Giáo trình Vật trù học: Phần 2 - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Trong khi đó, phương pháp mô phỏng/mô phỏng ngẫu nhiên để giải mô hình hàng chờ được áp dụng cho các bài toán dịch vụ đám đông không giải được bằng công cụ giải tích, nhất là những [r]

(1)

Chương IV

GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MƠ PHỎNG

VÀ MƠ HÌNH HÀNG CHỜ

1 MỤC ĐÍCH VÀ CÁC CƠNG CỤ CỦA MƠ PHỎNG 1.1 Khái niệm mô ngẫu nhiên

Mô (Simulation) ứng dụng rộng rãi kinh tế, kĩ thuật nhiều lĩnh vực khác Theo Từ điển xác Oxford, 1976, "mơ có nghĩa giả cách, , làm vẻ như, hành động như, bắt chước giống với, mang hình thức của, , làm giả điều kiện tình thơng qua mơ hình với mục đích huấn luyện tiện lợi"

Mơ áp dụng nhằm khảo sát hành vi hay vận động hệ thống thông qua quan hệ tương tác thành phần hệ thống để tìm giá trị phù hợp tham số giúp cho hệ thống hoạt động tốt Một cách tổng qt, mơ (hay nói hơn, phương pháp mô phỏng) hàm chứa việc áp dụng mơ hình để tạo số liệu đầu vậy, khơng có nghĩa thử nghiệm hệ thống thực tế cần nghiên cứu hay khảo sát Nếu mơ hình có chứa thành phần hay yếu tố ngẫu nhiên có mơ ngẫu nhiên Mơ ngẫu nhiên coi thí nghiệm thống kê số liệu đầu mô phụ thuộc vào cách thức thực mô cách thức khảo sát quan hệ tương tác thành phần hệ thống Do kết mô ngẫu nhiên kèm với sai số thí nghiệm Tuy nhiên, mơ ngẫu nhiên khác với thí nghiệm thơng thường chỗ tiến hành hồn tồn hệ thống máy tính

Thuật ngữ “phương pháp Monte−Carlo” xuất từ chiến thứ hai tiến hành mơ ngẫu nhiên q trình phát kiến bom nguyên tử Ngày nay, thuật ngữ dùng, ta nói đến phương pháp Monte−Carlo tính tích phân chẳng hạn Tuy nhiên, phần lớn tài liệu chuyên ngành sử dụng thuật ngữ “phương pháp mô ngẫu nhiên”

(2)

Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học http://www.ebook.edu.vn

100

giới rạch ròi Trong chương nghiên cứu mô ngẫu nhiên phương diện số kĩ thuật, công cụ thường sử dụng

1.2 Các công cụ chủ yếu mô

Nguồn ngẫu nhiên (Source of randomness)

Để áp dụng mô ngẫu nhiên trước hết cần phải có nguồn số ngẫu nhiên Các số ngẫu nhiên tạo hàm sinh số ngẫu nhiên

Trong nhiều ngơn ngữ lập trình (như Visual C++ 6.0, hay Builder C++ 5.0, ), ta thấy có cặp hàm dạng SRAND (seed) RANDOM để phát sinh số (được coi là) ngẫu nhiên Hàm SRAND, có tham số seed gọi hạt mầm ngẫu nhiên, đóng vai trò khởi tạo dãy số ngẫu nhiên Còn hàm RANDOM hàm sinh số ngẫu nhiên sau có giá trị khởi tạo

Thơng thường, nguồn coi tồn cách đương nhiên Câu hỏi đặt chúng "đủ tốt" hay chưa? Trong giáo trình khơng sâu vào phân tích vấn đề Một cách khái quát nói rằng, số gọi số ngẫu nhiên tạo xa thực ngẫu nhiên Một cách xác hơn, chúng gọi số giả ngẫu nhiên mà thơi Chất lượng nguồn ngẫu nhiên ảnh hưởng lớn tới kết nghiên cứu sử dụng phương pháp mô ngẫu nhiên

Xét thực chất, số giả ngẫu nhiên số có tính chất tất định (deterministic), chúng có tính chất giống với dãy giá trị thể biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối Ví dụ, xét dãy số: 13, 8, 1, 2, 11, 14, 7, 12, 13, 12, 17, 2, 11, 10, 3, Dãy số trơng ngẫu nhiên, thực chất tuân theo quy tắc (hãy phát quy tắc này) Việc tìm kiếm thuật giải (hay quy tắc tất định) để phát sinh số giả ngẫu nhiên đủ tốt lĩnh vực nghiên cứu chuyên sâu Toán học Tin học Mặc dù thực tế, áp dụng mô ngẫu nhiên, người ta dùng số ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối xác suất U[0, 1) [0, 1), nguồn số ngẫu nhiên loại sở để mô phân phối xác suất khác (xem mục 1.3)

