Tải Bài tập ôn hè môn Toán lớp 9 - Tài liệu ôn tập hè lớp 8 lên lớp 9

 Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và.. một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.c[r]

Buổi 1:

HẰNG ĐẲNG THỨC – PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ RÚT GỌN BIỂU THỨC

 A B C   A B A C  A B C  DA C A D B C B D

  2 2 2

2

A B  A  ABB

 –   – 

A B  A B A B

  3 3 2 2 3

3

A B A  A B  AB B

 3    2– 2

A B  A B A ABB

  2 2 2

2

A B A  ABB

  3 3 2 2 3

– –   –

A B  A A B  AB B  3   2

A B  A B A ABB

Bài 1: Rút gọn biểu thức

a x3x  5 x 2x2 b  2 3

4 16 4

4x y x xy y y 16x

         

   

   

c x2 2 x 322x1x1 d   2     

2 1 2

x  x x   x x x x

Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a x122x3x  1 x 32 b   3  

1 2 3

x  x x  x  x  x

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

a

7x 7xy4x4y b 2

2 4

x  x y  y c 2

10 25

x  x  xxy

d 2

2x2yx y e

4 12 27

x  x  x f 2

6

x  xy  g

6

x  x h 2

4

x x  x  x i

2x 4x30

Bài 4: Tìm x, y biết a

64

x  x b

6 12

x  x  x  c  

16

x   x 

d 6x x   5 x e

7

x  x  f

4

x  x   x g 2x1 2  3 x2 h 2

6 18

x y  x y 

Bài 5: Làm tính chia:

a  3 2

15x y 25x y 30x y : 5x y b    

2 10 :

x  x  x x

Bài 6: Cho biểu thức

  

2

3

x A

x x x



 

  

Bài 7: Cho biểu thức 1 2

1 1

x x

B

x x x

 

  

  

a Tìm điều kiện xác định rút gọn A c. Tìm x để B 3

b Tính giá trị B x2  x d Với giá trị x B0

Bài 8: Cho biểu thức 53 21 2

1 1

x x

C

x x x x

 

  

   

a Rút gọn C c. Tìm x để C >

b Tính giá trị C x 4 d Tìm x đề C

Bài 9: Cho biểu thức 2

2

x M

x x x x

   

      

  

   

a Rút gọn M b Tính giá trị M x thỏa mãn

5

x  x 

c Tìm x để

2

M  d Tìm x đề M

Bài 10: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) biểu thức sau:

a

4

A  x  x b F x1x 3 11

c Gx3 2 x 22 d 22000

2

H

x x



 

BÀI TẬP VỀ NHÀ BUỔI

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

a 3– 3 3 –

a a b b b 2

6

a  ab b  c 4 – 25 2 7 – 2 

x  x x d

2 15 x  x

e

2x 3x 5x f

2x 4x 2x4

g

– – 8

x x x h 2

– 10 x xy y

Bài 2. Rút gọn biểu thức

a   – 2  1 – 2  5 –1 :  1

x x x x x

 

     b 2x1 – 22  x1 –   x  –x2

c  –1 – 3 1 – 1 – 3  1 1– 3 

x x x x x x

Bài 3. Thực phép chia:

a    

2x 2x4 : x2 b    

2x 5x  x : 2x1 c    

2 :

x  x x

d  2  

3 :

x  x x e    

14 :

x  x x f    

12 : x x  x

g 17 – 6 5 – 233 7 : – – 2  

Bài 4. Tìm x biết

a 3– 25 0

x x b

4 x   x

c 27  3 – 9 0

x   x x  d 4x– 22 25 1– 2 x2 e 3 – –1 –x  x  x2 –1 x 0 f 3x2 – – –1 x   x 2 5

Bài 5. Cho biểu thức

2

2

:

3

x x x

A

x x x x

     

      

     

 

a Rút gọn A b Tính giá trị A biết

– – x x 

c.  Tìm x để A =

2

Bài 6. Cho biểu thức

2

2

2

: :

2 2

y y y y y

P

y y y y y y

    

   

    

 

a Rút gọn P b Tính giá trị P biết 2 – – 0

y y 

Bài 7 Cho biểu thức

2

3

6 10

:

4 2

x x

A x

x x x x x

    

       

   

