Đề cương ôn tập toán 11 học kỳ 2

TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU Giáo viên : HỒ MẠNH TIẾN ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KỲ II, MƠN TỐN LỚP 11 NĂM HỌC 2015 - 2016 A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN 1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, ∀n lim = limun = Sử dụng số dãy số có giới hạn 0: lim - n = , lim 1 = , lim = , lim q n = với |q| < n n 2/ Tìm giới hạn dãy số, hàm số Các quy tắc tìm giới hạn vô cực dãy số: +) Nếu limun = +∞ lim - - limun limvn = L lim(unvn) +∞ L >0 +∞ +∞ L0 −∞ −∞ L0 L>0 L  Nên phương trình f ( x ) = có nghiệm x0 ∈ ( 0;1) , toán chứng minh BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau:  x2 − voi x ≠ −  1, f ( x) =  x + x = -2  −4 voi x = −  voi x <  x 3, f ( x) =  tai x = 1 − x voi x ≥ Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau: 2 − x +1  nÕu x ≠ 2, f(x) =  − x 4 nÕu x =  2 x − , x < 4, f ( x) =  x = ,x ≥1  x x =  x2 −  a) f ( x ) =  x +  −4  x ≠ -2  x2 − x +  b) f ( x ) =  x −    − x +1  d) f ( x ) =  − x   x0 = -2 x = -2 x x ≠  c) f ( x) =  x0 = x0 = x −1  x ≤ x =   x2 −  x−2 x ≠ x >   e/ f ( x) =  x − x0 = f) f ( x) =  x − − x0 = 2  x ≤ x =  3x −  ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 3: Tìm điều kiện số thực a cho hàm số sau liên tục x0  x2 − x −  x2 x < x ≠ −1  a) f ( x ) =  x + với x0 = -1 b) f ( x) =  với x0 = 2ax − x ≥   a x = −1   x+7 −3  3x − x < x ≠  c) f ( x ) =  x − với x0 = d) f ( x) =  với x0 = 2a + x ≥   a −1 x =  ĐS: a) a = -3 b) a = c) a = 7/6 Bài 4: a) CMR phương trình sau có hai nghiệm: x3 − 10 x − = b) CMR phương trình sau có it nghiệm âm: x + 1000 x + 0,1 = c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – = có nghiệm khoảng (1; 2) d) Chứng minh phương trình x sin x + x cos x + = có nghiệm x0 ∈ ( 0; π ) e) Chứng minh phương trình m ( x − 1) ( x − 2) + 2x − = d) a = 1/2 ln có nghiệm với giá trị m Bài 8: a) x − x + = có nghiệm b) x − x − = có nghiệm c) x − x + = có nghiệm d) x − 10 x − = có nghiệm e) cosx = x có nghiệm thuộc khoảng (0; π/3) f) cos2x = 2sinx – = có nghiệm g) x + x − = có nghiệm phân biệt ( ) ( x + 1) + x − x − = ln có nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với m i) m ( x − 1) ( x − ) + x − = ln có nghiệm với m h) − m 2 CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1/ Các cơng thức tính đạo hàm: Đạo hàm hàm số sơ cấp ′ =0 (C lµ h»ng sè) (C) ( x ) ′ =1 (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) ( x )′ =n.x (U )′ =n.U (n∈N, n ≥ 2) n-1 n Đạo hàm hàm số hợp ′ 1  ÷ =− x x ( x )′ = x / ( sin x ) = cos x n (x ≠ 0) ′ U′ 1  ÷ =− U U (x>0) ( U) ( = (U ≠ 0) U′ U (U > 0) ( sin U ) / = cos U U / ( cos U ) / = − sin U U / ( cos x ) / = − sin x ( tgx ) / = 12 = + tg x cos x ( cot gx ) / = − 12 = − + cot g x sin x ′ U ′ n-1 U/ cos U ( cot gU ) / = − 12 U / sin U ( tgU ) = / ) - Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)) ( U ± V) ′ ( UV ) = U′ ± V ′ ′ (k.U)′ = k.U′ = U′V + UV′ (k số) ′ 1 V'  ÷ =− V V ′  U  U′.V − U.V′  ÷= V2 V - Đạo hàm hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f 'u U x′ f "(x) = [ f(x)'] ' - Đạo hàm cấp cao hàm số Đạo hàm cấp : 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Phương pháp:pt tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) 3/ Vi phân - Vi phân hàm số nột điểm: df ( x0 ) = f '( x0 ).∆x - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )∆x - Vi phân hàm số: df ( x) = f '( x )dx hay dy = y ' dx BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = x2 + x ; x0 = b) y = ; x0 = x 2x −1 e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y = ; x0 = x −1 h) y = 4cos2x + sin3x; x0 = π m) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) TÝnh f '' ( ) c) y = x −1 ; x0 = x +1 g) y = x.sinx; x0 = i) Cho f ( x ) = x + , tính f ’’(1) d) y = x - x; x0 = π k) Cho y = x cos2x Tính f”(π)  π  2 π ÷  18  l) f ( x ) = sin 3x Tính f ''  − ÷; f '' ( ) ; f ''  Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: x +3 y = x − x + y = x − y = x (3 x − 1) y = ( x + 5) y = 2x − 6x + 2x + 10 y = 13 y = ( x + 1) x + x + 14 y = 5x − x + x +1 x − 2x + 2x + 1 y = 10 x + x2 y = ( x + 1)(5 − 3x ) y = ( x + 2)( x + 1) y = 2x x −1 11 y = x + x + 12 y = x − + x + 15) y = (x + x)2 