Mơ hình ngẫu nhiên

Hai lí cho việc áp dụng mơ ngẫu nhiên là: − Tổng hợp liệu theo phân loại định

− Đưa dự báo

(3)

tiện dụng (convenientmodel) Cả hai loại sử dụng để trợ giúp công việc nghiên cứu, khảo sát nhằm gia tăng nhận biết tìm kiếm tri thức, dự báo hỗ trợ việc đưa định điều hành hệ thống cách hợp lí

Để ứng dụng mơ hình, ta có lựa chọn sau:

− Tiến hành phân tích mặt tốn học để tìm hiểu hành vi mơ hình Vấn đề nhiều trở nên phức tạp với hệ phi tuyến nhiều biến, cần đặt thêm giả thiết Tuy nhiên giả thiết "chặt chẽ q" tốn học đơi trở nên "đáng nghi ngờ" thực tế

− Thí nghiệm với mơ hình xem xét Đối với mơ hình ngẫu nhiên giá trị phản hồi (số liệu đầu ra) biến thiên Vì vậy, với tham số khác nhau, cần tạo hàng loạt kịch hành vi mơ hình, để từ tìm giá trị phù hợp tham số giúp cho hệ thống hoạt động tốt

− Đôi cần xem xét tới lựa chọn thứ ba, tiếp cận lai (hybrid approach) hai lựa chọn

1.3 Mô số phân phối xác suất

Một số phân phối xác suất thường gặp

Để áp dụng mô ngẫu nhiên cần biết số kiến thức lí thuyết xác suất − thống kê toán học mà nhắc lại sau Biến ngẫu nhiên khái niệm quan trọng lí thuyết xác suất thống kê Một cách giản lược, biến ngẫu nhiên (random variable), gọi đại lượng ngẫu nhiên, hiểu biến nhận giá trị tuỳ thuộc vào kết phép thử (phép đo, quan sát, thí nghiệm) mà khơng thể đốn trước

Biến ngẫu nhiên chia làm hai loại chính: rời rạc liên tục Biến rời rạc nhận giá trị từ tập hợp (có lực lượng) hữu hạn đếm Biến liên tục khái niệm toán học loại biến ngẫu nhiên nhận giá trị dày sát khoảng/đoạn số thực (để trình bày vấn đề đơn giản, nói tới biến ngẫu nhiên nhận giá trị số thực) Trong thực tế, khơng có đại lượng ngẫu nhiên liên tục theo nghĩa tuyệt đối, chẳng qua không nhận biết (một cách cố ý hay không cố ý) khoảng cách giá trị sát mà thơi

Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc minh hoạ qua ví dụ sau: Xét biến X rơi vào ba trạng thái định lượng giá trị 6, 9, 12 với xác suất tương ứng trạng thái 0,3, 0,4 0,3 Chú ý tổng xác suất (100%) phân phối vào giá trị biến ngẫu nhiên X lấy trình bày bảng sau đây, gọi bảng phân phối xác suất

Các giá trị X: xi 12

(4)

102

Cần ý rằng: i i

p =

∑ = 0,3 + 0,4 +0,3 =

Một số phân phối xác suất thường dùng biến ngẫu nhiên liên tục rời rạc liệt kê

Phân phối trong [0,1):X nhận giá trị thuộc nửa khoảng [0,1) với khả “như nhau” Hàm mật độ xác suất f(x) biển diễn hình IV.1

f(x)

Hình IV.1 Đồ thị hàm mật độ phân phối đều

Phân phối Pốt−xơng:Với hệ thống hàng chờ kênh (xem mục 3), số lượng X tín hiệu đến khoảng thời gian biến ngẫu nhiên, X nhận giá trị nguyên không âm 0, 1, , k,

Giả sử số tín hiệu đến trung bình khoảng thời gian biết (kí hiệu số λ) với số điều kiện định coi X tuân theo luật phân phối xác suất Pốt−xơng (Poisson) sau:

Các giá trị X: xi 0 k +∞

Xác suất pi

tương ứng P(X = 0) P(X = 0) P(X = k) =

ke k!

−λ

λ

Dễ thấy:

0 k

i i

p e e e

0! 1! 2! k!

