Đề cương ôn tập TOán 11 - học kì 2 (năm học 2009 - 2010)

Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Nhớ: ĐN và một số ĐL về giới hạn của hs tại một điểm, giới hạn tại vô cực, giới hạn một bên, một vài quy tắc tìm giới hạn v

CHƯƠNG III DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

* Để chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) đúng,  n p, (p cho * trước) bằng pp quy nạp ta làm như sau:

+ Bước 1: Kiểm tra xem A(n) đúng với n  p

+ Bước 2: Giả sử A(n) đúng với n  k, (k  p, k ) Chứng minh A(n) đúng với n  k + 1

Kết luận A(n) đúng  n p, p *

* Áp dụng

Ví dụ 1 Chứng minh rằng  n *: un n311n chia hết cho 6 (1)

Giải

+ Với n  1 ta có u1  1 + 11  12  6 hay (1) đúng

+ Giả sử (1) đúng với n=k, k1, k* tức là uk= (k311k)  6

Ta cần CM (1) đúng với n=k+1, nghĩa là chứng minh uk 1  6

k 1

3

k

có :

k

( 11k) 3k(k 1) 12 u 3k(k 1) 12

Vì uk  6; 3k(k 1)  6; 12  6 nên uk+1  6

Vậy  n *, un n311n chia hết cho 6

Ví dụ 2 Chứng minh : 2n > 2n + 1 ( n *, n ≥ 3) ,(2)

Giải

+ Với n = 3, ta có 23 > 7 (đúng)

+ Giả sử (2) đúng khi n k3, ( k ), nghĩa là 2k > 2k + 1

Ta chứng minh (2) đúng khi n k +1, nghĩa là:

k 1

2  > 2(k+1) + 1 Thật vậy  2k 1  = 2.2k > 2k+2k

Mà

k k

2 2k 1







Vậy 2n > 2n + 1 , ( n *, n ≥ 3)

Bài tập

Bài 1 Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có:

a 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n ‒ 1)  n2 b 2 + 4 + 6 + 8 + + (2n)  n(n+1)

c 1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

4

d 1.2 + 2.3 +…+ n.(n+1)  n(n 1)(n 2)

3

1.22.33.4 n.(n 1)  n 1

  f 1.3 3.5 5.71  1  1  (2n 1).(2n 1)1  2n 1n



g 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)

6

4



i 212223  2n 2(2n 1) k

n

1 2 3 n 3(3 1)

2



n

Bài 2 Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng

a Chứng minh số vectơ khác vectơ không tạo thành từ n điểm đó bằng n(n ‒ 1)

THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010

b Số đoạn thẳng tạo thành từ n điểm đĩ là n(n 1)

2



Bài 3 Chứng minh  n *:

2n





b nn ≥ (n + 1)n‒ 1 d n 1 1 n

2

  

II PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

+ Cách 1

 (u n) tăng u n < u n1 u n ‒ u n1< 0,  n *

 (u n) giảm  u n > u n1 u n ‒ u n1> 0 ,  n *

+ Cách 2: Áp dụng với u n > 0,  n *

 (u n) tăng  u n < u n1  n 1

n

u u

 > 1,

 (u n) giảm  u n < u n1  n 1

n

u u

 < 1

III DÃY SỐ BỊ CHẶN

 Dãy (u n) bị chặn trên   M  : u n ≤ M,  n *

 Dãy (u n) bị chặn dưới   m  : u n ≥ m,  n *

 Dãy (u n) bị chặn  (u )n



 n

bị chặn trên (u ) bị chặn dưới  M,m: m ≤ u n ≤ M,

*

n

 

Rút ra : ( u n) tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì bị chặn

Ví dụ 1 Chứng minh dãy số (u n) với un n 1

n



Giải

*

n

(u n) là dãy số giảm

Ví dụ 2 Chứng minh dãy số (u n) với un n 1

n



Giải



       (u n) bị chặn trên

n 

Vậy (u n) là dãy bị chặn

Bài tập

Bài 1 Xét tính tăng, giảm của các dãy (u n) với

a un 3n 1

5n 2





 b un  n n21 c n

n

n 1

n

 



d un 3nn

2

 e

2

n 3n 2n 1 u

n 1



 f un  ( 1) (2n n1)

