I./ Đặt vấn đề trờng phổ thông học sinh đợc học nhiều môn khác Một môn đợc em yêu thích môn toán Bởi lẽ môn khoa học có tác dụng phát triển t duy, hình thành kỹ kỹ xảo, phát huy tính tích cực học tập Việc học tốt môn toán sở để giúp em học tốt môn khác Là giáo viên dạy toán thấy việc hớng dẫn em biết cách giải loại toán cần thiết Trong chơng trình đại số lớp cã mét m¶ng kiÕn thøc hÕt søc quan träng, viƯc nắm vững phơng pháp giải loại toán giúp cho em nhiều việc giải toán khác dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đợc ứng dụng nhiều toán khác nh giải phơng trình, rút gọn phân thức, tính giá trị biểu thức Qua năm năm giảng dạy môn toán thấy nhiều học sinh lúng túng gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt học sinh trung bình, học sinh yếu Ngợc lại học sinh khá, giỏi toán phân tích phân tích đa thức thành nhân tử làm cho em thích thú, say mê học tập Trong lúc đặt câu hỏi làm đối tợng học sinh thích thú,say mê học đối dạng toán này" Trong phạm vi đề tài muốn đa phơng pháp ®Ĩ gióp c¸c em häc sinh líp cã mét kĩ thành thạo, phơng pháp giải tốt dạng toán Tôi chọn đề tài lẽ cần cho tất đối tợng học sinh Trong năm gần toán phân tích đa thức thành nhân tử có mặt thờng xuyên các đề thi học sinh giỏi khối Vì việc tập hợp hệ thống toán dạng cần thiết đối tợng học sinh đặc biệt học sinh giỏi Qua giúp em biết vận dụng dạng toán để giải toán khác Trong chơng trình đại số sách giáo khoa có đa bốn phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử phối hợp phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Trong thực tế có toán dạng phức tạp áp dụng phơng pháp mà giải đợc Gặp nh em lại lúng túng làm sử dụng phơng pháp để giải Qua thực tế giảng dạy đặc biệt qua năm năm dạy lớp thay sách thấy việc hệ thống phơng pháp giải loại cần thiết, giúp em thấy đợc đa dạng phong phú nội dung loại toán Đồng thời giúp cho em có cách nhìn nhận dới nhiều góc độ khác Từ kích thích em có tìm tòi, sáng tạo, khám phá điều lạ say mê học tập, có nhiều hứng thú học môn toán II./GiảI vấn đề 1- Biện pháp thực Có đợc kết cao việc dạy học môn toán đặc biệt dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử từ vận dụng toán để giải toán khác biện pháp thực xây dựng hệ thống tập dạng phân tích đa thức thành nhân tử Trong phơng pháp giải đa hệ thống tập từ dễ đến khó Đối với dễ dùng cho đối tợng học sinh trung bình, yếu tập khó nâng cao dùng cho học sinh giỏi để đối tợng học sinh không cảm thấy chán Tuy nhiên toán đa cần lu ý cho học sinh khong có cách giải Trong toán đa tìm tòi lời giải khác để tìm lời giải thích hợp Mỗi phơng pháp giải đa tập khác nhằm mục đích phát triển toán Với kinh nghiệm thân nhiều hạn chế chắn tránh khỏi khiếm khuyết trình vận dụng Tôi mong nhận đợc ý kiến đóng góp bạn đồng nghiệp bạn đọc để xây dựng hoàn thiện phơng pháp giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử 2- Nội dung Trớc hết cần nhắc lại số kiến thức phục vụ cho việc giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử a- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức khác b- Bảy đẳng thức đáng nhớ a (A+B) = A2+2AB+B2 b (A-B) = A2-2AB+B2 c A2-B2 = ( A-B)(A+B) d (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 e (A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3 f A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2) g A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2) c- Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thông