   

a Rút gọn A b Tính giá trị P x– 4

c Với giá trị x A = d.  Tìm x để A <

e Tìm giá trị ngun của x để A có giá trị nguyên

Bài 8. Cho biểu thức  

2 2 2

2

1 1

:

1 1

x x x x

B x x

x x x

 

     

     

     

a Rút gọn B b Chứng minh B > với x >

Bài 9. Cho biểu thức  

2 2 2

2

x x x x

C

x x x

    

   



 

a Rút gọn biểu thức C

b Tìm giá trị của x để C có giá trị lớn Tìm giá trị lớn

Bài 10. Cho biểu thức D =

2

2

2 2

8

x x x

x x x x x x

       

       

 

a Rút gọn D b Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D

Bài 11. Tìm giá trị nguyên của x để tại đó giá trị biểu thức sau số nguyên

A =

3

x C =

3

3

4

x x x

x

  

 B =

3 x x



 D =

2 3 x x x   

Bài 12. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) biểu thức sau:

a

3

B x  x b 2

4

E  x xy  y

c 152

6 14

I

x x 

  d

Buổi 2:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài Giải các phương trình sau:

a 5 x 6 4 2 x b 3x1 3 x 5 2 x c x3x 4 2 3x  2 x 42

d 3

2

x x

x

    

e 2

5 15

x x  x

f 23 23 23 23

24 25 26 27

x x x x

  

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a   

9x  1 3x1 4x1 b 3x152x x 5 c  

2x x 1 x 1 d

4

x  x  e

5

x  x  x f

9 36

x  x  x 

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a

2 x x

  

 b

5

1 x x x x    

  c  

2 3

2

1

x x

x x x x



  

 

d 32

4

x x x

x x x x

  

 

  e

 

2

2 11 19

2

5 25

x x

x x x

 



 

   f

2

2 2

x x x

x x  x   x

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a 9 x b 2x  3 x c 2 x 2x1

d 2x  x e 3x  1 x f 5x  4 x

Bài 5: Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trục số

a 3x 4 2x 1 b x1x2  x123 c

4

x x



d 1

4

x x

  e 1

3 x x

 

 f

2 3 x x   

Bài 6: Cho phương trình  2

4m x8x  2 m với ẩn số x a Giải phương trình khi m 5

b.  Tìm điều kiện của m để phương trình có một nghiệm

c.  Tìm m để phương trình có nghiệm

BÀI TẬP VỀ NHÀ BUỔI

Bài 1: Giải các phương trình a 2 –1 9 1– 2  0

x x  x  b 2 –1 –x  2 x32 0 c 4 –1 1– 2  11 0

x  x x 

d 3 – 72 4 0

x x  e

5

x x x

x

  

    f x– 6 x 3 2 – 3x  x5

g 2

5

x x x

x

     

h

5 10

x  x  x

i 2

4

x

x x

 

 

j 2 10

2

x

x x x x

   

    k 2

1

1 1

x x x  x  x l   

1

1 2

x x  x x

m 2x 5 n 3x 1 –x o – – 4x x

Bài 2: Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trục số:

a –9x 3 b 3x 2 –7 5 x c x1x– 2  x– 4x4

d

3

x x

  

e 32

1 x x

 

 f

2 x x    

g

3 x x

 

 h

5 x x  

 i

3

2

x x

 

Buổi 3:

GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

(TỐN CHUYỂN ĐỘNG) Loại Tốn chuyển động

 Gọi s là quãng đường động tử đi, v là vận tốc, t thời gian đi, ta có: sv t

Bài 1. Một  người  đi  xe  máy  từ A  đến B với vận tốc 25km/h Lúc người  đó  đi  với vận tốc 30km/h nên thời gian ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB?

Bài 2. Hai  người  đi  từ A đến B, vận tốc  người thứ 40km/h, vận tốc  người thứ hai 25km/h. Để đi hết quãng đường AB, người thứ cần ít hơn người thứ hai 1giờ 30 phút Tính quãng đường AB?

Bài Anh Nam đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km/h. Đi được 6km, xe đạp hư, anh Nam 

phải đi bằng ơ tơ và đã đến B sớm hơn dự định 45 phút. Tính qng đường AB, biết vận tốc ô tô 30km/h

Bài 4. Một xe ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48km/h Sau khi đi được xe bị hỏng phải dừng lại sửa 15 phút. Do đó để đến B đúng giờ dự định tơ phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính quãng đường AB?