16) y = x2 − 3x + 1+ x 1+ x 18) y = 19/ y= x + x 20/ y= 1− x 1− x x x 10 2 20 21/ y= (2x+3) 22/ y= x (x - x +1) 23/ y= (x +3x-2) Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = 5sinx - 3cosx 2) y = x.cotx 3) y = cos x sin x 4) y = cos ( x3 ) 5) y = sin x sin 3x π x 6) y = sin 7) y = cot (2x + ) 8) y = + tan x 9) y = sin p- 3x x 10) y = + cos 11) y = (1 + cot x ) 12) y = cot + x 13) y= sin(sinx) sin x + cos x + sin x 14) y = sin (cos3x) 15) y = 16) y = 17) y = (1 + sin 2 x ) sin x − cos x − sin x 17) y = 18) y = x sin x + tan x 19) y = sin x x + x sin x 20) y = tan x +1 Bài 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: ax + bx + c ax + b ax + bx + c y= y= y= mx + nx + p cx + d dx + e 3x + − x2 + x − x − 3x + y= Áp dung: y= y= − 2x + 2x − 2x + x + Bài 5: Cho hai hàm số : f ( x ) = sin x + cos x g ( x) = cos x Chứng minh rằng: f '( x) = g '( x ) (∀ x ∈ ℜ ) Bài 6: Cho y = x − x + Tìm x để: a) y’ > b) y’ < x < ĐS: a)  b) − < x < + x > Bài 7: Giải phương trình : f’(x) = biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = sin x − cos x + x c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – Bài 8: Cho hàm số f(x) = + x Tính : f(3) + (x − 3)f '(3) x−3 ; CMR :2y '2 = (y − 1)y" x+4 sin x + cos x c) Cho hàm số y = ; CMR: y’' = - y − sin x cos x Bài 9: a) y = b) y = 2x − x ; CMR : y3y"+ = d) Cho y = x−3 x+4 ; CMR: 2(y’)2 =(y -1)y’’ π π cos x − cot x + cot x + x + + e) Cho y = ; y’ = cot x f) Cho f(x)= ; f ( ) − 3f ' ( ) = 4 + sin x g) Chứng tỏ hàm y = acosx + bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = x2 + 2x + h) Cho hàm số: y = Chứng minh rằng: 2y.y’’ – =y’2 f '( x ) > ∀x ∈ ℜ , biết: Bài 10: Chứng minh x − x + x3 − 3x + x − b/ f ( x) = x + sin x x2 + x Bài 11: Cho hàm số y = (C) x−2 a) Tính đạo hàm hàm số x = - b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = -1 a/ f ( x) = Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hồnh độ x0 = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + Bài 13: Gọi ( C) đồ thị hàm số : y = x − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại M (0;2) b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1 c) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x – Bài 14: Cho đường cong (C): y = a) Tại điểm có hồnh độ b) Tại điểm có tung độ x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x−2 c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc −4 Bài 15: Tính vi phân hàm số sau: x a) y = x − x + b) y = sin c) y = x + x + d) y = cos x sin x e) y = (1 + cot x ) 2 Bài 16: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: x +1 2x +1 x 1) y = 2) y = 3) y = 4) y = x x + x−2 x + x−2 x −1 5) y = x sin x 6) y = (1 − x ) cos x 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x ĐS: 1) y '' = ( ( x − 2) ) 2) y '' = x − 10 x + 30 x + 14 (x + x−2 ) 3) y '' = 5) y '' = − x sin x + x cos x 6) y '' = x sin x + ( x − 3) cos x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x ( x x2 + (x ) −1 ) 4) y '' = (x x3 + 3x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x ) +1 x2 + B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a b vng góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a b 900 r r rr • Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u v = ( u , v vectơ phương a b) • Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b b ⊥ ( β ) ⊃ a • Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vng góc ( a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ' với b’ hình chiếu đt b lên mp chứa đt a)  Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P) • Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) • Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) • Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q) • Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P)  Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) (Q) vng góc • Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q) • Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q) • Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q)  Dạng 4: Tính góc đt a b • Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’)  Dạng 5: Tính góc đt d mp(P) • Phương pháp: Gọi góc đt d mp(P) ϕ +) Nếu d ⊥ (P) ϕ = 900 +) Nếu d khơng vng góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’)  Dạng 6: Tính góc ϕ hai mp (P) (Q) • Phương pháp 1: - Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b) • Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d - Tìm (R) ⊥ d - Xác định a = (R) ∩ (P) - Xác định b = (R) ∩ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b)  Dạng 7: Tính khoảng cách • Tính khoảng từ điểm M đến đt a: Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H hình chiếu vng góc M a) • Tính khoảng từ điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P) - d(M, (P)) = AH • Tính khoảng đt ∆ mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M điểm thuộc ∆) • Xác định đoạn vng góc chung tính khoảng đt chéo a b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b : - Dựng (P) ⊃ a (P) ⊥ b - Xác định A = (P) ∩ b - Dựng hình chiếu H A lên b - AH đoạn vng góc chung a b +) Phương pháp 2: - Dựng (P) ⊃ a (P) // b - Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vng góc với (P) H cắt đt b A - AH đoạn vng góc chung a b +) Phương pháp 3: - Dựng đt (P) ⊥ a I cắt b O - Xác định hình chiếu b’ b (P) (b’ qua O) - Kẻ IK ⊥ b’ K - Dựng đt vng góc với (P) K, cắt b H - Kẻ đt qua H song song với IK, cắt đt a A - AH đoạn vng góc chung a b II BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC * Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB) b) SD ⊥ DC c) SC ⊥ BD Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC ⊥ AD b) Gọi AH đường cao ∆ADI Chứng minh: AH ⊥ (BCD) * Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, tâm O SA = SC = SB = SD = a a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, K trung điểm AB BC Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc đt SB mp(ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD Gọi H hình chiếu A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H trực tâm ∆BCD b) AC ⊥ BD * Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tâm O AB = SA = a, BC = a , SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Gọi I trung điểm SC Chứng minh IO⊥ (ABCD) c) Tính góc SC (ABCD) * Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB, SD a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) c) Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC) Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC ⊥ (SAI) b) Tính SI c) Tính góc (SBC) (ABC) Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B SA ⊥ (ABC) SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC) d) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung SA BC 10 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc OA= OB = OC = a Gọi I trung điểm BC; H, K hình chiếu O lên đường thẳng AB AC a CMR: BC ⊥ (OAI) b CMR: (OAI) ⊥ (OHK) c Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS: a / d Tính cơsin góc OA mp (OHK) ĐS: cos α = / e Tính tang góc (OBC) (ABC) ĐS: tan ϕ = f Tìm đường vng góc chung hai đường thẳng HK OI Tính khoảng cách chúng ĐS: a / * Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a a CMR: Các mặt bên hình chóp tam giác vuông b CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) c Tính góc α SC mp (ABCD), góc β SC mp (SAB) ĐS: α = 450 , β = 300 d Tính tang góc ϕ hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) ĐS: tan ϕ = e Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ A đến mp (SCD) ĐS: a / f Tìm đường vng góc chung đường thẳng SC BD Tính khoảng cách chúng ĐS: a / g Hãy điểm I cách S, A, B, C, D tính SI ĐS: SI = a * Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, SA = SB = SD = a / · = 60 Gọi H hình chiếu S AC BAD a CMR: BD ⊥ (SAC) SH ⊥ (ABCD) b CMR: AD ⊥ SB c CMR: (SAC) ⊥ (SBD) d Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) SC ĐS: SH = a 15 / SC = a / e Tính sin góc α SD (SAC), cơsin góc β SC (SBD) ĐS: / / 14 ĐS: a 10 / 12 g Tìm đường vng góc chung đường thẳng SH BC Tính khoảng cách chúng ĐS: a / f Tính khoảng cách từ H đến (SBD) Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O tâm tứ giác ABCD; M, N trung điểm AB AD a CMR: BD ⊥ (ACC'A ') A’C ⊥ (BDC') b CMR: A 'C ⊥ AB' c CMR: (BDC’) ⊥ (ACC’A’) (MNC’) ⊥ (ACC’A’) d Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’) ĐS: a / e Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’) ĐS: 3a / 17 ĐS: a / f Tính khoảng cách AB’ BC’ 11