thờng a Đặt nhân tử chung b Dùng đẳng thức c Nhóm hạng tử d Phối hợp phơng pháp d Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp khác a Tách hạng tử thành nhiều hạng tử b Thêm, bớt hạng tử c Đặt ẩn phụ d Dùng phơng pháp hệ số bất định e Nhẩm nghiệm e Đổi dấu hạng tử A=-(-A) f Cho ®a thøc f(x), ®a thøc nµy cã nghiƯm x=a f(a)=0 h Cho đa thức f(x) = anxn + an -1xn-1 + + a2x + a Đa thức có nghiệm số nguyên nghiệm phải ớc a Các ví dụ cụ thể Phơng pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung Đây phơng pháp đợc dùng cho toán phân tích mức độ đơn giản Tuy nhiên có đa thức cần phải biến đổi số bíc míi xt hiƯn nh©n tư chung VÝ dơ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2- 3x c b 12x3- 6x2+3x x2 + 5x3 + x2y d 14x2y-21xy2+28x2y2 Gi¶i a x2- 3x =x(x-3) b 12x3- 6x2+3x =3x(4x2 -2x +3) c x2 + 5x3 + x2y = x2( + 5x + y) d 14x2y-21xy2+28x2y2 = 7xy(2x -3y +4xy) VÝ dô Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y) b x(x+ y) +4x+4y Gi¶i a 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y) = (x -2y)(5x2-15xy) = (x -2y)5x(x-3y) b x(x+ y) +4x+4y = x(x+ y)+(4x+4y) = x(x + y)+(x + y)4 = (x+ y)(x + 4) hai ví dụ việc phân tích thức đa thành nhân tử mức độ đơn giản Học sinh nhận thấy đợc nhân tử chung Nhiều để xuất nhân tử chung phải đổi dấu hạng tử có đa thức nh ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư a 10x(x-y)-8y(y-x) b 5x(x-2000) - x + 2000 Gi¶i a.10x(x-y)-8y(y-x) = 10x(x-y)+8y(x-y) = (x-y)(10x+8y) =2(x-y)(5x+4y) b 5x(x-2000) -x+2000 =5x(x-2000) -(x-2000) =(x-2000)(5x -1) Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc ứng dụng tập khác nh tìm x chứng minh, tính giá trị biểu thức Ví dụ Tính giá trị biểu thức x(x-1)-y(1-x) x=2000, y=1999 Giải: Nếu theo cách làm thông thờng ta thay giá trị biến vào biểu thức để tính giá trị Cách làm phải tính phức tạp cho kết Vì giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử thay số tính giá trị biểu thức Ta có x(x-1)-y(1-x) =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y) Thay x=2001, y=1999 ta đợc (2001-1) (2001+1999) = 2000.4000 = 8000000 VÝ dô 5: Chøng minh r»ng 55n+1- 55n Ta sÏ biến đổi vế trái thành tích có mét thõa sè chia hÕt cho 54 Ta cã 55n+1-55n=55n.55 – 55n =55n(55 -1) =55n.54 VÝ dơ 6: T×m x biÕt 5x(x-1) = x-1 5x(x-1) -(x-1) = (x-1)(5x-1) =0 x-1= hc 5x-1= x=1 hc x= Phơng pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức Vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử cách làm thông dụng đợc áp dụng nhiều Để áp dụng phơng pháp yêu cầu học sinh phải nắm bảy đẳng thức đắng nhớ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2-6x +9 b x2-6 c 1- 27x3 d x3+ x3 e -x3+9x2-27x +27 Gi¶i a x2-6x +9 =(x-3)2 b x2-6 =(x- ) (x+ ) c 1- 27x3 = (1-3x)(1+3x+9x2) d x3+ 1 = (x+ )(x2-1+ ) x x x e -x3+9x2-27x +27 =-(x3-9x2+27x -27) =-(x-3)3 ë vÝ dụ đẳng thức đà đợc khai triển Việc phân tích cách viết theo chiều ngợc lại đẳng thức Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 8x3+12x2y +6xy2+y3 b (xy+1)2-(x-y)2 Gi¶i a 8x3+12x2y +6xy2+y3 =(2x)3 +3.(2x)2y +3.2x.y2 +y3 =(2x+y)3 b.(xy+1)2-(x-y)2 =[(xy+1)-(x-y)].