Bài 5. Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60km/h thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu

quãng đường với vận tốc hơn dự định 10km/h và đi với nửa sau kém hơn dự định 6km/h Biết tơ đến đúng dự định Tính thời gian dự định đi qng đường AB?

Loại Toán chuyển động chiều

 Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau bằng nhau

 Cùng khởi hành: tcđ chậm – t cđ nhanh  = t nghỉ (t đến sớm )  Xuất phát trước sau: tcđ trước – t cđ sau  = t đi sau 

tcđ sau  + t đi sau  + t đến sớm = t cđ trước

Bài 1. Lúc 7h một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 30km/giờ. Sau đó một giờ, người

thứ hai cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 45km/giờ Hỏi đến người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất? Nơi gặp cách A km?

Bài 2. Một tàu chở hàng khở hành từ TP Hồ Chí Minh với vận tốc 36km/h. Sau đó 2 giờ tàu

Bài Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h. Sau đó 3 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 50 km/h Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp?

Bài 4. Một thuền khởi hành từ bến sơng A, sau đó 5 giờ 20 phút chiếc ca nơ cũng chạy

từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền một điểm cách A 20km Hỏi vận tốc thuyền? Biết

rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h

Bài Lúc 30 phút sáng, An đi học bằng xe đạp với vận tốc 16km/h. Trên con đường đó, lúc 

6 45 phút bố An đi làm bằng xe máy với vận tốc 36km/h Hỏi hai người gặp lúc

và cách nhà km?

Loại Toán chuyển động ngược chiều

 Hai chuyển động để gặp S1S2 S

 Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 t2 (không kể thời gian đi sớm)

Bài Hai ô tô khởi hành từ hai bến cách 175km để gặp Xe I đi sớm hơn xe II là 1 giò 

30 phút với vận tốc 30km/h Vận tốc xe II 35km/h Hỏi sau hai xe gặp

Bài Một ô tô khởi hành từ A lúc sáng B với vận tốc 60km/h. Đến ô tô khác

khởi hành tại B và đi về A với vận tốc 70km/h Hai xe gặp lúc Tính khoảng cách từ

A đến B

Bài Lúc sáng ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc 65km/h. Đến 30 phút

xe ô tô khác xuất phát từ B đến A với vận tốc 75km/h Hỏi hai xe gặp lúc giờ? Biết

rằng A cách B 657,5km

Loại Tốn chuyển động xi – ngược dịng

 Vận tốc xi dịng nước = Vận tốc lúc nước n lặng + Vận tốc dịng nước

 Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dịng nước

Bài 1. Một ca-no xi dịng từ A đến B hết 1h 20 phút và ngược dòng hết 2h Biết vận tốc dòng

nước 3km/h Tính vận tốc riêng ca-no?

Bài 2. Một ca-nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B trở Thời gian xi ít hơn thời gian đi ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước 5km/h

Bài Một đị máy xi dịng từ bến A đến bến B và ngược dòng từ B A

BÀI TẬP VỀ NHÀ BUỔI

Bài Một xe vận tải đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, từ B quay A với vận tốc 40 km/h Cả đi  và  thời gian 24 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B (L1)

Bài Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km/h. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe 

máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp (L1)

Bài Một người đi xe gắn máy, đi từ địa điểm A đến địa điểm B một quãng đường dài 35km Lúc trở người đó đi theo con đường khác dài 42km với vận tốc kém hơn vận tốc lượt đi 

là km/h Thời gian lượt

2 thời gian lượt đi. Tìm vận tốc lượt đi và lượt (L1)

Bài Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút gặp đường xấu nên vận

tốc trên qng đường cịn lại giảm cịn 40 km/h Vì vậy đã đến nơi chậm 18 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B (L1)

Bài Lúc 6giờ15 phút, một ô tô đi từ A để đên B với vận tốc 70 km/h. Khi đến B, ô tô nghỉ 1,5 giờ, quay A với vận tốc 60 km/h và đến A lúc 11 cùng ngày. Tính quãng đường AB.(L1)

Bài Một xe  máy đi  từ A lúc 35 phút với vận tốc 36km/h. Đến 11 phút, ô tô

cũng đi từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 54km/h Hỏi ô tô đuổi kịp xe máy lúc giờ? (L2)

Bài Một  xe  máy  đu  từ C  đến B với vận tốc 36km/h. Cùng lúc  đó, một ơ tơ đi từ A cách C

