Tổng quát: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f trên D ta thực hiện. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.. a) Trong các tam giác vuông có cạnh huyền là 12cm. Hãy xác định tam [r]
(1)BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) Định nghĩa: Cho hàm số f xác định K. a) f gọi đồng biến K nếu:
1 2
x , x K , x < x f(x ) < f(x )
b) f gọi nghịch biến K nếu:
1 2
x , x K , x < x f(x ) > f(x )
2 Định lí: Giả sử f có đạo hàm khoảng I. a) Nếu f đồng biến I thì: f'(x) 0, x I b) Nếu f nghịch biến I thì: f'(x) 0, x I 3 Định lí: Giả sử f có đạo hàm khoảng I.
a) Nếu f'(x) 0, x I f đồng biến I b) Nếu f'(x) 0, x I f nghịch biến I c) Nếu f'(x) 0, x I f khơng đổi I Chú ý:
a) Giả sử f có đạo hàm khoảng I Nếu f'(x) 0, x I (hoặc
f'(x) 0, x I ) f'(x) 0 số hữu hạn điểm I f đồng biến (hoặc nghịch biến) I
b) Nếu hàm số f liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm f'(x) 0 khoảng (a;b) f đồng biến đoạn [a;b] Tương tự cho trường hợp f nghịch biến
4 Các bước xét chiều biến thiên hàm số f (sự đồng biến nghịch biến hàm số f).
a) Tìm tập xác định
b) Tính f’(x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, …, n) mà đạo hàm không
xác định
c) Lập bảng biến thiên
d) Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số B – BÀI TẬP
Bài 1: Xét chiều biến thiên hàm số:
a) y = 2x + 3x - 13 b) y = -x + 2x - x + 13 c) y = x - 3x + 9x + 13 d) y = -x + 2x - 5x + 23 Bài 2: Xét chiều biến thiên hàm số:
a) y = x - 2x + 54 b) y = x (2 - x )2
c) y =
4
x + x -
4 d) y = -x - x + 14
(2)a) y =
x +
x b) y =
3x + 1 - x
c) y =
2
x - 2x
1 - x d) y =
2
-x - 2x + x +
e) y =
2
x - x +
x + x + f) y =
2x x
g) y = x +
1
x h) y = x -
1 x
Bài 4: CMR:
a) y = 2x - x2 đồng biến khoảng (0;1) nghịch biến khoảng (1;2) b) y = x + x - cosx - 43 đồng biến
c) y = cos2x – 2x + nghịch biến d) y = -x + x2 8 nghịch biến Bài 5: Xét chiều biến thiên hàm số:
a) y = x - 2x + 32 b) y =
x + x -
c) y = x - 42 d) y = x - x2 Bài 6: Tìm tham số m để:
a) y = mx – x3 nghịch biến
b) y =
3
1 x + mx + 4x -
3 đồng biến
c) y =
2- 2m +
x - m
mx
nghịch biến khoảng xác định d) y = x + +
m
x - 1 đồng biến khoảng xác định.
Bài 7: Chứng minh bất đẳng thức: a) tanx > x (0 < x <
) b) tanx > x +
3
x
3 (0 < x < 2
) c) sinx < x (x > 0) d) sinx > x (x <0)
e) cosx >
2
x
2
(x 0) f) sinx > x -
3
x
6 (x > 0)
g) sinx < x -
3
x
6 (x < 0) h) sinx + tanx > 2x (0 < x < 2
) i) tanx
4x
(0 x )
2
(3)a) CMR: Hàm số đồng biến nửa khoảng [2; +)
b) CMR: Phương trình 2x x - 112 có nghiệm nhất.
BÀI 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định tập D, x0D
a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0
sao cho (a;b)D f(x)<f(x0), với x(a;b)\{x0} Lúc đó, f(x0) gọi giá
trị cực đại f
b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0
sao cho (a;b)D và f(x)>f(x0), với mọi
x (a;b)\{x0} Lúc đó, f(x0) gọi giá trị cực tiểu f.
c) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị
d) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm (x0; f(x0)) gọi điểm cực trị
của đồ thị hàm số f
2 Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0
f’(x0) =
3 Định lí: (Điều kiện đủ)
Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a;b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng
(a;x0) (x0;b) Khi đó:
a) Nếu f’(x) < 0, x (a,x )0 và f’(x) > x (x ,b)0 f đạt cực tiểu điểm x
0
b) Nếu f’(x) > 0, x (a,x )0 và f’(x) < x (x ,b)0 f đạt cực đại điểm x
0
Quy tắc I:
1 Tìm tập xác định
2 Tính f’(x) Tìm điểm xi f’(x) khơng xác định
3 Lập bảng biến thiên
4 Kết luận cực trị hàm số
4 Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x) =
và f’’(x)0
a) Nếu f’’(x0) < hàm số f đạt cực đại điểm x0
b) Nếu f’’(x0) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0
Quy tắc II:
1 Tìm tập xác định
2 Tính f’(x) Tìm nghiệm xi phương trình f’(x) =
3 Tính f’’(x) f’’(xi)
o Nếu f’’(xi) < f đạt cực đại xi
o Nếu f’’(xi) > f đạt cực tiểu xi
(4)Bài 1: Tìm cực trị hàm số: a) y =
3
1 x + 2x + 3x
3 b) y =
3
1 x - x + 2x -
c) y =
4
1x + 2x + 1
4
d) y =
3
1x - x + 2
5
e) y = x + 2x - 34 f) y = x (1 - x)3 Bài 2: Tìm cực trị hàm số:
a) y =
1 x +
x b) y =
2
x - 3x + x -
c) y =
4x -
x + b) y =
2
x - 4x + x e) y = |x|(x - 2) f) y = x - 2x + 32 Bài 3: Tìm cực trị hàm số:
a) y = x - x2 b) y = x + - x2 c) y = - x2 d) y = x + 2x2
e) y =
x +
9 + x f) y =
3
x x
Bài 4: Dùng dấu hiệu 2, tìm cực trị hàm số: a) y = x4 – 2x2 + 1 b) y = sin2x – x
c) y = sinx + cosx d) y = – 2cosx – cos2x e) y = x5 – x3 – 2x + 1 f) y = cosx +
1 2cos2x
Bài 5: Tìm m để hàm số:
a) y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m đạt cực tiểu x = 2
b) y =
2
x mx +
x + m
đạt cực đại x =
c) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – cực trị.
d) y =
2
-x + mx - m
x - m có cực đại cực tiểu.
Bài 6: Tìm a, b, c, d cho hàm số:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu x = 0, f(0) = đạt cực đại x = 1, f(1) = 1
Bài 7: CMR với m hàm số:
y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + đạt cực trị x
1, x2 với x1 – x2 không phụ
thuộc m
(Học viện Ngân Hàng TPHCM 2001)
Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số: y =
2
x + 2mx +
(5)(ĐHSP Hà Nội 2001) Bài 9: CMR với m bất kỳ, đồ thị hàm số:
y =
2
x + (m + 1)x + m +
x + ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai
điểm 20 (B – 2005)
Bài 10: Tìm m để hàm số: y =
2
x + 2(m + 1)x + m + 4m
x + có cực đại cực tiểu, đồng
thời điểm cực trị đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vuông O
(KhốiA – 2007)
Bài 11: Tìm m để hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + có cực đại, cực tiểu
điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương (Cao đẳng 2009) BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D.
a) Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D nếu:
0
f(x) M, x D
x D: f(x ) = M
Kí hiệu: M = max f(x)D .
b) Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D nếu:
0
f(x) m, x D
x D: f(x ) = m
2 Cách tìm GTLN GTNN hàm số:
a) Định lí : Nếu hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn và giá trị nhỏ đoạn
b) Cách tìm GTLN, GTNN
Tổng quát: Để tìm GTLN, GTNN hàm số f D ta thực o Lập bảng biến thiên hàm số f D
o Từ bảng biến thiên suy GTLN, GTNN hàm số
Đặc biệt : Nếu D = [a;b] hàm số f liên tục D ta thực bước:
1 Tính f’(x)
2 Tìm điểm x1, …, xn (a;b) mà f’(x) f’(x)
khơng xác định
3 Tính f(a), f(b), f(x1), …, f(xn)
4 Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có: M = max f(x)[a;b] m = min f(x)[a;b]
(6)Bài 1: Tính giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y = x3 + 3x2 – 9x – [-4;3] [0;2].
b) y = x4 – 3x2 + [0;3] [-4;1].
c) y =
3 - x
2 - x [-2;-1] [ 7; 2].
d) y =
2
x - 4x +
1 x [-3;
1
2] [2;4].
e) y =
2
x + 5x +
x + [0;1].
Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y = x – +
1
x - 1 (1;+).
b) y = x –
1
x (0;2]. c) y =
2
x - x + x + x +
d) y =
x
x + e) y = |x2 – 3x + 2| [-10;10].
