Đề cương ôn tập TOán 11 - học kì 2 (năm học 2009 - 2010)

THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 CHƢƠNG III DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN I PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP * Để chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) đúng, n  p, (p * cho trước) pp quy nạp ta làm sau: + Bước 1: Kiểm tra xem A(n) với n  p + Bước 2: Giả sử A(n) với n  k, ( k  p , k  ) Chứng minh A(n) với n  k + Kết luận A(n) n  p, p * * Áp dụng Ví dụ Chứng minh n * : u n  n3 11n chia hết cho (1) Giải + Với n  ta có u1  + 11  12  hay (1) + Giả sử (1) với n=k, k  , k  * tức u k = ( k3  11k )  Ta cần CM (1) với n=k+1, nghĩa chứng minh u k   Ta có : u k 1  (k  1)3  11(k  1)  k  3k  3k   11k  11  (k  11k)  3k(k  1)  12  u k  3k(k  1)  12 Vì u k  6; 3k(k 1)  6; 12  nên uk+1  Vậy n * , u n  n3 11n chia hết cho Ví dụ Chứng minh : 2n > 2n + ( n * , n ≥ 3) ,(2) Giải + Với n = 3, ta có > (đúng) + Giả sử (2) n  k  , ( k ), nghĩa 2k > 2k + Ta chứng minh (2) n  k +1, nghĩa là: 2k 1 > 2(k+1) + Thật  2k 1 = 2k > 2k + 2k 2k  2k   Mà  nên (2) với n  k + 2k    Vậy 2n > 2n + , ( n * , n ≥ 3) Bài tập Bài Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: a + + + + … + (2n ‒ 1)  n2 b + + + + + (2n)  n(n+1) n(n  1)(n  2)(n  3) c 1.2.3  2.3.4    n(n  1)(n  2)  n(n  1)(n  2) d 1.2 + 2.3 +…+ n.(n+1)  1 1 n 1 1 n      e f      1.3 3.5 5.7 (2n  1).(2n  1) 2n  1.2 2.3 3.4 n.(n  1) n  n (n  1)2 n(n  1)(2n  1) 3 3 2 2 g     n  h      n  n 3(3  1) i 21  22  23   2n  2(2n  1) k 31  32  33    3n  n l (n +3n +5n) chia hết cho m  15n  chia hết cho Bài Cho n điểm phân biệt mặt phẳng a Chứng minh số vectơ khác vectơ không tạo thành từ n điểm n(n ‒ 1) POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010 b Số đoạn thẳng tạo thành từ n điểm Bài Chứng minh n * : n n n a ≥ + n‒ c n(n 1) 2      2cos  2n1 (n dấu căn) n d n    II PHƢƠNG PHÁP XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ + Cách  ( un ) tăng  un < un 1  un ‒ un 1 < 0, n *  ( un ) giảm  un > un 1  un ‒ un 1 > , n * + Cách 2: Áp dụng với un > 0, n * u  ( un ) tăng  un < un 1  n 1 > 1, un u  ( un ) giảm  un < un 1  n 1 < un III DÃY SỐ BỊ CHẶN  Dãy ( un ) bị chặn  M  : un ≤ M, n *  Dãy ( un ) bị chặn  m  : un ≥ m, n * (u ) bị chặn  Dãy ( un ) bị chặn   n  M,m  : m ≤  (un ) bị chặn  n b n ≥ (n + 1) un ≤ M, n * Rút : ( un ) tăng bị chặn (hoặc giảm bị chặn dưới) bị chặn n 1 Ví dụ Chứng minh dãy số ( un ) với u n  dãy giảm n Giải (n  1)  n  Ta có : u n 1   n 1 n 1 n  n 1 u n 1  u n     0, n  * n 1 n n(n 1)  ( un ) dãy số giảm n 1 Ví dụ Chứng minh dãy số ( un ) với u n  dãy bị chặn n Giải n 1    , n  *  ( un ) bị chặn Ta có : u n  n n n 1 un   0, n  *  ( un ) bị chặn n Vậy ( un ) dãy bị chặn Bài tập Bài Xét tính tăng, giảm dãy ( un ) với n 3n 1 a u n  b u n  n  n 1 c u n  (1)n n 1 5n  2 3n  2n  3n d u n  n e u n  f u n  (1)n (2n 1) n 1 POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 Bài Xét tính bị chặn dãy số sau: n  (1)n cos (n2 ) 2n  a/ u n  3n  , b/ u n  (1)n , c/ u n  , d/ u n  2n  3n    Bài Cho dãy (un) với u n  sin  (4n 1)   6   a Chứng minh un  un+3 , n  b Hãy tính tổng 12 số hạng dãy số cho Bài Tìm số hạng tổng quát dãy (un) cho sau u1  u1  5 , b/  a/  , n 1 , n 