45km đuổi theo xe máy với vận tốc 51km/h Tính thời gian để ơ tơ đuổi kịp xe máy (L2)

Bài Một người đi xe đạp từ A đến B. Người đó khởi hành lúc 24 phút Vào lúc 36

phút, mọt người khác đi xe đạp từ B A Vận tốc người đi từ B lớn hơn vận tốc người đi từ A

1km/h. Hai người gặp lúc 11 Tính vận tốc mỗi  người Biết  quãng  đường AB dài 158, 4km (L3)

Bài Một ca nô xuôi dòng từ A  đến B và  ngược dịng từ B  đến A Tính khoảng cách AB, biết vận tốc dòng nước km/h (L4)

Bài 10 Hai bến sông A B cách 40 km Cùng lúc với ca nơ xi dịng từ bến A, có

một bè trơi từ bến A với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B, ca nô trở bến A gặp bè khi bè đã trơi được km Tính vận tốc ca nô (L4)

Buổi 4:

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

(TỐN NĂNG SUẤT – LÀM CHUNG , LÀM RIÊNG VÀ BÀI TOÁN KHÁC) Loại Bài toán suất

Năng suất làm việc phần việc làm được một đơn vị thời gian

Gọi A khối lượng công việc, n là năng suất, t thời gian làm việc Ta có: An t

Bài 1: Một tổ sản xuất theo kế hoạch ngày phải sản xuất 50 sản phẩm Khi thực tổ đã 

sản xuất được 57 sản phẩm một ngày. Do đó đã hồn thành trước kế hoạch 1 ngày và cịn vượt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm?

Bài 2: Hai công nhân được giao làm số sản phẩm, người thứ phải làm ít hơn người thứ

hai 10 sản phẩm. Người thứ làm 20 phút, người thứ hai làm giờ, biết người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai 17 sản phẩm Tính số sản phẩm người thứ làm đước giờ?

Loại Bài tốn làm chung, làm riêng

 Khi cơng việc khơng được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi tồn cơng việc một đơn vị

công việc, biểu thị số

 Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung làm

Bài 1: Hai người làm công việc sau 20 phút xong Nếu người I làm

người II làm tất làm được

5 công việc Hỏi mỗi người làm

xong cơng việc?

Bài 2: Hai trường A B có 420 học sinh thi đỗ vào lớp 10, đạt tỉ lệ là 84%. Riêng trường A tỉ lệ đỗ là 80%. Riêng trường B tỉ lệ đõ là 90%. Tính số học sinh thi đỗ mỗi trường

Loại Dạng Toán phần trăm

Bài 1: Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may được 800 áo Tháng Hai, tổ một vượt mức

15%, tổ hai vượt mức 20%, do đó cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo. Tính xem trong tháng đầu tổ may được áo?

Bài 2: Hai lớp 8A 8B có tổng cộng 94 học sinh, biết 25% số học sinh 8A, 20% số học

Loại Dạng Tốn có nội dung hình học

Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi 372m nếu tăng chiều dài 21m và tăng chiều rộng 10m diện

tích tăng 2862m2. Tính kích thước hình chữ nhật lúc đầu?

Bài 2: Tính cạnh hình vng biết nếu chu vi tăng 12m thì diện tích tăng thêm 135m2

Loại Dạng Tốn thêm bớt, quan hệ số

 Số có hai chữ số có dạng: xy10xy Điều kiện: x y, N, 0x y, 9

 Số có ba chữ số có dạng: xyz100x10yz Điều kiện: x y z, , N, 0x y z, , 9

Bài Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết lần số nhỏ cộng lần số lớn –87

BÀI TẬP VỀ NHÀ BUỔI

Bài 1: Một lớp học tham gia trồng một lâm trường thời gian dự định với năng  suất 300 cây/ngày. Nhưng thực tế đã trồng thêm được 100 cây/ngày. Do đó đã trồng thêm được tất là 6 cây và hồn thành trước kế hoạch 01 ngày Tính số dự định trồng (L1)

Bài 2: Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải làm 30 sản phẩm. Nhưng thực tế làm

thêm được 10 sản phẩm nên đã hồn thành cơng việc trược 30 phút và cịn vượt mức 20 sản phẩm so với kế hoạch Tính số sản phẩm tổ đó phải làm theo kế hoạch (L1)

