Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7

Toán Họa tổng hợp Trang [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN ĐỀ SỐ HUYỆN ĐỨC PHỔ - NĂM 15 – 16 Câu 1: (5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P  a  1 a , với a  2014 2016 2015 b) Tìm số ngun x để tích hai phân số x 1 số nguyên x 1 Câu 2: (5 điểm) a) Cho a  2; b  Chứng minh ab  a  b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thứ hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông D DF  DE , kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF  E  F  a) Chứng minh MDH b) Chứng minh EF  DE  DF  DH Câu 4: (2 điểm) Cho số  a1  a2  a   a15 Chứng minh a1  a2  a   a15 a5  a10  a15 5 Câu 5: (5 điểm)  ACB  cắt I (E, F lần   120 Các tia phân giác BE, CF ABC Cho ∆ABC có A   CIN   300 lượt thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BIM  a) Tính số đo MIN b) Chứng minh CE + BF < BC Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM Câu NỘI DUNG ĐÁP ÁN a) Tính giá trị biểu thức P  a  Thay a  1 a , với a  2014 2016 2015 1 1    vào biểu thức P  2015 2014 2015 2016 2015 Ta có P  2.5 đ 1  2014 2016 P 2016  2014  2014.2016 2014.2016 Đặt A  0.5 0.5 0.5 1  1007.2016 2030112 b) Tìm số ngun x để tích hai phân số 2.5 đ 0.25 1 1    2014 2015 2015 2016 P P  Điểm 0.75 x 1 số nguyên x 1 x 1  x 1  x 1  x 1  2(x  1) x 1  2x  x 1  2(x  1)  4  2 x 1 x 1 0.25 0.25 0.25 0.25 Để A nhận giá trị nguyên x  Ư(4) = 1; 2; 4 Suy x  0; 2;1; 3; 3; 5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Tốn ! 0.5 Toán Họa tổng hợp Trang [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN a) Cho a  2; b  Chứng minh ab  a  b 0.5 1 Từ a    a b2 2đ Suy 1  b 0.5 1 a b  1 1 a b ab 0.5 0.5 Vậy ab  a  b b) Gọi diện tích ba hình chữ nhật S1, S , S , chiều dài, chiều rộng 3đ 0.5 tương ứng d1, r1; d2 , r2 ; d3 , r3 theo đề ta có: S1 S2  S2 ;  d1  d2 ; r1  r2  27; r2  r3 , d3  24 S3 0.5 0.25 Vì hình thứ hình thứ hai chiều dài S1 S2  r r r  r2 r1 27      3 r2 9 0.25 0.25 Suy chiều rộng r1  12cm, r2  15cm Vì hình thứ hai hình thứ ba chiều rộng S2 S3  7d d2 7.24   d2    21cm d3 8 Vậy diện tích hình thứ hai S  d2r2  21.15  315 cm Diện tích hình thứ S1  Diện tích hình thứ ba S  4 S  315  252 cm 5 8 S  315  360 cm 7 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang [Document title] 3đ ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN F K I M H D E 0.5  E  F  a) Chứng minh MDH Vì M trung điểm EF suy MD  ME  MF   MDE   MDE cân M  E  F  phụ với E  Mà HDE 0.25 0.25   MDE   HDE  Ta có MDH 0.25  E  F  Vậy MDH 0.25 b) Chứng minh EF  DE  DF  DH Trên cạnh EF lấy K cho EK  ED , cạnh DF lấy I cho DI  DH Ta có EF  DE  EF  EK  KF 0.25 DF  DH  DF  DI  IF Ta cần chứng minh KF  IF 0.25   EKD  - EK  ED  DEK cân  EDK   KDI   EKD   HDK   900 - EDK   HDK   KDI 0.25 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN - DHK  DIK (c-g-c)   DHK   900  KID 0.25 Trong ∆KIF vuông I  KF  FI điều phải chứng minh 0.25 Ta có a1  a2  a  a  a  5a5 (2đ) a6  a  a  a  a10  5a10 0.5 a11  a12  a13  a14  a15  5a15 0.5 0.5 Suy a1  a2   a15  5(a5  a10  a15 ) Vậy a1  a2  a   a15 a5  a10  a15 5 0.5 A (5đ) 120° F E I B M N C 0.5 - Vẽ hình đúng, đủ, xác 0.5  a) Tính số đo MIN 0.5    Ta có ABC  ACB  180  A  60   0.5 1 1 B  C  300 2   1500 BIC   CIN   300  MIN   900 