mm ce ` bu k, meet Teen re ae su 1 tna ener ete ee te 4 a | ian te om we een to ~ ~ a in a ee ee <i ener in ì ` ere, 272009 s37
‘pai Shaun, CQ.C7iâm Pri
Trang 3
Lene Can a WW H§ LẠ NG 72 Le Cue Keng, eg” —= Ligue, Regu Fou iui
Đề chứng minh mệnh đê P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng Vn>p với p là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau:
e Kiễm tra mệnh đề đúng vớin=p
Giả sử P(n) đúng với n= k (k = p) (giả thiết) Ta chứng minh P(n) đúng với n =k + 1
Kết luận: P(n) đúng, Vn>p
Trang 4
Feung lam DU THAR 239 Lé Cao Lang, Ý/ bu g— | Phi Thigulr, Quge Sau Dui
{ (Diéu Thos 08, KUESTLTR
nín+1ì(2n+3 3) 1542/813.111, occ +n(3n+2) ( a +3) 9) 44 ¬ + ' = L 1.2 2.3 n(n+1) n+ 10) (21-2) fr-4 = ĐÀN Ơ (n+1?) 2n
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau ( (vn eN )
Trang 5
1) tỉnh gĩc giữa SB và (ABGCP), SC và (ABCD) * | 2) Tỉnh gĩc gitva (SBD) va (ABCD), (SCD) va (SCB)
Đài 9: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O cạnh ˆ
2a, SO 1 (ABCD) va SO =aV2
1) Tính gĩc giữa SC va (ABCD), gitra (SBC) va (ABCD)
2) Tinh gĩc gitra (SCB) va (SCD)
Bài 10: Cho tứ diện SABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B, AB =a Cac mat (SAB) va (SAC) cting vuơng gĩc (ABC) và
SA=av3
1) lính gĩc giữa (SAB) và (SAD) 2) Tính gĩc giữa SC và (ABC)
3) Gọi AH và AK là đường cao của ASAB và ASAC Chứng minh
SC 1 (AHK) va tính gĩc giữa (SAC) và (SBC)
Bài 14: Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a ASAE đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Goi H la trung diém AB
1) Chứng minh SH L (ABCD) Tính gĩc giữa SB và (ABCD)
<) Tính gĩc giữa (ABCD) và (SCD)
Bài 12: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O cạnh
a,SẬ L (ABCD) va SA=a/3 Tim gĩc giữa:
1) SB va CD, SC va AB 2) SC va BD, SD va AC
3) (SAB) va (ABCD), (SBD) va (ABCD) 4) (SAC) va (SBD), (SBD) va (SCD)
Bai 13: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a Mặt
_ phẳng (SAD), (SAB) cùng vuơng gĩc với (ABCD), SA = a-/6 Tính
gĩc giữa:
1) SC va (SAB), SB va (SAC), AC va (SBD) 2) (SBD) va (ABCD), (SBC) va (ABCD)
Sraug 9O
ác tực, faue 1 w uu ANH 2 2 l4 —= Cae ——:
1\(, 4), 1) (, 1) 4
3|\*-3] 4) 4} =— Yn>2 2 3 4 f1 n
1 1 1 1 T+n
— |} 1-—~ |} 1- ứng minh Vđ 6Đ, A(n) chia hết cho b rela) zs †1-—|=—— Vn>2
"—n;b=3;
=4” +15n—1;b=9;
= 627 4 ant2 $3" b= 11:
9) A(n) =5.2°7 4.39" b = 49;
Bảai 4: Chứng minh các bat đẳng thức sau đúng với mọi giá trị nguyên dương của n:
) ty +—=+ + <2 1 22 32 n_- 1 1 1 1 6) ~+—— + = + + < 3 | 1.2 1.2.3 1.2.3 và t 4 | ¬ 7) ‘tort grt HH hư +—=<2-—,Vn>2 f1 Le Phoreg Dh Theale Qeegier San hui
Trang 6
Serius aon i) HHA H1 22 2 ——= Sing, Phutiug “2ku < Thanh, ugar < Saat q hei
39752192 )
g (SS noe nh on vđàna1 ant 1 -
Vt ÍÌ _ 1 + + + > n+1 n+2 n+3 one :
Bai 5: Cho téng S, = eens 0 733557 (4n-3)(4n+3
1) Tinh S,,5,,5,,5,
2) Dự đốn cơng thức tính Sạ và chứng minh bằng quy nạp 1 GQ
Cho tap hop c: cac sé nguyén dong Z* Mét ham sé u(n) xac dinh
trên tập hop Z* goi la 1 day sé vé han hay goi tat la day so
a Tập gia tri clia day s6 u(n) gdm vé sé phan te: u(1)=u, ;
b u, goila sd hang dau tién
Cc ta gọi là số hạng thứ n hay là số hạng tống quát của dãy số
2 Cách cho 1 day SỐ :
Một dãy sơ được cho bởi 1 trong các cách sau :
a._ Cho cơng thức của số hạng tổng quát U„
b Cho 1 mệnh đề mơ tả các số hạng liên tiếp của nĩ
c Cho bằng phương pháp truy hồi : cho số hạng đầu (hay vải SỐ hạng đầu) và cho hệ thức liên hệ giữa số hạng thứ n với
số hạng (hay vải số › hạng) đứng trước nĩ
- Cho 0 day sé Up
i Néuu,.,>u, VneZ* thi ta ndi u, i | a
i, Néu uo, <u, VneZ thì ta nĩi u, lac
Ze wg taut DIU Te Placing | hú Theasvels, Quan Five 2t
SS pee ere ee eee ee EE
a om
Goc g ai mat phang
Bài 1: Cho hình chĩp S ABCD cĩ đây là hình vuơng cạnh a,
SA L(ABCD) và SA = a3 Tính gĩc giữa các mặt phẳng:
1) (SAB) và (ABCD)
2) (SBD) và (ABCD)
3) (SBC) và (ABCD)
4) SBC) và (SCD)
5) (SAB) và (SCD) `
Bài 2: Cho tứ diện SABC co SA, SB, SC đơi một vuơng gĩc và
SA = SB = SC Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính gĩc của hai mặt phẳng (SA) và (SCI)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD cĩ ABC là tam giác đều, DBC vuơng cân
tại D Cho AB =2a, AD= a/7 Tinh gĩc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (BCD)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD cĩ BCD là tam giác đều cạnh a,
AB L(BCD), AB = 2a Tính gĩc giữa các mặt phẳng (ABC) và
(ACD)
Bài 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại
A và B, SA.L(ABCD), AB =BC=a, AD=2a, SA = axJ2 Tính
gĩc tạo bởi các mặt phẳng :
1) (SBC) va (ABCD) 2) (SCD) va (ABCD)
3) SN) va (SCD) Se
Bai 6: Cho hinh chĩp S.ABC cĩ đây ABC là tam giác vuơng cân với AB = BC =a, SA 1L (ABC) và SA = a E và F lần lượt là trung
di art của AB và AC Tính gĩc tạo bởi các mặt phẳng
1) (SAC) và (SBC)
2) (SEF) va (SBC)
Bai 7: Cho tw dién SABC co tam giác ABC la tam
SA 1 1 (ABC) va SA=aV3.Tinh: |
1) Gĩc tạo bởi (SAB) va (SAC), (ABC) va (SBC) ì› Hư
2) Tính dj C,(SAB) | và gĩc tạo bởi (SBA) và (SBC) xạ |
gidc déu canh 2a,
ai 8: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là nình vuơng tâm O cạnh
a,SA 1 (ABCD) và SA=a
Trang 7
Gĩc giữa đường ¡ thắng và mặt phẳng ° Bai 7: Cho tu dién déu ABCD Ti nh gĩc giữa:
1) AB va (BCD)
2 2) AH và (ACĐ) với H là hình chiếu của A lên (BCD)
Bài 2: Cho hình chop S ABC cĩ đáy là tam giác vuơng ở 8,
AB=a, AC =2a Biét rang SA, SB, SC déu tao với đáy gĩc bằng
nhau và đều bang 60°
1) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) Chứng minh H là trung điểm AC
2) Tinh d| H,(SAB) |
3) Tỉnh gĩc giữa SC và (SAB)
Bài 3: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O cạnh
i
a,SC 1 (ABCD) Goi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD
Cho biệt MN tạo với (ABCD) gĩc 60°
1) Tinh MN va SO
2) Tinh gĩc we VIN va (SBD)
Bai 4: Cho hinh chop S.ABC cd SA 1 (ABC), SA=2a, AABC
déu canh a Tinh gĩc tạo bởi: 1) SB va (ABC)
2) SC va (SAB) 3) SB va (SAC)
Bài 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a,
SA 1(ABCD), SA = aJ6 Tính gĩc tạo bởi
1) SC va (ABCD) 2) SC va (SAB) 3) SB va (SAC) 4) AC va (SBC)
Bái 6: Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B,
AB=a, SA 1 (ABC), SA =a Tính gĩc tạo bởi SB và (SAC)
Đại 7; Cho tứ diện ABCD cĩ 3 mặt ABC, ACD, ABD vuéng tai A M la diém rong ABCD Goi øz,đ,z lần lượt là gĩc của AM với các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) Chứng minh :
Sin” z + sin? đ + sin? „ = †
Cao Lay, Ty can Phuouy Dhui Steak, Quads 27
cae Pai
Jeu C2174 dha re 1 tữ LÀN: <- 9 LE
a= am oe esr
arene Sa
(DE Diéu Thou: C ; 06 3 079270 92)
—— 1 Tính sơ hạng L1 2 Lập hiệu số: H =1 — 0n
3 Dựa vào dầu của H để suy ra tính tang gia của dãy số :
a Nêu >0 Vđne Z* thì dã ay s Ly
b NéuH <OVne tang
thì dãy số giảm
On
fi
1 Khiu, >OVneZ" Tinh Đa
^ > A ti 1
2 Lập tỈ số: 7ƒ =_—HIỦ
Up
3 Dựa vào giá trị của T để suy ra tính tăng giảm của dãy số :
a Nêu Ï >1Vne Z' thì dã ãy số tăng
b Nếu 7 <1Vfne Z* thì dãy số giảm
4, Tinh bi chan cua day sé:
Dinh nghĩa :
Cho dãy số U,„
a Néu tén tại số thực m sao cho : „ >fm;Vfnie Z' thì ta nĩi
dãy số bị chặn dưới bởi m
b._ Nếu tồn tại số thực M sao cho : In SM;Vne Z" thì ta nĩi
dãy số bị hen trén boi M
Một dãy số vừa bị chặn trên , vừa bị chặn dưới thi dãy số được gọi là bị chặn -
Chủ ý: Các dâu “=” nêu trên khơng nhát thiết phải XảY ra
cradatg $®
Bài 1: Việt sáu số hạng đầu của các dãy số sau:
Trang 8= w ky a ee U, 1 = Ì
Bài 3: Cho dãy sơ (u,) xac dinh bot: Un =U, tine |
1) Xác định 4 số hạng đầu của dãy 2) Chứng minh rằng U„ = /n~ 6;Vđn > Í
U, =
u„ „=3u„ +10;(Vn >1) n
excels
4: Cho dãy số (uạ) xác định bởi: ) Xác định 4 số hạng đầu của dấy
2) Chứng minh rằng u, = 2.3” -5,Vn >f
Bài 5: Dãy số Fibonacci được xác định như SaU:
—
Seay | _E( 0c, Dt Ww ThA 1239 Lé Cuc Lang, Thường - Dla Tiga Qucie Feist Phi
+ Là gĩc nhọn te bởi đường † thang đĩ và hình chiêu của nĩ
lên mặt phẳng
+ Tìm hình chiếu a' của a lên (a)
Gĩc của hai mặt phẳng :
+ Là gĩc tạo bởi hai đường thang la lần lượt nam trên hai mat
phẳng và cùng vuơng gĩc với giao tuyến của hai mặt phẳng đĩ
Trang 9Je tước Laws De 1a) THAR 239 Lé Cav Lanuy, Dhatoug Pia Sheath, Qua Fan 2Á
8 oe ee SEES BT SG NP PIE Seer n An N N SG hố Anh KT SE Z2 VốC ue ee 115112595
I Se en ee) (Điệu Thoai: 0S.30752792 ) c 5) d(S8,AD) 7) d(SB, CD) " 6) d(SD, AD)
Bai 5: Cho hinh chop S.ABCD, ABCD là hình vuong cann a Hai mat phang (SAB) và (SAD) cùng vuơng gĩc voi (ABCD), SA= a
1) Chứng minh rằng BC 1 SB Tim doan vuơng gĩc chung của BC
va SB
2) Tinh d (SA, BD), d(SB AD), d(SC, AD), d(SC, AB)
Bai 6: Cho tam giác ABC đều cạnh a và điểm S ở ngồi mặt phẳng
(ABC) voi SA=SB=SC = 2a Tính d| S.(ABC)]?
