CHƯƠNG IV.GIỚI HẠN BÀI 1.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A/TÓM TẮT GIÁO KHOA 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn. *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:limun= 0 hay un khi *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi nếu lim(un-a)=0 Kí hiệu:limun=a hay un khi 2. Định nghĩa giới hạn vô cực. *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn + khi ,nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:limun=+ hay un khi . Dãy số (un) được gọi là có giới hạn - khi ,nếu lim(-un)=+ Kí hiệu:limun=- hay un khi . 3.Các giới hạn đặc biệt. a/lim =0 ;lim =0;limnk=+ với k là số nguyên dương. b/limqn=0 nếu 1. c.limc=c (clà hằng số).
Trang 1CHƯƠNG IV.GIỚI HẠN
BÀI 1.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A/TÓM TẮT GIÁO KHOA
1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu:limun = 0 hay u n 0khi n
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n nếu lim(un-a)=0
Kí hiệu:limun =a hay un a khi n
2 Định nghĩa giới hạn vô cực
*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn + khi n ,nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu:limun=+ hay un khin
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn - khi n ,nếu lim(-un)=+
Kí hiệu:limun=- hay un khin
3.Các giới hạn đặc biệt.
a/lim n1 =0 ;lim
nk
1
=0;limnk=+ với k là số nguyên dương
b/limqn=0 nếu q <1;limqn=+ nếu q >1
c.limc=c (clà hằng số).
4 Định lí về giới hạn hữu hạn.
Định lí 1.
a/nếu limun=a và limvn=b,thì:
*lim(un+vn)=a+b lim(un-vn)=a-b
*limunvn=ab limu v b a
n
n
b/Nếu un 0 với mọi n và limun=a thì a 0và lim u n a
5 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
b/Nếu limun=+ và limvn=a>0 thì limunvn=+
c/Nếu limun=a>0,limvn=0 và vn>0 với mọi n thì lim
n
n
v u
6.Cấp số nhân lùi vô hạn.
*Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn q <1
*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: S=u1+u2+u3+ =1u1q
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I Vấn đề 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ NHỜ VÀO
CÁC ĐỊNH LÍ1, 2 VỀ GIỚI HẠN
PHƯƠNG PHÁP
Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp dụng được định lí 1,2
*Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử số và mẫu số cho nk,trong đó k là
số mũ cao nhất của n(hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)
Trang 2*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau: +Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.
+Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức,khi biểu thứcchứa biến n dưới dấu căn
Ví dụ1.Tính lim 3 3
2 1
5 2 3
n
n n
5 2 3
n
n n
) 2
1 (
) 5 2 3 (
3 3
3 2 3
n n
n n
n
=lim
2
3 2 1
5 2 3
3
3 2
Ví dụ 2.Tính lim
1 4
3 2 5
n
n n
Ta có :lim
1 4
3 2 5
n
n n
=lim
) 5
1 ) 5
4 ((
5
) ) 5
3 (
2 1 ( 5
n n n
n n
5
1 ) 5
4 (
) 5
3 (
2 1
4 ( n n )
Ví dụ 3 Tính lim
n
n n
2 1
2 1
2 1
Ví dụ 4 Tính
lim(n-1
7 3 2
7 2 lim 1
7 2 lim 1
) 7 3 ( )
n n
n n n n
Ví dụ 5 Tính lim(2n3+3n-1)
Ta có lim(2n3+3n-1)=limn3(2+ 2 3
1 3
n n
n
Ta có : lim( n2 1 n2 n)=limn( 1 12 1 1)
n n
Ví dụ 8 Tính lim( n2 1 n2 n)
Ta có : lim( 2 1 2 )
n n
n =lim
n n n
n n n
n n n
2 2
2 2
1
) 1
)(
1 (
=lim
n n n
n n n
2 2
1
) ( ) 1 (
Trang 3=lim
n n n
2 1 1
=lim 1 12
1
1 1
1 1
