Chứng minh N là trung điểm của EF c Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với... Vậy giá trị nhỏ nhất của M là..[r]
(1)đề thi học sinh giỏi -MễN : TOÁN Lớp : §Ò sè Bài : a) Phân tích đa thức x – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – và B = 2x – Bài : Cho x + y = và x y Chứng minh x y x y 0 y x3 x y Bài : Cho a2 – 4a +1 = Tính giá trị biểu thức P = a4 a2 a2 a 2a 2009 Bài : Tìm a để M có giá trị nhỏ M = với a o a2 Bài : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC E và F a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N là trung điểm EF c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA Bài : Cho tam giác ABC vuông cân A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC D Tìm tỉ số BD DC Hết HƯỚNG DẪN Bài : a) x3- 5x2 + 8x - = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – =(x–1)(x–2)2 b) Xét A 10 x x 5x B 2x 2x Với x Z thì A B Z ( 2x – 3) 2x Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; -2; ; thì A B Bài : ( 1,5 đ) Biến đổi = = = = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) x x4 x y y x y = y x ( y 1)( x 1) y ( x y) xy ( y y 1)( x x 1) ( 0,25 đ) ( x+y=1 y-1=-x và x-1=- y) x y x y x y ( x y ) xy ( x y y x y yx xy y x x 1) x y ( x y 1) xy x y xy ( x y ) x y xy GiaoAnTieuHoc.com (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (2) = = = x y ( x x y y ) = x y x( x 1) y ( y 1) 2 2 (0,25đ) xy ( x y 3) xy x y ( x y ) x y x( y ) y ( x) x y (2 xy ) = (0,25đ) xy ( x y 3) xy ( x y 3) 2( x y ) Suy điều cần chứng minh x2 y 2 Bài : (0,75đ) Ta có a2 - 4a + = a2 – a + = 3a (0,25đ) a2 a =3 a a4 a2 a2 a a2 a a2 a 1 P= =3 a2 a a a 2 a a a a 2a Mà = 3+2 = a a a (0,25đ) (0,25đ) Suy P = = 15 (0,25đ) 2008(a 2a 2008) 2008a 2.a.2008 2008 = 2008a 2008a 2007a a 2a.2008 20082 2007 (a 2008) 2007 = (0,25đ) = 2008a 2008 2008a 2008 2 Bài : ( đ) M = (0,25đ) (0,25đ) Dấu “=” xảy a – 2008 = a = 2008 2007 a = 2008 2008 Vậy giá trị nhỏ M là (0,25đ) Bài :(2,5đ) DF DC ( Do AM//DF) (1) AM MC DE BD ( Do AM // DE) (2) AM BM DE DF BD DC BC ( MB = MC) Từ (1) và (2) AM BM BM DE + DF = AM Câu a ( 0,75đ): Lý luận : ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ) Câu b ( đ) : AMDN là hình bành hành NE AE ND AB NF FA DM DM AE ND AC MC BM AB NE NF => NE = NF ND ND Câu c : ( 0,75đ) AMC và FDC đồng dạng Ta có (0,25đ) (0,5 đ) (0,25đ) S AM AMC S FDC FD FNA và FDC đồng dạng S FNA NA S FDC FD ( 0,25đ) GiaoAnTieuHoc.com (3) S S FNA DM ND AMC và S FDC FD S FDC DC 2 S AMC S FNA ND DM ND DM S FDC S FDC FD DC 16 FD DC S2FDC 16 SAMC.SFNA (0,25đ) (0,25đ) ( Do x y x y xy x y 16 x y với x 0; y 0) 2 2 Bài : ( đ) BD Kẻ MI // BC ( I AD) MI = F MI MH ( Do MI // BC) DC HC BD MH ( 1) DC HC Ta có : A N E ( 0,25đ) MAH và ACH đồng dạng ( g-g) MH MA ( ABC vuông cân A nên AB = AC ) AH AC AH = MH AMC vuông , ta có AH2 = MH HC 4MH2 = MH.HC HC = MH D B M C ( 0,25đ) A ( 0,25đ) Thay vào (1) ta có : BD MH BD DC MH DC M I H ( 0,25đ) B D §Ò sè x 10 x Bài 1: Cho biểu thức M = : x x x x x x a) Rút gọn M x2 10 x x2 : = x : x x( x 2)( x 2) 3( x 2) x x x x 3x x 6 x2 M= = ( x 2)( x 2) 2 x 1 1 b)Tính giá trị M x = : x = x = x = 2 2 1 1 1 Với x = ta có : M = = = Với x = - ta có : M = = = 3 5 2 2 2 2 2 M= Bài 2: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác và khác 0, đồng thời thoả mãn GiaoAnTieuHoc.com C (4) x2 y2 z2 a b c x y z và Chứng minh x y z a b c a b c ayz bxz cxy a b c ayz + bxz + cxy = HD Từ x y z xyz x y z 2 xy yz xz x y z 2 xyc yza xzb x y z Từ + + + = 1 + + + =1 a b c bc ac abc abc acb a b c ab a b c Mà ayz + bxz + cxy = 2ayz + 2bxz + 2cxy = (Do abc 0) x2 y2 z2 Hay (đpcm) a b c Bài 3: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh tam giác thì A < a Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) b.Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác) Vậy A< 3( x 1) x x2 x 1 3( x 1) 3( x 1) 3( x 1) B= = = = x x x x ( x 1) x ( x 1)( x 1) x 1 Do x2 +1>0 nên B = Dấu ''='' xãy x = = x 1 Vậy GTLN B là x = Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B = Bài : Cho hình vuông ABCD Hai điểm I,J thuộc hai cạnh BC và CD cho góc IAJ =450 Đường chéo BD cắt AI và AJ tương ứng H và K Tính tỉ số B A H HK IJ Giải: Từ giả thiết góc HAJ = góc HDJ =450, suy tứ giác AHJD nội tiếp, từ đó góc AHJ =1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân H AH (1) AJ AK Xét tương tự ta có (2) AI Từ (1) và (2) suy AHK ~ AJI Do đó HK AH = AJ IJ K D Suy §Ò sè C©u GiaoAnTieuHoc.com I J C (5) Cho T= ( x 1) x x( x 4) x x : x3 x ( x 1) x( x 2) a/ Rót gän T b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn HD*TX§ x a/ Rót gän T= ( x 1) x x( x 4) x x ( x 1) x 1 : : = = 2 2 x x 2 ( x 1) x( x 2) x x 2x 2x 2x ( x 1) 1 = ( x 1)( x x 2) x ( x 1) b/ Để T đạt giá trị lớn thì ( x 1)2 nhỏ mà (x+1)2 +1>1 VËy x=-1 th× T=1 lµ lín nhÊt x yz y xz Bài 2: Chứng minh Với x y ; xyz ; yz ; xz x(1 yz ) y (1 xz ) Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) HD Từ GT (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = (x -y) xy xyz ( x y z ) xz yz = Do x - y nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x2-4xy+5y2=16 HD Ta có: x2-4xy+5y2=16 x2-4xy+4y2+y2 = 16 (x-2y)2+y2 = 16 Vì x, y Z nên (x-2y) Z Tổng hai bình phương hai số nguyên 16 thì có khả xảy a) (x-2y)2=0 x=8; y=4 y =16 x=-8; y=-4 b) y2=0 (x-2y)2=16 x=4; y=0 x=-4; y=0 Vậy phương trình có nghiệm nguyên: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4) Câu (2 điểm): Một người xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách 80km Một nửa sau người xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trước người xe máy 10 phút TÝnh vËn tèc cña mçi xe, biÕt vËn tèc cña xe « t« gÊp 1,5 lÇn vËn tèc xe m¸y GiaoAnTieuHoc.com (6) HD Gọi vận tốc người xe máy là x km/h (x > 0) => vận tốc người xe ô tô là 1,5x km/h thời gian người xe máy là: theo bµi ta cã pt: 80 80 (h) , thời gian người xe ô tô là: ( h) 1,5x x 80 80 = x 1,5x gi¶i pt trªn ®îc x= 40 (ô tô trước 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) = (h) Vậy vận tốc người xe máy là 40 km/h, vận tốc người xe « t« lµ 60 km/h Bài 4: Cho tam giác ABC có góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng vuông góc với AB B và đường thẳng vuông góc với AC C cắt G a) Chứng minh GH qua trung điểm=của BC A b) ABC ~ AEF c) BDF = CDE E d) H cách các cạnh tam giác DE F Giải H a)BG AB, CH AB, nên BG // CH Tương tự BH AC, CG AC nên BH//CG Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song song nên nó là hình bình hành B Do đó hai đường chéo cắt trung D điểm đường.Vậy GH qua trung điểm M BC b) Do BE và CF là các đường cao tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông G Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng Suy AB AE AB AC (1) AC AF AE AF Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) Từ (1) và (2) suy ABC ~ AEF c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy BDF ~ EDC BDF = CDE d) Ta có BDF = CDE 900 - BDF = 900 - CDE 900 - BDF = 900- CDE ADB - BDF = ADC - CDE ADF = ADE Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD Suy H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H cách ba cạnh tam giác DEF §Ò sè Bµi a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n + lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ; 5n + GiaoAnTieuHoc.com C (7) n2 + b) Cho ph©n sè A = (nN) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 cho ph©n n+ số A cha tối giản Tính tổng tất các số tự nhiên đó Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay M d d = 3n + VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n 5n + 29 29 b) Ta cã A = n - + §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i cha tèi gi¶n Suy n+ n+ n + ph¶i chia hÕt cho mét c¸c íc d¬ng lín h¬n cña 29 V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + M 29 n + =29k (k N) hay n=29k – Theo điều kiện đề bài thì ≤ n = 29k – < 2009 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 1 1 + + = a b c a+ b+ c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ đó suy : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 Ta cã : + + = + + =0 a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c a+ b a+ b c(a + b + c) + ab + = (a + b) =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa + b = éa = - b ê ê (a + b)(b + c)(c + a) = êb + c = êb = - c ®pcm ê ê êc + a = êc = - a ë ë 1 1 1 Từ đó suy : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + + 2009 = 2009 2009 a b c a (- c) c a 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 2009 + 2009 + 2009 = 2009 a b c a + b 2009 + c2009 Bµi Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iÒu kiÖn Bµi 3:Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 HD : B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + GiaoAnTieuHoc.com (8) MinB = : {xx +- 2y == 00) {yx== -22) Bµi 4: §Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy giao làm khối lượng công việc Nếu hai tổ làm chung thì hoµn thµnh 15 giê NÕu tæ I lµm giê, tæ lµm giê th× lµm ®îc 30% c«ng viÖc NÕu c«ng viÖc trªn ®îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian để hoàn thành Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng vuông góc với AB B và đường thẳng vuông góc với AC C cắt G a) Chứng minh GH qua trung điểm BC b) ABC ~ AEF = c) BDF = CDE A d) H cách các cạnh tam giác DEF E F Giải H a)BG AB, CH AB, nên BG // CH Tương tự BH AC, CG AC nên BH//CG Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song B song nên nó là hình bình hành D Do đó hai đường chéo cắt trung điểm đường.Vậy GH qua trung điểm M BC b) Do BE và CF là các đường cao tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng Suy C G AB AE AB AC (1) AC AF AE AF Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) Từ (1) và (2) suy ABC ~ AEF c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy BDF ~ EDC BDF = CDE d) Ta có BDF = CDE 900 - BDF = 900 - CDE 900 - BDF = 900- CDE ADB - BDF = ADC - CDE ADF = ADE Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD Suy H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H cách ba cạnh tam giác DEF VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc : ö ö ö æ æ æ çç + ÷ çç + ÷ çç1 + ÷ A= + + ÷ ÷ ÷ ÷ (a + b)4 è ÷ (a + b)5 è ÷ ça b ø ça b ø ça b ø (a + b)3 è Lêi gi¶i 2 §Æt S = a + b vµ P = ab Suy : a + b = (a + b)2 – 2ab = S - 2P GiaoAnTieuHoc.com (9) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a+ b S 1 a + b S - 2P + = = ; Do đó : + = = ; a b ab P a2 b2 a2b2 P2 1 a + b S - 3SP + = = a3 b3 a 3b3 P3 S - 3SP S - 2P S Ta cã : A = + + S P3 S P2 S P 2 S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 = + + = = S2P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dô Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i C¸ch x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca = Ax2 – Bx + C S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) 1 + + víi : A = ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a+ b b+ c c+ a B= + + ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b- a + c- b + a- c = 0; Ta cã : A = (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) b - a + c2 - a + a - c2 B= = =0 ; (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) C= = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1x (®pcm) C¸ch Đặt P(x) = S(x) – thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá Do đó, P(x) có tèi ®a hai nghiÖm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x) §iÒu nµy chØ x¶y vµ chØ P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = x GiaoAnTieuHoc.com (10) Suy S(x) = x ®pcm VÝ dô Cho x + = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 a) A = x + ; b) B = x + ; c) C = x + ; d) D = x + x x x x Lêi gi¶i ö æ 1÷ a) A = x + = ç x+ ÷ - = 9- = ; ç ç è ø x x÷ æ 1ö æ 1ö ÷ ç b) B = x + = ç x + x+ ÷ ÷ ÷= 27 - = 18 ; ç ç ç ç è ø è ø x x÷ x÷ ö æ ÷ c) C = x + = ççx + ÷ - = 49 - = 47 ; çè ø x x ÷ æ ö 1 öæ ççx + ÷ = x + + x + = D + D = 7.18 – = 123 d) A.B = ççx + ÷ ÷ ÷ çè ç øè ø x ÷ x ÷ x x5 ax + b c = + Ví dụ Xác định các số a, b, c cho : (x + 1)(x - 1) x + x - Lêi gi¶i ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x + 1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) Ta cã : + = = x + x- (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x - 1) §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta đợc : (x + 1)(x - 1) ìï a + c = ìï a = - ïï ïï - x- 1 = + í b - a = Û í b = - VËy ïï ïï (x + 1)(x - 1) x + x - ïïî c - b = ïïî c = §Ò sè Bài :( 1,5 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – và B = 2x – Bài : (1,5 điểm) Cho x + y = và x y Chứng minh x y x y 0 y x3 x y Bài : ( 2,5 điểm) a) Chứng minh tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho 10 GiaoAnTieuHoc.com (11) x2 x 3 b) Chứng minh : x x 1 c) Cho a2 – 4a +1 = Tính giá trị biểu thức P= a4 a2 a2 Bài : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ a 2a 2008 M= với a o a2 Bài : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC E và F a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N là trung điểm EF c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA Bài : ( điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC D Tìm tỉ số BD DC Hết HƯỚNG DẪN CHẤM Bài : ( 1,5 điểm) a) ( 0,75đ) x3- 5x2 + 8x - = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10 x x 5x