Bài 3: Hai  đội công nhân làm công việc Nếu  hai  đội làm chung hồn thành sau 12 ngày Nếu mỗi đội làm riêng thì đội hồn thành cơng việc nhanh hơn đội ngày Hỏi làm riêng mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để hồn thành cơng việc đó. (L2)

Bài Hai tổ sản xuất làm chung cơng việc hồn thành Hỏi làm riêng tổ phải hết thời gian hồn thành xong cơng việc, biết làm riêng, tổ thứ hoàn thành sớm hơn tổ thứ hai (L2)

Bài 5: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất làm được 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai, tổ một tăng 

năng suất 15%, tổ hai tăng năng suất 20% nên đã làm được 945 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ trong tháng đầu (L3)

Bài 6: Theo kế hoạch hai tổ phải làm 110 sản phẩm Khi thực tổ một tăng năng suất 14%, tổ

hai tăng 10% nên đã làm được 123 sản phẩm Tính số sản phẩm theo kế hoạch tổ (L3)

Bài 7: Một mảnh vườn có chu vi 34m Nếu tăng chiều dài 3m giảm chiều rộng 2m diện

tích tăng 45m2 Hãy tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn (L4)

Bài 8: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80m Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều

dài 8m diện tích tăng thêm 32m2. Tính kích thước miếng đất (L4)

Bài 9. Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số Nếu thêm 2 đơn vị vào tử số bớt mẫu số đi 3  đơn vị thì ta được phân số

4 Tìm phân số đã cho (L5)

Bài 10 Thương của hai số Nếu tăng số bị chia lên 10 giảm số chia đi một nửa hiệu

Buổi + 6:

CHỨNG MINH CÁC TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT

1 Hình thang

 Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

 Hình thang vng là hình thang có một góc vng

 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau Trong hình thang cân: Hai

cạnh bên bằng nhau, Hai đường chéo bằng nhau

Dấu hiệu nhận biết

 Hình thang có một góc vng hình thang vng

 Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân

 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

2 Hình bình hành

 Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

 Trong hình bình hành: Các cạnh đối bằng nhau, Các góc đối bằng  nhau, Hai đường chéo 

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Dấu hiệu nhận biết

 Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

 Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

3 Hình chữ nhật

 Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vng

 Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Dấu hiệu nhận biết

 Tứ giác có ba góc vng là hình chữ nhật

 Hình thang cân có một góc vng là hình chữ nhật

 Hình bình hành có một góc vng là hình chữ nhật

4 Hình thoi

 Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

 Trong hình thoi: Hai đường chéo vng góc với nhau, Hai đường chéo là các đường phân 

giác của các góc của hình thoi

Dấu hiệu nhận biết

 Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

 Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau là hình thoi

 Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

5 Hình vng

 Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và có bốn cạnh bằng nhau

 Hình vng có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi

Dấu hiệu nhận biết

 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vng

 Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau là hình vng

 Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vng

 Hình thoi có một góc vng hình vng

 Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vng

 Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vng

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M và điểm I thứ tự là trung điểm cạnh đáy BC và 

cạnh bên AC Gọi K là điểm đối xứng với điểm M qua điểm I

a Chứng minh AK // BC b Chứng minh tứ giác ABMK hình bình hành

c.  Tìm thêm điều kiện của tam giác cân ABC để tứ giác AMCK hình vng

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A Gọi M, N, P lần lượt trung điểm AB, AC, BC Gọi

D, E lần lượt là điểm đối xứng P qua M N

a Tính AP diện tích tam giác ABC biết AB = 6cm, AC = 8cm b Chứng minh tứ giác AMPN hình chữ nhật

c Chứng minh tứ giác APCE hình thoi

Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Gọi M là trung điểm cạnh AC, vẽ điểm D đối xứng với điểm B qua M

a Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành

b Gọi H trung điểm BC, K là trung điểm AD Tứ giác AHCK hình gì? Vì sao? c Chứng minh H, M, K thẳng hàng

d Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AHCK hình vng

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AN CM vng góc với BD

a Chứng minh DN = BM b Chứng minh tứ giác ANCM hình bình hành

c Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm N Tứ giác DKCB hình gì? Vì sao? d Tia AM cắt tia KC tại điểm P Chứng minh rằng các đường thẳng PN, AC, KM đồng quy