II.Vấn đề 2 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp : Chứng minh dãy số tương ứng là một cấp số nhân lùi vô hạn(nếu bàitoán chưa cho giả thiết này).Sau đó tính tổng bằng công thức :
S= u q
1 1
Ví dụ 1 Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn sau :
3
1 ( , , 27
1 , 9
1 ,
1 1
1
) 3
1 (
27
1 9
1 3
) 1 (
3
4
3 2 2
3 2
3 2
) 2 (
) 1 (
3 , , 4
3 , 2 2
3 , 2
3 , 2
) 1 (
3
4
3 2 2
3 2
3 2
1 1 2 3
n n
n n
7
3
3 4
n
n n
2 3
Trang 46 lim )
4
3 3
2 (
1
n n n
7 lim
7 3
5 4
2 3 2
n
n 8 lim
9 6
4
2 3
2 3
n
9 lim
3 2
2 3 2 2 4
n n
Bài 2 Tính các giới hạn sau:
1 lim(-n3+2n-1) 2 lim(3n2-5n n-9) 3.lim(3n+2n+5)
1 1
Bài 4.Tính các giới hạn sau
1
2 2
n
) 1 (
1
4 3
1 3 2
1 2 1
3.lim( ) ( 1 1 )
3
1 1 )(
27 9 3
2
8 4 2 1
8
1 4
1 2
2
1 2
1 1 2
BÀI 2.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số.
*Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\(xo)
Số L được gọi là giới hạn của hàm số y=f(x0) khi x dần tới x o nếu với dãy số (xn) bất kì,xn K \(xo) và xn xo ta có f(xn) L
Kí hiệu x x o f x L
( ) lim hay f(x) L khi x xo
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (x0;b)
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x xo nếu với dãy số (xn) bất kì,xo<xn<b v à xn xo,tacó f(xn) L
Trang 5 Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;x0)
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x xo nếu với dãy số (xn) bất kì,a<xn <xo v à xn xo,tacó f(xn) L
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;+)
Số L được gọi là giới hạn bên của hàm số y=f(x) khi x + nếu với dãy số (xn) bất kì xn>a v à xn +,tacó f(xn) L
Kí hiệu: x f x L
lim
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (-;a)
Số L được gọi là giới hạn bên của hàm số y=f(x) khi x - nếu với dãy số (xn)bất kì xn<a v à xn -,tacó f(xn) L
Kí hiệu: x f x L
lim
2.Định nghĩa gi ới hạn vô cực của hàm số
*Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+)
Hàm số y=f(x) được gọi là có giới hạn - khi x + nếu với dãy số (xn)
5.Quy tắc về giới hạn vô cực
Trang 6a/Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x).
L x f o x x ( ) lim
xlimx o g(x)
) ( ) ( lim f x g x o x x
L>0
+ +
- -
L<0
+ -
- +
b/Quy tắc tìm giới hạn của thương g f((x x))
) ( lim f x o x x lim g(x) o x x Dấu của g(x) ) ( ) ( lim x g x f o x x L Tuỳ ý 0 L>0 0 + + - -
L<0 + - - + (Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn,với x x0) B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I.Vấn đề 1.Tính giới hạn của hàm số nhờ áp dụng trực tiếp các định lí 1,2 hay quy tắc về giới hạn vô cực Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau a/ 1 2 lim 2 2 x x x x
Ta có: 1 2 lim 2 2 x x x x = 10 1 2 2 2 2 2
b/lim3 ( 3 3 1) x x x
Ta có: lim3 ( 3 3 1) x x x =( 3 3 3 3 1 ) =-19
c/ 1( 1 ) 2 2 3 lim x x x
Ta có: lim1(3 2) 10,lim1( 1)2 0 x x x x và (x+1) 2 >0 với mọi x 1
Do đó 1( 1 ) 2 2 3 lim x x x =-
d/
x
x
11 2
lim
5
Vì lim5 (2 11) 10,lim5 (5 )0
x
Trang 7
= + f/ lim(2 3 5 1)
x x khi lim0 ( )lim0 ( )0
u x v x
x x x
x
) ( ) (
) ( ) (
x A x
B x x
x A x x
x x x
x x
(Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với
biểu thức liên hợp,trước khi phân tích chúng thành tích rồi giản ước)
x v x
u
x x x
-Chia tử số và mẫu số cho xn với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x(hay phân tích