b) (0,75đ) Xét B 2x 2x Với x Z thì A B Z ( 2x – 3) 2x Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; -2; ; thì A B Bài : ( 1,5 đ) Biến đổi = = = = = x ( x+y=1 y-1=-x và x-1=- y) xy ( y y 1)( x x 1) x y x y x y ( x y ) xy ( x y y x y yx xy y x x 1) x y ( x y 1) xy x y xy ( x y ) x y xy x y ( x x y y ) = x y x( x 1) y ( y 1) 2 2 xy x y ( x y ) x y x( y ) y ( x) xy ( x y 3) ( 0,25 đ) ( 0,25 đ) ( 0,25 đ) x4 x y y x y = y x ( y 1)( x 1) y ( x y) ( 0,25 đ ) ( 0,25 đ) ( 0,25 đ) = xy ( x y 3) x y (2 xy ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) xy ( x y 3) 11 GiaoAnTieuHoc.com (12) = 2( x y ) x2 y Suy điều cần chứng minh (0,25đ) Bài : ( 2,5 điểm) a) ( 0,75đ) Gọi số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n Z ) Ta có ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n = 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n = 3n (n-1) (n+1) +9n 9n Vì 3n(n 1)(n 1) (0,25đ) (0,25đ) 3n (n-1) (n+1) + 9n (0,25đ) b) (1đ) Ta có (x+1)2 2( x+1)2 2x2+4x+2 3x2+3x+3 x2-x+1 3(x2+x+1) x2-x+1 (*) Tương tự, ta có từ (x-1)2 3(x2-x+1) x2+x+1 (**) (0,25đ ) Vì x2-x+1 = ( x- )2 + > (0,25đ) Chia vế bất đẳng thức (*) cho x2-x+1 x2 x ta có x2 x Chia vế bất đẳng thức (**) cho x2-x+1 x2 x suy đccm ta có x2 x c) (0,75đ) Ta có a2 - 4a + = a2 – a + = 3a (0,25đ) (0,25đ) a2 a =3 a a4 a2 a2 a a2 a a2 a 1 = a2 a a a 2 a a a a 2a Mà = 3+2 = a a a P= (0,25đ) (0,25đ) Suy P = = 15 (0,25đ) 2008(a 2a 2008) 2008a 2.a.2008 2008 = 2008a 2008a 2007a a 2a.2008 20082 2007 (a 2008) 2007 = (0,25đ) = 2008a 2008 2008a 2008 2 Bài : ( đ) M = (0,25đ) (0,25đ) Dấu “=” xảy a – 2008 = a = 2008 Vậy giá trị nhỏ M là 2007 a = 2008 2008 (0,25đ) Bài :(2,5đ) DF DC ( Do AM//DF) (1) AM MC DE BD ( Do AM // DE) (2) AM BM DE DF BD DC BC ( MB = MC) Từ (1) và (2) AM BM BM DE + DF = AM Câu a ( 0,75đ): Lý luận : Câu b ( đ) : AMDN là hình bành hành 12 GiaoAnTieuHoc.com ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ) (13) NE AE ND AB NF FA DM DM AE ND AC MC BM AB NE NF => NE = NF ND ND Câu c : ( 0,75đ) AMC và FDC đồng dạng Ta có (0,25đ) (0,5 đ) (0,25đ) S AM AMC S FDC FD FNA và FDC đồng dạng S NA FNA S FDC FD ( 0,25đ) S S FNA DM ND AMC và S FDC FD S FDC DC 2 S S ND DM ND DM AMC FNA S FDC S FDC FD DC 16 FD DC S2FDC 16 SAMC.SFNA (0,25đ) (0,25đ) ( Do x y x y xy x y 16 x y với x 0; y 0) 2 2 F A N Bài : ( đ) Kẻ MI // BC ( I AD) MI = BD E MI MH ( Do MI // BC) DC HC BD MH ( 1) DC HC Ta có : D B M C ( 0,25đ) MAH và ACH đồng dạng ( g-g) MH MA ( ABC vuông cân A nên AB = AC ) AH AC AH = MH AMC vuông , ta có AH2 = MH HC 4MH2 = MH.HC HC = MH ( 0,25đ) A ( 0,25đ) Thay vào (1) ta có : BD MH BD DC MH DC M I ( 0,25đ) H B §Ò sè 13 GiaoAnTieuHoc.com D C (14) Bài ( 2,0 điểm ) : x3 1 x x(1 x ) Cho biểu thức P = x x : x x x2 a) Tìm tập xác định P rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên x để P có giá trị là số nguyên Bài ( 2,5 điểm ) : a) Cho biểu thức M= x 2x Với giá trị nào x thì M có giá trị lớn ? Tìm giá trị lớn đó ? b) Giải bài toán sau cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m Tính diện tích hình chữ nhật đó ? Bài ( 2,5 điểm ) : a) Cho a và b Chứng minh : 1 Dấu “ = ” xảy nào ? 