Bài 2 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a/ un 3n2, b/

2 2

n

u ( 1)  



n

n n ( 1) u

2n 1

 



u 3n 2







Bài 3. Cho dãy (un) với un sin (4n 1)

6

a Chứng minh rằng un  un+3 ,  n 1

b Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho

Bài 4 Tìm số hạng tổng quát của các dãy (u n) được cho như sau

a/ 1

1

5

3

u

n

u  u

 





 , b/

1

1

2

1 2

n

n

u

n u

u









5.3n n

u    b/ u n n 1

n





IV CẤP SỐ CỘNG

Kiến thức cần nhớ:

 (un) CSC  un+1  un + d , (n*) (u1 : số hạng đầu tiên, d : công sai)

 Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, ta có : un = u1+ (n ‒ 1).d

k

u

2

  

 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

+ Tính theo u1, d: Sn u1 u2 un n[2u1 (n 1)d]

2

+ Tính theo u1, un : Sn u1 u2 un n[u1 u ]n

2

Vài ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1 Xác định số hạng đầu và công sai của CSC thỏa 2 5 3

4 6







Giải



1

1

u 3d 10 2u 8d 26



 



  1

d 3



 







Vậy số hạng đầu của cấp số cộng u11 và công sai d = 3

Ví dụ 2 Cho cấp số cộng : 35, 40,…, 2000 Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số

hạng? Tính tổng các số hạng của cấp số cộng

Giải

Đặt un = 2000 Ta có: un=u1 +(n ‒ 1)d =200035+(n ‒ 1).5 = 2000  n  394 Cấp số cộng có 394 số hạng

Tổng các số hạng : n n(u1 u )n 394(35 2000) 400895

Ví dụ 3 Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng các số hạng là 176 Hiệu giữa số

hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số cộng đó

Giải

THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010

11 1

11

2



11 1 1 1

u  u 30  u 10d u 3  d 3

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u11 và công sai d 3

V CẤP SỐ NHÂN

Kiến thức cần nhớ :

* (u ) CSNn un 1 u q , nn * , q là công bội

* Số hạng tổng quát của một cấp số nhân : un u q1 n 1 (q  0)

* u2k uk 1.uk 1 (k ≥ 2)

n

q 1

S u u u u

q 1



 , (q  1)

Vài VD áp dụng

Ví dụ 1 Tìm số hạng thứ 9 của cấp số nhân có u1 = 1 và q 1

2



 Giải

Ta có :

8 8

9 1

u u q 1

 

 

 

Ví dụ 2 Tìm x để dãy số ‒4 ; x ‒ 1 ; x lập thành cấp số nhân

Giải

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có :

2 2 2

(x1)  4x  x 2x 1 0  (x1) 0  x 1

Vậy x 1 thì ‒4 ; x ‒ 1 ; x lập thành cấp số nhân

Ví dụ 3 Cho cấp số nhân có q 2và 6 2

1

Giải

1

6

u u q u 32 243 3

81 32 q

u

64 1

5 q

133 81 1

3





Bài tập

Bài 1 Cho cấp số cộng ‒3, x, 7, y Hãy tìm các giá trị x, y

Bài 2 Cho cấp số cộng (un) có u22 ; u5074 Tìm số hạng đầu tiên và công sai

d của (un)

Bài 3 Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 4

5

 và công sai d 3

4

 Tìm số hạng u7

Bài 4 Cho cấp số cộng (un) có u4 15 và u1039 Tìm số hạng đầu tiên và công sai d

Bài 5 Cho cấp số cộng biết u3u1380 Tính tổng 15 số hạng đầu tiên S15 của

CSC

Bài 6 Xen kẽ giữa 3 và 19 còn có ba số và dãy số này lập thành CSC Tìm ba số đó

Bài 7 Ba góc A, B, C của một tam giác lập thành 1 CSN vừa là CSC Tìm số đo góc

A?