Bài 7: Cho tam giác ABC đều cạnh 3a, điểm H thuộc cạnh AC với HC = a Dựng đoạn SH 1 (ABC) va SH = 2a
1) Hãy nĩi cách dựng đoạn vuơng gĩc HIK vẽ từ H lên (SAB)
2) Tính d[ H,(SAB) | và d[C,(SAB) |
pai 8: Cho hinh chop S.ABCD cĩ đây là hình chữ nhat AB =a,
AD=2a, SAL (ABCD) va SA =a Goil la trung diém canh SC
1) Xác định đoạn vuơng gĩc AH kẻ từ A đến mặt phẳng (SBD) Tinh
AH va d| /,(SBD) |]
2) Tinh d| O,(SCD)| va d[B,(SCD)]
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'CD' cĩ cạnh bằng a
1) Tinh theo a d(A'B,B'D)
2) Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, CD, A’D’ Tinh
gĩc giữa hai i dvong thang MAT PHANG va C’N
Bài 10: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh a,
SA L(ABCĐ),SA = a Xác định đoạn vuơng gĩc chung của các cặp đường thẳng sau: 1) SB va CD, BC va SD 2) SB va AD, AB va SD 3) BD va SC, AB va SC 4) 3C va AD, AC va SD SFeasng SO
Fraug tau PHU THAR 239 LE Cuv Laing, 22k 0g Plu Shee, LE I OO a a ED Be
See ee thản Tea Dhaai
(Bigu Thogé: 08.39 782192 =“====
UW, =U, =1/U,, =u,,,+U, Cheng minh:
-3|Í5#J {“#Ï 2) Chứng minh các tính chất sau: tị +U, + t1, =U 2 — Í — = tị + + +Uy, , = U5, Un +Uy+ +U,, =U, -1 tt; + C1, = HH NI Bế os 1
Bai 6: Cho dãy SỐ : ưa =——— nín +3)
* ` os > Vị = th z * ^
Gọi v„ạ là dãy thỏa : Xác định biêu thức của
.¬ nạ
dãy số v„ theo n
Bài 7: Cho a„ =
f
2 4 Dat u, = 28; tỉnh ứ,; U, ; u, Xác
{=
dinn u,
Bài 8: Viết cơng thức truy hồi của dãy số (Un) cho bởi:
1)u =nˆ-2n+3 2) u, =2+(n-1)3"
Bai 9: Cho day sé (u,) voi u, = 5.4" "43,
1) Chứng minh rằng: u„,= 4u —9;Vn >1
2) Hãy cho dãy số (u,) theo cơng thức truy hồi Bái 10: Xét tính tăng giảm các dãy số sau :
Trang 105) =-n ` +3 | 8) u, =2n° —-5n+1 5 | 2 6) u, = 2n-— 9) y =20 2n+1 n n+1 So
Bài 14: Xét tính tăng giảm các dãy số SAU:
Jn 6) u, =n+cos*n yu, = 3” U, - /2 n 7) 2) Un = Gn U4 = 2+U, 3) u„ =1—xjn 3)
4) u„ =vlnˆ+†1-n Ung = 2Uy +1 —f1
5) ta =———
Mr
1 1
ài 12: Chứng minh dãy SỐ : Ưn = n+1 n4+2 + + n+n tang
_n(n+2)
Bài 13: Cho 2 day 80: u,
1) Chứng minh : „ tăng và v„ạ giảm
2) Xác định biểu thức của v, theo n
pom, ea es 2 e ° 3 > ` ee & na+2 Age
Bài 14: Với giá trị nào của a thì day so U, = la day số tăng? n+
Lé day số giảm?
Bai 15: Xet ti nh † tăng, giảm các day số:
3" _ pnd? —4 1)u, =-> 3) U, n-vn-1 7 Vn+i-1 cĩ 1 4) n 2) U, — 5n Nn Feasng §
Seung law DUO THA 272 Le b Cao Lang, Y Phung Đá Shqule, ein J Jan Phd
( (PD) Dién Shout: Os 39782192 | 1
1) Chứng minh rằng : S/ L (ABD)
Tính d[ S,(ABC) |?
Bài 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh a, SA L (ABCD) và SÂ = a Dựng và tính độ dài đoạn vuơng gĩc |
chung của các cặp đường thang:
1) SB và CD 3) AD và SC
2) SC va BD A) SB va AD
Bài 6: Cho hình chop S.ABCD co ABCD la hinh vuơng canh.a
SA (ABCD) va (SB,(ABCD)) = 60° Tin
1) d[ A(SBC) | 2) d| AD,(SBC) |
3) d[ AB,(SCD) |
Bài 7: Cho hình tứ diện ABCD cĩ AD L (ABC), AC=AD =4,
AB =3,BC =5 Tính dị A,(BGD) |
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Bài 1: Cho tl dién ABCD Goi | va 4J là trung điểm của AB và CD
4) Cho AC = AD = BC = BD Chứng minh rằng I.! là đoạn vuơng
gĩc chung của AB và CD
2) Cho AB = CD,AC = BD,AD = BC Chứng minh rằng IJ là đoạn
vuong gĩc chung của AB va CD
Bai 2: Cho hinh chop S.ABCD co “ay la hinh thoi tam O, canh a,
gĩc A bằng 60° và cĩ đường cao SO = a Tính:
1) d[O,(SBC) | 2) d[ AD, SB]
Bài 3: Cho hình vuơng ABCD và tam giác SAD đều cạnh a, nằm
trong ZÍ mat phang Vuơng gĩc nhau Tính:
8 2) d|SA, D8]
Bai 4: Cho hi nh ae ABCD vuéng tai A va B với
Trang 11
Fe cst tản: oo 1 ub ARNG 239 Lé Cav Lany, Phiubuy )u¿ “7tquaết, Quản Fas Phu eee oe ee een ee eee eee Seen 0005009200/066 Le cia eg AE EWE EU
( Ff Diée Thoqés OS
39782102 }
°_ Cách dựng 2: (áp dụng cho trudng hop a 1 b)
+ Dựng mặt phẳng (ø ) chứa b vuơng gĩc với a tại a
+ Dựng AB L b tại B Suy ra đoạn AB là đoạn Vuơng gĩc
chung của a và b
Bài 1: Cho tứ diện ABCD cĩ ABCD đều cạnh a, AB L (BGD),
AB =a Tinh d| D,(ABC)] va d[B,(ACD)]?
Bài 2: Cho AABC vuơng tại A, BC = a,S # (ABC) thoả:
SA=SB=SC = a8 5 Tính d| S,(ABC) |?
Bal 3: Cho hinh chop S.ABCD cĩ ABCD là hình VUuƠng cạnh a, SA Lf (ABCD), SDA = 60" Tinh:
1) d| BSAC) ] 2) d| B,(SAD) |
3) mata SBC) | 4) d| A(SBD)]
) a[B,(SCD)]
6) 3 d[o(scp] với O = AC ¬ 8D
Bài 4: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA = SB = SC =a, ASB = 90°
BSC =60°, ASC =120° Goil fa trung diém AC
Seang SA
Jet eee ¿ (úc Ot i) H8 BIAR Ra | H 2: 3 Lz Le — cung , Plug Plui “Thun,
; 0S.30792792 | Qua Fee Plui
xe = 4 li a
ví 4 „
Bài 146: Cho dãy số (tin) VOI U u,=(1 ~a) +(ira) trong đĩ
0<a<†1 vàn là số nguyên dương <
1) Viết cơng thức truy hồi của dãy số
2) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy sĩ
Bài 17: Xet tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số (uạ) sau: 1 ) u, =n’? +2n-3 4 2) In =——+—>—+ + ”n?+2n+4 =¥n+1-Yn Ï{——_ tỊ u, =Í 2) U4 =u, +2n u,=1 3) UJ u,+4 "n+1 U„ +9 ủ, = Í 4) : ny „ SỨ + 2) nt ow A #9 2(n+ 1) “2(n+1
Eee ee Chee ee epee ee Se
Trang 12
u, =1 3
Bai 19: Cho day so U, F _ U„ạ+2 Chứng minh : 1< ủn S 5
n+i
| u, +1 u, =2
0: Cho day s6 U, ‘4 u„ +1 - Chứng minh : uạ giảm và
Le = 5
bị chặn dưới
1
thị = 2
Bài 21: Cho dãy số U„ : › Chứng minh : u„ tăng và ta + Ì U = n+1 2 bị chặn trên
-2ztetdt tase DHU THARS! 239 Lé Cuo Laing, ; Phung” Phui 2Z2hanh, Quay “7a Pui
TT nen ha A h h TT cà nh Ơi Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy sỐ (hữu hạn hay võ hạn) trong đĩ, kế từ
số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng liên trước
nĩ với một số khơng đỗi gọi là cơng sai Éý hiệu U.=tUIn+d n+ d =const Số hạng thứn: u, =u,+(n-1)d Tổng n số hạng n(u,+Up) _ n[2ux@ -1)d| 2 2
Điêu kiện để ba sơ lập thành một cấp số cộng: a:b;c lập thành CSC < a+c= 2b hoặc S„=
+ Là khoảng cách từ một ổi Sm bất kỳ của mặt t phẳng này
đến mặt phẳng kia
Đường vuơng gĩc chung của hai đường tháng chéo nhau: Hinh ly: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luơn luơn cĩ duy nhất Í đường thẳng cắt cả a và b dong thời vuơng gĩc với cả hai ¡ đường thẳng ấy Đường thẳng c đĩ gọi là đường vuơng goc chung cua a va b
II 7 giữa hai dwong th ang chéo nhau:
Cho hai ¡ đường thẳng avab,c là đường vuơng gĩc chung của a và b c cắt a tại A, c cắt b tại B Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau : 2 và b là độ dài đoạn thẳng AB
Cách dựng đường vuơng gĩc chung:
Trang 13Je cue cà cute PHU TARE 2 3 9 Lé Cao Las
, (Hường Phe “hưu, Qeegiee Sein Thứ
ss ee ee Cae ee
— (2Đdện Shoat: 08 307827
ai 3: Cho hình chĩp'S.ABGD cĩ ABCD là hình vudn ng tâm
a, mặt phẳng (SA) và (SAD) cùng vuơng gĩc mặt phẳng
(ABCD) va SA = a |
1) Chueng minh rang: (SAB) | (SBC) va (SAD) (SCD) 2) Chứng minh rang: (SAC) 1 (
3) Ha AH 1 (SBC) va OK 1 (SBC) Tinh AH va OK
Bai 4: Cho hinh chop S.ABCD cé ABCD là hình thoi tâm O cạnh a
va SA=SB=SC=a
1) Chteng minh rang : (ABC) | (SBD)
2) Chteng minh rang : ASBD là tam giác vuơng
Bài Š: Cho tứ diện SABC cĩ mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng
: © Q Qộ 3
vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) Biết AAB8C vuơng tại B với
AB=aBC =2aSA=a
1) Chứng minh răng (SAB) L (SBC)
2) Ha BH 1 (SAC) Tinh BH
3) Ha AK L (SBC) Tinh AK
4) Gọi O là trung điểm của AC Hạ OáM L (SBC) Tính OM
| Khoảng Cách: ; 1 Khoảng cách từ một điềm dén 1 oc ké
+ là độ đài đoạn vuơng gĩ
đường, thẳng: từ điêm đĩ đến đường thẳng 2 Khoảng cách từ † điệm đến 1 mặt phẳng: |
+ La độ dài đoạn vuơng gĩc kẻ từ điểm đĩ đến mặt phang
Sry 82 Ee See sg fare DHL | nn Do to n (G Xe
ác định sO harig đầu tiên và cơng sai của cáp số cộng, “
trong ‹ các trường hợp sau:
Ú„ = 19 u, =8 1 U, = 35 ae 2 +U¿ = 16 2) ° Uy = -27 Ny S,, = 55 [u, +u,„ =60 3) S, = 36 Lư _ =1170 S, = 42 a une 9) S, =5n* +3n ` lu, 275 10) S, =4n? +5n U, +U, —U, =10 U,+U, = 26
Sal 2: T rong cac day số sau, dãy số nào là cập số cộng Xác định số hạng đầu tiên và Cơng sai
Bai 3: Métc cấp số cộng cĩ 8 số hạng Số hạng đầu là 35, số hạng
cudi la 112 Tim các số hạng cịn lại
¡ 4: Một cấp số cộng cĩ cơng Sai bằng _4, số hang dau la 102
SỐ hạng cuỗi là —-14 Tim sé sé hạng của cấp số cộng
Bãi 5: Hãy xen vào giữa hai số 2 và 37 sáu sé dé dãy tam sé do lập
thành 1 cấp sơ cộng
Trang 14
Les 416 ghia © O _IE1AI 1239 Lé Cuo Lang , Phutiny Phu 7,
Bài 6£ Tìm 5 số biết chúng lập thanh 1 cấp số cộng cĩ tổng các số hạng bằng 45 và tổng bình phương các sơ hạng bằng 65
Bài 7: Tìm 4 số biết chúng lập thành 1 cắp số cộng cĩ tổng các số
hạng là -10 và tổng bình phương các số hạng là 70
Bài 8: Tìm 4 số hạng của 1 cap số cộng bị ết tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương của chúng bằng 166
Bai 9: Tim 4 số hạng của 1 cấp số cộng bị ết tổng của chúng bằng
38 và tổng bình phương của chúng bằng 406 Bài 10: Xác định 5 số biết chúng lập thành 1 cấp số cộng Tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 45 Bal Tìm 5 số DỊ ết chúng lập thành 1 cap sỐ cộng cĩ tổng các số hạng bằng 25 và tổng bình phương các sơ hạng bằng 165
Bài 12: Ba goc của 1 tam giác lập thành 1 cấp số cộng Hãy tìm sé đo các gĩc của tam giác đĩ
Bai 13: Một cap sé cong co 11 sé hang Téng cac số hang la 176
Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số cộng đĩ
Bal 14: Nguoi ta trồng 3003 cây theo hinh 1 tam giac nhv sau:
hang thứ nhất cĩ 1 cây, hàng thứ hai cĩ 2 cay, hang thứ ba cĩ 3 cây V.V Hỏi cĩ bao nhiêu hàng cây?