+∞

−λ −λ λ

=

⎡λ λ λ λ ⎤

= ⎢ + + + + + ⎥= × =

⎦ ⎣

∑

(5)

Phân phối mũ: Trên ta xét phân phối Pốt−xơng số tín hiệu đến đơn vị thời gian Một kiểu biến ngẫu nhiên thường xét khoảng thời gian hai tín hiệu liên tiếp tuân theo phân phối mũ Đây biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị không âm với hàm mật độ xác suất làf ( )τ = λe −λτ Kí hiệu biến ngẫu nhiên xét τthì xác suất P(τ ≤ t) =

t

e d−λτ

λ τ

∫ hiểu xác suất cộng dồn t Do hàm phân phối xác suất τlà: F(t) =

t t

0

f ( )dτ τ = λe d−λτ τ = −e−λτ

∫ ∫ t

0 = − e−λt

Phân phối chuẩn tắc N(0, 1):Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N(0,1) Lúc có kì vọng m = độ lệch chuẩn σ = Hàm phân phối xác suất X có dạng:

F(x) = P (X≤ x) = x f (x)dx −∞∫

= x

2 (1/ ) exp( x / 2)dx −∞

π −

∫

Cho X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn N(m, σ2)có kì vọng m, độ

lệch chuẩn σ Lúc đó, thực phép đổi biến Z = X m−

σ Z biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn tắc N(0,1)

Mô phân phối xác suất

Ví dụ 1: Mơ phân phối [0, 1)

Cách 1: Dùng bảng số ngẫu nhiên (xem phụ lục 2A 2B) Đây bảng số ghi lại số (giả) ngẫu nhiên phát sinh nhờ hàm sinh số ngẫu nhiên máy tính Chẳng hạn, sử dụng phụ lục 2B nhận dãy số ngẫu nhiên: 0,10; 0,09; 0,73; 0,25

Cách 2: Sử dụng hàm sinh số ngẫu nhiên (Random number generator) cài đặt máy tính

Dù dùng bảng số ngẫu nhiên hay sử dụng hàm sinh số ngẫu nhiên máy tính, ta lấy tính liên tiếp số ngẫu nhiên xi [0, 1) với i = 1, 2, , n Tần số giá trị rơi vào k khoảng nhỏ với độ dài 1/k chia từ [0, 1) gần (≈ n/k) Với n lớn tần số sát gần n/k Vì ta coi giá trị phát sinh thể biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối [0, 1)

Trong trường hợp cần mô biến Y phân phối [a, b), ta việc tính yi

= a + (b − a)xi Chú ý để phát sinh số ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên 0, 1, 2, ,

N, cần áp dụng công thức yi = [(N + 1)xi], vế phải phần nguyên (N +

1)xi Một số bảng số ngẫu nhiên nguyên hay hàm sinh số ngẫu nhiên nguyên cài đặt sẵn

(6)

104

Ví dụ 2: Mơ phân phối rời rạc với luật phân phối xác suất sau

Các giá trị X: xi 12

Xác suất pi 0,3 0,4 0,3

Muốn mô phân phối trên, trước hết cần tạo dãy chữ số ngẫu nhiên cách tra bảng số ngẫu nhiên hay dùng hàm sinh số ngẫu nhiên cài đặt máy tính Chẳng hạn ta chọn dãy sau 1009732533 7652013586 3467354876 lấy từ hàng đầu bảng số ngẫu nhiên phụ lục 2B Ta quy định chữ số 0, 1, xuất coi X = 6, 3, 4, 5, xuất coi X = 9, cịn có 7, 8, xuất coi X = 12 Lúc ứng với 10 chữ số dãy a1a2 a10 = 1009732533 ta có bảng sau cho biết giá trị X lấy:

ai 0 3

Các giá trị X: xi 6 12 12 9 9

Như vậy, có 10 giá trị (thể hiện) X tạo Tương tự, tạo thể khác X Do tần suất (hay xác suất thực nghiệm) chữ số ngẫu nhiên từ tới bảng số ngẫu nhiên khoảng 10% nên tần suất (xác suất thực nghiệm) X nhận giá trị 6, 12 theo thứ tự 30%, 40% 30% Do coi P(X = 6) = 30%, P(X = 9) = 40%, P(X = 12) = 30%

Vậy muốn mô phân phối X phải phát sinh loạt giá trị (các thể hiện) xi của biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật phân phối cho

Ví dụ 3: Mô phân phối mũ

Giả sử biến ngẫu nhiên τtuân theophân phối mũ với hàm phân phối xác suất F(t) = P(τ ≤ t) = 1 e− −λt, với λ tham số cho phân phối mũ F(t) xác suất để

τ nhận giá trị không lớn số t cho trước

Nếu r biến ngẫu nhiên có phân phối [0, 1) P(r ≥ e−λt ) = − e−λt =

P(τ ≤ t) (xem hình III.1) Do đó, P(lnr ≥ − λt) = P(−1

λlnr ≤ t) = P(τ ≤ t) Vậy để phát sinh giá trị ngẫu nhiên τ τ trước hết cần phát sinh giá trị ngẫu nhiên r r tính τ = −1

(7)

