cot sinA c A = 2 2 2 2 sin b c a bc A + − = mà 1 sin 2 S bc A= sin 2bc A S⇒ = 2 2 2 cot 4 b c a A S + − ⇒ = (đpcm) CỦNG CỐ VÀ DẶN DÒ I. CỦNG CỐ Qua tiết học các em cần lưu ý - Định lí sin 2 . sin sin sin a b c R A B C = = = - Các công thức diện tích tam giác 1 1 1 . 2 2 2 a b c S ah bh ch= = = 1 sin 2 S ab C= 1 sin 2 bc A= 1 sin ; 2 ca B= ; 4 abc S R = ;S pr= ( ) ( ) ( ) S p p a p b p c= − − − II. DẶN DÒ Các em về nhà xem lại nội dung đã học, chuẩn bị tiếp phần lí thuyết còn lại và làm các bài tập 4 đến 9 trong SGK trang 59. . BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GiẢI TAM GIÁC (tiết 24) 2. Định lí sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường. − − − (công thức Hê-rông). (1) (2) (3) (4) Hãy chứng minh công thức (2) Hãy chứng minh công thức (3) A B C a b c O r H I K Chứng minh công thức (3) OBC