ai 15: Tim x dé: 1) 10—3x; 2x?+3; 7—4x lập thành 1 cấp số cộng 2 x?+3x; xỶ; 3x” -16 lập thành 1 cấp số cộng =>
Bài 46: Cho a; b; e lập thành 1 cấp số cộng Chứng minh rằng:
1) a?+2bc =c”+2ab
2
2) a”+8bo =(2b + c)
3) a?2+ab+b?; a2+ac+ec7; b°+be+a cỄ lệ
cộng
Svan 12
Feung Laine PHU T ot WAR (239 Lé Cao Lany, Dhubay Phu “hanh, aia 27 Fan a Plui
(Dién Shoui: 08.39782792 | — i!
4ng tru déu, hinh hép, hỉnh hộp đứng,
nh lập phương: | ;
: là lăng trụ cĩ cạnh bên vuơng gĩc với mặt
đáy “Trong lăng trụ đứng, các mặt bên là các hình chữ nhật
vuơng gĩc với đáy Cạnh bên cũng là đường cao
Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều Trong
lăng trụ đều, các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau Hình hộp : là hình lăng trụ cĩ đáy là hình bình hành Trong
hì nh hộp, tất cả các mặt đều là hình bình hành Hình hộp chữ nhật: là hình hộp cĩ tẤt cả các mặt đều là hình chữ nhật Hình lập phương: vuơng IV Hình chĩp đều: _
ø Hình chĩp đều : là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các
cạnh bên bằng nhau Trong một hình chĩp đều:
- — Chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm của đáy - _ Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Các cạnh bên hợp với mặt đáy các gĩc bằng nhau
- _ Các mặt bên hợp với mặt đáy các gĩc bằng nhau
- — Chiêu cao của tam giác cân mặt bên hạ từ đỉnh là trung đoạn
của hình chĩp đêu là hình hộp cĩ tất cả các mặt đều là hình
Bài 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình thoi tâm ©,
SA=SC và SB = SÐ
1) Chứng minh rằng: SỐ L (ABCD) 2) Chứng minh rằng: (SAC) 1 (SBD)
Bai 2: Cho hinh chop S.ABCD co ABCD la hinh vuéng canh a; ASAB déu va nam trong mat phang vuơng gĩc voi (ABCD) Goi M
la trung diém AB
1) Chteng minh rang: SM 1 (ABCD
2) Chứng minh rằng: ASBC vuơng
3) Chứng minh rằng : (SAD) L (SAB)
Trang 15
Fae trú Guớc ba W we LạN! 239 Le Cau Lased
ees Plat haute, ude S Seat c6
|
ghia: hai mat Sng ae: i la vuơng gĩc với nhau nếu trong
mat sna g này chứa một đường thẳng vuơng gĩc mặt phẳng kia
| Các tín h chất:
Định lý 1: Nếu hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau thì bat cứ đườn Ig thang nao nam trong mặt phẳng nảy và vuơng gĩc với giao tuyên thì đều vuơng gĩc với mặt phẳng kia
Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc với nhau và A
là điểm nằm trên (P) thì đường thẳng qua Ä và vuơng gĩc (Q) sẽ năm trong (P)
nh ly 3: Fial mặt phẳng cắt nhau và Củng vuơng gĩc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng đĩ cũng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba
Khen eee eee ear ee reoornens a T Sloat: an
1 1 l
b+ de” je+ va: Eu *
äÏ 17: Cho 4 số nguyên lập thành 1 cắp sĩ cộng Biết tổng của
4) p thành 1 cập số cộng
, ~ à té > > so 2 & 25
r
chung băng 20 và tơng nghịch đảo của chủng băng 34 Tìm 4 số
đĩ
3ai 18: Cho cap cong U, CO cac sé hang dương Chứng minh rằng
vol N= 2 thì:
1 | | n-
+ ee, + = 1
Un + VN Ju, + Jun
Bai 19: Dinh m để phương trình : x “=2(m+1)x?+2m+1=0 cĩ
4 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng
Bai 20: Cho day sé u, théa: U u, VaV, =-
1+1 7” 4
1) Chứng minh rằng : v„ là 1 cấp số cộng 2) Suy ra biểu thức của ư„ và v„ theo n
BS
BAI 4: CAP S6 NHAN
a Dinh nghia:
Cấp SỐ nhân là một ¡ dãy số (hữu hạn hay vơ han) trong do, ké từ SỐ hạng thứ hai, mỗi số hạng đêu là tích của số hạng liên trước nĩ với một số khơng đỗi gọi là cơng bội
Trang 16Feary Law BHU Ue
a 1239 Li Cuo Lang, Phucug Pili Fhants, quản Fe Dlui_
(Dién Shogt: O8.39782192 } — =
3 Số hạng thứ tỉ:
Tổng n số hạng đâu tiên:
S„ =U, +U; + +U,
u,(1-q" }
1-q
Điều kiện để ba số lập thành một cấp số nhân: a:b;c lập thành cấp số nhân <= ac = b*
6 Cấp số nhân lùi vơ hạn:
Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân cĩ giá trị tuyệt đối của cơng bội nhỏ hơn 7
ome A ‘ 4 ° a A A “a ae A U
rong cac sd hang cua mot cap so nhân lùi vơ hạn: S = Tca
¬Q BÀI TẬP
Bài 1: Tìm số hạng đầu tiên và cơng bội của cắp số nhân, biết rằng:
= 96 1) = 32 _ |, =†6 aj U, =1 u, = 96 3) Uy = 1982 2 | +u, =90 |; — Hạ = 240 AN
Bài 4: Cho tứ diện SABC cĩ tam giác ABC đều cạnh a, SA = a Và
vuơng gĩc với (ABC) Gọi H là trung điểm AB Gọi M là điểm trên
đoạn AH cĩ AM = x (0 < x < a/2) Gọi i (@) là mặt phẳng qua Mi và vuơng gĩc với AB
1) (a) cat tte diện theo thiết diện hình gì?
2) Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm vị trí M để diện tích này
lớn nhất
Bài 1: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng và vuơng gĩc với
nhau từng đơi một Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lầy các điểm A, B, C trong đĩ A, B cơ định và khác O, cịn C di động trên Oz Tim tập hợp
hình chiếu vuơng gĩc H của A trên BC
Bài 2: Cho hình tứ diện SABC cĩ tam giác ABC vuơng tại C,
SA L(ABC), SA = AC ï là trung điểm cla SC, Mla moat điểm di động trên cạnh SB và H là hình chiêu vuơng gĩc của A trên CM
1) Chứng minh AI L (SBC
2) Tìm tập hợp các điểm H khi M di động trên cạnh SB
Bài 3: Cho tam giác đều ABC và đường thẳng d vuơng gĩc với
(ABC) tại A | là trung điểm của AC, M là một điểm di động trên d và
H là hình chiêu vuơng gĩc của B trên CMI |
Bi 1 (ACM) |
2) Tìm tập hợp các điểm H khi M di động trên d
Trang 17
hãi 2 39 Lé Cao Las 22kg Phi | Theale, 2 eegiee Tat Ph li
Je
A0 C611£., si ie _aRAN
| ~ (Diéu Thogis 08.3978 2192 |
2) Mặt phẳng (a) chtra AD va vudng géc vai mat phang (SBC)
Xác định thiết diện của (z} với SABCD Tính diện tích thiết diện
THIẾT DIỆN
Bái 1: Cho hình chĩp SABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh a và
SA | (ABCD), SA= 2a Gọi M là điểm nằm trên cạnh AD cĩ AM = x (0 <x< a) Mặt phẳng (+) vuơng gĩc với AD tại M, cắt SB, SC,
SD lần lượttạiN,P,@ 1) Tứ giác MNP là hình gì?