Bài 8 Số đo 3 góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng Tìm 3 góc đó Bài 9 Một cấp số nhân gồm 6 số hạng Xác định cấp số nhân biết tổng 3 số hạng đầu

là 168 và tổng 3 số hạng cuối là 21

Bài 10 Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân biết : 5 3

4 2







Bài 11 Xác định cấp số cộng (un), biết rằng : 2 5 3

1 6







Bài 12 Cho dãy (un) xác định bởi u1  1, un 1 2un5 với mọi n > 0

a Chứng minh rằng dãy số (vn) với vn  un + 5 là một cấp số nhân

b Xác định số hạng tổng quát của dãy (un) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy (un)

Bài 13 Cho dãy (un) xác định bởi u1  3, un+1  un6, với mọi n > 0 Chứng minh rằng dãy (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân

Bài 14 Cho dãy (un) xác định bởi :

n n 1

n 1

u

3

















a Lập dãy (vn) với vn = un+1 ‒ un Chứng minh rằng dãy (vn) là cấp số nhân

b Lập công thức tính un theo n

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ

Nhớ: ĐN và một số ĐL về dãy số có giới hạn 0, dãy số có giới hạn hữu hạn, dãy số

có giới hạn vô cực,…

Bài tập. Tính các giới hạn sau

a

3 4

sin 3 lim 3

1

   



n

5 2

2 5

7

3



d

3 2

2 4

2 7 sin 3 3

lim

3



5.3 4 lim

3  4 





n n f lim ( 2n2 3 n21)

1

 

1 lim

2





n n i lim n( n 2 n)

j lim (2 1) 42 23

2





 n

n

2 2 1 lim

1



n l

2

3 2

2

1



m

2 2003 lim

2004





2

lim ( n   n 1 n) o lim2 3





n n

n n

§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Nhớ: ĐN và một số ĐL về giới hạn của hs tại một điểm, giới hạn tại vô cực, giới

hạn một bên, một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực, các dạng vô định

Bài 1 Tìm các giới hạn sau:

THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010

1

2

li ( 2xm   x 7x - 3) b

x 4

4 lim

1

5x x





 c

2

1 2 x

3

lm 2

1

i x x

-x





d

2

x

3

limx 4x

9 - x



e

x 0

lim

3



 x

x f 2

3 2

x 3 9 2

m

6

3

 

Bài 2 Tìm các giới hạn sau:

a

1

2 2

lim

7









li

2 7

m



 

1 lim

3 3 6





 

x

d

2

2 2 x

3 3

im

6

2 l



 

2 1

lim

1







x f x 2 3

1 1

lim

2







x x

g

3

x 0

lim 



  x x

3

x 8

2 lim

1 3





 

x

x i

3 2

2 1 x

8 lim 6

1





x

j

3

x 2

lim

2







x

3

x 2

lim

2





2

2 2

xlim

2

2 2





x

m

x 1 2

2

lim

5





x 

2

2 x

13

5

30 lim













Bài 3 Tìm các giới hạn sau:

a

x

2 2

lim

7 3







x x b

2

xlim ( x  1 x) c 2

xlim ( 4 x 2x2 )x

d

3 2 3 x

2 4











x x e x

2

lim

4

 x x  x x f x

2 2

lim

8 2





 

g

2

xlim  2 1 2 1



 x x x x  h

3

x

2

(

lim

2 (2



2



xlim ( 2003 )

xlim ( 2 )

 x   x x x

 x x  x  x n 2

xlim ( 5 2 5)

 x  x x o

5 3 lim









x

.