[(xy+1) +(x-y)] =(xy-x-y+1)(xy+x-y+1) 3- Phơng pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp nhóm hạng tử Đối với phơng pháp cần ly ý cho học sinh nhóm hạng tử phải đến dấu trớc ngoặc đặc biệt dấu trừ ngoặc Ví dụ 1:Phân tích đa thức thành nhân tử a x2 - x - y2 - y b x2 - 2xy + y2 - z2 c x2 -3x + xy - 3y d 2xy +3z + 6y + xz Gi¶i a, x2 - x - y2 - y b, x2 - 2xy + y2 - z2 =( x2 - y2 ) - (x +y) =(x2 - 2xy + y2)- z2 = (x + y) (x - y)- (x +y) =(x-y)2-z2 =(x + y) (x- y -1) =(x-y-z)(x-y+z) c, x2 -3x + xy - 3y d, 2xy +3z + 6y + xz =(x2+xy) -(3x+3y) =(2xy+6y)+(3z+xz) =x(x+y)-3(x+y) =2y(x+3)+z(3+x) =(x+y)(x-3) =(x+3)(2y+z) ë vÝ dơ ph©n tÝch đa thức thành nhân tử ta đà phối hợp phơng pháp nh : Nhóm hạng tử đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) b a3(b2 -c 2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) Giải Phơng pháp chung để làm loại toán khai triển hai số ba hạng tử giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ làm xuất nhân tử chung chứa sè h¹ng thư ba VÝ dơ a ta khai triĨn hai hạng tử đầu giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất nhân tử chung a+ a bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =b2c+bc2+c2a-ca2-ab(a+b) =(b2c -ca2) +(bc2+c2a) -ab(a+b) =c(b2-a2) +c2(b+a)- ab(a+b) =c(b-a)(b+a)+c2(b+a) - ab(a+b) =(b+a)(cb-ca +c2)- ab(a+b) =(a+b)(cb-ca +c2- ab) =(a+b)[(cb+c2)-(ca+ba) =(a+b)[c(b+c)-a(c+b)] =(a+b)(b+c)(c-a) b.a3(b2 -c 2)+b3(c2-a2)+ c3(a2-b2) =a3b2- a3c2 + b3c2 - b3a2+c3(a2-b2) =(a3b2 -b3a2 ) –(a3c2 -b3c2 ) +c3(a2-b2) =a2b2 (a-b) – c2(a3-b3)+c3(a2-b2) =a2b2 (a-b) –c2(a-b)(a2+ab+b2)+c3(a-b)(a+b) = (a-b)(a2b2-c2a2-c2ab- c2b2 + c3a + c3b) = (a-b)[( a2b2-c2b2)+ (c3b-c2ab) + (c3a -c2a2)] =(a-b)[b2(a-c)(a+c) + c2b(c-a) + c2a(c-a)] =(a-b)(a-c)(b2a+b2c -c2b –c2a) =(a-b)(a-c)[(b2a -c2a) + (b2c -c2b )] =(a-b)(a-c)[ a(b-c)(b+c) +bc(b-c)] =(a-b)(a-c) (b-c)(ab+ac +bc) Các toán phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp nhóm nh cuối phải đạt đợc mục đích có nhân tử chung vận dụng đợc đẳng thức đáng nhớ 4- Phơng pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phơng pháp cho đa thức cha phân tích đợc thành nhân tử Ta tách hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng phơng pháp đà biết Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a x2-7x+12 b 4x2-3x-1 Giải a x2-7x+12 Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x-3x Ta cã x2-7x+12 =x2-4x-3x +12 =(x2-4x)-(3x -12) = x(x-4)-3(x-4) =(x-4)(x-3) Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21- x2-7x+12 =x2-7x +21-9 =(x2-9) –(7x-21) =(x-3) (x+3) -7(x-3) =(x-3) (x+3 -7) =(x-3) (x -4) b 4x2-3x-1 Cách 1: Tách số hạng 4x2 thµnh x2+3x2 Ta cã 4x2-3x-1 =x2+3x2-3x-1 =(x2-1) + (3x2-3x) =(x-1)(x+1) +3x(x-1) =(x-1)(x+1+3x) =(x-1)( 4x +1) C¸ch 2: T¸ch số hạng -3x thành - 4x +x 4x2-3x-1 = 4x2-4x +x -1 = 4x(x-1)+ (x -1) = (x -1)(4x+1) C¸ch 3: Tách số hạng -1 thành - +3 4x2-3x-1 =4x2-3x -4 +3 =4(x-1)(x+1) -3 (x-1) =(x-1)(4x+4-3) =(x-1)(4x+1) Víi bµi toán phân tích đa thức thành nhan tử có ba lời giải tơng ứng với ba cách t¸ch häc sinh cã thĨ chän mét ba c¸ch Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tư a x3-2x -4 b x3+8x2+17x +10 Gi¶i a x3-2x -4 =.x3-2x -8+4 =(x3-8)-(2x-4) =(x-2)(x2+2x +4)-2(x-2) b x3+8x2+17x +10 =x3+x2+7x2 + 10x +7x + 10 =x2(x+1) +7x(x+1) +10(x+1) =(x+1)(x2 +7x +10) =(x+1)(x2 + 2x +5x+10) =(x+1) [x(x+2) +5(x+2)] =(x+1)(x+2)(x+5) VÝ dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a x3+3x2 +6x +4 b x3-11x2+30x 10 Gi¶i a x3+3x2 +6x +4 =x3+x2 +2x2 +2x +4x +4 =x2(x+1) +2x(x+1) +4(x+1) =x(x+1)(x2 +2x +4) b x3-11x2+30x =x(x2-11x +30) =x(x2 -5x-6x +30) =x [x(x-5) -6(x-5)] = x(x-5)(x-6) Trong phÇn a ta thÊy đa thức bậc hai mà phân tích đợc Vậy làm để biết đợc đa thức có phân tích đợc hay không ta dựa vào định lí sau: Một đa