2) Tính điện tích tứ giác MNPO theo a va x
3) Gọi I là giao điểm của M@Q và NP Tìm quĩ tích của điểm l khi MỊ di
gong tren doan AD
Bài 2: Cho tứ diện SABC cĩ SA L (ABC), SA = a, tam giác ABC
vuơng cân tại B với AB = a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và
OB
1) Chứng minh rằng tam giác SBC vuơng 2) Chứng minh rằng Bí 1 (SAC) và SC L AJ
3) Gọi M là điểm trên đoạn AB sao cho AM = x (0 < x< a) Goi (a)
là mặt phẳng qua M và vuơng gĩc AC cắt SB, SC, AC tại P,Q,N
Xác định hình tính của tứ giác MNP
4) Tính diện tích MNPGQ theo a va x Tim vị trí của M để diện tích MNPQ lớn nhất và tính diện tích khi đĩ
Bải 3: Cho hình chĩp SABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh a va
SA 1(ABCP), SA = a Gọi (+) là mặt phẳng chứa DC, (ø) cắt
SA, SB tại M và N
1) Tứ giác COMN là hình gì:
2) Cho AM = x (0 < x < a) Tinh dién tich DCMN theo a va x
3) Goi | la giao diém MC va ND Chieng minh | luén nằm trên 1 đoạn
thang cé dinh khi M di động trên SA
Seusg 78
Jeng leis (> I) oo JAR RE | 239 Lé Cao Lang, , Dla Plu hư, eget 9 Sew Plat
— ý Diba ¡ s77 họq¿: : OS.3978216 192 ) ‘fu, =15 _9) 3 Us = 135 u, <0 6) Uy —U, = /2 Uy —U, = 144 2) fu, -U, + Us, = 65
| |u, +uU, = 325
8) U,+U, +U, =-21 (1, + „ = 10
Bài 2: Tìm các số hạng của 1 cấp số nhân biết cấp số đĩ: 1) Cĩ 5 số hạng Số hạng đầu là 3 và số hạng cuối là 243 2) Cĩ 6 số hạng Số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1
"sa ap Lk tị = s¬
Bai 3: Mét cap số nhân cĩ 9 số hạng Biết Xác định
ty =1280
cơng bội g và tổng các số hạng
¬ Lf =2 củ
Bài 4: Một cấp số nhân cĩ 5 số hạng Biết ^ Tìm sơ hạng
g =
cuối và tống các số hạng
Bai 5: Tim s6 do cac goc của một tứ giác biết chúng lập thành 1
cấp số nhân và gĩc cuối i gap 9 lan gĩc thứ hai :
Bài 6: Cho a ;b; c là 1 cấp số nhân Chứng minh rang:
a+b+c=a’+b*+c°
Bài 7: Tìm 3 số hạng của 1 cấp số nhân biết : tổng của chúng bằng 21 vả tổng bình phương của chúng bằng 189
Bài 8: Tìm cấp số nhân cĩ 5 số hạng dương biết:
re
Sang 45
Trang 18Ul,U, = 25 4 1 U,+uU,+uU, =31 Lo 2 3 4 >) ‘i +U, = 164 U,+U, +U, = 18
Bài 9: Xác định các số dương a và b biết rằng:
6 a; a+2b; 2a+b lập thành †1 cấp sơ cộng
2 va ` Ấ £ ^
& (b+1) ;ab+5: (a ef lập thành 1 cấp số nhân
fa A 2 a A A a z A oA ^ ae 1 A
Bat 10: Mét cap sé nhan cé 5 sé hang Biét céng bdi bang SỐ
hạng đầu; tống của 2 số hạng đầu bằng 24 Tìm cấp số nhân đĩ Bài 1: Cho AABC cĩ độ dài các cạnh lập thành 1 cấp số nhân Chứng minh : AABC cĩ 2 gĩc khơng quá 60”
Bài 12: Tìm 4 số hạng đầu của 1 cấp số nhân biết tổng của 3 số
» ,, 148 ; ¬ ¬-
hạng đâu là _ đơng thời theo thứ tự chúng là sơ hạng thứ nhâi,
thứ tư và thứ tám của 1 cấp số cộng
Bài 13: Cho a; b; c; d lập thành 1 cấp số nhân Chứng minh rằng:
1) (a?2+b?](b? + c?]= (ab + be)
(a+b+c)(a—b+c)=a°+b*? +e
3) (be +ca+ab) =abc(a+b+c)
4) (a? +b’ +0?)(b? +0? +0") =(ad +be+0d)
5) (a-dy =(a—c) +(b-c) +(b-ay
6) (a+b+c)(b+c+d)(a—b+c)(b-c+d)=(ab+bc+cd)
Fug fam DH "U UHAR 23 2 Le 4o ae Phuong “hú < hanh, ugar Sin c Die
+ ung fam Dt 5 222 62 ce Cue Lang, (Plucug Dai Shale Reecine an Dh |
( Diéw Shout: OS.397827 92 ee a —
_ trên OH sao cho AI = x và a < x < 2a Mặt phẳng (ø } đi qua I và
vuơng gĩc với AH
1) Xác định thiết diện (ø) với tứ diện SABC
2) Tỉnh diện tích thiết diện theo a và x Tìm x để diện tích này lớn
nhất, tính diện tích lớn nhất này -
Bải 16: Cho tứ diện SABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B và AC
=2a, SA L (ABC) và SA = a
1) Chứng minh rằng (SAB) L (SBC)
2) Xác định chân đường vuơng gĩc l kẻ từ A đến mặt phẳng (SBC) 3) Xác định chân đường vuơng gĩc J kẻ từ M đến mặt phẳng (SBC) với M là trung điểm AC
Bai 17: Cho tứ diện SABC cĩ (SBC) và (ABC) vuơng gĩc với nhau, tam giác SBC đều cạnh a, tam giác ABC vuơng tại A và ABC = a
1) Hãy xác định hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABC)
2) Tính SA
3) Goi I là trung điểm của AB Chứng minh rằng (SH) L (SAB)
4) Xác định hình chiêu K của điểm H trên (SAB) Tinh HK
Bai 18: Cho hinh chop SABCD voi day ABCD là hình chữ nhật, SA
vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, E, F lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Chứng minh rằng:
1) (SAB) 1 (SBC) (SAD) L (SCD)
2) ) (AEF) (SBC), (AEF ) 1 (SCD)
Bái 79: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD tam O,
AD =60°, SO L(ABCD), SO= = va F la diém trén
canh BC sao cho BF = =
1) Chtyng minh rang (SOF) 1 (SBC)
Gragg 16
Trang 19
Je sướo (đúc PEG HARM 239 Lé Cuo Laing ,
eS Ee See eee
ý Diésu SU:
Phurorg | Plui Flagacbe, uốn Tam Plu
Bài f1: Cho đường tron (C) dwong kinh AB nani trong mat phang (a), dla duong vudng géc voi (ar) tai A, trén d lay diém S # A, trên (G) lấy M Chứng minh rang:
1) MB L(SAM)
2) Dung AH LSB taiH, AK LSM AK 1 (SMB) OB L (AHK )
Bài 12; Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a,
SA L(ABCĐ) và SA = a
1) Gọi I là trung điểm SD Chứng minhh rằng: AI L (SCD)
2) Gai O la tam hinh vuơng ABCD, M dị động trên đoạn SD Tìm tập
hợp các hình chiêu N của O trén CM?
Bài 13: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình bình hành với AB =
a, AD = 2a, SAB là tam giác vuơng cân tại A, M là điểm trên AD với
tại K Chứng minh rằng
AM = x(0<x< 2a) Mặt phẳng (+) qua M song song với mặt phẳng
(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượi tại N, P, Q
1) Chứng minh rằng tứ giác MNPG là hình vuơng
2) Gọi I là giao điểm của MQ và NP Tìm tập hợp các điểm | khi M
chạy từ A đến D
3) Tính diện tích MNPQ theo a va x
Bài 14: Cho hình chĩp SABCD, đáy là hình thang vuơng tại A va D,
voi AD = DC = a, AB = 2a, SA L(ABCD) va SA = 2a, | là trung
diém AB
1) Chteng minh rang C/ 1 (SAB
), BC L(SAC)
2) Từ điểm M nằm trên cạnh AD Mặt phẳng (a) vuéng géc voi AD tai M, cat SB, SC, SD lần lượi tại N, P, Q Tứ giác MNPG là hình gì?
Tính điện tích MNPQ theo a và x = AM
Bài 15: Cho tam giác ABC đêu, đường cao AH = 2a © là trung điểm AH, S là điểm sao cho SƠ L (ABC) và SO = 2a | la điểm
Cung 7Ĩ
27rudưtđứa laa PHU THAR < }9 “bệ Cae -;uưc
21x22 01c Sa
Shuto Dh Thanh, » eg 2 San Pha
~ “(Dies - D Thoai: 08.3 39782992 )
Bal 1ã: Cho a ;b; c lập thành 1 cấp số cộng và ; c; a lập thành 1 cập sơ nhân Tim a;b; c trong 2 trường hợp :
1) a+b+c=18
2) abc =125
5: Cho 2 day số U, : _ Uy về Và Vạ =Uttn -Â
1) Chứng minh : v„ạ là † cấp số nhân
2) Suy ra biểu thức của ứ„ và v„ theo n
Trang 20U THANK 2 39 Lé Cus Lany
— (iệm Choại: 08.39752702 j
ru, (0t đ Plut&ng Dai Chanh, Suge Fine Phe
1 1 ° 1) 84+44+24—4—4.000 2 4 J2+1 1 1 2) + =+—+ 2-1 2-42 2 2 n 3 3 3 3) †1i+——+|—]| + +Ì | + 10 (10 LƠ j Nn AY x? — XP a KA Re +(-1) x" + vei [x] <1 va ne=2
Bai 18: Cho u, la 1 cap sơ nhân Chứng minh rằng
Bai 19: Cho 3 sé cong: a; b; c lap thanh 1 cấp số nhân Chứng
+b+ aB + bc +ac |
minh: ee | 3 - ¥abe cling lap thanh 1 cap số
nhân
Bài 20: Tổng 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng bằng 21 Nếu
số thứ hal bot di 1 va số thứ ba cộng thêm 1 thì 3 số đĩ lập thành 1 cấp số cộng Tìm 3 số đĩ com MN 8 nd H ¡ 2: Cho cấp số cộng gồm 3 số đương cĩ tổng bằng 21 3B tha al
lần lượ t thêm các số 2; 3; 9 vào 3 số đĩ thi được 3 số mới lập thành
1 cấp s số nhân Tìm 3 số hạng của cấp số cộng
2; Tìm x và y biết: x+6y ; 5x+2y; 8x+y lập thành 1 cấp
xa : số cộng và: x—1; y+2;lim——— x~3y lập thành 1 cấp số xa X—@ nhân na = B là
3a) 23: Tinh cac géc cu Ja một tam giác vuơng biết độ dài ba cạnh
của nĩ lập thành một cấp số nhân
Sraug 18
1 17 1 1 3) Chứng minh rằn ) Chung * OH? OA? OB? OC? = + + :
Bai 7: Cho tw dién SABC co tam giác ABC vuơng tại B và
SA L(ABC), AB =a,AC =3a,SA = a3
1) Chứng minh rằng các mặt của tứ diện đều là các tam giác vuơng
2) Gọi AD và AE là những đường cao của tam giác SAB và SAC
Chứng minh rằng tam giác ADE vuơng
3) DE cắt BC tại l Chứng minh rằng tam giác ACI vuơng 4) Gọi O là trung điểm AC Hạ OH L (SBC) Tính độ dài OH Bài 8: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O
cạnh a và SO L (ABCD) và SO = 2a Gọi l là trung điểm BC
BC 1 (S/O)
2) Gọi OH và OK là đường cao của tam giác SIO và SĨOC Chứng
minh rang SC L HK
3) Tính HK theo a
Bai 9: Cho hinh chop SABCD cĩ ABCD là hình vuơng tâm O và Goi I va K là trung điểm của SB và SD
j ‘us 1) Chứng minh rằng
1) Tìm giao tuyên của hai mặt phẳng (SDI) và (SAB)
2) Chứng minh rằng IK //(ABCD) 3) Tìm giao điểm của AK và (CDI)
49 “những minh rang SC LIK
Bài 10: Tứ diện SABC cĩ SA L (ABC) Gọi H và K lần lượt là
trực tâm của các tam giác ABC và SBC
1) Chứng minh rằng: AH, SK và BC đồng qui tại một điểm
2) Chứng minh rằng: SC L (BH)
3) Chveng minh rang: HK L (SBC)
Trang 21Je west Cu _ Dữ RU l8 LẠ NI 229 Le Laaeg , Phucug Phi Shrasebe, Quase Fane Dui
Si Ne eee Lee See ee ee Ơn N ƯC ce EE
: O8.39782192 j
2) Chứng minh rằng SC 1 BD “ 3) Ha AH 1 SB:AK 1 SD Chteng minh rang
AH L(SBC);AK 1 (SCD) Tinh dé dai AH va AK
4) Chứng minh rằng SC L(AHK), suy ra BD/!HK
Bài 2; Cho tứ diện SABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B và SA 1 (ABC)
) Chứng minh rằng tam giác SBC vuơng
2) Gol AH, AH la cac duwong cao của tam giác SAB, SAC Chứng
minh rằng tam giác AHK vuơng 3) Chứng minh rằng SC 1 (AHK)
Bái 3: Cho hình chĩp SABCD cĩ ABCD là hình thang vuơng tai A
và D, đáy AB = 2a; AD = DC =a, SA L(ABCD) Chứng minh rằng
tam giác SCD và SBC là các tam giác vuơng
Bài 4: Cho tứ diện ABCD cĩ hai mặt bên ABC và DBC là những
tam giác cân cĩ chung đáy BC
1) Chứng minh rằng BC L AD
2) Gọi O là trung điểm BC; AH là đường cao của tam giác ADO Chứng minh rang AH 1 (BCD)
: Cho hình chĩp SABCD cĩ SA = SB = SC = SD = a và day
BCD 513 hình vuơng cạnh a, tam O
1) Chứng minh rằng SO L (ABCD) 2) Chứng minh rằng AC 1L SÐ
3) Ha OH L (SBC) Tinh d6 dai OH
Bài 6: Cho tứ diện OABC cĩ OA, OB, OC đơi mội vuơng gĩc với
nhau Kẻ OH 1 (ABC)
1) Chứng minh rằng 8C L (AOH)
2) Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC
ng là 114 cĩ thể coi là oặc là số hạng thứ nha hai mươi lăm của một cấp số cộng Tìm ba số đĩ
Bài 25: Ba số khác nhau cĩ tong là 6 lập thành một cấp số cộng Bình phương của các số đĩ là các số hạng liên ti tiếp của một cấp số nhân Tìm ba số đĩ
Bài 26: Ba số cĩ tổng là 26 lập thành một cập số nhân Nếu theo thứ tự ta thêm 1; 6; 3 vào ba sơ đĩ thì ta được một cấp số cộng Tìm cấp số nhân đã cho
ens
Bài 27 ; Cho mot day số gồm 4 SỐ nguyên Biết răng ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số cuỗi ¡ lập thành một cap số nhân Tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 37 Tổng hai số hạng giữa là 36G Tim 4 sơ nguyên đĩ
Trang 222zttự (set BHU ue IARI 2 ae Lé Cuo Lang, Phường Pha Sheet, _ Sun San Dis Định nghĩa giới hạn đã
Ta noi day sé (u,)
cực nếu |u„| cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tủy ý, kế từ một số
hạng nào đĩ trở ổi
Kihiéu: lim u, =0 hay limu, =0.(co nghĩa khi n — +œ thị
M4
định ly co ban về ( giới hạn:
inh lý 1: Néu mot day số cĩ gio’ ới hạn thi nĩ bị chặn
¡nh y 2: Nêu một dãy cĩ giới han thi giới hạn đĩ là duy nhất Định lý 3: (Định ly Weierstrass)
Một day tang va 5 chan trén thi cd gidi han Mét day giam va DỊ chặn dưới thi cĩ giới han
Dinh ly 4 : (Định | ÿ kẹp)
Cho ba dãy số V„,u,, W„ thỏa v„<W„ Vn e Đ và
e Định lý 5: Các nhép toe tốn trên giới hạn:
i im(u, £v,) =limu, +limv,,
( lb ° Đị A: 7 n
+ fim(u,.v,) =limu, limv fi
2 (limv, z0) lÍ © ee & th © < = Mn 2 all = thì lìm-= 0 U 8 3 Các giới hạn cơ bản:
239 Lé Cao Lany, dừng Du Thanh, Quin Faau Pha
ee ee V2 ee ee ee eee
Fesusee (aout DHU T8 Lê
đường thẳng này thì cũng vuơng gĩc với đường thẳng kia +Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuơng gĩc với mặt phẳng nay thì cũng vuơng gĩc với mặt phẳng kia
+Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuơng gĩc với mội đường thẳng thì Song song với nhau
+Hai đường thẳng phân biệt cùng vuơng gĩc với một mặt phẳng thì
song song với nhau
+Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (khơng chứa đường
thẳng đĩ) cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thì song song với nhau Định lý ba đường vuơng a a Q O Cc a
Mét dwong thang b nam trén mat phang (a) vudng géc voi đường thẳng a khi và chỉ khi b vuơng gĩc với hình chiếu của a
lên (Z)
Mặt phẳng trung trực:
+Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua
trung điểm của đoạn thẳng vả vuơng gĩc với đoạn thẳng đĩ
+Định lý: Tập hợp những điểm cách đều hai đầu cuả một đoạn
| thang la mat phang trungf trực của đoạn thẳng đĩ
IV Phép đối xứng qua một mặt phẳng:
Phép đối xứng qua mặt onan (z) là phép cho tương ứng m
ỗ
điểm M trong khơng gian một điểm M' sao cho mặt phẳng (z} là mặt phẳng trung trực của đoạn MM'
€zairg 20
Bài 1: Cho hình chĩp SABCD cĩ day ABCD là hình vuơng tâm O va
SA L(ABCD)
1) Chứng minh rằng tam giác SBC và SGD vuơng
Trang 23
wl tức faut HU THARG 1239 Le Cao Lag, Pluwug we Zhquke, ts Qe 7 2â, NĨ ẤN SS a ee eee
~ G 2/2, Thoué: Os 3 9782792) 2a x2 C 3) Tính x đề diện tích này bằng a
4) Goi lla giao diém ctia MQ va NP Chteng minh rang | luén Iuén nam trén 1 doan thang cé dinh khi M di ¡ động trên đoạn AB
AG “(Dién © Shoui: sO
EU nnnre Eee ree —— ore Soma =n ee
I Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng:
+Định nghĩa: một đường thẳng A được gọi là vuơng gĩc với mặt phẳng (a) nêu nĩ vuơng gĩc với mọi đường thẳng của mặt
phẳng đé:
+Cách chứng minh một đường than mặt phẳng:
Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng đĩ vuơng gĩc với mặt phẳng
g vuơng gĩc với một
+Định lý 1: Qua một điểm O cho trước, cĩ một mặt phẳng duy
nhất vuơng gĩc với một đường thắng A cho trước
Định lý 2: Qua một điểm O cho trước, cĩ một và chỉ mơi
đường thẳng vuơng gĩc với một mặt phẳng ( (a) cho trước
Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuơng gĩc của đường thẳng và mặt phẳng:
+Cho hai đường thẳng song song, mặt t phẳng nào vuơng gĩc với
Seang 72
Bai 1: Tim cac gidi han sau:
aq it -—3n ne +2 2nˆ +1 nh=3n+3 nvn+n 2n? +5 (n-1)(3n7 +2n — 1) 4n -5n? N"h+3n+3+6n 7n+9 (2nJn +1)(Jn +1) (3n +2)(n+1) 1 — 3 lim im 7 lim 9 lim 9.lim Jn +1 42 \" 24 im +! ye 3n° +(-1) 6n`-2n+1 m 2 | 2n`—n 4 lim —— 5n+6 6 lim ——2"- | nm’ +5n? +9 3 jm A203) (40 - 5) 6n? + 87 2n +1Ì\(n n+7 10 iim! I (4n+ 5)(5n —7) 12 lim(Jin+41- vn]
Trang 24
Tess lam OI aU THA 123 2 = Cas Ling, Dhutsny Phui
hguh, quận Jan Plat
23 lim lln®+3n-n+5 n V3” +4459 2 _ “6 3 _ 3 Vn +n+i1-n 24 im |5 văn 25 lim = 26 lim(4n -9f? -5n-67] n’ 2a nda _ n’—n’cos3n-1
27 lim(-n +1v4n +1) 28 lim Sha net
2n — 11 _ đn*-2n?+n-20
29 lim 30 lim
nˆ+3n`~n+2 2nˆ+n+7
2 —
31 lim “ : 2 32 lira Vin? +n - Vn? =1)
i TT” Nn 1 | 33 lim —— 34 lim Wn-2—Aln+1 J4n+2—-J2n+1 35 lim( Vn? +n +2 -Vn—4) 36 lim(Jn+1-Vin)n _ Anˆ+1-vn+1 37 lim 38 lim (Vn +1-n | 3N+2 39 lim n(Jn+2-Vn| 40 im(2n~1) | *_ ne +2 ~ 42 ir n (Vir? —~{- Jn? + 2 | 46 lim (2n + COS n) 1+cosfif
47 lim đụ? —3Sin2n+5 48 liđ——
2 | 2n+~1
A9 m2 + sn2n lim V5
2 , ` ` ean
1} +ửì 3 +1
ANS et : Đhường Phu Sharh, Qadir = Tau ni
( ⁄⁄ÿ Điện Shoat Dàn 39782192 }
1) Tinh [SI, AB] 2) Tinh (SB, CD]
Bai 5: Cho hinh lao phuong ABCD.A’B’C’D’ canh a Goi M, N va P
lan lượt là trung điểm các cạnh BB', CD và A'D' Tính [MP, CÌNI
Bài 6: Cho hình thoi ABCD cĩ O là giao điểm của AC va.BD Lay S
là điểm khơng nằm trong (ABCD) sao cho SA = SC, SB = SD
1) Chứng minh: SO L (ABGD)
2) Chứng minh: AC L S8
3) Ha O! | SA, |e SA, chteng minh SA 1L (IBD)
Bài 7: Cho hình vuơng ABCD canh a, SA 1 (ABCD) và
SA =aA2 Gọi H lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SG, SD
4) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng
2) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuơng gĩc với SC Suy ra AH|, AK Al đồng phẳng
Bài 8: Cho tứ diện ABCD cĩ AB = AC = a và AB LCD Lay diém M trên cạnh AC với AM = x(0 <x< a) Gọi (œ} là mặt phẳng đi
qua M và song song với AB và CD; (+) cắt BC, BD, AD tại N, P, @ 1) Chứng minh MNPG là hình chữ nhật
2) Tính diện tích MNP@ theo a và x
3) Tìm vị trí của M đề MNPQ cĩ diện tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhật ‹ đĩ
Bài ¢ = Cho hình chĩp SABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh a Mặt bên $ SAD Ð là tam giác vuơng cân tai A Lay điểm M trên cạnh AB cĩ AM =x(0<x< a) Gọi (øz) là mặt phẳng đi qua M và song song
(SAD) sat SB, SC, SD tai N, P, Q
1) Tứ giác MNP là hình gi?
2) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x
Trang 25
Hi, tiai đường thăng vuơng gĩc:
+Hai đường thắng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa
chting bang 90° albs (a,b) = 90°
IV Liên hệ giữa quan hệ song Song và quan hệ vuơng đường thẳng:
+Ðịnh lý: Cho hai đường thắng song song, đường thẳng nào
vuơng gĩc với đường thẳng thứ nhất thì ¡ vuơng gĩc với đường thang thứ hai
gĩc của
Bai ?: Cho tứ diện ABCD cĩ AB = CD = 2a Gọi MỊ, N lần lượt là trung điểm của BC và AD Tính gĩc tạo bởi AB và CD biết rằng
MỊN = aJ3
Bài 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình thoi tâm O cạnh a
Cạnh bên SA = a và vuơng gĩc với BC
1) Xét hình tỉnh của tam giác SAD?
2) Tỉnh gĩc giữa SD va BC?
Bai 3: Goi | va J lan lượt là trung điểm của SA và SC Tính gĩc
giữa lJ và BD.Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC và AD,
1) Tính JK
2) Tinh [AB, JDI
3) Tinh cosin cua [AB, JD)
4) Xac dinh mat phang trung trực của đoạn AB 9) Xác định trục của tam giác BCD
Bải 4: Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm I S là điểm nằm trên trục
của hình vuơng ABCD sao cho SA = 2a
Sraag 70 (1 sinn? +cosn 23/n + 1 71 Ï? + COS —— 5 53 lim ~1)" (3 " 55 lim 1,93} 2 3.2” — i 57 lim! 2Jn 58 limit Ztst4t5t +n 2n ne +2
Bai 2: Tim cac gidi han sau:
1 đm2*Š- A‘ A 2 lim 2 +o 2” 5 30 -2) +3"
3 im CS" am2
.S_ l+ia+a + +a"
a lim 14+ b+ b° + 46" (le al<1: |bl<1 P|<1)
nạ sạn Pn, an 5 lim 22 3 6 m2 TẾT 2" +3” 2.3" 44" 7 lim(10001)” 8 lim(3.2" =8" +10) 3” —11 23 574 9 im———— 10 lim —Š5 ~ 1+ 7.2 3.2°4+7.4 — 23" 444 _ 13.3” —Ẽ 11 lim—, — oe 4 2 | , 12 lim 22 297 3.2 +54” Qn + 2i n ?f1+† 13.4 \5nn3"" 14 im ON +
Bai 3: Tim gidi han cia day sé (u,) voi:
Trang 26
€ 3 < =-2n" + 3n+-5 2 U, = Pont 3 — TỔ 3 U, = 4 U "nt =n? +n 2.8 -3 101 5 tạ “Tre 6 LÍ, — J3 3n? +5n° —đn #2 -9 | -2n° +3n-2 3 — Yn® -7n* -5n +8 7 Uy = 3n-2 u, = n+12 Mn = (N28 +n mê ¡ ==, tt Lees tu
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
1+2+3+ +í 11 U, 2nˆ +5n 2 lim 4, | + + |! 1.2 2.3 n.(n +1) ._._ COSfX 5 lim n 4 4 1 | 6 lim + + + : | pn? +2 Vn?+4 nˆ+2n - 2 _ |? 3? 7 lim —x t—g + † (2n -1) 5 nm đm n Seay 24
“tt tê set Daw THA 1239 Lé Cao Lang, , - 2g Phu Theasebe, Qudaa “244 hú
ET DI ET TS TE FET TEE EET
SC, SD lần lượi tại các điểm A,,B,,C,,D, Chứng mình rằng
SA SC _SB_ SD
SA, SC, SB, SD,
Bài 23: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' cĩ các cạnh bằng m, các
gĩc tại A bằng 60° (BAD = A'AB = A'AD = 60°) Gọi P và O là
các điểm xác định bởi AP = D'A,GC'Q = DC' Chứng minh rằng
đường thẳng PQ đi qua trung điểm cạnh BB' Tính độ dài doan thang PQ
Bài 24: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi D,,D,,D, lần lượt là
các điểm đối xứng của điểm DÐ' qua A, B',C Ghứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D,D,D,)
Bai 25: Cho tứ diện ABCD Goll, J, H, KE, F lần lượt là trung
điêm của các canh AB, CD, BC, AD, AC, BD Chweng minh rang: AB? +CD? + AC? + BD? + BC? + AD? = 4 (lJ? +HK? + EF*)
+Cho hai ¡ đường 5 thẳng a ng on cắt nhau tại O thị chúng tạo thành bốn gĩc Số đo của gĩc nhỏ nhất trong bốn gĩc đĩ được gọi là
số đo của gĩc hợp bởi hai đường thẳng a và b
+Ky hiéu: (a,b)
+Didu kien: 0° < (a,b) < 90°
Gĩc giữa hai đường thẳng chéo nhau:
+Gĩc giữa hai ¡ đường thẳng a và b là gĩc tạo bởi hai đường thẳng Ox, Oy kẻ từ một điểm O bắt kỳ lần lượt song song với a và b
Trang 27
kh kh ng Tin 0% 3 BD:
1) GAS +GB*+GC* = s(AB? + BC? +CA*}
2) MA? + MB? + MC? =3MG? 4 (GA? + GB? + GC?)