Bài 5: Cho ABC vuông tại A, D là trung điểm BC Kẻ DE AC DF, AB E AC F, AB a Chứng minh EF = AD

b Lấy điểm G đối xứng với D qua F Chứng minh tứ giác ADBG hình thoi c Gọi K là giao điểm AG ED Chứng minh GC, BK, AD đồng quy

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB CD

a Chứng minh tứ giác AMCN hình bình hành Tứ giác AMND hình gì?

b Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm BN CM Tứ giác MINK hình gì? c Chứng minh IK // CD

d Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện tứ giác MINK là hình vng? Khi đó, tính  diện tích tứ giác MINK, biết AD = 4cm

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có BC2AB A, 60o Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm BC,AD

a Chứng minh AE  BF b Tứ giác ECDF hình gì? Vì sao?

c Tứ giác ABED hình gì? Vì sao?

d Gọi M là điểm đối xứng A qua B Chứng minh tứ giác BMCD hình chữ nhật e Chứng minh M, E, D thẳng hàng

Bài 8. Cho ∆ABC cân (AB = AC) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm cạnh AB, AC, BC

a Tứ giác MNBC là hình gì? Vì sao?

b Chứng minh rằng MP đi qua trung điểm O của BN c Chứng minh tứ giác AMPN là hình thoi

BÀI TẬP VỀ NHÀ BUỔI +

Bài 1. Cho ∆ABC vuông A (AB < AC) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm cạnh AB,

BC, AC

a Chứng minh: AMNQ là hình chữ nhật

b Từ A kẻ Ax//BC cắt NQ tại K. Chứng minh ANCK là hình thoi c Kẻ đường cao AI ( I thuộc BC). Chứng minh MINQ là hình thang cân

d Chứng minh MI ⊥ QI

e Tìm điều kiện của tam giác ABC để AMNQ là hình vng f Tính SANCK biết SABC =12 cm2

Bài 2. Cho ∆ABC vuông C Gọi D là trung điểm AB Kẻ DM vng góc với AC (M thuộc

AC) Gọi E là điểm đối xứng với D qua BC, DE cắt BC N a Chứng minh: tứ giác CMDN là hình chữ nhật

b Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao?

c Chứng minh SABC = 2SCMDN

d ∆ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác ABEC hình thang cân

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O Trên OD lấy E, kẻ CF // AE (F  BD)

a Chứng minh rằng: AFCE hình bình hành

b Cho AF cắt BC M, CE cắt AD N Chứng minh: M, O, N thẳng hàng

c Lấy K đối xứng với C qua E. Xác định vị trí của E trên OD để tg AKDO hình bình hành d Lấy I đối xứng với A qua D; lấy H đối xứng với A qua B Tứ giác ABCD phải có thêm điều kiện gì để I đối xứng với H qua AC

Bài 4: Cho ABC vuông A Kẻ AH  BC Gọi P, Q điểm đối xứng H qua AB AC

a Chứng minh: P và Q đối xứng qua A

b Cho HP cắt AB I, HQ cắt AC K Gọi M, N là trung điểm BH CH Chứng minh: tứ giác MNKI hình thang vng

c Với điều kiện ABC tứ giác MNKI hình chữ nhật

Bài 5: Cho hình thoi ABCD Gọi E là điểm đối xứng A qua B, F là điểm đối xứng C qua B

a Chứng minh: tứ giác ACEF hình chữ nhật b Chứng minh: AF // BD

Bài 6: Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M là trung điểm của AB, N là giao điểm DM CB

a Chứng minh: Tứ giác ANBD hình bình hành

b Kẻ tia Cx // DN, Cx cắt AB P Chứng minh: tứ giác MNPC hình thoi c Tứ giác DNPC có hình thang ? Hình thang cân khơng ? Vì ?