1  un 1   un1  3un   un  n 1 un  ĐS: a/ b/ un  5.3n1 n IV CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ:  (un) CSC  un+1  un + d , ( n * ) (u1 : số hạng đầu tiên, d : cơng sai)  Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 , cơng sai d, ta có : un = u1+ (n ‒ 1).d u u (k ≥ 2)  u k  k 1 k 1  Tổng n số hạng cấp số cộng n + Tính theo u1, d: Sn  u1  u   u n  [2u1  (n 1)d] n + Tính theo u1, un : Sn  u1  u   u n  [u1  u n ] Vài ví dụ áp dụng: u  u  u  10 Ví dụ Xác định số hạng đầu cơng sai CSC thỏa   u  u  26  Giải u  u  u  10  Ta có :  u  u  26  u  3d  10   2u1  8d  26    u1  d  u1  4d  u1  2d  10  u1  3d  u1  5d  26   u1    d   Vậy số hạng đầu cấp số cộng u1  cơng sai d = Ví dụ Cho cấp số cộng : 35, 40,…, 2000 Hỏi cấp số cộng có số hạng? Tính tổng số hạng cấp số cộng Giải Đặt un = 2000 Ta có: un=u1 +(n ‒ 1)d =2000  35+(n ‒ 1).5 = 2000  n  394 Cấp số cộng có 394 số hạng n 394 (35  2000)  400895 Tổng số hạng : Sn  (u1  u n )  2 Ví dụ Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng số hạng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm cấp số cộng Giải POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 11  (u1  u11 )  176  2 u  u  31  11 u11  u1  30  u1 10d  u1   d  S  S  176 Ta có :  n 11   u n  u1  30   u11  u1  32   u11  u1  31   u1   u11  31  Vậy cấp số cộng cho có số hạng đầu u1  công sai d  V CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ : * (u n ) CSN  u n 1  u n q , n  * , q công bội * Số hạng tổng quát cấp số nhân : u n  u1.qn 1 * u  u k 1.u k 1 (k ≥ 2) k (q  0) * Tổng n số hạng cấp số nhân: Sn  u1  u   u n  u1 q n 1 , (q  1) q 1 Vài VD áp dụng Ví dụ Tìm số hạng thứ cấp số nhân có u1 = q   Giải 1 Ta có : u9  u1.q  1    256 2 Ví dụ Tìm x để dãy số ‒4 ; x ‒ ; x lập thành cấp số nhân Giải Theo tính chất cấp số nhân, ta có : ( x 1)2  4x  x2  2x 1   ( x 1)2   x  1 Vậy x  1 ‒4 ; x ‒ ; x lập thành cấp số nhân 32 Ví dụ Cho cấp số nhân có q   u  Tính tổng số hạng S6 81 Giải u6 32 243 Ta có : u  u1.q5  u1      3 81 32 q  64  1    q6 1  133  3  729   Do : S6  u1   q 1    81         Bài tập Bài Cho cấp số cộng ‒3, x, 7, y Hãy tìm giá trị x, y Bài Cho cấp số cộng (un) có u  ; u50  74 Tìm số hạng công sai d (un) cơng sai d  Tìm số hạng u Bài Cho cấp số cộng (un) có u  15 u10  39 Tìm số hạng cơng sai d Bài Cho cấp số cộng biết u3  u13  80 Tính tổng 15 số hạng S15 CSC Bài Xen kẽ 19 cịn có ba số dãy số lập thành CSC Tìm ba số Bài Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1   POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 Bài Ba góc A, B, C tam giác lập thành CSN vừa CSC Tìm số đo góc A? Bài Số đo góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm góc Bài Một cấp số nhân gồm số hạng Xác định cấp số nhân biết tổng số hạng đầu 168 tổng số hạng cuối 21 u  u  144 Bài 10 Tìm số hạng công bội cấp số nhân biết :   u  u  72  u  u  u  10 Bài 11 Xác định cấp số cộng (un), biết :   u1  u   Bài 12 Cho dãy (un) xác định u1  1, u n 1  2u n  với n > a Chứng minh dãy số (vn) với  un + cấp số nhân b Xác định số hạng tổng quát dãy (un) Tính tổng 10 số hạng dãy (un) Bài 13 Cho dãy (un) xác định u1  3, un+1  u n  , với n > Chứng minh dãy (un) vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân u1  2004,u  2005 Bài 14 