thức: axn + nn - 1xx - + + a1x + a Đa thức có nghiệm số nguyên nghiệm phải ớc hệ số tự a VÝ dơ: §a thøc: x2 + 2x + không phân tích đợc vì: Nếu phân tích đợc đa thức phải có nghiệm nguyên ớc cđa Ta thÊy ¦(4) = {±1; ±2; ±4} thư gía trị nghiệm ®a thøc x + 2x + nªn ®a thức không phân tích đợc 5- Phơng pháp 5: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thêm, bớt hạng tử: Với đa thức đà cho chứa thừa số chung, dạng đẳng thức nhóm số hạng Do ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt số hạng tử để vận dụng đợc phơng pháp phân tích đà biết Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc 11 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 - (3a2b + 3ab2 + 3abc) = (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a+b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab] = (a + b + c) (a2 +2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Trong toán ta đà thêm bớt hạng tử 3a 2b, 3ab2 để nhóm vận dụng đợc phơng pháp phân tích đà biết Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x5 + x4 + b) x5 + x + c) x8 + x7 + Gi¶i: a) x5 + x4 + Ta thêm bớt hạng tử x3, x2, x vào ®a thøc ®ỵc: x5 + x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x + = (x5 + x4 + x3) - (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x3 - x + 1) b) x5 + x + Cách 1: Ta thêm bớt x4, x3, x2 vào đa thức giống cách làm nh phần a để xuất nhân tử chung x2 + x + Cã: x5 + x + = x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x + = (x5 + x4 + x3) - (x4 + x3 + x2) + x2 + x + = x3(x2 + x + 1) - x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1) Cách 2: Ta thêm bớt x2 để làm xuất nhân tử chung x2 + x + Ta cã: x5 + x + = x5 + x2 - x2 + x + = (x5 - x2) + (x2 + x + 1) = x2(x3 - 1) + (x2 + x + 1) = x2(x - 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1) 12 c) x8 + x7 + x = x8 + x7 + + x2 - x2 + x - x = (x8 - x2) + (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x2 (x6 - 1) + x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = (x3 - 1)(x3 + 1)(x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x - 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1)(x2 + x)+ (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x6 - x4 + x3 - x + 1) Chó ý: Các đa thức có dạng: x3k + + x3k+2 + Những đa thức phân tích thành nhân tử có chứa thừa số (x2 + x + 1) 6- Phơng pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt ẩn phụ Phơng pháp thờng áp dụng với ®a thøc cã d¹ng A(x) B(x) + C Trong ®ã A(x) B(x) biểu diễn đợc qua VÝ dơ A(x) cã thĨ viÕt díi d¹ng cđa B(x) ngợc lại Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 b) 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2 Gi¶i: a) (x2 + x + 1)( (x2 + x + 2) - 12 §Ỉt x2 + x + = y => x2 + x + = y + Ta cã y(y+1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 - + y - = (y - 3)(y + 3) + (y - 3) = (y - 3)(y + + 1) = (y - 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + ta ®ỵc: (y - 3)(y + 4) = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x - 2) (x2 + x + 5) = (x2 - + x - 1)(x2 + x + 5) = [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5) = (x - 1)(x + + 1)(x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) 13 ví dụ ta đà đổi biến x thành biến y sau phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử quay trở lại đa thức với biến ban đầu x Cuối ta lại phân tích đa thức chứa biến x thành nh©n tư b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 