1
3) 1 Met = sl + MB? + MC?) — để
P, 9
Sai 17; Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm cạnh
AC và BD Chứng minh :
ABˆ+ BC? +CD? +-DA? = AC?+BD? +4PQ“
ải 18: Chứng mình rằng trong một tứ diện, tổng bình phương các trọng tuyến bằng = tổng bình phương các cạnh của tứ diện
al 19: Cho tam giac ABC Tim tập hợp các điểm M trong khéng
gian thoa man cac hé thtrc sau :
1) AB.CM =CB.AM
2) MA* + MB? = 2MC?
Bai 20: Cho tle dian ABCD cé hai mặt ABC và ABD là hai tam giác
đều
1) Tính gĩc giữa hai đường thắng AB và CD
2) Gọi M,N, P, Q là trung điểm của AC, BC, BD, DA Chứng min MINEG là hình chữ nhật
Bái 2T: Cho hình hộp ABCD.A'B8'C'D' cĩ các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thăng CA và DC' sao cho
MC = mMA,ND = mĐNC' Xác định m đễ các đường thang MN va
BD' ` song j song với nhau Khi ay, tinh MN biết
ABC = ABB'= CBB' = 60° và BA =a,BB'= b,BC =c
Bai 22: Cho hinhc chop S.ABCD co day ABCD là hình bình hành Mét mat phang (P) bat ki i khéng đi qua S cắt các cạnh bên SA, SB
Seacsig 68
Feng tds OUD 18) Anal 239 Le ¢ Cue Lewy,
, Phun Thuế, Quản Z4 San C26
1.3.5./ (2n ~ 1) - l 8 im 2.4.6.8 2n | { 1 1 | 9 lim 2/14 1/2 3242/3 "(nen enn | 10 im(1++-E+- + +a 2 2 2 2" =
Bai 5: Tim phan so phat sinh ra các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau: + ( 0212121 2 3.111117 3 2030304 4, 0234234234 5 0131313 6 4232323 Bai 6: Tinh téng: —)" 1 S=-1+-L_ ta + +——— ( +, 10 102 10” 2.S=2-J2+1- ¬- 4 4 “I sy oO =+1-—+—-=4+ 4)/-—] + 2 4 8 2 4 S=†+ (0,9) + (0,9)° + (0.9) + +(0,9)” + Bal 7:
1 Biét |u, mm Cĩ kệt luận gì về giới hạn của dãy số (u,)?
2.Dựa vào kết quả trên tính giới hạn các dãy số cĩ số hạng tống
quát như sau:
Trang 28Trew Caer
Bài 8: Tìm“số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vơ han co tổng
| 2
bằng 3, cơng bội q =~:
Go
5
Bài 9: Tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn là 3) tơng ba sơ hạng
39 vo cố
đầu tiên của nĩ là —— Tìm số hạng đâu và cơng bội của cập số đĩ
£ Se
Bai 10: Cho day số (b,) 6 s6 hang tổng quát là
b =sinơ + sin? œ +sin” œ + + SIN" # ; aes tka n
lới hạn của dãy (0, )
: Xét sự tồn tại giới hạn của các dãy số sau :
5 = 2 | 2 Un, = I+ a5 + ae ro 3.U, = |! |! +t | n+i n+2 n+n su, =(1+2| n 1 1 1 5 U, =145) —-+ +—— ải nÌ
6 Lua= bebe " +Al2+^l2
Bài 42: Cho hai dây số (u„) và (v„) Biết
limu, = 3, limv, = +00 Tính các giới hạn:
J —Í W +2 4 lim on 2 lim 5 ĐT vi —1 DBeasg 26 Tato fam be w Hà
2) Khi đường thắng MN song song với đường thẳng A'G, chứng tỏ
MN vuơng gĩc với AD' và DB |
Bài 9: Cho tứ diện ABCD trong do AB 1 AC,AB 1 BD Goi P va
Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng
AB LPQ
Bài 10: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.Tính gĩc giữa hai đường
thang AB va CD
ài 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCG D
1) Tính gĩc giữa hai đường thẳng AC và DA’ BD 1 AC'
Bài 12: Cho lập prongs ABCD A'B'C'D' cĩ cạnh a Trên các cạnh DC và BB 1 y điêm M và N sao cho
MW=BN =x(0<x<a a) Tính gĩc giữa hai đường thắng AC' và
Bài 13: Cho hình chĩp S.ABC cĩ
BC = a2 Tính gĩc giữa hai
SA=SB = SC = AB = AC = avà đường thang A AB va SC
1) Tìm gĩc giữa hai vectơ
2) Tìm gĩc giữa hai đường thẳng AB va SC
Bai 15: Cho hinh tt dién ABCD cé tat cả các cạnh bằng m Các
điểm MI và N lần lượt i trung điểm của AB và CD 1) Tinh d6é cai doan MN
2) Tính gĩc giữa MN với các đường thẳng BC, AB và CD
Bài 16: Cho tam giác ABC với trọng tâm G và một điểm M bắt kỷ trong khơng gian Chứng minh :
Trang 29
Petey lau uel mu _ ữ Ũ LẠNH 2359 Le Cue Lauy, DPéiutouy Pui Zhigale § Rage me Dlei_
— (ự “Điện Thoae: OS.39782192 }
Gái 1: Cho hình chữ nhật ABCD Và một điểm M bÁt kỳ trong khơng
gian Chứng minh
1) MA.MC = MB.MD
2) MA* + MC* = MB? + MD? Bài 2; Cho tứ dién ABCD
1) Chứng minh : 8C.AD+CD.AB +DB.AC =0 2) Gọi G là trọng tâm của AABC Chứng minh rang
GD.GA+GD.GB +GDGC =0
Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường trịn
ngoại tiếp ABCD Chứng minh AO LCD
Bai 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'Ð' cĩ cạnh bằng a
› rên các cạnh DC và BB' ta lần lượt lấy các điểm MvàN sao cho
DM = BN = x(0< x <a) Chtéeng minh AC’ L MN
ai 5: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D'
1) Tinh gĩc giữa hai đường thẳng AC và DA
2) Chung minh BD L AC"
Bai 6: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N, P, Q lần lượt là trung điểm các doan thang AC, BD, BC, AD va co MN =PQ.Ch hứng minh
ABLCD
Bài 7: cho hình hộp ABCĐ.A'B'C'D' cĩ tất cả các cạnh bằng
nhau (hỉnh hộp như vậy cịn được gọi là hình hộp thoi) Chứng minh
ACLB'P'
MA - kMD' NB- kNB,(k # 0:1) 1) Chteng minh MA / /(A'BC)
C70 ĨĨ Serres So ————————————— mse eee
ai 13: Cho day u, Tìm lima
ai 14: Cho day u, Tìm limu,
Bai 15: Cho day u, im limeu,
Bai 16: Cho day u, xác đi , tìm limu,
Bài 17: Cho dãy u, <a<†)
Tìm limu,
Tìm limu
An U 1
(HD: CM: 0< uạ v 1 < awn =>limu, =0 ) U |
đ
Bài 20: Áp dụng định lí kẹp tìm giới hạn các dãy số sau:
Trang 30
2: 3 2 Lé Cac Lang, DPlic&ug 4 Plui Thanh Quan Zs Fein” et Phi
4 € 1 lim n 2_lim—— nÌ 4 —= 1 + + 1 ) 3 lin(-==== † n? +1 vr? +2 Vn? +n im(5” - cos VN) 4 _ Định nghĩa giới hạn hàm số :
Cho khoảng chứa điểm xạ và hàm số y= f0) xác định trên
K hoặc K\{X,}
Ta nĩi hàm số y =f(x) cĩ giới hạn là số L khi x dan toi Xo
KI K \{x,} va X, > X,, taco
y=
nếu với mọi day số (x, ) bat
F(x, ) 28
Ki hiệu :_ lim f(x) = hay f(x) > L khi x > XQ X-> Hg
2 Định lý về giới hạn hữu hạn : : Khi đĩ : Feeasig 28 239 L¢ Cuo Lauy,
2t tânøt PHU THA Pluwnug F
Bai 7: Cho hinh lang tfu ABC.A’B’C’ Goi | va J lần lượt là trung điểm của BB' và A'C Điểm K thuộc B’C’ sao cho KG' = -2KB'
Chứng minh 4 ổi iam A, |, J, K cùng thuộc một mặt phẳng
8: Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm AACD, ! là trung
BC Vẽ hình bình hành ABDK Chứng minh |, G, K thang hang
: Cho hình tứ diện ABCD Gọi Ì, 4 lần lượt là trung điểm của ——
AB và CD Gọi M là điểm thuộc AC sao cho MA = k,MC Goi N là
điểm thuộc BD sao cho NB =k, ND Chứng minh rằng các điểm |,
N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi Kk, = kK,
ye Cho hình hộp ABCD.A'B'CD Goi | la trung điểm của B'.C, pet
ID N là điểm trên =2ND Chứng minh ba điểm l, M,N
——
đường thẳng BD sao cho
thẳng hàng
Bài 11: Cho hình chĩp tam giác ABC.A' BC' Gọi K là trung điểm
của A'C', Ilà † là trung điểm của BB' Gọi M là một điểm trên đoạn B'.C'
sao cho MC' =-2MB" Chứng minh bốn điểm A, K, M, Ì cùng nằm trên một mặt máng
BCD 2D Goi M,N lac các điểm lần lượt thuộc AB
3,ND = -2NC, Các điểm I, J, K lần lượt = kJN, KB =kKC Chứng
va CD sao cho MA M7
thuộc AD, MN, BC sao cho iA = (ID
minh ba điểm L J, K thẳng hàng
Bài 43: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A | C' Gọi G và G lần
lượt là trọng tâm của AABC và AA 5 '€Ĩ' Gọi ! là giao điểm của
AB' và BA' Chứng minh GI / CG
ài 44: Cho hình lăng trụ ABC A'BC' Gọi M là trung điểm của BC
Gọi G là trọng lơ tâm của tam giác A'B'C' Chứng minh
Trang 31
ABC.D, , ‘Ching minh :
GG, = ~(AA, + BB, +C,C, +D,D,} ovo
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng j Song song, ba điểm
thẳng hàng đường thẳng song song với mặt phẳng Bai 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm của AB và CD
Chứng minh 3 vectơ _AD,MN,BC đồng phẳng
tái 2: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 3MD và trên cạnh DC | lay điểm N sao cho NB = -3NC Chứng minh 3 vectơ AB,DC ,MN đồng phẳng
mài j: Cho tam giác ABC, Lây điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC)
Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho WS = -2jMA và trên đoạn BC
lấy điểm N sao cho NB = - SNC Chứng minh 3 vectơ
AB,SC MN đồng phẳng
Bai 4: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K là giao điểm của AD và DE, | la giao diém cia BH và DF Chứng minh 3 vectơ AC KÍ FG đơng phẳng
Bài 5: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I là giao điểm của hai
đường chéo hình bình hành ABFE, K là giao điểm của hai ¡ đường
chéo hình bình hành BCGF Chứng minh 3 vectơ BD IK,GE đồng
phẳng
Bal 6: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và
CD Điểm MI, N lần lượt thuộc cạnh BC va AD sao cho BM = 2MC,
AN = AND Chứng minh 4 điểm |, J, M, N nam trong cing mét mat
phẳng
“24 cước bai D THANH 2 9 = fue fang, , ee Plu Hegule, Quau Tin Piui
Ee eee ee ee il OE ICR See Seasiy, 64 oe lim [f(x)+ø(x)]=L+M b Nếu f(x)>0 và lim f(x) =L thì L>0 v im JF(x) = VL
(Dầu của f@) được xét trong khoảng đang tìm giới hạn, với
xX #X,)