Buổi + 8: ĐỊNH LÍ TA – LÉT TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1 Định lí Ta-lét tam giác

 Đoạn thẳng tỉ lệ: Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B' ' C D' '

nếu có tỉ lệ thức ' '

' ' AB A B

CD C D hay ' ' ' '

AB CD

A B C D

 Định lí Ta-lét tam giác: Nếu một đường thẳng song

song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại nó đinh ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

,

/ /

ABC AD AE AD AE

DE BC AB AC DB EC 



  

 

2 Định lí đảo hệ định lí Ta-lét

a Hệ định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song

với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho

/ /

ABC AD AE DE

DE BC AB AC BC

 

  





Chú ý: hệ vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song

song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại

b Định lí Ta-lét đảo: Nếu 1 đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh cịn lại tam giác AD AE

DB  EC  DE // BC

3 Tính chất đường phân giác tam giác

 Trong tam giác, đường phân giác góc chia

cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn

1

ABC DB AB

DC AC A A



  

 



 Chú ý: Định lí vẫn đúng đối với tia phân giác góc ngồi tam giác ABC AB AC EB AB

EC AC

A A

 

  

4 Tam giác đồng dạng

 Hai tam giác gọi là đồng dạng với chúng có ba cặp góc bằng nhau đơi một ba

cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

', ', '

' ' '

' ' ' ' ' '

A A B B C C

ABC A B C AB BC CA

A B B C C A

   



   

 



∽

 Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ABC A B C' ' ' có: ' ' '

' ' ' ' ' '

AB BC CA

ABC A B C

A B  B C C A   ∽ (c.c.c)

 Trường hợp đồng dạng thứ hai: Nếu ABC A B C' ' ' có:

'

A A ' ' '

' ' ' '

AB CA

ABC A B C

A B C A   ∽ (c.g.c)

 Trường hợp đồng dạng thứ ba: Nếu ABC A B C' ' ' có:

', '

A A BB ABC∽A B C' ' ' (g.g)

5 Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông

 Nếu tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai

tam giác đồng dạng

 Nếu tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác

vng kia thì hai tam giác đồng dạng

Trường hợp đồng dạng đặc biệt

 Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền

một cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó đồng dạng

 Nếu  ∆ABC và A B C' ' ' có:

' 90 AA 

' ' ' '

AB BC

A B  B C

thì ABC∽A B C' ' ' (cạnh huyền – cạnh góc vng)

 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

 Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 18cm, AD = 12cm Gọi M là trung điểm AB Tia DM cắt AC N, cắt tia CB P

a.  Tính độ dài các đoan DM, DN, DP

b Khơng sử dụng kết tính được câu a, chứng minh

DN NM NP

Bài 2: Cho ABC cân tại A có chu vi là 80cm. Đường phân giác A B cắt I, AI

cắt BC D Cho

4 AI

AD  Tính cạnh ABC

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có AB là đáy nhỏ Biết BDBC, đường cao BH chia đáy DC 

thành hai đoạn DH = 16cm, HC = 9cm a.  Tính độ dài BH, AC

b Tính chu vi diện tích hình thang ABCD

Bài 4: Cho ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy các điểm D E cho

ADDEEC

a Tính tỉ số DB DC;

DE DB b Chứng minh BDE∽CDB c Tính AEBACB

Bài 5: Cho hình vng ABCD Lấy E thuộc đoạn BC, kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD

F Trung tuyến AI AEFcắt DC K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AI G

a Chứng minh AF = AE tứ giác GEKF hình thoi

b Chứng minh AKF∽CAF c Chứng minh AF.AE = FC.GE

Bài 6: Cho ABCvuông tại A, đường cao AH Gọi E, F lần lượt hình chiếu H AB, AC a Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao?

b Chứng minh AEF∽CAB

c Cho AH = 2,4mc; BC = 5cm Tính SEAF

d Lấy I đối xứng với H qua AB Từ B kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AI K Chứng minh KC, AH, EF đồng quy

Bài 7: Cho ABC vuông A, trung tuyến BD Phân giác BDA BDC cắt AB BC M N Biết AB = 16cm; AD = 12cm

a.  Tính độ dài các đoạn thẳng BD, BM b Chứng minh MN // AC

c Tứ giác MACN hình gì? Tính diện tích tứ giác đó

d Tính AMD

Bài 8: Cho ABC nhọn, các đường cao AM, BN cắt K

a Chứng minh AKN∽BKM

b Chứng minh AKB∽NKM

c Kẻ MH  AC H AC Chứng minh

MC  AC HC

d Gọi I là giao điểm KH MN Kẻ IEAC E AC Gọi F là giao điểm IE KM

Chứng minh 1

KN MH  EF

Bài 9: Cho hình vng ABCD, M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Kẻ DNCM  I

a Chứng minh DNCM

b Chứng minh CI.CM = CN.CB c Chứng minh DI = 2CI; DI = 4IN

d Gọi P là trung điểm CD, AP cắt DI H Tính diện tích tứ giác HICP biết AB = a

Bài 10: Cho ABC có A60 o Các đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh AC.AE = AB.AF

b Chứng minh BHC∽FHE

c Tính ABC

IAF S S 



BÀI TẬP VỀ NHÀ BUỔI +

Bài 1: Cho tam giác ABC có BA = 3cm, BC = 7cm, BD là đường phân giác ( D thuộc AC) Kẻ