Cho dãy (un) xác định :  , với n >  2u n  u n 1 u n 1   a Lập dãy (vn) với = un+1 ‒ un Chứng minh dãy (vn) cấp số nhân b Lập cơng thức tính un theo n CHƢƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN DÃY SỐ Nhớ: ĐN số ĐL dãy số có giới hạn 0, dãy số có giới hạn hữu hạn, dãy số có giới hạn vơ cực,… Bài tập Tính giới hạn sau  2n5  7n2  n3 sin 3n   n  a lim  b lim    c lim   n2  3n5 n 1   n 1    2n3  7n2 sin 3n  d lim n2  3n4 g lim n 1  n 2n  j lim (2n 1) n n 2 n2  2003n  n m lim 2004n 5.3n  4n e lim n1 n1 4 h lim n n2 n2  2n 1 k lim n 1 n lim ( n2  n 1  n) f lim ( 2n2   n2 1) i lim n ( n   n ) n2  3n  n3  n  n  2n  3n o lim n n 3 l lim §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Nhớ: ĐN số ĐL giới hạn hs điểm, giới hạn vô cực, giới hạn bên, vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực, dạng vơ định Bài Tìm giới hạn sau: POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn a lim (2x4  5x2  x - 3) x 1 x2  x  d lim x 3 - x2 Bài Tìm giới hạn sau: x2  x  a lim x 1 ( x  1)( x  x  6) x3  3x  x d xl2 im x2  x  1 x  1 x g lim x 0 x 4x  x 2 x2 x 1 m xlim1  x  x  j lim Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 x2  x - 5x  x 1  x 1 e lim x 0 3x c lim x 1 x  3x  3 x 7 2 x  x e lim x 1 x 1 x 2 h lim x 8 x 1  x 1 x   3x x 1 1 f lim x 2  2x 1 x3  i lim x1 x  5x  b lim x 4 b lim x 1 5x   x  x 2 x2 x  13x  30 n lim x 3 ( x  3)( x2  5) x2  x3  3x  x  f lim x 2 x3  x  c lim x 1 k lim Bài Tìm giới hạn sau: 5x2  x  a xlim b lim ( x2 1  x)  x  3x  x  x3  x  x  x 1  x d xlim e xlim  x3  3x   x4  x3 x2  ( x  2)3 (2 x  1)2 g xlim    h xlim   x  x    (2 x  3)2 (2 x  4)3   l lim x 2 x2  x2  x   c lim ( x2  x  x) x  x2  x  x x2  x   3x x2   im   i xl     x  x  5x   f xlim  j lim x( x2  2003  x) k lim ( x3  x2  x) l lim ( x2  x 1  x2  x 1) m lim ( x3  x2  x2  x ) n lim ( 5x2  x  x 5) o lim x  x  x  x  x  x   3x x  3x  §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Nhớ ĐN hàm số liên tục điểm, hslt khoảng (đoạn), ĐL giá trị trung gian hslt hệ Áp dụng  x2  5x ,nếu x  5  Ví dụ Cho hàm số f ( x)  10 x  50 a ,neáu x  5  Xác định a để hàm số liên tục  Giải x2  5x + Với x < ‒5 x > ‒5 f ( x)  xác định  f(x) liên tục khoảng 10 x  50 ( ; 5) (5 ; ) + Vậy để f(x) liên tục  f(x) phải liên tục điểm x  ‒5 x2  5x x( x  5) x 5 1 Ta có : xlim5 f ( x)  xlim5  xlim5  xlim5     10 x  50  10( x  5)  10 10 Mặt khác f(‒5) = a Vậy f(x) liên tục x = ‒5 xlim5 f ( x)  f (5)  a    POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 hàm số cho liên tục  ax , neáu x  Cho f ( x)   Tìm a để f(x) liên tục   , neáu x > 3  + Vậy a   Ví dụ Giải + Với x < 2, f(x) = ax2 xác định  f(x) liên tục ( ; 2) + Với x > 2, f(x) = xác định  f(x) liên tục (2 ; ) + Vậy để f(x) liên tục  f(x) phải liên tục điểm x = f(2) = 4a lim f ( x)  lim  lim f ( x)  lim ax2  4a x 2 x 2 x 2 x 2 để f(x) liên tục điểm x = lim f ( x)  lim f ( x)  f (2)  4a   a  x 2 x 2 Vậy với a  hàm số cho liên tục  Bài tập 3x  a  a ,khi x  Bài Cho hàm số f ( x)    ,khi x  x  3x    a Tìm lim f ( x) lim f ( x)    x 1  x 1 b Xác định a để hàm số liên tục   3x   , x    Bài Cho hs f ( x)   x  Xác định a để hàm số liên tục  ax  ,khi x     9 x 3 , neáu x   Bài Cho hs f ( x)   x Xác định a để hàm số liên tục x   x  2a , neáu x   Bài Cho hs Bài Cho hs Bài Cho hs Bài Cho hs Bài Cho hs  x  3x  , neáu x  f ( x)   x  Xác định a để hàm số liên tục   ax  2ax  , neáu x    3x  x  , neáu x  Xác định a để hàm số liên tục  f ( x)   x a  , neáu x    x  3x  , neáu x  f ( x)   x  Xác định a để hàm số liên tục   ax  2ax  , neáu x   2 x  , neáu x    f ( x)  5 , x  Hãy xét tính liên tục hàm số  , neáu x  3x 1  0 , neáu x  1   f ( x)  ax  b , neáu 1  x  Định a, b để hàm số liên tục   , neáu x  1  POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010  ( x 1)  Bài Cho hs f ( x)   x 1  a 1  Bài 10 Cho hs f ( x)  ax  b   7  ,khi x  Xác định a để hàm số liên tục  ,khi x  , neáu x  , neáu  x < , neáu x  Định a, b để hàm số liên tục  Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)  x  3x  ,khi x   Bài 11 Cho hàm số f ( x)   x 1 2a  3ax ,khi x   a Tìm lim f ( x) lim f ( x)   x 1 x 1 b Tìm a để hàm số cho liên tục điểm x = Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 Bài 16  ,khi x  ax   Xác định a để hs f(x) liên tục  , với f ( x)   3x    ,khi x   x2  ax  ,khi x   Cho hs f ( x)   x  Xác định a để hàm số liên tục x  ,khi x    x 5 3  x2  x  ,khi x < Cho hs f ( x)   x  Xác định a để hàm số liên tục   ax  ,khi x    x32 ,khi x   Cho hs f ( x)   x  Định a để hàm số liên tục điểm x  a  ,khi x    x2  x  ,khi x   Cho hs f ( x)   x  Định a để hàm số liên tục điểm x  2 x  a ,khi x   * ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] f(a).f(b) < c  (a;b) cho f(c) = hay c nghiệm phương trình f(x) = Ví dụ Chứng minh phương trình 2x3 ‒ 6x + = có nghiệm đoạn [‒2 ; 2] Giải Đặt f(x) = 2x3 ‒ 6x + Hàm số f(x) xác định liên tục  Ta có : f(‒2)  ‒3; f(‒1)  5; f(1)  ‒3; f(2)  f (2).f (1)   Phương trình f( x)  có nghiệm x1(2; 1) f (1).f (1)   Phương trình f( x)  có nghiệm x2 (1;1) f (1).f (2)   Phương trình f( x)  có nghiệm x3 (1;2) Vậy phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2 , x3 [2;2] Bài tập Bài Chứng minh ptrình : 4x4  2x2  x   có nghiệm thuộc khoảng (‒1 ; 1) Bài Chứng minh phương trình bậc lẻ có nghiệm POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 Bài Chứng minh phương trình : x  5x  4x 1  có nghiệm Bài Chứng minh phương trình : sin x ‒ x +  ln có nghiệm Bài Chứng minh phương trình : m( x 1)2 ( x  2)  x 1  có nghiệm với m Bài Chứng minh phương trình : sin x  msin 2x  có nghiệm với m Bài Chứng minh phương trình : cos x  mcos2x  có nghiệm với m CHƢƠNG V ĐẠO HÀM I TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y  f ( x) xác định khoảng (a ; b) , điểm x0  (a;b) Để tính đạo hàm hàm f điểm x0 theo ĐN ta thực sau: + Bước Tính Δy  f ( x0  x)  f ( x0 ) , x = x - x0 số gia biến số x0 y + Bước Tính A  lim , A hữu hạn f '( x0 )  A x 0 x Hoặc f ( x)  f ( x0 ) + Bước Tìm A  lim x x x  x0 + Bước Nếu giới hạn hữu hạn f '( x0 )  A Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  f ( x)  x3  x 1 x  Giải Ta có Δy  f ( x)  f (1)  x3  2x 1  x3  2x   ( x 1)( x2  x  3) y ( x 1)( x2  x  3)   x2  x  x 1 x Do y '(1)  lim ( x2  x  3)  x 1 Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  f ( x)  x 1 điểm x  Giải Đặt Δx  x  , Δy  f (3  x)  f (3)  x   y x   x Ta có    x x x( x   2) x   1  lim Do y '(3)  x0 x   Bài tập Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm tương