2 ÁP DỤNG MÔ PHỎNG NGẪU NHIÊN 2.1 Vai trị phương pháp mơ

Nhiều toán thực tế chứa yếu tố ngẫu nhiên, bất ổn định không giải phương pháp giải tích Nếu áp dụng phương pháp giải tích nhiều trường hợp buộc phải công nhận giả thiết chặt chẽ khơng thoả mãn thực tế lời giải tìm có giá trị thực tiễn Phương pháp mô dùng rộng rãi để giải tốn loại đó, toán liên quan đến hệ thống lớn, bất ổn định, hàm chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên

Chúng ta cần áp dụng phương pháp mơ tình sau đây: − Khi khơng tìm mơ hình giải tích thích hợp

− Các hoạt động hệ thống thường bị ngắt quãng, đứt đoạn không theo quy luật

− Mô phương pháp cho chi phí tiết kiệm tốn thời gian Tuy nhiên phương pháp mơ có số điểm hạn chế sau:

− Khơng đưa lời giải xác − Khó xác định sai số

− Mô sử dụng mơi trường có tính bất ổn định

− Mô tạo phương án đánh giá khơng đưa kĩ thuật tìm lời giải tối ưu

− Mô đắt tiền

2.2 Các bước cần tiến hành áp dụng mô

− Xác định vấn đề hay hệ thống cần mô − Xác định mơ hình mơ

− Đo thu thập số liệu cần thiết cho mơ hình − Chạy mơ

− Phân tích kết mơ phỏng, cần phải sửa lại phương án đánh giá qua chạy mô

− Chạy mô để kiểm chứng phương án

− Kiểm tra tính đắn kết luận hệ thống thực tế rút sau chạy mô

(8)

106

2.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp mơ

Ví dụ 1: Cần lựa chọn hai chiến lược để phát triển sản phẩm, với số liệu thu thập cho ba bảng IV.1, IV.2 IV.3

Bảng IV.1 Xác suất thời gian phát triển sản phẩm Xác suất

Thời gian phát triển sản

phẩm Chiến lược I Chiến lược II

9 12

0,2 0,3 0,5

0,4 0,4 0,2 Bảng IV.2 Chi phí lợi nhuận

Chi phí/giá bán Chiến lược I Chiến lược II Chi phí cốđịnh

Chi phí biến thiên/đơn vị

Giá bán/đơn vị sản phẩm

600.000 7,5

10

1.500.000 6,75

10 Bảng IV.3 Doanh số phụ thuộc thời gian phát triển sản phẩm

Xác suất Doanh số

6 tháng tháng 12 tháng 1.000.000

1.500.000

0,2 0,8

0,4 0,6

0,5 0,5

Vấn đề đặt áp dụng phương pháp mơ để tính lợi nhuận trung bình chiến lược, sau kiểm tra kết (so sánh với kết lí thuyết)

Như có năm phân phối xác suất cần mô ứng với năm biến ngẫu nhiên: X1 − thời gian phát triển sản phẩm (theo chiến lược) I, X2 − thời gian phát triển sản

phẩm II, X3 − doanh số cho thời gian tháng, X4 − doanh số cho thời gian tháng

X5 − doanh số cho thời gian 12 tháng Trong ví dụ này, để trình bày đơn giản vấn đề

mô phân phối xác suất biến trên, ta dùng mười số ngẫu nhiên, số gồm mười chữ số ngẫu nhiên rút từ bảng số ngẫu nhiên − phụ lục 2A (vì chữ số 0, 1, 2, , số chiếm khoảng 10%)

(9)

8 7 8 5 8 9 1 5 7 Ta quy định a1 ứng với X1, a2 ứng với X2, a6 ứng với X3, a8 ứng với X4 a10 ứng

với X5 Ngoài quy định:

a1 =

0

, , , , , , , ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢

a2 =

0 , , , , , , , ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ a6 = ⎢ ⎣ ⎡ , , , ,

a8 = ⎢ ⎣ ⎡ , , , , , ,

a10 =⎢ ⎣ ⎡ , , , , , , ,

Cần nhắc lại số công thức lĩnh vực quản trị kinh doanh sau: + Lợi nhuận = (Doanh số − Điểm hồ vốn) × (Lợi nhuận/đơn vị sản phẩm) + Điểm hồ vốn = (Chi phí cố định)/(Lợi nhuận/đơn vị sản phẩm)

+ Lợi nhuận/đơn vị sản phẩm = (Giá bán/đơn vị sản phẩm) - (chi phí/đơn vị sản phẩm) Các tính tốn mơ tổng hợp bảng IV4