AH, CK vng góc với BD

a Chứng minh AHD∽CKD b Chứng minh AB BK = BC BH

c Qua trung điểm I AC kẻ đường thẳng song song BD, cắt BC M, cắt tia AB N Chứng minh AN = CM

d Chứng minh SABC 5SBDI

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Kẻ đường cao AH Từ H kẻ HE vng góc với

AB (E thuộc AB), kẻ HF vng góc với AC (F thuộc AC)

a Chứng minh AHB∽CAB b Chứng minh AC2 = CH.BC

c Biết BH = 4cm, CH = 5cm Tính chu vi tam giác ABC

d Từ A kẻ Ax // EF, từ B kẻ By vng góc với BC Tia Ax cắt By K Gọi O là giao điểm EF AH Chứng minh C, O, K thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A. Trên tia đối tia AB, lấy điểm E cho AB = 2AE

Trên tia đối tia AC lấy điểm F cho AC = 2AF a Chứng minh FE // BC

b Kẻ AH vuông góc với BC H Chứng minh AC2 = CH.CB

c Vẽ tia phân giác CD góc ACB (D thuộc AB), CD cắt AH I Chứng minh IH AD

IA  DB

d Cho AF = 1,5cm; AE = 2cm. Tính độ dài AH diện tích tam giác HIC

Bài 4: Cho tam giác ABC vng A Kẻ phân giác BE góc ABC ( E thuộc AC) Từ C kẻ

đường thẳng vng góc với đường thẳng BE D

a Chứng minh ∆ABE ∽ ∆DCE

b Chứng minh ∆AED ∽ ∆BEC

c Chứng minh AD = DC

d Kẻ đường cao AH tam giác ABC cắt BE K Chứng minh KH EA

KA  EC

Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BM, CN cắt H

a Chứng minh rằng: HB.HM = HC.HN

b Chứng minh ∆NHM ∽ ∆BHC

c Giả sử góc BAC = 600 Chứng minh diện tích ∆BHC gấp lần diện tích ∆NHM

Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao BE, CF cắt H

a Chứng minh ∆BHF ∽ ∆CHE b Chứng minh HE.HB = HF HC

c Từ E hạ EI  BC ( I thuộc BC) Biết EC=15cm; IC= 9cm Chứng minh ∆BEC ∽ ∆ EIC

Tính BC BE

d Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2

Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8cm, AD = 6cm Kẻ AM  BD (M thuộc BD)

a Chứng minh ∆ ABD ∽ ∆MAD

b Tính đoạn DM

c Đường thẳng AM cắt các đường thẳng DC BC thứ tự N P

Chứng minh AM2 = MN MP

d Lấy điểm E cạnh AB, F cạnh BC, EF cắt BD K Chứng minh AB BC BD

BEBF  BK

Bài 8: Cho hình vng ABCD một điểm E cạnh BC Kẻ tia Ax  AE cắt đường

thẳng CD F Kẻ trung tuyến AI của ∆ AFE và kéo dài cắt DC K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AI G Chứng minh:

a AE = AF

b Tứ giác EGFK hình thoi

c ∆FIK ∽ ∆FCE

d EK = BE + DK và khi điểm E chuyển động trên BC thì chu vi tam giác ECK khơng đổi

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Kẻ BI  AC; DK  AC Kẻ CM  AB,

CN  AD

a Chứng minh AK= CI b Tứ giác BIDK hình gì?

c Chứng minh AB.CM = CN.AD d CMR: AD.AN + AB.AM = AC2

Bài 10: Cho tam giác đều ABC Gọi O là trung điểm BC Tại O dựng

60

xOy Tia Ox cắt

AB M, tia Oy cắt AC N CMR:

a ∆ BOM ∽ ∆CNO

b BC2 = 4.BM.CN

c ∆ BOM ∽ ∆ONM Từ đó suy ra MO là tia phân giác của góc BMN