tử và mẫu chứa nhân tử xn rồi giản ước)
-Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dưới dấu căn thức thì đưa xk ra ngoài dấu căn(với k là
số mũ cao nhất của x trong dấu căn),trước khi chia tử số và mẫu số cho luỹ thừa của x
x v x
u
x x x
x v x
u
x x x
5 5 lim 2
1 (
) 1 ( 5 lim 2 3
5 5 lim
1 1
x
x
x x
x
b/
2
3 1 4 lim
2 (
9 ) 1 4 ( lim 2
3 1 4 lim
2 2
x
x x
x
x x
Trang 8c/ 23 3
3
2 2
lim
x x
x x
2 1 2 lim 3
2 2
x
x x
x x
4 5
2 1
1 1 1 lim 2
1 lim
x x
x x x
x x
x x
e/
7 2
3 1 lim
x x
Ta có:
7 2
3 1 1 1 lim 7
2
3 1
x x
x
x x
7 2
3 1 1 1
x
1
7 2
3 1 1 1
lim
Ta có:
x x x
x x x x x x x
x x
x x
lim lim
=
x x x
x x
1 1
1 lim
1 1
x
x x
g/ 1)
1
2 ( lim
2
x x
2
x x
3
1 1
1 1 2 lim 1 2
lim
x x
x x x
x
x x
x x
4
3
1 7 lim
Trang 91
2
2 lim
x 2
1
3 5 2 lim 2
3
3
3 4 lim 2
x
4
4
2 2
2 3
x 5
x
x x
2
6
2 1
2 1 lim
8
x
x x
1 1 lim 2
k
2 2 4
1 )
I Định nghĩa hàm số liên tục:
*Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x0K .
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim ( ) ( 0)
0
x f x f
x
*Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi
điểm của khoảng đó
* Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đo ạn [a;b ] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) v à xlima f(x)f(a)
a/Hàm số đa thức lien tục trên toàn bộ tập số thực R
b/Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó
2 Định lí 2 Giả sử y=f(x) và y=g(x)là hai hàm số liên tục tại x0.Khi đó : a/Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x).g(x)cũng liên tục tại x0 b/Hàm số y= g f((x x)) liên tục tại x0 nếu g(x0) 0
3 Định lí 3 Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại
ít nhất một điểm c a; b sao cho f(c)=0
Mệnh đề tương đương : Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a) f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x0 a; b
4.Định lí 4.( định lí giá trị trung gian).
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a) f(b)thì với số thực M nằm giữa f(a) và f(b) luôn tồn tại ít nhất một điểm c a; b sao cho f(c)=M
Trang 10B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I.Vấn đề1.XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM X 0 DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA.
x , lim ( )
0
x
f x
x và lưu ý rằng:
L x
f L
x
f
x x x
x x
1 1
1 )
(
2
khix
khix x
x x
2 3
2 )
(
x
khix x
4 3
1 3
4 )
(
khix x
x khi x
x x
1
2 1
f
x x
Do đó,hàm số không liên tục tại x=2
3.Tập xác định của hàm số là D=[3; +)nên nó xác định trên
4
) 1 3 )(
4 ( lim 1 3
4 lim
) ( lim
4 4
x
x x
h
x x
Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=4
II.Vấn đề 2.XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp:
Dùng định lí về sự liên tục của các hàm số đa thức,phân thức hữu tỉ,lượng
2
3 3
6 5 )
(
2
khix x
khix x
x x
x f
Giải Tập xác định của hàm số là D=R
Trang 11*Với x>3:f(x)=
3
6 5 2
là phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (3;+) thuộc tập xác định của nó
*Với x<3:f(x)=2x+1 là hàm số đa thức nên liên tục trên(-;3)thuộc tập xác định của nó
3
) 2 )(
3 ( lim 3
6 5 lim ) ( lim
3 3
x x x
x x x
f
x x
x x
f
x x
Vì limx 3 f(x) xlim3 f(x)
nên hàm số đã cho không cố giới hạn hữu hạn khi x
3.Do đó nó không lien tục tại x=3
III.Vấn đề 3.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.