§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Nhớ ĐN hàm số liên tục tại một điểm, hslt trên một khoảng (đoạn), ĐL về giá trị

trung gian của hslt và hệ quả

Áp dụng

Ví dụ 1 Cho hàm số

2

5

f ( ) 10 50

a

5

5











 

 



x

x

,neáu ,neáu Xác định a để hàm số liên tục trên 

Giải

+ Với x < ‒5 hoặc x > ‒5 thì

2 5

f ( )

10 50







x

x xác định f(x) liên tục trên các khoảng

(  ; 5) và ( 5 ;  )

+ Vậy để f(x) liên tục trên  thì f(x) phải liên tục tại điểm x  ‒5

Ta có :

2

5







x

Mặt khác f(‒5) = a Vậy f(x) liên tục tại x = ‒5 thì

x 5

1 lim f ( ) f ( 5) a

2

x

+ Vậy a 1

2

  thì hàm số đã cho liên tục trên 

Ví dụ 2 Cho

2

f ( )









x

x >

neáu neáu Tìm a để f(x) liên tục trên  Giải

+ Với x < 2, f(x) = ax2 xác định  f(x) liên tục trên ( ; 2)

+ Với x > 2, f(x) = 3 xác định  f(x) liên tục trên (2 ; )

+ Vậy để f(x) liên tục trên  thì f(x) phải liên tục tại điểm x = 2

x 2 x 2

2

lim f ( ) lim a 4a

xlim f ( )2 xlim 3 32

để f(x) liên tục tại điểm x = 2 thì

x 2 x 2

3 lim f ( ) lim f ( ) f (2) 4a 3 a

4

Vậy với a 3

4

 thì hàm số đã cho liên tục trên 

Bài tập

Bài 1 Cho hàm số

2 2

a , khi 1

f (

3

)

1 , khi 1







 





x

x

a Tìm

xlim f ( )1

 x và

xlim f ( )1

 x

b Xác định a để hàm số liên tục trên 

Bài 2 Cho hs

33 2 2

, 1

,khi 2 4

2

f ( )

a

x

x x

x















Xác định a để hàm số liên tục trên 

Bài 3 Cho hs













x

x

neáu neáu

Xác định a để hàm số liên tục tại x  0

Bài 4 Cho hs

2 2

3

2a













x

neáu neáu

Xác định a để hàm số liên tục trên 

Bài 5 Cho hs

3

f ( ) 2

x x

x

x

















neáu neáu

Xác định a để hàm số liên tục trên 

Bài 6 Cho hs

2 2

2

1

3

2a









x

neáu neáu

Xác định a để hàm số liên tục trên 

Bài 7 Cho hs











neáu neáu neáu

Hãy xét tính liên tục của hàm số

Bài 8 Cho hs











 



x

x

neáu neáu neáu

Định a, b để hàm số liên tục trên 

THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010

Bài 9 Cho hs

3

1

f ( )

















x

x x

x

x

Xác định a để hàm số liên tục trên 

Bài 10 Cho hs















x

x

nếu nếu nếu

Định a, b để hàm số liên tục trên  Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Bài 11 Cho hàm số

2 2

4 , khi 1

3 3

















x

a Tìm

xlim f ( )1

 x và

xlim f ( )1

 x

b Tìm a để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1

Bài 12 Xác định a để hs f(x) liên tục trên  , với

2 3

,khi 2

3 a

f ( )

,k

4

2

x x

x

x x

x



















Bài 13 Cho hs

,khi 4

5 3













 

x x

Xác định a để hàm số liên tục tại x  4

Bài 14 Cho hs

x <















Xác định a để hàm số liên tục trên 

Bài 15 Cho hs

3 2 ,khi 1

x

x

x











Định a để hàm số liên tục tại điểm x1

Bài 16 Cho hs

2 6

,khi 2

x x

x













Định a để hàm số liên tục tại điểm x2

* ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì  c (a ;b) sao cho

f(c) = 0 hay c là nghiệm của phương trình f(x) = 0

Ví dụ Chứng minh phương trình 2x3‒ 6x + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trên đoạn [‒2 ; 2]

Giải

Đặt f(x) = 2x3‒ 6x + 1 Hàm số f(x) xác định và liên tục trên 

Ta cĩ : f(‒2)  ‒3; f(‒1)  5; f(1)  ‒3; f(2)  5

1

f ( 2).f ( 1) 0    Phương trình f(x) 0 co ùmột nghiệm x  ( 2; 1)

2

f ( 1).f (1) 0   Phương trình f(x) 0 co ùmột nghiệm x  ( 1;1)

3

f (1).f (2) 0  Phương trình f(x) 0 co ùmột nghiệm x (1;2)