Bảng IV.4 Kết tính tốn mơ

Số ngẫu nhiên Thời gian Doanh số Lợi nhuận

a1 a2 a6 a8 a10 I II I II I II

1 2 6 1,5.106 106 3,15.106 1,75.106 7 9 1,5.106 1,5.106 3,15.106 3,38.106

thì X1 = tháng (thời gian phát triển sản phẩm I)

thì X1 = tháng

thì X1 = 12 tháng

thì X2 = tháng (thời gian phát triển sản phẩm II)

thì X2 = tháng

thì X2 = 12 tháng

thì X3 = 106 (doanh số tháng phát triển sản phẩm)

thì X3 = 1,5.106

thì X4 = 106 (doanh số tháng phát triển sản phẩm)

thì X4 = 1,5.106

thì X5 = 106 (doanh số 12 tháng phát triển sản phẩm)

(10)

108

8 12 106 1,5.106 1,9.106 3,38.106 8 12 1,5.106 1,5.106 3,15.106 3,38.106 7 8 9 1,5.106 1,5.106 3,15.106 3,38.106 5 12 106 106 1,9.106 1,75.106 8 12 1,5.106 1,5.106 3,15.106 3,38.106 1 12 106 1,5.106 1,9.106 3,38.106 5 7 12 1,5.106 106 3,15.106 1,75.106 12 106 1,5.106 1,9.106 3,38.106

Điểm hoà vốn chiến lược I =600 000

10 240 000

,

− =

Điểm hoà vốn chiến lược II = 1.500.000 461.538

10−6, 75 =

Bảng IV.5 So sánh lợi nhuận chiến lược I II Chiến lược I Chiến lược II Tổng lợi nhuận

26,5 × 106 28,91×106 Lợi nhuận trung bình

(Σ lợi nhuận/10) 2,65 × 10

6 2,891×106

Cần ý bảng IV.5 kết tính tốn chạy mơ 10 lượt ứng với 10 số chọn Nếu ta lấy nhiều số ngẫu nhiên độ xác đạt cao Vì vậy, việc tính tốn lập trình chạy máy tính với hàng trăm, hàng ngàn lượt độ xác cao

Qua phân tích ta thấy, để tiến hành mơ cần phải có: − Cơ sở liệu (DataBase)

− Cơ sở tri thức (KnowledgeBase)

Kiểm tra kết mô phỏng cách so sánh với kết lí thuyết thực sau:

Doanh số chiến lược I = 0,2×(0,2×106 + 0,8×1,5×106) + 0,3×(0,4×106 +

0,6×1,5×106) + 0,5×(0,5×106 + 0,5×1,5×106) = 1,295×106 Lợi nhuận trung bình chiến

lược I = (1,295 - 0,24)×2,5×106 = 2,637×106 Kết tính tốn mơ 2,65×106

rất sát với kết

(11)

Ví dụ 2: Tìm xác suất p để bao lồi điểm lấy vịng trịn đơn vị hình tam giác (bài tốn Sylvester).

Có lẽ cách đơn giản để giải tốn áp dụng mơ ngẫu nhiên theo bước sau đây:

i) Gán cho biến đếm Counter giá trị ban đầu

ii) Tiến hành đợt gieo ngẫu nhiên tám số thực ≤ ri ≤ ≤ ϕi ≤ 2π (để gieo

ϕi ta lấy số ngẫu nhiên thuộc [0, 1) gieo nhân thêm với 2π), i = 1, 2, 3, Đặt xi =

risinϕi, yi = ricosϕi, ta có điểm nằm hình trịn đơn vị Đặt A = (x1, y1), B =

(x2, y2), C = (x3, y3), D = (x4, y4)

iii) Ta tính diện tích tam giác ABC, ABD, ACD BCD Nếu ta có diện tích tam giác tổng diện tích ba tam giác cịn lại ta bao lồi bốn điểm A, B, C D tam giác Ta tăng giá trị biến đếm Counter lên thêm 1, trái lại biến đếm giữ nguyên giá trị cũ quay bước ii)

Quá trình tiếp diễn số đợt gieo đạt tới giá trị lớn chọn từ trước (chẳng hạn 10.000 đợt 20.000 đợt, 100.000 đợt) Mỗi lần biến đếm Counter có giá trị kết thúc khác Lấy tỉ số số số đợt, ta có tần suất xuất kiện "bao lồi điểm tam giác" Số tần suất theo luật số lớn giá trị gần xác suất cần tính

Theo tài liệu chuyên khảo, lời giải toán là: p = 35/(12π2) ≈

0,29552 Rõ ràng, trường hợp này, ta nên áp dụng mô ngẫu nhiên để tính tần suất (việc dễ thực hiện), thay cho việc tính xác suất theo lí thuyết (việc khó thực hiện)

Sau văn chương trình máy tính với ngơn ngữ lập trình C giải toán Sylvester

#include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #include <conio.h>

#define PI 3.14159265358979 const double esp =4.5e−12; struct diem {double x,y;};