Phương pháp:
Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
Ví dụ 3:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x=-1:
1 4 3 )
(
mkhix
khix x
x x
f
Giải.
) 1 4 3 )(
1 (
1 4 3 lim 1
1 4 3 lim ) ( lim
1 1
x x
f
x x
x x
Hàm số trên liên tục tại x=-1 lim ( ) ( 1 ) 23
*Để chứng minh phương trình có nghiệm,cần tìm hai số a và b sao cho hàm số
y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0
Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:
-Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi
-Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0
*Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm,cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau,f(ai).f(bi)<0 và hàm số y=f(x) lien tục trên tất cả các đoạn [ai;bi]
Ví dụ 4.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
Hàm số nêu trên liên tục trên R,do đó liên tục trên đoạn [-1;0] (2)
Từ (1) và(2) suy ra phương trình f(x)=0 hay 2x5-5x3-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1;0),nghĩa là thuộc khoảng (-2;1)
Ví dụ 5:CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm
Giải
Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1.Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3].(1)
Trang 12Ta có:f(0)=1;f(1)=-1;f(3)=13.Do đó f(0).f(1)<0 và f(1).f(3)<0(2)
Từ (1) và(2) suy ra pt f(x)=0 có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
1 1
) (
mkhix
x khi
x
x x
.
3 3
3 4 )
(
2
khix x
A
khix x
x x
1 1
2 3 )
(
2
khix
khix x
x x
BÀI 1 ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
I Định nghĩa
1.Số gia đối số và số gia hàm số.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x 0(a;b).
*Số x thoả điều kiện x 0 +x(a;b) được gọi là số gia của biến số tại điểm x 0.
* Hiệu số f(x 0 +x)-f(x 0), kí hiệuy được gọi là số gia của hàm số tại điểm x 0 ứng với số gia x.
2 Định nghĩađạo hàm tại một điểm.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x 0(a;b).Khi biến số nhận một số gia xthì hàm số có số gia tương ứng lày= f(x 0 +x)-f(x 0).
Nếu tồn tại giới giới hạn hữu hạn của tỉ số x y
khi x 0 thì ta nói hàm số có đạo hàm tại x 0 và giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x 0,kí hiệu là
f’(x 0 )hay y’(x 0 ).
Trang 13Như vậy ta có:f’(x 0 )=
x
x f x x f x
y
x x x
lim
0 0
x f x f
3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Kí hiệu J là một khoảng hay hợp của những khoảng nào đó.
a/Định nghĩa:nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x 0J thì ta nói hàm số
có đạo hàm trên J.
Khi đó đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x tuỳ ý của J được kí hiệu là y’hay f’(x)
b/ Đạo hàm của một số hàm số cơ bản.
* ( 0 )
2
1 ) ( '
x x
4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
a/Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 ))
b/Hệ quả:Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x 0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 ))có phương trình là:
y=f’(x 0 )(x-x 0 )+f(x 0 )
5.Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.
a/Vận tốc tức thời tại thời điểm t 0 của một chất điểm chuyển động với phương trình s=s(t) là:v(t 0 )=s’(t 0 ).
b/Cường độ tức thời tại thời điểm t 0 của một dòng điện với điện lượng Q=Q(t) là:I(t 0 )=Q’(t 0 ).