Nếu để nguyên đa thức khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến ®ỉi thªm: 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 §Ỉt: x2 + xy + xz = m Ta cã: 4m(m + xz) + y2z2 = 4m2 + 4mxz + y2z2 = (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz ta đợc: (2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 VÝ dơ 2: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15 b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24 c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Gi¶i: a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15 Đặt: x2 + x = y Ta cã: y2 - 2y - 15 = y2 - 5y + 3y - 15 = y(y - 5) + 3(y - 5) = (y - 5)(y + 3) Thay y = x2 + x ta đợc: (y - 5)(y + 3) = (x2 + x - 5)(x2 + x + 3) Hai ®a thøc x2 + x - x2 + x + không phân tích đợc b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24 14 = (x + 2)(x+5)(x+3)(x + 4) - 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24 Đặt x2 + 7x + 10 = y ta đợc x2 + 7x + 12 = y + y(y + 2) = 24 = y2 + 2y - 24 = y2 - 16 + 2y - = (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4) = (y - 4)(y + + 2) = (y - 4)(y + 6) Thay y = x2 + 7x + 10 ta đợc: (y - 4)(y + 6) = (x2 + 7x + 10 - 4)(x2 + 7x + 10 + 6) = (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16) = (x2 + x + 6x + 6) (x2 + 7x + 16) = [x(x+1) + 6(x+1)] (x2 + 7x + 16) = (x+1)(x + 6) (x2 + 7x + 16) c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + = y => x2 + 8x + 15 = y + Ta cã: y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 5y + 3y + 15 = y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) Thay y = x2 + 8x + ta ®ỵc: (y + 5)(y + 3) = (x2 + 8x + + 5)( x2 + 8x + + 3) = (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10) = (x2 + 2x + 6x +12)( x2 + 8x + 10) = [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10) = (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10) ë hai ví dụ ta thấy cách làm giống phân tích đa thức thành nhân tử Ta có cách đặt ẩn phụ khác ví dụ dới 15 Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 - 4x + + 2x2 NÕu theo c¸ch làm nh ví dụ trớc với ví dụ ta phân tích đợc Dễ thấy đa thøc kh«ng thĨ cã nghiƯm x = VËy ta cã thĨ biÕn ®ỉi ®a thøc nh sau: x3 (3x2 - 4x2 + 2x - - 1 ) - 8] ) - 4(x + ) + 2(x + x3 x x = x3[3(x3 + §Ỉt x + x = t => t2 = (x + => x2 + x t3 = (x + => x3 + x )2 = x2 + + x2 = t2 - x2 )3 = x3 + 3x + = x3 + + 3+ ) x x x x + x3 1 ) + 3(x + x x = t3 - 3t x3 Thay x + x = t; x2 + 1 = t3 - 3t = t - 2; x + x x3 Ta cã: x3[3(t3 - 3t) - 4(t2 - 2) + 2t - 8] = x3(3t3 - 9t - 4t2 + + 2t - 8) = x3(3t3 - 4t2 - 7t) = x3t (3t2 - 4t - 7) = x3t[(3t2 - 3) - (4t + 4)] = x3t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)] = x3t(t + 1)(3t - - 4) = x3t(t + 1)(3t - 7) 16 Thay t = x + ta đợc - 7)(x + x + 1) = x(x2 + 1)(3x2 + - 7x)(x + x + 1) x3(x + x x ) (3x + x = (x2 + 1)(3x2 - 7x + 3) (x2 + x + 1) Nói chung toán tơng đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đa thức đặt đợc ẩn phụ Bài toán cho ta cách đặt ẩn phụ khác hẳn với cách đặt ẩn phụ ví dụ trớc 7- Phơng pháp 7: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng hệ số bất định: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tÝch cđa ®a thøc mét ®a thøc bËc nhÊt, mét ®a thøc bËc x3 - 19x - 30 Giải: Cách 1: Với phơng pháp phân tích đà biết ta phân tích đợc đa thức thành đa thức theo yêu cầu đề bµi Ta cã: x3 - 19x - 30 = x3 + - 19x - 38 = (x3 + 8) - 19(x + 