Mà BIM 0.5 0.25 0.25 b) Chứng minh CE  BF  BC   1500  FIB   EIC   300 - BIC Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN Suy BFI  BMI (g-c-g)  BF  BM 0.5 - CNI  CEI ( g-c-g)  CN  CE 0.5 Do CE  BF  BM  CN  BM  MN  NC  BC 0.5 Vậy CE  BF  BC 0.25 0.25 - Một tốn có nhiều cách giải khác phù hợp đạt điểm tối đa Giám khảo cần thảo lụân, thống đáp án biểu điểm trước chấm Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN ĐỀ SỐ ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 3  11 12  1,   0, 75 a Thực phép tính: 5 0,265  0,   2,   1,25 11 12 0, 375  0,  b So sánh: 50  26  168 Câu a Tìm x biết: x    2x  2x  b Tìm x ; y  Z biết: xy  2x  y  c Tìm x; y; z biết: 2x  3y ; 4y  5z 4x  3y  5z  Câu a Tìm đa thức bậc hai biết f x   f x  1  x Từ áp dụng tính tổng S      n b Cho 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z   Chứng minh:   a 2b 3c a 2b 3c Câu   90o ), đường cao AH Gọi E; F điểm đối xứng H Cho tam giác ABC ( BAC qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC M N Chứng minh rằng: a AE  AF ; ; b HA phân giác MHN c CM //EH ; BN //FH Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý a 0,5 điểm Nội dung 3 3 3      A = 10 11 12  53 5 5 5       100 10 11 12 1 1 1 1 1           10 11 12    A   1 1 53 1           10 11 12    100 0.25 165  132  120  110      1320    66  60  55  53    5   100 660 Câu 1,5 điểm  263 1320 53 49  100 660  263 3 3945 1881 1320      1749  1225 5948 29740 3300 b điểm Ta có: Vậy: a điểm 50  49  ; 50  26      13  169  168  x  ta có:  x  2x   2x   x  2 (loại) Câu Nếu x  điểm ta có:  x   2x  2x   x  Vậy: x  ; x  b 1.5 26  25  Nếu x  ta có: x   2x   2x   x  Nếu Điểm Ta có: xy  2x  y   x (y  2)  (y  2)  Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! 0.25 0.5 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 Toán Họa tổng hợp Trang 10 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN  (y  2)(x  1)  3.1  1.3  (1).(3)  (3).(1) điểm c 1.5 điểm y 2 1 3 x 1 3 1 x 2 y 1 3 5 0.5 Từ: 2x  3y; 4y  5z  8x  12y  15z  x y z 4x 3y 5z 4x  3y  5z         12 1 1 1 1   12 15 4 12 0.5  x  12  a 0.5 điểm 1  ; y  12  ; z  12   12 15 5 Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x   ax  bx  c (a  0) Ta có : f x  1  a x  1  b x  1  c    a    a    f x   f x  1  2ax  a  b  x      b  a     b     Vậy đa thức cần tìm là: f x   Câu 1.5 điểm 0.25 x  x  c ( c số tùy ý) 2 Áp dụng: + Với x  ta có :  f 1  f 0 + Với x  ta có :  f 2  f 1 0.25 ………………………………… + Với x  n ta có : n  f n   f n  1  S       n  f n   f 0  b điểm 10 n n  1 n2 n  c c  2 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx    a 2b 3c Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 11 ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx   2 a 4b 9c 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx  0 a  4b  9c  2bz  3cy    3cx  az   Câu điểm z y  (1) 3c 2b 0.25 0.25 x z x y z  (2); Từ (1) (2) suy ra:   a 3c a 2b 3c 0.25 Hình vẽ đ a điểm b điểm c điểm Vì AB trung trực EH nên ta có: AE  AH (1) 0.25 Vì AC trung trực HF nên ta có: AH  AF (2) 0.25 Từ (1) (2) suy ra: AE  AF   MB phân giác ngồi Vì M  AB nên MB phân giác EMH góc M tam giác MNH 0.25   NC phân giác ngồi góc Vì N  AC nên NC phân giác FNH N tam giác MNH 0.25 Do MB; NC cắt A nên HA phân giác góc H tam  giác MNH hay HA phân giác MHN 0.5   HB phân giác Ta có AH  BC (gt) mà HM phân giác MHN ngồi góc H tam giác HMN MB phân giác ngồi góc M tam giác HMN (cmt)  NB 11 0.5 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! 