Trang 14B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I.Vấn đề 1.TÌM SỐ GIA CỦA HÀM SỐ
x f x f
x f x f
x f x f
x f x f
3 5 3 lim 2
) 2 ( ) (
2
2 2
x x x
f x f
x x
x
= lim ( 1 ) 1
2
) 2 )(
1 ( lim
x x
Trang 15b/Suy ra giá trị của f’(2)
Giải.
a/Ta có: f’(x 0 )=
0
2 0 2
0
lim ) ( ) ( lim
0
x x
x x
x f x f
x x x
2 1 2 1 2
) ( 2 lim
) 1 2 1 2 )(
(
) (
2
lim
2 0
0 2
0 2
0 2
0
2 0
2 0 2
x
x x x
x x
x
x x
x x x
x
1 2
.
2
2 2
A B
x x
y y
*f’(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến với đương f cong (C) tại điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 )) b/Các loại tiếp tuyến:
Loại 1:Tiếp tuyến tại điểmM(x 0 ;y 0 ) (C).
Phương trình tiếp tuyến có dạng:y=f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0
Loại 2:Tiếp tuyến song song với đường thẳng d’
*Tiếp tuyến d//d’ k d =k d’
*Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm,ta có:f’(x 0 )=k d (1)
*Giải (1) ta được x 0 Từ đó suy ra y 0
*Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0
Loại 3 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’.
*Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng d’ k d =
'
1
d k
*Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm,ta có:f’(x 0 )=k d (2)
*Giải (2) ta được x 0 Từ đó suy ra y 0
Trang 16*Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0
Loại 4.Tiếp tuyến qua điểm A cho trước.
*Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm và (x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm.
Ta có (d): y=f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0
*Cho (d) qua A ta đ ược y A =f’(x 0 )(x A -x 0 )+y 0 (3)
Ví dụ 4.Cho hàm số y=f(x)= 1x có đồ thị là (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
a/Tiếp điểm có hoành độ bằng -2.
b/ Tiếp điểm có tung độ bằng 3.
c/Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4
d/Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’):y= 2007
y
4
1 2
1 ) 2 ( 4
y
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình:y= ) 3 9 6
3
1 (
c/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4 k d =-4
Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm
1
2 2
1
0 0
0 0
y x
y x
Trang 17Vậy có hai tiếp tuyến thoả ycbt:(d):y=-4(x 21 )+2=-4x+4
3
1 3
9 1
0 0
0 0
y x
y x
Vậy có hai tiếp tuyến thoả ycbt:(d):y=
3
2 9
1 ) ( 1 :
) (
x x x x y
Tiếp tuyến (T) qua A(-8;0) 1( 8 ) 1 0
0 0
Bài 3.Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số sau tại điểm có hoành độ
x 0 :
Trang 181.y=x 3 ,x 0 =-1 2.y= 1x ,x 0 =2
3.y= x,x 0 =9 4.y=x 4 ,x 0 =-2
Bài 4.Cho hàm số y=x 2 -2x+3 có đồ thị (P)
1.Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm x 0
3.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x+10.
4 Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y-20=0.
Bài 5.Cho parapol (P):y=x 2 Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết:
a/ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x+10.
b/ Tiếp tuyến qua điểm A(0;-1).
B ÀI 2.CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1 Đạo hàm của tổng hiệu các hàm số.
Định lí 1:Cho các hàm số u=u(x),v=v(x) cáo đạo hàm trên khoảng (a;b)thì tổng
và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và:
3.Đạo hàm của thương hai hàm số :
Định lí 3 : Cho các hàm số u=u(x),v=v(x) cáo đạo hàm trên khoảng (a;b) và v(x)
4 Đạo hàm của hàm số hợp :
Định lí 4 :Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và hàm số y=f(u) có đạo hàm tại điểm u 0 =u(x 0 ) thì hàm số hợp y=F(x)=f[u(x) ]cũng có đạo hàm tại x o và : F’(x 0 )=f’(u 0 ).u’(x 0 ) hay y 'x y u' u x'
Hệ quả:a/(u n )’=nu n-1 u’ b/ '
2
1 )'
u
u
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I.Vấn đề 1.TÌM ĐẠO HÀM CỦA TỔNG HIỆU TÍCH THƯƠNG CÁC HÀM SỐ Phương pháp:
Trang 19*(1)' 12 (x 0 )
x x
* ( 0 )
2
1 )'
x x
Ví dụ 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.y=(2x-1)(3-x) 2.y=(x 2 +x+1)(x-2) 3.y=(2 x+1)(4 x-3) Giải.
4 3 (
x x
= 2 ( 4 5 ) 2
31 )
5 4 (
) 4 3 ( 4 ) 5 4 ( 3
x x
Trang 202.y’= 2
2 2
2
) 1 (
) 7 3 2 ( )' 1 ( ) 1 ( )' 7 3 2 ( )' 1
7 3 2
x x
x x
x x
2 2
2
) 1 (
4 4 2 )
1 (
) 7 3 2 ( ) 1 )(
3 4 (
x x x
6 1
3 4 2
6 12 1
3 4 2
)' 3 4 (
2 3
2 2
3
2 2
3
2 3
x x
x
x x x
x
x x
8 )
1 (
)' (
1
x x
x
2 3
x x
5.y=
1
2 2
bc ad d
cx
b ax
x
(a là hằng số) Bài 6.Cho hàm số y=f(x)= x2 2x
.Hãy giải bất phương trình:
f’(x) f (x)
Trang 21Bài 7.Cho hàm số y=x 3 -3x 2 +2.Tìm x sao cho:
1.f’(x)>0 2.f’(x)<3.
Bài 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1 Đạo hàm của hàm số sin.
*(sinx)’=cosx
*(sinu)’=u’.cosu
*(sin n u)’=n.sin n-1 u.cosu.u’
2 Đạo hàm của hàm số cosin
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Khi tính đạo hàm của hàm số lượng giác,ngoài các công thức tính đạo hàm đã học,cần chú ý đến các công thức thu gọn sau:
x x
x
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Trang 22Bài 1.Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.y=3sinx-4cosx 2.y=4sin 2 x-3cos 4 x
3.y=1 cosx x 4.y=11 sinsinx x
5.y=sinxcoscosx x
6.y=sinsinx x coscosx x
7.y=xsinx+cosx 8.y=xcotx
9.y= 1 2 tanx 10.y=3tanx+tan3x+tan 3 x
Bài 2.Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.y=sin3x.cos2x 2.y=cos 2x +sin2x-cosx 2
3.y=sin 2 x.cos 3 x 4.y=cot 3 (2x+4 )
5.y=sin 2 (cosx) 6.y=tan 2
Bài 4.Cho hàm số y=sin2x-2cosx.Hãy giải phương trình:y’=0.
Bài 5.Cho hàm số y=3sin2x+4cos2x+12x.Giải phương trình y’=2.
Bài 5 ĐẠO HÀM CẤP CAO.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1 Định nghĩa.
*Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f’(x).Hàm số f’(x) còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm
số f(x).Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của
hàm số f(x).Kí hiệu là:f’’(x) hay y’’.
*Đạo hàm của đạo hàm cấp hai gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x).Kí hiệu
là:f’’’(x) hay y’’’.
* Đạo hàm của đạo hàm cấp ba gọi là đạo hàm cấp 4 của hàm số f(x).
Kí hiệu là:f’’’’(x) hay y’’’’hay y (4)
*Tương tự,ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n của hàm số f(x),kí
hiệu là y (n) hay y (n).Tức là ta có:
y (n) =(y (n-1) )’(nN,n>1)
2 ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
Đạo hàm cấp hai của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I.Vấn đề 1.Tìm đạo hàm cấp cao của một hàm số.
Ví dụ 1.Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số:y=xcosx-sinx