2 ab 1 a 1 b m 3m 4m b) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : 2 xm xm m x Bài ( 3,0 điểm ) : Cho ABC vuông A, có B = 200 Vẽ phân giác BI ABC ( I AC ) và lấy điểm H AB cho ACH = 300 : a) Chứng minh BI2 < AB BC ? b) Vẽ CK là phân giác HCB, chứng minh CK // IH ? c) Tính số đo CHI ? HD Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Tập xác định x 1; x - và x + Rút gọn P = x 2 x 2 0,25đ 0,75đ b) 1,0 điểm + Viết P= x - x 0,25đ + Để P có giá trị nguyên thì x là ước x = ( loại ) 0,25đ x = ( nhận ) .0,25đ 14 GiaoAnTieuHoc.com (15) + Từ đó các giá trị nguyên P là và - 0,25đ Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Viết M = 0,25đ ( x 1) + Vì ( x + )2 với x ( x + )2 + với x .0,25đ + Có M nên M có giá trị lớn là M = .0,25đ + Dấu “ = ” xảy x = -1 .0,25đ b) 1,5 điểm Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + (m), điều kiện x > .0,25đ 2 Theo định lý Pi-ta-go thì x + ( x + ) = 13 0,25đ 2 x + x + 14x + 49 = 169 2x2 + 14x - 120 = ( x + 12 )( 2x - 10 ) = Vậy x = -12 ( loại ) x = ( nhận ) .0,5đ Tính diện tích hình chữ nhật S = 60m2 .0,5đ Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Chuyển vế và tách - 1 =1 ab ab ab 0,25đ + Nhóm, quy đồng mẫu nhóm và thực đúng phép cộng 0,25đ + Đặt nhân tử chung trên tử thức để có : (b a ) (ab 1) 0,25đ (1 a )(1 b )(1 ab) + Vì a và b nên phân thức trên ; từ đó suy điều cần c/m 0,25đ b) 1,5 điểm + ĐKXĐ : x m .0,25đ + Quy đồng và khử mẫu vế, đưa PT ( m - ).x = ( m - )( 2m - ) 0,25đ + Với m ta có x = 2m -3 0,25đ + Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - m m và 2m - - m m 0,25đ Vậy m và m thì PT đã cho có nghiệm x = 2m - 0,25đ + Với m = 1, PT có dạng 0.x = số thực x là nghiệm PT 0,25đ 15 GiaoAnTieuHoc.com (16) Bài ( 3,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) B + Có BIC > A Vẽ BIN = A ( N BC ) 0,25đ ABI ∽ IBN ( g-g ) .0,25đ AB/ BI = BI/ BN BI2 = AB.BN 0,25đ + Có BN < BC nên BI2 < AB.BC 0.25đ M K H A I b) 1,5 điểm + Tính HCB = 400 HCK = BCK = 200 0,25đ N + Tam giác vuông AHC có ACH = 300 AH = CH/2 0,25đ (1) + Vì CK là phân giác HCB nên kết hợp với (1) C AH CH BC 0,25đ (2) HK HK BK BC AB BC AB + Vẽ KM BC M thì BMK ∽ BAC ( g-g ) 0,25đ BK BM BK BM BC AB AH IA AB Kết hợp với (2) (3) ; vì BI là phân giác ABC nên (4) 0,25đ BK BC HK IC BC IA AH + Từ (3) & (4) HI // CK IC HK 0,25đ c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 200 ( góc so le ) 0,5đ §Ò C©u (1,5 ®iÓm): a/ TÝnh nhanh: 999.1001+992 b/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : +/ x2-7x+10 +/ x2-2x-y2+1 C©u (2 ®iÓm): x 3x x 1 1 1 b/ So s¸nh A vµ B biÕt: A= (1+ )(1+ )(1+ )(1+ )(1+ 16 )(1+ 32 ) vµ B=2 2 2 2 a/ Giải phương trình: C©u (2 ®iÓm): Cho T= ( x 1) x x( x 4) x x : x3 x ( x 1) x( x 2) a/ Rót gän T 16 GiaoAnTieuHoc.com (17) b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn Câu (2 điểm): Một người xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách 80km Một nửa sau người xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trước người xe máy 10 phút Tính vận tốc cña mçi xe, biÕt vËn tèc cña xe « t« gÊp 1,5 lÇn vËn tèc xe m¸y C©u 5: (2,5 ®iÓm): Cho ABC vu«ng t¹i A; H n»m trªn ®o¹n BC ( H kh«ng trïng B hoÆc C) Gọi E, F là điểm đối xứng H qua AB, AC và HE cắt AB P, HF cắt AC Q a/ Tø gi¸c HPAQ lµ h×nh g×? T¹i sao? b/ Chøng minh: AC.BP=AB.AQ c/ Chøng minh ba ®iÓm: E, A, F th¼ng hµng @ -HD C©u (1,5 ®iÓm): a/ TÝnh nhanh: 999.1001+992 = (1000-1)(1000+1)+(100-1)2 =10002-1+1002-200+1= 1000000+10000-200=1009800 ( 0,5 ®iÓm) b/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: +/ x2-7x+10 = (x2-2x)-(5x-10)= x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5) ( 0,5 ®iÓm) +/ x2-2x-y2+1= (x2-2x+1)-y2 = (x-1)2-y2 = (x-1+y)(x-1-y) C©u (2 ®iÓm): ( 0,5 ®iÓm) x 3x x 4( x 1) 6(3 x 4) x 12 12 12 20 4(x-1)=6(3x-4)-3x 4x-4=18x-24-3x => x= 11 a/ Giải phương trình: 1 1 1 1 ( ®iÓm) b/ Ta cã 1 A= 1 (1+ )(1+ )(1+ )(1+ )(1+ 16 )(1+ 32 ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 )(1+ )(1+ )(1+ )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- )(1+ )(1+ )(1+ 16 )(1+ 32 ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = (1- )(1+ )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- 16 )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- 32 )(1+ 32 ) = (1- 64 ) 2 2 2 2 2 1 1 => A = 2(1- 64 ) = - 63 Do 63 > => - 63 < VËy A<B ( ®iÓm) 2 2 ( x 1) x x( x 4) x x : C©u (2 ®iÓm): Cho T= TX§ x x x 2 ( x 1).2 x( x 2) = (1- 17 GiaoAnTieuHoc.com (18) a/ Rót gän T= ( x 1) x x( x 4) x x ( x 1) x 1 : : = = 2 2 x x 2 ( x 1) x( x 2) x x 2x 2x 2x ( x 1) 1 = ( x 1)( x x 2) x ( x 1) ( ®iÓm) b/ Để T đạt giá trị lớn thì ( x 1) nhỏ mà (x+1)2 +1>1 VËy x=-1 th× T=1 lµ lín nhÊt ( ®iÓm) Câu (2 điểm): Gọi vận tốc người xe máy là x km/h (x > 0) => vận tốc người xe ô tô là 1,5x km/h thời gian người xe máy là: theo bµi ta cã pt: (0,5 ®iÓm ) 80 80 (h) , thời gian người xe ô tô là: ( h) (0,5®iÓm ) 1,5x x 80 80 = x 1,5x (ô tô trước 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) = gi¶i pt trªn ®îc x= 40 (h) (0,5®iÓm ) Vậy vận tốc người xe máy là 40 km/h, vận tốc người xe ô tô là 60 km/h (0,5®iÓm ) Câu 5: (2,5 điểm) HS vẽ hình, ghi giả thiết đúng a/ Tø gi¸c HPAQ lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã gãc vu«ng B : : : PAQ = 900; HPA = 900; HQA = 900 E (0,25 ®iÓm ) b/ Do HP// AC => PBH : ABC => P H Q AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ C c (0,75 ®iÓm ) A F §Ò Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: x x x 2008 x 2007 x 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Giải phương trình: 18 GiaoAnTieuHoc.com (0,75 ®iÓm ) PB PH AB AC (0,75 ®iÓm ) (19) x 3x x 2 1 1 x x x x x x x x x Bµi 3: (2®iÓm) 1 a b c T×m sè d phÐp chia cña biÓu thøc x x x x 2008 cho ®a thøc CMR với a,b,c,là các số dương ,ta có: (a+b+c)( ) x 10 x 21 Bµi 4: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H BC) Trªn tia HC lÊy ®iÓm D cho HD = HA §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M là trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM và BEC đồng dạng TÝnh sè ®o cña gãc AHM Tia AM c¾t BC t¹i G Chøng minh: GB HD BC AH HC 19 GiaoAnTieuHoc.com (20) Bµi 1 C©u Néi dung §iÓm 2,0 1.1 (0,75 ®iÓm) x x x x x x x 1 x 1 0.5 x 1x 1.2 0,5 (1,25 ®iÓm) x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 x x 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 2 2 2 x x 1x x 1 2007 x x 1 x x 1x x 2008 2 2 2 2.1 0,25 0,25 2,0 x x x (1) + NÕu x : (1) x 1 x (tháa m·n ®iÒu kiÖn x ) + NÕu x : (1) x x x x x 1 x 1x 3 x 1; x (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm là x 2.2 0,25 0,5 2 0,5 1 1 x x x x x (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 2 1 1 (2) x x x x x x x x x 0,25 1 2 x x x x 16 x x x hay x 8 vµ x Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 8 20 GiaoAnTieuHoc.com 0,5 0,25 (21)