ứng x 1 a y  x3 1 x  b y  x  c y  x   x x  x 1 d y  x  x x  e y  x2  3x  x  II TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG QUY TẮC Nhớ quy tắc tính đạo hàm số hàm số thường gặp (SGK) Bài tập Tính đạo hàm hàm số sau quy tắc x3  a y  3x2  x  x  1 b y  x  c y  (4x -7)( x2  5x 1) x 2 x3  23 d y  (1  x)12 e y  (3x2  4x  5)15 f y  x x4 POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 g y  7 x( x2  1)6 h y  x3  x x   x j y  cos3 ( x4  1)  x l y  cot  3x2   2  x x 2x 1 n y  o y  tan  cot 2 x 1 q y  ( x  2)(2x  3)4 (3x  7)5 x  m y  x3  x2 1 p y = x tan x i y  (sin3 x  1)4 k y  tan (3x  5) r y  x2  x  s y  ( x 1)( x  2)( x  3)  u y  sin5 x cos x  cos5 x sin x x  12 III ĐẠO HÀM CẤP CAO Bài tập Bài Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau a y  ( x  3)(2 x2  x 1) b y  3x2  t y  sin x (1 cos x) c y  cos4 x Bài Tính đạo hàm cấp hàm số d y  x 1 d y  x x 1 Bài Bằng phương pháp quy nạp, tính đạo hàm cấp n hàm số : a y  sin x b y  cos x c y  d y  2sin x cos x x( x  1) 5x2  3x  20 Bài Cho hàm số y  x  2x  3 a Chứng minh y    x 1 x  (n) b Tìm y với n  1, n  Bài Chứng minh x 3 a Với hàm số y  ta có 2(y ')2  ( y 1) y '' x4 b Với hàm số y  x  x2 , ta có y3 y ''1  a y  3x3  x2  5x  b y  sin 2x c y  Bài Cho hàm số y  x2 1 Giải phương trình y ' y  x  Bài Cho hàm số y   x2 a b  a Tìm hai số a,b cho y  x 1 x  b Tìm y ' III PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Các dạng tập thường gặp Phƣơng trình tiếp tuyến ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số Cách giải Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm ( x0 ; y0 ) : y  y0  f '( x0 ).( x  x0 ) Ví dụ Cho hàm số y  x3  x  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M(‒1 ; ‒5) Giải POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang 10 THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 Ta có : y '  3x 1, suy hệ số góc tiếp tuyến M(‒1 ; ‒5) y '(1)  Vậy phương trình tiếp tuyến M(‒1 ; ‒5) : y   4( x 1) hay y  x 1 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc Cách giải + Gọi ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến cần tìm f '( x0 )  k + Giải phương trình f '( x0 )  k , ta x0 y0 + Phương trình tiếp tuyến : y  y0  k( x  x0 ) Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết : a Hoành độ tiếp điểm ‒2 b Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  Giải: a Tung độ tiếp điểm f (2)  Ta có : f '( x)  x  , f '(2)  4 Phương trình tiếp tuyến điểm (‒2 ; 7) : y   4( x  2)  y  4x 1 b Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Tiếp tuyến M song song với đường thẳng y  2x  nên ta có hệ số góc tiếp tuyến f '( x0 )  x0    x0  y0  f (4)  Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm : y 1  2( x  4) hay y  2x  Tiếp tuyến qua điểm cho trƣớc Cho đường cong y  f ( x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A ( xA ; yA ) cho trước Cách giải *Gọi Δ đường thẳng qua A có hsg k, suy pt Δ y  k ( x  xA )  y A  f ( x)  k ( x  xA )  y A (1) * Δ tiếp xúc với (C) kvck hệ pt sau có nghiệm  (2)  f ' x   k Thay k từ (2) vào (1) giải tìm x thay lại vào (2) để tìm k Cách khác + Gọi ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) + Phương trình tiếp tuyến với (C) ( x0 ; y0 ) : y  y0  f '(x0 )(x  x0 ) (*) + Vì tiếp tuyến qua A ( xA ; yA ) nên yA  y0  f '( x0 )( xA  x0 ) Giải phương trình ta tìm x0, thay vào phương trình (*) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị đường cong (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A (0;3) Giải Gọi ( x0 ; y0 )  (C) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm với y0  x03  3x02  Ta có y '  3x2  x , suy y '( x0 )  3x02  6x0 Phương trình tiếp tuyến với (C) ( x0 ; y0 ) : y  y '(x0).