2) = (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2) = (x + 2)( x2 - 2x + - 19) = (x + 2) x2 - 2x - 15) Ta thÊy x2 - 2x - 15 phân tích đợc nhng đề yêu cầu đa thức x3 - 19x - 20 viết dới dạng tích đa thức: đa thức bậc đa thức bậc VËy tÝch (x + 2)( x2 - 2x - 15) đà thoả mÃn yêu cầu toán Cách 2: Kết phải có dạng: x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c) = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac 17 Ta phải tìm hệ số a, b, c tho¶ m·n: a+b=0 c + ab = -19 ac = -30 Vì a, c Z tÝch ac = -30 ®ã a, c ∈ { ± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6; ± 10; ± 15; ± 30} Víi a = 2; c = -15 b = -2 thoả mÃn hệ thức đo số phải tìm tức lµ: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Giải: Nhận xét: Đa thức có nghiệm nguyên nghiệm phải Dễ dàng kiểm tra đợc nghiệm đa thức nên đa thức nghiệm nguyên mà có nghiệm hữu tỉ Nh vậy, đa thức phân tích đợc thành thừa số phải có dạng: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c tho¶ m·n: a+c=6 ac + b + d = ad + bc = bd = Tõ hệ ta tìm đợc: a = b = d = 1; c = VËy: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1) VÝ dơ 3: Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử: x3 + 4x2 + 5x + Giải: Cách 1: Đặt x3 + 4x2 + 5x + = (x + a)(x2 + bx + c) 18 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Ta ph¶i cã: a + b = ab + c = ac = Từ hệ ta tìm đợc: a = 1; b = 2; c = VËy: x3 + 4x2 + 5x + = (x + 1)(x3 + 3x + 2) = (x+ 1)[(x2 + x) + (2x + 2)] =(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2) = (x+ 1)2(x + 2) Cách 2: Dùng phơng pháp nhẩm nghiệm ta thấy c¸c íc cđa hƯ sè tù cã nghiệm Vậy đa thức viết đợc dới dạng: x3 + 4x2 + 5x + = (x+ 1)(x2 + ax + b) => x2 + ax + b = (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) Bằng cách chia hai đa thức ta tìm đợc: (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) = x2 + 3x + VËy x3 + 4x2 + 5x + = (x + 1)( x2 + 3x + 2) = (x+ 1)2(x + 2) C¸ch 3: Dùng phơng pháp phân tích đà biết tích hạng tö Ta cã: x2 + 4x2 + 5x + = x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + = x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1) = (x +1)(x2 + 3x + 2) = (x + 1)(x + 1)(x + 2) = (x + 1)2(x + 2) Trên Bẩy phơng pháp phân tích thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Vậy làm dạng toán lúc áp dụng khuôn mẫu theo phơng pháp giải cố định Khi học song phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử tuỳ tập mà học sinh lựa chọn cho phơng pháp giải thích hợp để có cách phân tích nhanh có hiệu qu¶ nhÊt 19 III./ KÕt luËn: 1- KÕt qu¶: Tãm lại sau học sinh đợc học phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thấy em có kỹ phân tích nhanh đặc biệt đối tợng bồi dỡng học sinh giỏi tỏ thích thú học dạng toán Chất lợng học tập học sinh đợc tăng lên rõ rệt Các em đà nắm đợc phơng pháp giải dạng toán cách thành thạo Trong thực tế áp dụng vào giảng thực nghiệm hai lớp 8B 8C dạy trờng Lớp 8B áp dụng theo đề tài, lớp 8C không áp dụng theo đề tài lớp đối chứng Tôi đà tiến hành kiểm tra kết đạt đợc nh sau: Lớp 8B 8C Giỏi SÜ sè 38 36 SL 25 10 % 64,5% 27,5% Khá SL 6 % 16,5% 16,5% Trung bình SL % 16,5% 15 42,5% YÕu SL % 2,8% 13,5% Với kết rõ ràng việc áp dụng đề tài lớp 8B đạt kết cao hơn, số học sinh giỏi nhiều Điều chứng tỏ áp dụng đề tài có hiệu giảng dạy, học sinh nhớ phơng pháp làm, đồng thời kỹ t tốt hơn, đặc biệt rèn kỹ cho học sinh giải toán nhanh 2- Những hạn chế: Bên cạnh kết đáng mừng đa số học sinh nắm đợc phơng pháp