Vậy phương trình f(x) = 0 cĩ 3 nghiệm x x x1, 2, 3 [ 2;2]

Bài tập

Bài 1 Chứng minh ptrình :4x42x2  x 3 0 cĩ ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (‒1 ; 1)

Bài 2 Chứng minh rằng mọi phương trình bậc lẻ đều cĩ ít nhất 1 nghiệm

Bài 3 Chứng minh phương trình : x55x34x 1 0 có đúng 5 nghiệm

Bài 4 Chứng minh phương trình : sin x ‒ x + 10 luôn có nghiệm

Bài 5 Chứng minh phương trình : m(x1)2(x 2) 2x 1 0có nghiệm với mọi m

Bài 6 Chứng minh rằng phương trình : sinxmsin 2x0 có nghiệm với mọi m

Bài 7 Chứng minh rằng phương trình : cosxmcos 2x0 có nghiệm với mọi m

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

I TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng (a ; b) , điểm x0(a ;b)

Để tính đạo hàm của hàm f tại điểm x0 theo ĐN ta thực hiện như sau:

+ Bước 1 Tính Δy f x( 0 x) f x , trong đó ( )0 x = x - x 0 là số gia của biến số tại x0

+ Bước 2 Tính

x 0

x

 





 , nếu A hữu hạn thì f x'( )0 A Hoặc

+ Bước 1 Tìm

0

0 0

lim

x x

x x









+ Bước 2 Nếu giới hạn trên hữu hạn thì f x'( )0 A

Ví dụ 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y f x( ) x3 2x1 tại x1 Giải

Ta có Δy  f x( ) f(1)x32x 1 4x32x  3 (x 1)(x2x3)

2

2

3 1

Do đó

x 1

2

'(1)lim (  3) 5

Ví dụ 2 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y f x( ) x1 tại điểm x3 Giải

Đặt Δx  x 3, Δy  f(3  x) f(3)   x 4 2

Do đó

0

'(3) lim

4

4 2

 

  

x

y

Bài tập

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm tương ứng

a yx31 tại x1 b 1

1







x y

x tại x0 c y x 3 x tại x1

d y xx tại x4 e yx23x2 tại x2

II TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG QUY TẮC

Nhớ quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp (SGK)

Bài tập

Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng quy tắc

a y3x22x5 tại x 1 b

3 2

1 2

x y x





 tại x1 c y(4x -7 x)( 25x1)

3 2

23 4

x y



 



THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010

g y 7 (x x21)6 h yx3x x 1 1

j yc so 3(x4 1) k ytan (3x5) l 2

2

2

1







x y

x o ytan2xcot2x

p y = x tan x q y (x 2)(2x3)4(3x7)5 tại x2

r y x21 tại x1 s y (x 1)(x2)(x3) t ysin (1 cos )x  x

u ysin5xcosxcos5xsinx tại

12





x

III ĐẠO HÀM CẤP CAO

Bài tập

Bài 1 Tính đạo hàm cấp hai các hàm số sau

x

Bài 2 Tính đạo hàm cấp 4 các hàm số

a y3x34x25x1 b ysin22 x c y1

x d 1

1





y x

Bài 3 Bằng phương pháp quy nạp, tính đạo hàm cấp n của các hàm số :

( 1)





y

x x d y2sin cosx x

Bài 4 Cho hàm số

2 2











y

y

b Tìm y( )n với n1,n

Bài 5 Chứng minh rằng

ta có 2( ') ( 1) '' 4





x

b Với hàm số y 2x x 2 , ta có y y3 '' 1 0 

Bài 6 Cho hàm số y x21 Giải phương trình y y' 2x3

Bài 7 Cho hàm số 2 2

1





y

x

y

b Tìm y'

III PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Các dạng bài tập thường gặp

1 Phương trình tiếp tuyến tại (x y0; 0) thuộc đồ thị hàm số

Cách giải Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) tại điểm (x y0; 0) là :

yy0  f x'( ).(0 x x  0)

Ví dụ Cho hàm số yx3x3có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm

M(‒1 ; ‒5)

Giải