( x  x0)  y (*) POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang 11 THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 Vì tiếp tuyến qua A (0;3) nên  y '( x0 ).(0  y0 )  y0  x0   x0  3x0     x    Với x0  1, thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến y  3x  15 Với x0  , thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến y  x  Bài tập Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị sau điểm tương ứng : a f ( x)  x2  x  x  b f ( x)  x3  x2  5x  x  2 x  2x  Bài Cho hàm số y  Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số x 1 giao điểm đồ thị với trục hồnh Bài Tìm b c cho đồ thị hàm số y  x2  bx  c tiếp xúc với đường thẳng y  x điểm (1 ; 1) ( x  1)2 Bài Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  , biết tiếp tuyến x 1 qua điểm A (1;2) x  3x  Bài Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  : 1 x a Tại điểm có hồnh độ x  b Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có phương trình x  y  21  Bài Tìm hệ số góc tiếp tuyến với parabol y  x2  3x điểm (1 ; 4) Bài Cho đường cong (C) có phương trình y  x3 Viết phương trình tiếp tuyến (C) tiếp điểm có hồnh độ ‒1 Bài Cho hàm số y   x3  3x  5x  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn Bài Cho hàm số y  x2  3x 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ ‒1  x  x ,khi x   Bài 10 Cho hàm số f ( x)   Xác định a, b để hàm số có đạo hàm ax  b ,khi x   x   x2 ,khi x   Bài 11 Tìm a b để hàm số f ( x)   có đạo hàm x   x  bx  c ,khi x    POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang 12 THPT Bình Sơn Đề cương ơn tập TỐN 11- HKII-2009-2010 Phần hình học CHƢƠNG III VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Vectơ không gian, đồng phẳng vectơ  Góc hai đường thẳng khơng gian  Hai đường thẳng vng góc Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định lý ba đường vng góc  Góc đường thẳng mặt phẳng Góc hai mặt phẳng  Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hai mặt phẳng vng góc  Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc II BÀI TẬP Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA SD a) Chứng minh (OMN)//(SBC) b) Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ// (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA CD a) CMR (OMN)//(SBC) b) Gọi I trung điểm SC, J điểm mp (ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ //(SAB) Bài Cho tứ diện ABCD Gọi () mặt phẳng thay đổi qua trung điểm I, K cạnh DA DB Các cạnh CA, CB cắt () M, N a) Tứ giác MNKI có tính chất ? Khi tứ giác hình bình hành b) Gọi O giao điểm MI NK Chứng tỏ điểm O nằm đường thẳng cố định c) Gọi d giao tuyến mp() (OAB) CMR Khi () thay đổi đường thẳng d ln nằm mặt phẳng cố định có phương khơng đổi Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I, J trung điểm BB’ A’C’     