(12)

Trường Đại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học http://www.ebook.edu.vn

110

double radm()

{return rand()%100+0.1*rd()+0.001*rd()+0.0001*rd();} /* Chuong trinh chinh */

void main() {

clrscr(); long int count = 0, reps; diem d[4]; double r, goc; printf("\n Provide number of repetitions:");

scanf("%ld",&reps); printf("\n reps= %ld",reps); srand(19587); /* Gieo ngau nhien diem va tinh dien tich bon tam giac */ for(long int i=0;i<reps;i++)

{ for (int j=0;j<4;j++)

{ r=radm(); goc=radm()/100; d[j].x=r*cos(goc); d[j].y=r*sin(goc); }

double d12=sqrt(pow(d[0].x−d[1].x,2)+pow(d[0].y−d[1].y,2)); double d13=sqrt(pow(d[0].x−d[2].x,2)+pow(d[0].y−d[2].y,2)); double d14=sqrt(pow(d[0].x−d[3].x,2)+pow(d[0].y−d[3].y,2)); double d23=sqrt(pow(d[1].x−d[2].x,2)+pow(d[1].y−d[2].y,2)); double d24=sqrt(pow(d[1].x−d[3].x,2)+pow(d[1].y−d[3].y,2)); double d34=sqrt(pow(d[2].x−d[3].x,2)+pow(d[2].y−d[3].y,2)); double p123=(d12+d23+d13)/2;

double p124=(d12+d24+d14)/2; double p134=(d13+d34+d14)/2; double p234=(d23+d24+d34)/2;

double s123=p123*(p123−d12)*(p123−d13)*(p123−d23); double s124=p124*(p124−d12)*(p124−d14)*(p124−d24); double s134=p134*(p134−d13)*(p134−d14)*(p134−d34); double s234=p234*(p234−d23)*(p234−d24)*(p234−d34); /* Cac truong hop bao loi cua diem la tam giac */

(13)

s123=sqrt(s123);s124=sqrt(s124); s134=sqrt(s134);s234=sqrt(s234); if(fabs(s123−(s124+s134+s234))<esp) count++;

else if(fabs(s124−(s123+s134+s234))<esp) count++;

}

else count++; }

printf("\n Number of repetitions = %ld",reps); printf("\n Number of successes = %ld",count);

printf("\n Probability to compute= %0.9f", count*1.0/reps); getch();

}

Các kết chạy chương trình bốn lần sau:

esp = 4.5e−12 số lần lặp 10000 số lần thành công 3050

xác suất: 0.30500

xác suất: 0.294965

Ví dụ 3: Giảibài tốn tối ưu tồn cục sau (xem lại mục 4.2 chương I toán tối ưu toàn cục phi tuyến)

2

1 1 2

f (x) 4x= −2,1x +x / x x+ −4x +4x → Min với điều kiện ràng buộc (miền ràng buộc D):

1 2,5 x 2,5 1,5 x 1,5

− ≤ ≤

⎧

⎨− ≤ ≤ ⎩

(14)

112

Ta tìm phương án tối ưu tồn cục phương pháp mơ luyện SA (Simulated Annealing) Phương pháp (SA) mô trình vật thể rắn sau bị nung nóng nhiệt độ cao để nguội từ từ nhiệt độ thấp Lúc hàm lượng vật thể đạt mức thấp Thuật giải SA áp dụng mô ngẫu nhiên (bằng lí thuyết xích Markov, trình bày chương IV, chứng minh q trình SA hội tụ theo xác suất lời giải tối ưu toàn cục) sau:

Bước khởi tạo

Ta xuất phát từ phương án X ban đầu thoả điều kiện ràng buộc Lấy nhiệt độ T = Tban đầu cao (Tban đầu =10000, chẳng hạn)

Các bước lặp

Tại mức nhiệt độ T thực bước sau: i) Chọn X’ ∈ D thuộc lân cận đủ nhỏ X

ii) Xét Δf = f(X’) - f(X) Nếu Δf < đặt X:= X’ Nếu trái lại Δf > chấp nhận X:= X’ với xác suất p exp(= −Δf /(Kb×T)), Kb số Boltzmann

(Kb = 1,38.1023), T nhiệt độ thời trình nguội

Quy trình i) ii) lặp lại số lần L đủ lớn (chẳng hạn L = 200, 300, )

Sau tính mức nhiệt độ theo cơng thức T: = αT (α ≈ 1, chẳng hạn α = 0,95 hay 0,99…) Thuật toán dừng T≤ Tcuối (Tcuối giá trị chọn trước ≈ 0)

Sau văn chương trình annealing.cpp:

/* Su dung ky thuat simulated annealing − mo phong toi luyen giai bai toan toi uu toan cuc co rang buoc */