0.25 Toán Họa tổng hợp Trang 60 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm  1   0,     0,25    : 2014 11 1) Ta có: M      7 2015  1,    0, 875  0,    11 2       11   7     11 1      : 2014  7  2015    10   1        11      1          11 Câu (1,5 điểm)  1             2014 :  1  2015        2  2014     : 0  7  2015 0.25đ 0.25đ 0.25đ 2) x  | x  | nên (1)  x  | x  | x  hay x -  0.25đ +)  x  0.25đ +)  x  1 0.25đ 1) +Nếu a  b  c  Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b  c b  c  a c  a b a  b  c  b  c  a  c  a b    1 c a b a b c Câu (2,5 điểm) a b c b c a c  a b mà 1  1  1  c a b  a b b c c a   2 c a b  b  a  c  b  a   c  a  b  c   Vậy B  1  1  1       b      c  a  c  b   a    60 0.25đ 0.25đ 0.25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 61 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN +Nếu a  b  c  Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b  c a c  a b a  b c  b  c a  c  a b    0 c a b a b c mà  0.25đ a b c b c a c  a b 1  1  1  c a b 0.25đ a b b c c a   1 c a b  b  a  c  b  a  c  a  b  c   Vậy B  1  1  1      c  b    a  c  b   a     0.25đ 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: 0,25đ a b c a b c x 5x 6x x 7x     a  ;b   ;c  (1) 18 18 18 18 18 Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: 0,25đ a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 4x 5x x 6x     a' ;b '   ;c '  (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có: a  a  ; b  b ; c  c nên lớp 7C nhận nhiều 0,25đ lúc đầu Vây: c '– c  hay 6x 7x x  4   x  360 15 18 90 0,25đ Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 1) Ta có: A  2x   2x  2013  | 2x  |  | 2013  2x | 0,25đ 0,25đ  2x   2013  2x  2015 Câu (2,0 điểm) Dấu “=” xảy (2x  2)(2013  2x )   1  x  Vậy Min A  2015 1  x  61 2013 , x  2013 0,25đ 0,25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 62 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 2) Vì x,y,z ngun dương nên ta giả sử  x  y  z Theo  1 1 1       yz yx zx x x x x 0,25đ  x2   x  Thay vào đầu ta có  y  z  yz  y  yz   z   y(1  z )  (1  z )   0,25đ  (y  1)(z  1)  TH1: y    y  z    z  0,25đ TH2: y    y  z    z  Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1, 2, 3);(1, 3,2) 0,25đ Vẽ hình , GT _ KL x z C B 0,25đ K A Câu (3,0 điểm) H M  y    ACB   MAC  BK đường cao a, ABC cân B CAB  BK đường trung tuyến K trung điểm AC 0,5đ 0,25đ b, ABH  BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )  BH  AK ( hai cạnh t ý ) mà AK   BH  AC AC Ta có : BH  CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK  BH  62 0,25đ AC  CM  CK  MKC tam giác cân ( ) 0,25đ 0,25đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Tốn ! Toán Họa tổng hợp Trang 63 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN   90 ACB   30 Mặt khác MCB 0,25đ   60 (2)  MCK Từ (1) (2)  MKC tam giác   30  AB  2BK  2.2  cm c) Vì ABK vng K mà KAB 0,25đ Vì ABK vng K nên theo Pitago ta có: AK  AB  BK  16   12 0,25đ Mà KC  AC  KC  AK  12 KCM  KC  KM  12 0,25đ Theo phần b) AB  BC  AH  BK  HM  BC ( HBCM hình chữ nhật) 0,25đ  AM  AH  HM  Câu (1 điểm) Vì  a  b  c  nên: (a  1)(b  1)   ab   a  b  a a Tương tự:  bc  b  c Do đó: Mà 1 c c    (1) ab  a  b ab  a  b b b (2) ;  ac  a  c 0,25đ (3) a b c a b c      bc  ac  ab  b  c a  c a  b 0,25đ (4) 2(a  b  c) a b c 2a 2b 2c        (5) b c a c a b a b c a b c a b c a b c Từ (4) (5) suy ra: a b c   2 bc  ac  ab  (đpcm) 0,25đ 0,25đ - Một tốn có nhiều cách giải khác phù hợp đạt điểm tối đa Giám khảo cần thảo lụân, thống đáp án biểu điểm trước chấm 63 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 64 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN ĐỀ SỐ 14 ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1: (4,0 điểm) 3            :         16  Thực phép tính: A  27.52  512 Cho x  16 y  25 z    2x   15 Tính B  x  y  z 16 25 Câu 2: (4,0 điểm) Tìm x, y biết: x x  y   3 y x  y    10 50  1 Tìm x biết: x  3x      Câu 3: (5,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số 7n  có giá trị lớn 2n  Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d hệ số nguyên Biết rằng, p x  với x nguyên Chứng minh a, b, c, d chia hết cho The link ed image cannot be displayed The file may hav e been mov ed, renamed, or deleted Verify that the link points to the correct file and location Gọi a, b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C) Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Đường vng góc với BC kẻ từ D cắt AB M Đường vng góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC N, MN cắt BC I Chứng minh DM = EN Chứng minh IM = IN, BC < MN Gọi O giao đường phân giác góc A đường thẳng vng góc với MN I Chứng minh BMO  CNO Từ suy điểm O cố định Câu 5: (2,0 đ) Cho số thực dương a b thỏa mãn a 100  b 100  a 101  b101  a 102  b 102 Hãy tính giá trị biểu thức: P  a 2014  b 2015 Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm 64 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Tốn ! Toán Họa tổng hợp Trang 65 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung A  3            :         16  2  512       5   :     16  Điểm  2   12 7 2  2   5 2,0   2  26  3 2 Ta có: 2x   15  2x  16  x   x  23  x  Suy ra: 0,5 18 y  25 z    16 25 (4,0đ) Do đó, ta có: 0,25 18 y  25   y  25  32  y  57 16 0,5 18 z    z   50  z  41 25 0,5 Vậy B  x  y  z   57  41  100 0,25 Trừ vế hai đẳng thức cho ta được:  3   x x  y   y x  y       x  y x  y    x  y     10  50  25   0,75 Suy ra: x  y   0,25 Thay x  y  1 vào hai đẳng thức cho ta x  ; y   10 Thay x  y   (4,0đ) 1 vào hai đẳng thức cho ta x   ; y  10  1 Từ x  3x    suy x – x  dấu   Dễ thấy x   x    65 0,5 0,5 0,25 nên ta có: dương  x    x  1 x – x  âm  x    x   2 x – x  Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! 0,5 0,5 0,5 Toán Họa tổng hợp Trang 66 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN Vậy x  x   Ta có: 0,25 7n  7n  8 2n  3      2n  2 2n  3 2n  3 2n  3 Phân số cho có giá trị lớn (5,0đ) 2n  3 0,75 lớn 0,25 Từ suy ra: n  0,75 Vậy giá trị lớn phân số cho n  0,25 Vì p x  với x nguyên nên p 0  d  0,25 p(1)  a  b  c  d  (1) 0,25 p(1)  a  b  c  d  (2) 0,25 Từ (1) (2) suy 2(b  d ) 2(a  c) 0,25 Vì b  d  , mà 2; 5  nên b  d   b  0,25 p 2  8a  4b  2c  d  mà d  5; b  nên 8a  2c  0,25 0,25 Kết hợp với 2(a  c )  6a   a  6; 5  Từ suy c  0,25 Vậy a, b, c, d chia hết cho Vì a  b  c nên Tương tự, ta có: a a a a 1  b c b c b c a b b b b 1  c a c a c a b c c c c 1  a b a b a b c Từ (1), (2) (3) suy ra: (1) 0,25 (2) 0,25 (3) a b c 2a  2b  2c     b c c a a b a b c 0,25 0,25 66 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 67 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN A M B I C E D N O   ACB ; Tam giác ABC cân A nên ABC (5,0đ)   ACB  ; (đối đỉnh) NCE 0,75 Do đó: MDB  NEC (g.c.g )  DM  EN 0,75 Ta có MDI  NEI (g.c.g )  MI  NI 0,5 Vì BD  CE nên BC  DE Lại có DI  MI , IE  IN nên DE  DI  IE  MI  IN  MN 0,75 Suy BC  MN 0,25 3) Ta chứng minh được:   ACO  ABO  ACO(c.g.c)  OC  OB, ABO 0,75 MIO  NIO(c.g.c)  OM  ON (2,0đ) Ta lại có: BM  CN Do BMO  CNO(c.c.c) 0,5   NCO  , Mà: MBO   ACO  suy NCO   ACO  , mà hai góc  MBO kề bù nên CO  AN 0,5 Vì tam giác ABC cho trước, O giao phân giác góc A đường vng góc với AC C nên O cố dịnh 0,25     Ta có đẳng thức: a 102  b 102  a 101  b 101 a  b   ab a 100  b 100 với a, b 0,5 Kết hợp với: a 100  b 100  a 101  b101  a 102  b 102 0,5 67 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 68 ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN Suy ra:  a  b   ab  a  1b  1  a    b100   b 101   b102  b    100 101 102 b    a   a   a  a  0,5 0,5 Do P  a 2014  b 2015  12014  12015  - Một tốn có nhiều cách giải khác phù hợp đạt điểm tối đa Giám khảo cần thảo lụân, thống đáp án biểu điểm trước chấm 68 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 69 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN ĐỀ SỐ 15 ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức b) Rút gọn biểu thức:    1 A = 2  3, 5 : 4   +7,5     2.8 4.27  4.69 B= 7  27.40.94   c) Tìm đa thức M biết rằng: M  5x  2xy  6x  9xy  y Tính giá trị M x, y thỏa mãn 2x  5 2012  3y  4 2014  Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x : 1  x  b) Tìm x, y, z biết: 2x  3y; 4y  5z x  y  z  11 n 1 c) Tìm x, biết : x  2 n 11  x  2 (Với n số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm độ dài cạnh tam giác có chu vi 13cm Biết độ dài đường cao tương ứng 2cm, 3cm, 4cm b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy  x  y    60 ) Hai phân giác AD CE Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB  AC , B ABC cắt I, từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AI H, cắt AB P, cắt AC K  a) Tính AIC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = cm c) Chứng minh IDE cân Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh 10 số vô tỉ Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm 69 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 70 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm Câu a: (1 điểm)    1 A  2  3, 5 : 4    7,     0.5 đ  7   25 22  15     :          35 43 15 :  42  245 15 490 645 155     43 86 86 86 0,5đ Câu b: ( điểm) 2.84.272  4.69 B= 7  27.40.94 Bài (4,0đ) = 213.36  211.39 214.37  210.38.5  2 11 = 0,5đ   3.5  210 0.5 = Câu c: (2 điểm)   M  5x  2xy  6x  9xy  y   M  6x  9xy  y  5x  2xy 0.5  0,5  M  6x  9xy  y  5x  2xy  x  11xy  y Ta có 2x  5 2012  3y  4 2014 0 0.25 2012    2x  5  2012 2014    2x  5  3y  4  Ta có :  2014  3y  4     Mà 2x  5 2012 70  3y  4 2014   2x  5 2012 0.5  3y  4 2014 0 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 71 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN   2012    x   x      Vậy =>    2014   3y  4    y  1          x 2      y  1     0.25 5    4  25 110 16 1159    Vậy M     11               36 1  x  x x 1   0,25đ 1  (1,0đ) TH1: x  1  x  30 0,25đ TH2: x  1 1 11  x    6 30 0,25đ Vậy x   11 ;x   30 30 Ta có : 2x  3y suy 4y  5z suy b (1,5đ) Vậy x y x y  hay  15 10 0.25đ y z y z  hay  10 x y z   15 10 0.5đ Theo tính chất dãy tỉ số x y z 11 x y z   = =  15 10 15  10  33 Suy x  5, y  71 0,25đ 10 ,z  3 0.5đ 0.25 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 72 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN (x  2)n 1  (x  2)n 11 0.25 (x  2)n 1  (x  2)n 11  (x  2)n 1 1  (x  2)10     c 1,5 điểm (x  2)n1  suy x  2 TH 1: 0.5 10 TH2:  (x  2)  (x  2)10  0.25  x   suy x  1  x   1 suy x  3 Vậy x  2; x  1; x  3 0.5 Gọi độ dài ba cạnh tam giác x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) Theo ta có : x  y  z  13 0,25 đ 2x  3y  4z  2S ABC a (2.0đ) Bài (4.0đ) b (2,0đ) x y z   Áp dụng tính chất dãy tỷ số 13 x y z x y z  1   = 6   13 suy x  6; y  ; z  KL: 2xy – x – y  4xy  2x  2y  Suy 0,75 0.25 2x 2y  1  2y   0,5 đ 2y  12x  1  0,5 đ HS xét trường hợp tìm  x, y   1; 3;3;1; 2; 0; 0; 2 ( Mỗi trường hợp cho 0.25 đ)   Vậy  x , y   1; 3; 3;1; 2; 0; 0; 2 72 0,75 đ 1đ Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp [Document title] Trang 73 ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN Bài (6.0đ) (2.0đ)   BCA   120   60 suy BAC a/ Ta có ABC 0.5đ   BAC   suy IAC AD phân giác BAC 0.5đ   BCA   suy ICA CE phân giác ACB   ICA    120  60 Suy IAC   120 Vây AIC 0.5đ 0.25đ 0.25đ b/ Xét AHP AHK có   KAH  ( AH phân giác BAC  ) PAH 0.5 đ AH chung (2đ) c   KHA   90 PHA Suy AHP AHK (g-c-g) suy PH  KH ( cạnh tương ứng) Vậy HK  3cm 0,5 đ Vì AHK vng H theo định lý Pitago ta có 0.5 AK  AH  HK  42  32  25 0.25 Suy AK  cm 0.25   120 Vì AIC (2.0đ) 73 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! Toán Họa tổng hợp Trang 74 [Document title] ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN   DIC   60 Do AIE 0,25 đ Trên cạnh AC lấy điểm F cho AF  AE 0,5 đ Xét EAI FAI có AE  AF   FAI  EAI AI chung Vậy EAI  FAI (c-g-c) suy IE  IF (hai cạnh tương ứng) (1) 0.25   AIF   60 suy FIC   AIC   AIF   60 AIE Xét DIC FIC có   FIC   60 ; Cạnh IC chung; DIC   FCI  DIC 0.5 0.25 Suy DIC  FIC ( g-c-g) Suy ID  IF (hai cạnh tương ứng) (2) 0.25 Từ (1) (2) suy IDE cân I Bài (2,0đ) Giả sử 10  10 số hữu tỷ a ( a,b số tự nhiên , b khác ; a;b   ) b a2  10 Suy a  10b 2 b a   a   10b2   b2   b  Vậy (a; b)  trái giả sử Nên 10 số vô tỷ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ - Một tốn có nhiều cách giải khác phù hợp đạt điểm tối đa Giám khảo cần thảo lụân, thống đáp án biểu điểm trước chấm 74 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán ! ... Ba lớp trường K có tất 1 47 học sinh Nếu đưa số học sinh lớp 1 số học sinh lớp 7A2 số học sinh lớp 7A3 thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh cịn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K 7A1...  37 , n   37 - Với n  37 aaa  37. 38  70 3 (khơng thỏa mãn) - Với n   37 aaa  36. 37  666 (thỏa mãn) 0,5đ Vậy n  36 a  Tính tổng số học sinh lớp trường K 4,0đ Gọi tổng số học sinh 7A1,...  2015 2.2 Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp 7A trồng toàn 32, 5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7A trồng số lớp 7B trồng 120