3 Gidi han mét bén : Định nghĩa:
° Cho ham sé y = f(x) xác định trên khoảng (x,;Ð)
bà
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y =F (x) khi
x — x,néu voi day s6 (x,) bat ki x, <x, <b Vx, > x,, tacd
f(x, )>L Kihiéu: lim f(x) =
XX)
¢ Cho ham so y =f(x) xác định trên khoảng (ax,)
ư
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y =Ÿ(x) khi x = x,nêu với dãy số (x„) bắt kì 4< x, <a v X =>X,, ta cĩ
f(x„)—>L # hiệu ; lim f(x)=E
b Định lý : lim f(x) =L khi và chỉ
khi hi tim F(x) = lim F(x) =L
8 Giới hạn vơ cực của hàm số :
a.Định nghĩa : :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;+eo} Ta nĩi hàm số ý =ƒ(x) cĩ giới hạn là =e khi x —> +œ nếu với mọi dãy số (x„) bất kÌ, x, > @ vam xX, —> +00, fa coll: f(x, ) > —00
lim f(x) = -co hay f(x) — —œ khi x —> +eo,
X—P+OD
lim F(x) = + hay f(x) — +œ khi x — —œ
Trang 32
eee — Ca Tag oes
_ nhện Same Se oe = lim f; (x} = L ve, X>XS
Bước 2; Tính lim y = lim 7, (x) =L,
ye 3: Nhan xét néu L, =L, thì hàm số cĩ giới hạn khi X > Xp
> +
Để tính giới hạn lim f(x) (a cĩ thể là oo) ta thực hiện theo các
x¬>a
bƯỚc :
Bước 1: Chon 2 ham sé g(x), h(x) thoa
man: g(x) < F(x) < A(x) (tec kep f(x) ) Bước 2: Phải cĩ được: lim g(%) = lim h(x) = L X->a xa
Bước 3: Kết luận được: lim f(x) = E x >8
0 Á > = `
[ đỉnh lạ) Khi thay a vao f(x) thi ta thay tu bang 0 và
mẫu cũng bằng 0 Khi đĩ muốn tính lim f(x) ta khử dạng vơ xa
định này bằng các cách sau: 4) Khử nhân tử chung: I(x) = Viet f(x) dang Cau 30
(Die lên (hoại: 06.5 aoe ae Sa
¡ 43: Cho hình chĩp ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của à CD Ot thuộc MN sao cho ON =-2OM P là điểm bát kì
O theo bốn vectơ PA, PB, PC, PD
<
Bài 14: Người ta gọi đoạn thẳng nối đỉnh của hình tứ diện với trọng
tâm của mặt đối diện với đỉnh ây là trung tuyên của tứ diện
1) Gọi D, là trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh D Chứng minh :
DD, = +(DA+DB +DC) 3 )
2) Chứng minh rằng 4 trung tuyến của hình tứ điện cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của hình tứ diện ay
3) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABCD Chứng minh :
6A 3 GA —(A, là trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh A) Chứng minh
: GA+GB+GC+GD =O
4) Gọi O là điểm bắt kỳ Chứng minh :
_A
OG =7 OA+OB +OC +OD]
: Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành
Xác định vị trí của ổi iam | sao cho
Trang 33
Ăn“ Se nanan ees ee See EN AE Ea TC
Zi
Zed fai DNU THAR 239 LE Cao Liag, — Pui heals Kuga | Fan 6
(Diéu Thoai: 08.39782192 f= ====—===
4) Gọi Mi là điểm trên đường trung tuyến AA, cua AABC sao cho - MA 3 MANG = Chteng minh :- DM MA, 7 = -ˆ ĐA +.” D8 + ĐC
10 20 20
Bải 6: Cho hình chĩp ABCD Gọi M,N,P, Qiàn lượt là trung điểm cua AB, CD, BC, AD Gọi O là trung điểm cua MN P la một điểm bát KY Chứng minh:
1) OA+0B+0C+0D=6
2) OM +OP+ON+00=50
3) PA+PB+PC+PD=4P6
Bai 7: Cho hinh chép S.ABC Dat AS = a, AB = b,AC =c Goi |,
J, K lan lượt là trung điểm của BC, SC, SB Gọi G là trọng tâm của ASAB Phân tích các vecto Bu, CK CG theo ba vecto a, b,c
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.ABCD Đặt |
AC = -a, AB! Se er etree ee = b, AD' = Phân tích các vectơ
— _—
AA ' AB, AD AC! BD DB' BD' theo các vecto a, b,c
Đài 9; Cho hình hộp ABCD.A'BŒD., Dat AA' = =8, AB = b, AD = C, Qi M là tâm hình bình hành DCAC,D, Phan tích B'M M theo ba ee,
vecto a,bịc
Bai 10: Cho tte dién ABCD Goi M,N, E, F lần lượt là trung điểm
của AB, CD, AC, BD Phân tích veciơ MA theo hai vectơ ME va MF | Bai 17: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB
và CD Gọi P, Q lần lượt là hai điểm trên AD và BC sao cho AP =
.—_——TDEE
2PD, HB = -2HC Phan tich MN theo hai vecto’ MH va MP |
Bài 12: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB
và CD Gọi P, Q lần lụ ượt là hai điễm trên AD và BC Sao cho
PA = -kPD, QB =-kQC C(k > 0) Tìm k sao cho —— ff MQ + @)- lị: = MP œ | C€oư| —¬ Srang 62 Se SG TA SENSU AS a eet ee T———————- ^ , Ỷ
ính giới hạn đối với các hàm vơ ty la
+ JA ~ B co lié
(Diéa- Shoai: 0%,
rt a
| 3) Nan lién hop: Mdt sé dạng liên nee thường, gặp trong quá 5 | {
lên hợp là VA+B + VA+B cĩ li liên hợp là JA-~B
+ 7A — B cĩ liên hợp là VA? + SAB + Be
+ ore ÙA +B cĩ liên hợp là 3⁄22 oe ten hop la \
¬ O) ›
Miột số giới hạn dạng 5 VỚI biêu
F(x) = WØ(x) — BAC) k(x)
im #lợ(x)—œ "¬ WACK)
ay K(X) K(x)
nhân liên hợp như trong dạng 2
Ta thường đưa bậc cao nhất c
ae a 00 đĩ khử được dạng vơ định 3 co |—_—ỶÝ._THK—Ằ sau đĩ tính từng giới hạn bằng cách
m # 0) Ta thường thêm vào sé hạng hằng số e = g(a) = h(a).Khi đĩ ta đưa về dạng: |
—————=-——
Trang 34
cơ bản hoặc chuyển ve cac gidi han vo di nh khac don gian hon,
thêm bớt các sơ hạn để đưa về dạng giới hạn quen thuộc Khi gặp các dang vơ định trên, ta đặc biệt chủ ý một sơ cơng thức giới hạn cơ bản mà được dùng nhiều cho dạng vơ định 1”
i nhờ, —=e (e là số Nepe, e~2.71424 ) X
x->œ
> } ©
| £4) vai cac loai dang v6 dinh : 0.00,00 — %, 4°,oo° Ta phải tg ¡ cĩ | những biến đổi thi ich hợp nhờ: Nhân liên hợp, dựa vào các giới hạn
Bài 1 : Dùng định nghĩa, chứng mí - lim(2x +3)=7 we eet = x—>-†l
Bài 2 : Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn SaU:
x+1 sẽ x4 3x—2 x—>-4 3 lim(2x r{) 4 lm z2
Bài 2 : Tính các giới hạn sau :
1 lim(2xỶ —3x+B] 2 lim(x =3)(4x +6) 2 _ —| 2 ij 2x 6 4 lim x1 X) +5x +Í xe1 XỔ — 3X +2 2 2 xˆ =Ä _ X“+3x+2 5 lim 6 lim ——————~— xen X2 +4x+3 x”—=5x”+3x+9 33 x*—~8x*-9 7 lim , 8 lin Feasg 32 oat: O8.39782192 |
Trong khơng | gian cho ba vectơ ơ khơng đồng phẳng a, b, c Khi
=
do voi moi vecto’ x ta đều tìm được một bộ ba số m,n, p sao cho
fa,
0;
| x x= ma+nb + pc Ngồi ra ộ ba sơ m, n, p là duy nhất
_ Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Phân tích vectơ
ài 4: Cho AABC Gọi M là điểm thỏa : MB + 2MC = O.Chứng
'= LAB+ 2A 3 3 minh rang AM
Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho MB
= 2MC Chứng minh AM = 328 + = AC
\ABC Goi | la diém trén cạnh BC sao cho 2GI = 3BI = 2 OIC
Bai 3: Cho A
Goi J la điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB 1) Tinh Al va Ad theo AB va AC
2) Goi G là trọng tâm của AABC Tính AG theo Al va AC Bài 4: Cho tam giác ABC Goi | là điểm trên cạnh BC sao cho
2CI = BÌ, , 0i ¡ J là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5JB = JC
1) Tinh Al, Ad theo hai vecto AB và AC
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính AG theo hai vectơ AI va AJ
Ba i 5: Cho tw dién ABCD
gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
——_—
1) Ching mình AB +DC = AG+DB; AB+: CD = AD+CB: A B D BC: DB+AC = DC + AB
2) ( Goi O à trung điểm của MN Chứng minh:
OA+O = B+0C+0D=0
3) Với một điểm P bát kì Chứng minh
Trang 35Ji LEU detest oe 1a) ub Là R11 2 2: Le Cao 4 Lang, ; 2 060060 lui Shaut, Rude Jan fae 66
She 3 diém A, B, C bat ky ta cd:
e AB+BC=AC (đối với phép cộng) » AC- AB = BC (đối với phép trừ) 2 Quy tặc hình bình hành -
@ Cho hình bình nành ABCD taco: AC = Ai 3 Quy tac trung diém :
2 | latrung diém AB <> /A+/B =0
Ồ -+ Ds | CO
om URS RS ø Với một điểm O bât kỳ ta cĩ : Of = 5(OA + OB)
4 Quy tac trong tam :
» Glatrong tam AABC = GA+GB+GC =0
— (=>: = xa
s_ Với một điềm O bắt kỳ ta co: OG = si9A +0B +0C|
5 Quy tắc hình hộp : Nếu hình hép ABCD.A’B'C’D’ cé ba canh xuất
pháttừ A là AB, AD, AA’ va ca đường cheo la AC’ thi khi đĩ ta cĩ
quy tắc hình hộp là: AB + AD +AA'=AC'
6 Điệu | kiên đồng phẳng của ba vectơ :
T rong khơng giản ba veciơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song voi mot mat phang
về Điêu kiện để ba vectơ đơng phẳng;
Trong khơng gian cho hai vectơ a va ư khơng cùng phương
và vectơ c Khi đĩ ba vectơ a, b, ¢ đồng phẳng khi và chỉ khi cĩ
cap sốm,n sao cho c= ma+nb Ngồi ra cặp số m, n là duy nhất
cty
Ferg daw PHO HRUARRI 23 z Le Cao Ling
Ce eae pene ne ee ee
Pluwug Pla | hưu, — ước “âu 264
r (Pp Diba hoại 0S.39792792 j Spee Sean
3 ot A 3 2 xX -2x4+4 _Ỏ X—=/X +6 9 lim —z———— 10 lim 5 x^-2_ X“+ 2X x33 JX _ 4x°—-5x”`+Xx _ X =X —X+† 11 lim (1 Ý 12 lim sa x> (7—x x—>l X"—' -(i+a)x+a X=nx+đn-† 13.1i ụ ) 14 lim xa X'¬a x—>1 x —1 3-|x +4 15 lim x2 |x =2
Bai 4 :Tinh các giới hạn sau :
V2X+74+x-4
1 lim 2x5 y1 2 lim (4x? “4Ax-3-2x)
3 lim XXX 44 xoth X—Í 4 tim NAC xm OK +2 #3
5, lim (Jx?—=x+1+x +1) 6 UUAWe9 c 7 lim (V5x? +2x +3 + x5) 8, lim x( Vx? +1 -x] x°+2x+5 co hee) (x? +5) —A OQ 3/8 Xx +14 —-VxX+7 44 ÌI 12 x2 X x? ~3x an 2 _ J—.A/x+3 SEAT 13 lim ——_— 14 lim —>Ì x—>0 15
lIrong khơng gian cho ba vectơ khơ
2
. 3ox-2 4xˆ—x-2