giai toán phân tích đa thức thành nhân tử số học sinh kỹ phân loại dạng toán lúng túng kỹ giải toán cha vững vàng Một số em áp dụng máy móc, cha sáng tạo dẫn đến cha có phơng pháp phân tích Một số em cha chịu khó học tập ý thức dẫn đến kết cha cao Ngợc lại giáo viên có hạn chế nh đà có phơng pháp cải tiến vận dụng đổi phơng pháp dạy học nhng hạn chế 3- Điều kiện áp dụng: Để kinh nghiệm đợc áp dụng rộng rÃi theo cần có điều kiện sau: - Nhà trờng cần thờng xuyên mở chuyên đề áp dụng đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia trao đổi lẫn Phải có phối hợp chặt chẽ trao đổi, bàn bạc tập thể giáo viên giảng dạy tổ, khối lớp 20 Giáo viên phải kiên trì biết sử dụng phơng pháp dạy học cách linh hoạt Thờng xuyên kiểm tra học sinh theo phơng pháp Giáo viên cần phải đầu t thời gian nghiên cứu dạy để đạt đợc hiệu cao Bên cạnh học sinh phải có đầy đủ phơng tiện học đặc biệt sách giáo khoa Cần ý theo dõi hớng dẫn giáo viên hăng hái tham gia nêu ý kiến đánh gía Nắm kiến thức phần có liên quan đến dạng toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" nh quy tắc dấu ngoặc, đẳng thức, chia đa thức 4- Bài học kinh nghiệm: Trớc hết giáo viên phải chuẩn bị chu đáo phục vụ cho dạy Khi hớng dẫn học sinh giải loại toán: "Phân tích đa thức thành nhân tử" giáo viên phải đa cho học sinh phơng pháp giải ®Ĩ tõ ®ã häc sinh cã thĨ lùa chän c¸ch giải thích hợp Đầu tiên giáo viên đa hệ thống tập có tính chất đơn giản sau nâng cao dần lên để học sinh t cách có hệ thống Trong dạng toán học sinh phải tìm cho cách giải thích hợp phù hợp với khả Giáo viên phải động biết phối hợp phơng pháp vào phần cụ thể để học sinh chủ động giải toán có hiệu Đối với học sinh học sinh ngời chủ động tích cực làm việc Biết phân tích toán để tìm hớng giải từ kết luận đợc toán Bên cạnh học sinh phải có ý thức tự giác học tập lớp, làm tập nhà, phân tích, đánh gía, tìm tòi để đến kết xác Phải có kiến thức tìm hớng giải thích hợp 5- Hớng đề xuất Trớc hết nhà trờng cần cung cấp đủ tài liệu tham khảo Thờng xuyên tổ chức chuyên đề để giáo viên có điều kiện trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ 6- Kết luận: Qua nghiên cứu thực nghiệm chuyên đề thân thấy kết học tập em đợc nâng lên rõ rệt chất lợng lẫn kỹ giải toán Tôi thấy việc làm thiết thực quan trọng để nâng cao chất lợng học tập toàn diện cho học sinh Học sinh phát huy đợc tính tích cực chủ động sáng tạo học tập Hệ thống tập giáo viên đa đảm bảo từ dễ đến khó để học sinh t cách hệ thống 21 Cuối giáo viên phải hiểu đợc tâm lý học sinh để chuyển tải kiến thức cho hợp lý, vừa sức với học sinh, tránh gò bó, áp đặt với học sinh Trên kinh nghiệm đợc trình bày Trong qúa trình thực không tránh khỏi thiếu sót mong đợc góp ý Ban giám khảo, đồng nghiệp bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! 22 ... lại số kiến thức phục vụ cho việc giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử a- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức khác b- Bảy đẳng thức đáng nhớ a... hạng tử thành nhiều hạng tử Phơng pháp cho đa thức cha phân tích đợc thành nhân tử Ta tách hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng phơng pháp đà biết Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a... +bc) Các toán phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp nhóm nh cuối phải đạt đợc mục đích có nhân tử chung vận dụng đợc đẳng thức đáng nhớ 4- Phơng pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng