Tài liệu ôn tập Toán 11

• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.[r]

1

TRƯỜNG THPT SƠN ĐỘNG SỐ TÀI LIỆU ÔN TẬP TUẦN 22 TỔ TỐN – TIN Mơn: Tốn Khối: 11

Thời gian nộp thu hoạch: ngày 25/ 02/ 2021 NỘI DUNG TÀI LIỆU: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1 Lý thuyết

GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

1.Giới hạn đặc biệt:

lim

n→+n = ;

1

lim

k

n→+n = (k ) +



lim n ( 1)

n→+q = q  ; limn

C C

→+ =

2.Định lí :

a) Nếu lim un = a, lim = b

• lim (un + vn) = a + b

• lim (un – vn) = a – b

• lim (un.vn) = a.b

• lim n n

u a

v =b (nếu b  0) b) Nếu un 0, n lim un= a

a  lim un = a

c) Nếu un vn ,n lim =

thì lim un =

d) Nếu lim un = a lim un = a

3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q2 + … =

1 u

q

− (q 1)

1 Giới hạn đặc biệt:

lim n = + ; limnk = + (k +) limqn = + (q1)

2 Định lí:

a) Nếu limun = + lim n u = b) Nếu lim un = a, lim =  lim n

n u v = c) Nếu lim un = a  0, lim =

lim n n u v =

,

,

n n a v a v

+ 



− 



d) Nếu lim un = +, lim = a

lim(un.vn) =  ,

, a a

+ 

− 

* Khi tính giới hạn có dạng vô định:

0 , 

,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vô định

2 Bài tập

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp:

• Để chứng minh limun =0 ta chứng minh với số a0 nhỏ tùy ý tồn số

a

n cho un a  n na

• Để chứng minh limun =l ta chứng minh lim(un − =l)

• Để chứng minh limun = + ta chứng minh với số M 0 lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un M  n nM

• Để chứng minh limun = − ta chứng minh lim(−un)= +

2

Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A Nếu limun = +, limun = + B Nếu limun = +, limun = − C Nếu limun =0, limun =0 D Nếu limun = −a, limun =a

Câu Giá trị lim 1

+

n bằng:

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu Giá trị lim 1k

n (k )

+

 bằng:

A 0 B 2 C 4 D 5

Câu Giá trị lim(2n+1) bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu Giá trị

2

1 lim −n

n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu Giá trị lim

+

n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu Giá trị lim + + n

n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu Giá trị

3

2

3 lim n +n

n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu Giá trị lim −

+ n

n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu 10 Giá trị lim2

+ =

−

n A

n bằng:

A + B − C 2 D 1

Câu 11 Giá trị lim22

+ =

+

n B

n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu 12 Giá trị

2

1 lim

1

+ =

+

n C

n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu 13 Giá trị lim 2 −

= n n

A

n bằng:

A + B − C 1

3

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

Phương pháp:

• Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn

• Khi tìm lim ( ) ( ) f n

g n ta thường chia tử mẫu cho

k

n , k bậc lớn tử mẫu

• Khi tìm limk f n( )−mg n( ) lim ( )f n =lim ( )g n = + ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên

+ Dùng đẳng thức:

( a− b)( a+ b)= −a b; (3a−3b)(3a2+3ab+3b2)= −a b • Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n lim = lim un =

Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:

• Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn

• Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu

• Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu

Câu Cho dãy số ( )un với

=

n n

n

u 1

2

+  n

n

u

u Chọn giá trị limun số sau: A 1

4 B

1

2 C 0 D 1

Câu Giá trị lim2 1

+ =

−

n A

n bằng:

A + B − C

3

− D 1

Câu Giá trị

2

2

4

lim

(3 1)

+ +

=

−

n n

B

n bằng:

A + B − C 4

9 D 1

Câu Kết

2

4

2 lim

3 − + + + n n

n

A

3

− B

3

− C

2

− D 1

2

Câu Giới hạn dãy số ( )un với

4

3

− =

−

n

n n u

n là:

A − B + C 3

4

Câu Chọn kết

3 lim − + + n n n :

A 5 B 2

5 C − D +

Câu Giá trị

2

2

2 lim + + = − + n n A

n n bằng:

A + B − C 2

3 D 1

Câu Giá trị

2 2 lim + = − + n n B n n bằng:

A + B − C 0 D

1−

Câu Giá trị

3 lim (2 1) + = + n C

n n bằng:

A + B − C 1

4 D 1

Câu 10 Giá trị

3 3 lim − + = + + n n D

n n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu 11 Giá trị

3 lim + + = + n n E

n bằng:

A + B − C 0 D 1

C.1 D.+

Câu 12 10 lim + + n n :

A.+ B.10 C.0 D.−

Câu 13 Kết

2 lim 2.5 − − + n n n là:

A

− B

50

− C 5

2 D

25

−

Câu 14

1

3 4.2 lim 3.2 − − − + n n

n n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu 15 Giá trị lim 3.21 31 + 3+

− =

+

n n

n n

C bằng:

A + B − C

3

− D 1

Câu 16 Giá trị lim 3( n−5n) là:

A − B + C 2 D −2

Câu 17 Giá trị lim 3.21 31 + +

− =

+

n n

n n

5

A

3

− B − C 2 D 1

Câu 18 lim5 − +

n

n :

A.+ B.1 C.0 D.−

Câu 19 Giá trị ( )

lim

= + −

M n n n bằng:

A + B − C 3 D 1

Câu 20 Giá trị ( )

lim

= + + −

H n n n bằng:

A + B − C 1

2 D 1

Câu 21 Giá trị B=lim( 2n2+ −1 n) bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu 22 Giá trị ( )

lim

= + −

K n n n bằng:

A + B − C 1

2 D 1

Câu 23 Giá trị ( 2 )

lim n − −1 3n +2 là:

A + B − C 0 D 1

Câu 24 Giá trị A=lim( n2+6n−n) bằng:

A + B − C 3 D 1

Câu 25 Giá trị E=lim( n2+ + −n )n bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu 26 Giá trị F =lim( n+ +1 n) bằng:

A + B − C 0 D 1

Câu 27 Tính giới hạn dãy số ( )

lim

= + + −

C n n n :

A + B − C 3 D 1