Điểm K thuộc B’C’ cho KC'  2 KB' Chứng minh A, I, J, K đồng phẳng Bài Cho tứ diện ABCD có góc hai đường thẳng AB CD α Gọi M điểm cạnh AC, đặt AM  x (0 < x < AC) Xét mặt phẳng (P) qua M song song với AB, CD a Xác định vị trí M để diện tích thiết diện tứ diện ABCD cắt (P) đạt giá trị lớn b Chứng minh chu vi thiết diện nêu không phụ thuộc vào x AB  CD Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, mặt bên SAB tam giác vuông A M điểm tùy ý thuộc AD (M khác A D), mặt phẳng (α) qua M song song với SA CD a Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì? b Tính diện tích thiết diện theo a b biết AB  a, SA  b, M trung điểm AD Bài Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang 13 THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 11- HKII-2009-2010 a Chứng minh AD  BC b Gọi M, N điểm thuộc đường thẳng AB BD cho       MA  k.MB , ND  k.NB Tính góc hai đường thẳng MN BC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành SA  SC, SB  SD Gọi O giao điểm AC BD a Chứng minh SO  (ABCD) b Gọi d giao tuyến (SAB) (SCD); d’ giao tuyến (SBC) (SAD) Chứng minh SO  (α), (α) mặt phẳng chứa d d’ Bài Cho hai hình chữ nhật ABCD ABEF không đồng phẳng cho AC  BF Gọi CH FK đường cao ΔBCE ΔADF Chứng minh : a ACH BFK tam giác vuông b BF  AH AC  BK Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B với AB  BC  a, AD  2a Cạnh SA  2a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M điểm cạnh AB với AM  x (0 < x < a); (P) mặt phẳng qua M vng góc với AB a Tìm thiết diện hình chóp cắt (P) Thiết diện hình gì? b Tính diện tích thiết diện theo a x Bài 11 Cho tứ diện ABCD có mặt phẳng (ABC) (ABD) vng góc với đáy (BCD) Vẽ đường cao BE, DF ΔBCD, đường cao DK ΔACD a Chứng minh AB  (BCD) b Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) (DFK) vng góc với mặt phẳng (ACD) Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh SA  (ABCD) SA = a Gọi (α) mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng (SCD) a Xác định (α) b Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì? c Tính diện tích thiết diện theo a Bài 13 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA  OB  OC  a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng a OA BC b AI OC Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O có cạnh AB  a Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy SO  a Tính khoảng cách từ AB đến (SCD) Bài 15 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh đáy a Biết góc tạo thành cạnh bên mặt đáy 600 Hình chiếu H A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’ Tính khoảng cách hai mặt đáy (ABC) (A’B’C’) hết POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang 14 ... Sơn Đề cương ơn tập TỐN 1 1- HKII -2 0 0 9 -2 010 g y  7 x( x2  1)6 h y  x3  x x   x j y  cos3 ( x4  1)  x l y  cot  3x2   2? ??  x x 2x 1 n y  o y  tan  cot 2 x 1 q y  ( x  2) (2x... lim Đề cương ơn tập TỐN 1 1- HKII -2 0 0 9 -2 010 x2  x - 5x  x 1  x 1 e lim x 0 3x c lim x 1 x  3x  3 x 7 ? ?2 x  x e lim x 1 x 1 x ? ?2 h lim x 8 x 1  x 1 x   3x x 1 1 f lim x ? ?2  2x... : 4x4  2x2  x   có nghiệm thuộc khoảng (‒1 ; 1) Bài Chứng minh phương trình bậc lẻ có nghiệm POst by: etoanhoc.blogspot.com Trang THPT Bình Sơn Đề cương ôn tập TOÁN 1 1- HKII -2 0 0 9 -2 010 Bài