Bài 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y = - x2 b) y = - x [-2;3] c) y = x + - x2 d) y = x - x2
e) y =
x +
x + 1 [-1;2]. f) y = (x + 1) 1 x2
Bài 4: Tìm GTLN GTNN hàm số:
a) y = 2cos2x + 4sinx; [0;2
]
b) y = 2sinx -
4
3sin3x; [0;].
c) y = cos3x – 6cos2x + 9cosx + 5
d) y = sin3x – cos2x + sinx + 2
e) y = sin2x – x; [ 2;
] f) y = cos22x – sinxcosx.
g) y =
sin
sin sin
x
x x
(7)a) Trong tam giác vng có cạnh huyền 12cm Hãy xác định tam giác có diện tích lớn
b) Trong tất hình chữ nhật có diện tích 24m2 Hãy xác định hình chữ nhật có
chu vi nhỏ
BÀI 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ A – TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Cơng thức chuyển hệ toạ độ:
Cho I(x0;y0), công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI
:
0
x = X + x y = Y + y
2 Phương trình đường cong hệ toạ độ mới:
(C) đồ thị hàm số y = f(x) hệ toạ độ Oxy Phương trình (C) hệ toạ độ IXY:
Y = f(X + x0) – y0
B – BÀI TẬP
Bài 1: Xác định đỉnh I parabol (P) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI
viết phương trình (P) hệ toạ độ IXY a) y = 3x2 – 4x + 1 b) y =
1
x2 + x –
c) y = -x2 + 3x d) y = 3x2 –
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 6x2 + có đồ thị (C).
a) Tìm I (C) biết f’’(xI) = 0
b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI
, viết phương trình (C) hệ toạ độ IXY Suy (C) nhận I làm tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) I Chứng minh khoảng (-;2).
(C) nằm phía tiếp tuyến I (C) khoảng (2;+) (C) nằm phía trên
tiếp tuyến
Bài 3: Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI
viết phương trình (C) hệ toạ độ IXY Suy I tâm đối xứng (C) Biết:
a) (C): y = –
1
x + , I(-2;1).
b) (C): y =
4 - 3x
1 - x , I(1;3).
c) (C): y =
2
x - 5x +
x - , I(1;-3).
(8)a) y = +
2
x - b) y =
4x - x +
BÀI 5: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang.
a) Định nghĩa : Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt
tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
0
x +lim f(x) = y xlim f(x) = y
b) Định nghĩa : Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị
hàm số y = f(x) điều kiện sau thoả:
-0
x xlim f(x) = +
; x x+0
lim f(x) = +
-0
x xlim f(x) = -
; x x+0
lim f(x) =
-
2 Đường tiệm cận xiên:
a) Đường thẳng y = ax + b, a0 gọi đường tiệm cận xiên (gọi tắt tiệm cận xiên) đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
xlim [f(x) - (ax +b)] = 0 xlim [f(x) - (ax +b)] = 0 b) Cách tìm đường tiệm cận xiên :
Nếu (C): y = f(x) =
P(x)
Q(x) với P(x), Q(x) đa thức mà bậc P(x) =
bậc Q(x) + ta tìm tiệm cận xiên sau: - Chia đa thức P(x) cho Q(x), ta có:
f(x) = ax + b +
R(x) S(x) với x
R(x)
lim
S(x)
- Đồ thị có tiệm cận xiên: y = ax + b
Ngồi ta tìm a, b tiệm cận xiên y = ax + b sau: a = x
f(x) lim
x
; b = xlim [f(x) - ax] a = x
f(x) lim
x
; b = xlim [f(x) - ax] B – BÀI TẬP
(9)a) y =
4x
3 - x b) y =
2 3x +
c) y =
3
x +
d) y =
2x - x -
e) y =
2
x - x +
2 - x - x f) y =
x 2x
Bài 2*: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số:
a) y = x + +
2x -
x b) y =
3
x x +2x+1
c) y =
3
x + x -
x d) y =
2
x - x + -3x x +2
Bài 3*: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số: a) y = x - 2x2 b) y = x + x - 42 c) y = 2x + x + 92 d) y = x + 2x + 52
e) y = 3x 9x2 x1 f) y =
1
x x
Bài 4*: Cho hàm số: y =
2
x - x +
1 - x có đồ thị (C).
a) Tìm tiệm cận (C)
b) Tìm M (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận (C) nhỏ nhất.
Bài 5*: Cho hàm số: y =
2
mx (3m - 2)x -
x + 3m