16 lim
Trang 36Se eee Laon DHU THA 39 £Lé Cuo Lang <= Phutiug tứ _ ĐJX—=2 S.1-xe 22.lim x—>l x? — | | Vx+9-2 24.lim—————— x—ï X—Ÿ 5 4 X+1 35 | 3x”~+2x ` +x+ xe x? + 2x° xa-t yy 4 By +1 Trang 34
mac La t#t 11239 Lé Cao Lang, Phuong Dhui Thaul, Quan Fas tú
(Điệu Shoat: 08.397827902}) ©
DHU ThA
1) Xác dinh b, c, d sao cho dé thi(C) đi qua các điểm
ny altaya pb)
a(t3),B(-t-3) và {4-2
Ls
2) viet phượng trình we yen của (cyt tai i diem co hoanh độ x x„ =1
¬
3) y = X22)" M(-10) x —1
3
4) y=^—-3x ,M thuộc ( €) v xu = 24/3
Bai 16: Cho ham sé: y =—x* +2x?+x (CC) Chứng minh rằng:
Tie lếp tuyến của (©) tại ¡ A£ 1, 0) cũng Ì tiếp tuyến của (C) tại một tiếp
điêm khác Tim toa độ tiếp điểm đĩ
-Ê lập xe
thành với các trục tọa độ một tam giác cĩ diện tích khéng déi
?: Chứng minh rằng các tiếp tuyên của hypebol y =
Trang 37
_ ước Seis ti
_Zd1/14 (duy 18 Ww Hồi LẠNH 229 Le Cuo Lasiy, Thường, Phi Zhigathe, Suảc — Pee | i] 2 ae aI OTT oor eee ARG 4 Le € Plutoug lui Zhigule,
7 Se 0S L3 3978279 ¢
( (Điệu 2 27 ltOqe: O8.39782792) aia ——
Es
2) Tìm m để tiếp tuyến với (C,„) tại điểm A song song với đường om, 40 | Vx? 44 os
tim ————— thang: y+2x =0 Kon Dy 14
Bai 6: Cho (C): y=x*-2x?42 và A(0,2) Viết phương trình _ | (x + 1) (x? +1)(xŸ +1)
41 lim
tiếp tuyên với (C) kẻ từ A | Ks x? 42
Bài 7: Cho (C): y =(x—1\`(4-— xì, Viết phương trình tiếp tuyến , ={ | 42 lim(x —-3)(4x +6 43 lim 2x —6
| x0 xt KF 4 By 44
với (C) xuat phat ter A(3;5) 2
Mx? 42x43 44 Jee 42x43
' | x-2 " | 44 lim 45 lim
Đài 8: Cho (C): xX + phương trình tiếp tuyến với (C) me laye aq iy 4 a
biét tiếp tuyên: | 46 lim V9x?+x+1—xJ4x? +2x+Í
1) DI qua géc toa dé O X09 x44
2) Di qua diém A(2;1) |
(x -1)° (7x? +2) | ta 2x —x
Bai 9: Cho (C): y =x° +4x? 44x +1 va diam Ae(C) với MÃ lim (2x +3)" 48 lim x.3
xạ = =1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đĩ đi SA p 9 pay ( ) my | —
49 Im[Nx? + x+1~x] 50 lim (x + 2 -5x +6]
| qu `
X70
X->œ
Bái 10: Tìm hệ số gĩc của tiếp tuyến của đồ ơ thị hàm số y = tan x 51 lim| N24 By 40 - i? =x 41)
ai dié iém cĩ hoanh dé x, == = —, cử
4 52 lim [Jx?+2x~2jx? + x + x]
l2ái 11: Trên đường cong ý = 4x?—6x + 3, hãy tìm điểm tại đĩ ; z > ” _—
; 3/.„3
tiệp tuyên song song với đường thẳng y = 2x 53 lim (§ xX” + 3x* — x? - 2x}
ae : > : ` A 1 : z z om ` `
`
Bai 12: Dé thihamsé y = si 3X cĩ gĩc giữa trục hồnh và 54 lim (Vx? +1-Yx? 4 8x |
tiếp tuyến của đồ thị tại gĩc (02 do là bao nhiêu độ? ⁄ X— , | | 55 lim (x3 45x? fe Bx
; r mm" X—>œ
Bài 13: Cho hàm số ý =—^—, Viết phương trình tiệp tuyên với x-~1
| | 56 | Vx? 42x 42x 57 lim V9Ox* +x +J1-8x3
do thi của hàm số biết rằng tiếp tuyến nảy hợp với Ox một gĩc 45° are: By lay? 43 — xe 5x +14
Bài Tare cho các nam SỐ | > Bai § :Tinh các giới hạn sau:
f{x)=x° + bx? +ex+d (C):g(x)= x? -3x-1 _ sin4x _ sin3x
Trang 38G, Sư 22au hú: lq— 6 lim x0 SỊN“ X x>0 tan /X im tan /x 8 lim ‡—COS X
“x30 sin 5x : "x30 x siNn2x
‘ 1 4 ` ° _ COS X
9 lim <0\ sinx tanx, ~ 10 lim —Y€95* x90 tan’ x
—_ 1+ sinXx —GOS X — 1+ 2sin2x —cos 4x
11 lim 12 lim -
x-›0 †— Sin X —COS X x30 1—2sin2x —cos4x †1—cos4x | 7 sin5x
43 lim ~ 14 in—_-—
x0 1+COS X x20 Jy 44-2
4—cos ax cos bx | cos ax — COS Dx COS CX
15 0 5 46 lim 5 x0 X x->0 xe —s sinax + tg Bx — COSŒX—COS Px 17 lim 7X gp 18 lim x0 X 5 Ũ an 1+ tgpx - Jt + SIN Px x?
“tan(2- + _x) tan(a —x)-tan’ a
x30 x?
(a+ 9n +x)-asina
„ Sin(a +2x)}~ ˆ2sin(a +x)+sina
a x 4 24 lim — x>0\ Sin xX sin 3X x gs m tah x -SiINx am xì INO On €aug 36 = 2 xˆ+X+†1, «a `
): tại điểm M, e (C) cĩ hồnh độ xụ = Í
4) (C}:y =Inx „ €(C) cĩ hồnh độ Xu =1
5) (C): M„ e(C) cĩ tung độ y„ = 8 6) (C): M, «(C)cé tung 46 y, = =
): 2 tại giao điểm của (C) với trục Oy eo [AY Quay ˆ
x?
(C): y= ng ng tại giao điểm của He (Os voi truc Ox
(fÀ \ x7 3Xx—
Bài 2: Cho hàm số W = (1) Viết phương trình của tiếp
tuyên với i do thị của (1) trong các trường hợp Sau :
1) Tiếp tuyến đĩ song song với đường ý = —X + 3
2) Tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với ¡ đường thẳng y = 4x + 10 2
Bài 3: Cho (C): y= = 7 ;- Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến đĩ:
4) Song song với đường thang: 8x -9y+1=0 2) Vuơng gĩc với đường thang: 25x +24y-2=0
Bài 4: Cho (C): y =-X” + 3x” =5X +2 Viết phương trình tiếp
tuyến với (C) biết tiếp tuyên đĩ:
1) Song song với đường thẳng: 2x + ÿ ~ 3 = 0 2) Vuơng gĩc với đường thẳng: x ~29y + 2 = Ơ
¡ 8: Cho (C„):V =—X” + mm +1:
1) Chứng minh: A(—†0) e (C„)vmeR
Trang 39
Jeune ¿(2t ma I we ĐANG 1239 cĩ Sao Laing, — oo Zhegae, 2 eegie “mu HIẾ 200) Eee ee ee eee eee ee LEE ee DOSER cermin EE:
Bài 30: Cho y = sin? 5x Tim yer
bài 31: Chứng minh răng hàm số f(z) cĩ đạo hàm đến cắp n thì
| f (ax + b) |” =a"f," (ax +b),
» Van dé 1: Phuong trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) (C)
tal M( Xo, Yo) CO dang: y = k(x — x o) + Vc với k=f (Xe)
Vận đề 2: Viết phương trì inh tiếp tuyến của đỗ thị hàm số y = f(x) (C) biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k:
Giải phương trình : k =f'{x¿) tìm được X)- Tinh y, =F(x,)
We
Phương trình tiếp tuyến: y = k(Xx~ xạ)+ ÿ,
; Chú ý:
e Nếu tiếp tu yen song song với đường thăng y = ax + b thì tiếp tuyến cĩ hệ số gock=a ; s Nếu tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng y = ax + b thì tiệp
km kg —1 tuyên cĩ hệ sơ gĩc k= —— a
> Vẫn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 700 (C) ve te M( Xm, Yu) khơng thudc (C):
s Phương trình tiếp tuyến cĩ dang y =f'(x ø)(X—Xạ)+Í(x„} (d)
với Xọ là hồnh độ của tiếp điểm
° M thudc (d) nén: y,, = F'(X,)(%q, — X_) + i(xX,) Giai phuong
trinh tim dworc Xp
Bai 1: Cho ham số y = f(x) cé dé thi (C) Viết phương trình tiếp
tuyến với (C) tại điểm M,
1) (C):y= x”+x+3 tại điểm M, e (C) cĩ hồnh độ x„ = —1
a, 2X+1 0, 2, ˆ ¬
2) (C):y= tại điểm M, e (C} cĩ hồnh độ x„ = 2
Seay 56
“tt IN (azma ĐI II SEN đ EAL Se THANS 239 Lé Cao Lauy, 22ktờycg r/)Ítz¿ Lhegeele, Qe ee Se OTRO ee
tise iu lui _ (Điệu Shoat: Os 39782702 }
26 im Ý 1+ sinx — 21— sÌn x l ~ _x-0 X
cos x.sinx — fan x 1— tan x
27.Í x0 X“.SinX — 37 lim - x98 i—cot x
sin(2x — r ) z
28 lim ị 38 lim x.sin—
7È Xo x
cos! 3] x+—
2 2
Sin| 2 “3 29 lim ~~ tanx 39 lim —
-oos2x+sin2x si ._ SInx—-sina 30 lim 40 lim xã COS X xa xa | xX †1—2Sinx 4—sin 31 lin ——————— _ iesin 2 x+7 4COS”Ửx—3 6 41 lim —————£ Xt 7 —X Ir sin2x sin{ x) 42 Way X># 32 li ———>————^ | ¬ x ›
x+Z T1— 2COS 3 X 43 lim tan’ x-—tan‘a
- tan” x - 3tan x xa tan(x —a)
$8 iim ft 3 cos} x+2 a 44 lim tan? x + ta ——— + tan X— 2
6 xo= SINX — COs x
t+c082x
_ COSX—Sinx 45 lim ————— 34 lim —— x7 T—Sinx
xa 4x — 7ÿ 4
cos x h A6 lim (1 + COS 2x ).tan x
Zz
35 lim if aay
Trang 40
44x —3/143x er —@ “TM 2 lim x0 Aj1+ 2X -Í x1 X
2x sin 2ax Sinax e““ -† ị8 —@ x0 ,/ 4X - 41—X x0 SinaX 2 5 { e" ` 1+ X 6 I in(i+@x) x0 In[f+ x? | x30 sin 8x 1
7.lim (1+ sin4x)* 8 lim [v9x? +x -3x)
_x-+0 Xx—>+œ lgx (2 . Sinx 9 lim zx) 10 Il xaZ (2 xe X 1 6 * fan x
411 lim x cos — 42 Ìi 1 (sin x) X vot 2
ax+c
wy t= m4 4+ bx bx
13.1 lin (228) với bzc và aZO
14.Ì cq - 0đ z0
Nea ox — 4 4 dy (
Bài 7 : Cho h F(x) x+1 khix <0
ài Z7 › Cho hàm sơ ƒ =Ï\X) =
ai 7: Cho ham so ý 2 +4 khi x>0
co
Jx khi x > 0
Bai 8: Cho hamsé y =f(x)= 2 Xét sự tồn tại của
x+1 khi x <0 giới hạn lim y x0 “Em Xà, Íx+2a khi x < 1 | tim a me 3ư
239 Le Cues &augy, fHUC EY
(Dita hoạt: 08.39782192 j
⁄ fase PHU oe ‘fF FEE, =— ỊU À0 đ/t6 6ä
a 2 —~3x+2 <
Bài 21: Cho hàm số y=f(x)= — 2xˆ+x-† Chứng minh răng:
| 2m 2 | p(n) _ _4)" < _ & (x) ( ) ú x=" oat 5x?—3x—20 —2x—3
Bài 22: Cho hàm số: f(x) = - Tính đạo hàm cấp n của
09
Ba) 23: Cho ham so y = f(x) = sin® x +cos° x
1) Tinh (3 |
24
2) Giải phương trì inh: f(x) =
3) Tim điều kiện của m dé phuong trinh : f(x) =m cĩ nghiệm
can «
sin2x x
Bài 24: Cho hàm số f(x)= —5cos x ~ 3x Giải phương trình
f(x) = 0
a 25: Cho f(x) = 2x? +16cos x —cos2x Tinh f'(0) va (7 )
Giải phương trình f”(x) = 0
Bài 26: Cho hàm f (x) = *—*cos’ x Tính đạo hàm f(x) và giải
phương trình: fQ) — É— Poo = 0
Bài 27: Cho ham sé y =x+ \|x? +1 Chứng mình rằng lim y = 0 và_ lim (y~2x)= 0 Tính đạo hàm của y X—>+00
si 28: Cho ham sé y = Ja+sinx +Va-—cosx trong do a20 Với a = 0 tìm tập hợp xác định của hàm số
Tính đạo hàm y' của hàm sé
Tính y? từ đĩ suy ra rằng hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi nao?
Bài 29: Cho y = f09 = x4 + 2mx?+m với m là tham số Tìm tất cả
các giá trị của m để f(x) >0 Vx Với các giá trị của m vừa tìm được
hãy chứng minh :
f(x) + FO) +f'%)+f°@œ) + £9 (x) > 0, VX