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <conio.h> #include <math.h>

/* Tinh gia tri ham so can cuc tieu hoa */ float f(float x,float y)

{

(15)

return fg; }

/* Kiem tra cac dieu kien rang buoc */ int constraint(float x,float y)

{ float fg; fg = x + 2.5;

if (fg<0) goto ZERO; fg = 2.5 − x;

if (fg<0) goto ZERO; fg = y + 1.5;

if (fg<0) goto ZERO; fg = 1.5 − y;

if (fg<0) goto ZERO; return 1;

ZERO: return 0; }

/* Thu tuc tim diem thay the mo phong qua trinh annealing */

void sa(float x0,float y0,int k,float T,float Tlast,float alfa,float delta) {

float x1,y1,deltaf,u,p,ux,uy; int l=1; srand(27556);

printf("\n starting value of the function=%f",f(x0,y0)); getch(); printf("\n obtained at x=%f,y=%f",x0,y0);getch();

do { {

ux=float(random(10000))/10000−0.5; x1=x0−delta*ux;

uy=float(random(10000))/10000−0.5; y1=y0−delta*uy;

(16)

114

{ deltaf=f(x1,y1)−f(x0,y0);

if(deltaf<=0) {x0=x1;y0=y1;}

else

{ u=float(random(10000))/10000; p=exp(−deltaf/T);

if(u<=p) {x0=x1;y0=y1;}

}

} l=l+1;

}while(l<=k); T=T*alfa; }while(T>Tlast);

printf("\n Optimal value fMin=%f",f(x0,y0)); getch(); printf("\n obtained at x=%f,y=%f",x0,y0);getch(); }

/* Chuong trinh chinh tim diem toi uu */ void main()

{ clrscr();

float x0,y0,T,Tlast,k,alfa,delta;

printf("\n Within the range −2.5 to 2.5 provide value x0="); scanf("%f",&x0);

printf("\n Within the range −1.5 to 1.5 provide value y0="); scanf("%f",&y0);

printf("\n Specify number of iterations at each T level="); scanf("%d",&k);

printf("\n Specify a very high value for Tstart="); scanf("%f",&T);

printf("\n Specify a very low value for Tlast="); scanf("%f",&Tlast);

(17)

printf("\n Specify neighbourhood radius delta="); scanf("%f",&delta);

sa(x0,y0,k,T,Tlast,alfa,delta); getch();

}

Kết chạy chương trình máy tính với thuật giải SA là:

Hạt mầm (Seed)

Phương án ban đầu

Phương án tối ưu

Giá trị

fMin

27556 19587

(0, 0) (0.1, 0.1)

(−0.0898613, 0.7124848) (0.0898837, −0.7125957)

−1.0316283

−1.0316284

(với alfa = 0.997, delta = 0.01, Tban đầu = 10000, L = 500, Tcuối = 0.0001)

3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MÔ HÌNH HÀNG CHỜ

3.1 Một số yếu tố hệ thống hàng chờ

Như biết, nhiều hoạt động sản xuất kinh doanh đời sống áp dụng hệ dịch vụ đám đông hay hệ phục vụ công cộng Chúng có tên gọi chung hệ thống hàng chờ (Waiting Line System) Chẳng hạn xí nghiệp sửa chữa máy móc, cửa hàng, bến xe, bến cảng, trạm tổng đài, hệ thống điện tử viễn thông, dịch vụ Internet, ví dụ hệ thống hàng chờ

Mơ hình hàng chờ

Trong hệ thống hàng chờ thường xuyên diễn hai trình: trình nảy sinh yêu cầu (một u cầu cịn coi tín hiệu cần phục vụ) trình phục vụ yêu cầu Song trình phục vụ hệ thống, nhiều nguyên nhân khác nhau, thường xảy tình trạng sau: Trong nhiều trường hợp, trình phục vụ khơng đáp ứng u cầu dẫn đến kết nhiều yêu cầu phải chờ để phục vụ Ngược lại, số tình khác, khả phục vụ hệ thống vượt số yêu cầu cần phục vụ, với kết hệ thống không sử dụng hết phương tiện phục vụ Vì tốn đặt là:

- Phân tích chất q trình diễn hệ thống hàng chờ thiết lập mối liên hệ lượng đặc trưng q trình Điều có nghĩa cần thiết lập hay lựa chọn mơ hình hàng chờ (Waiting Line Model) phản ánh chất hệ thống

(18)

116

các tham số điều khiển/thiết kế hệ thống để thiết kế hay điều khiển hoạt động hệ thống hoạt động cách có hiệu

Các phương pháp giải tốn mơ hình hàng chờ

Để tìm lời giải cho mơ hình hàng chờ người ta thường sử dụng hai phương pháp: phương pháp giải tích phương pháp mơ máy tính Phương pháp giải tích để giải mơ hình hàng chờ gồm bước sau:

Bước 1: Phân tích hệ thống, chủ yếu phân tích chất dịng u cầu/tín hiệu đến trạng thái hệ thống

Bước 2: Thiết lập hệ phương trình trạng thái cho xác suất trạng thái (xác suất để hệ thống trạng thái thời điểm t)

Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm xác suất trạng thái Từ thiết lập mối quan hệ tiêu cần phân tích

Bước 4: Tính tốn, phân tích tiêu, sở đưa nhận xét định

Phương pháp giải tích thường sử dụng giả thiết chặt chẽ Toán học đặc trưng hệ thống, có số hạn chế định giải tốn thực tế

Trong đó, phương pháp mơ phỏng/mơ ngẫu nhiên để giải mơ hình hàng chờ áp dụng cho toán dịch vụ đám đơng khơng giải cơng cụ giải tích, toán liên quan đến hệ thống lớn, bất ổn định, hàm chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên, không tuân theo giả thiết chặt chẽ Tốn học Trong nhiều trường hợp phương pháp mơ cho ta tiết kiệm thời gian chi phí nghiên cứu Tuy phương pháp mơ tạo phương án đủ tốt để đánh giá hoạt động hệ thống không đưa kĩ thuật tìm lời giải tốt nhất, tỏ thành cơng giải nhiều tốn hàng chờ nảy sinh từ thực tiễn Các bước cần tiến hành áp dụng phương pháp mô bao gồm:

Bước 1: Xác định toán hay hệ thống hàng chờ cần mơ mơ hình mơ

Bước 2: Đo thu thập số liệu cần thiết cần thiết để khảo sát thống kê số đặc trưng/các yếu tố mơ hình

Bước 3: Chạy mơ kiểm chứng (test simulation) mơ hình so sánh kết kiểm chứng với kết biết thực tế Phân tích kết chạy mơ kiểm chứng, cần phải sửa lại phương án đánh giá qua chạy mơ

(19)

Từ phân tích thấy Lí thuyết hàng chờ (Waiting Line Theory) cịn gọi Lí thuyết hệ phục vụ cơng cộng hay Lí thuyết hệ dịch vụ đám đơng lĩnh vực quan trọng Tốn ứng dụng/Vận trù học Nhiều toán thực tế lĩnh vực hệ thống dịch vụ, kĩ thuật, giải thành công nhờ áp dụng phương pháp mơ mơ hình hàng chờ

Các yếu tố hệ thống hàng chờ

Hệ thống hàng chờ tổng quát minh hoạ hình IV.2

Các yếu tố hệ thống hàng chờ bao gồm: Bố trí vật lí hệ thống

Hệ thống hàng chờ có số dạng bố trí vật lí (phisical layout) như minh hoạ hình IV.3 Trên hình IV.3, kênh phục vụ hiểu thiết bị kĩ thuật người tổ hợp thiết bị kĩ thuật người tổ chức quản lí cách thích hợp nhằm phục vụ yêu cầu/các tín hiệu đến hệ thống Chẳng hạn, trạm điện thoại tự động, kênh phục vụ đường dây liên lạc thiết bị kĩ thuật khác phục vụ cho việc đàm thoại

Single Channel - Single Server (Một kênh phục vụ, loại dịch vụ)

Single Channel - Multi Server (Một kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ)

Multi Channel - Single Server (Nhiều kênh phục vụ, loại dịch vụ)

Dịch vụ Dịch vụ Dịch vụ

KÊNH PHỤC VỤ

Input dịng tín hiệu đến

Output dịng tín hiệu hàng chờ

(20)

118

Multi Channel - Multi Server (Nhiều kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ)

Nguyên tắc phục vụ

Nguyên tắc phục vụ (hay nội quy) hệ thống cách thức nhận yêu cầu vào kênh phục vụ Nguyên tắc phục vụ cho biết trường hợp yêu cầu nhận vào phục vụ cách thức phân bố yêu cầu vào kênh Đồng thời nguyên tắc phục vụ cho biết trường hợp yêu cầu bị từ chối phải chờ giới hạn thời gian chờ

Một số nguyên tắc phục vụ thường áp dụng hệ thống hàng chờ FCFS (First come first served), LCFS (Last come first served), SIRO (service in random order), có ưu tiên, không ưu tiên,

Các phân phối xác suất dịng tín hiệu, dịng phục vụ

Số tín hiệu đến khoảng thời gian thời gian phục vụ tín hiệu nói chung biến ngẫu nhiên đó, chúng tuân theo quy luật phân phối xác suất Các quy luật phân phối xác suất thiết lập số liệu thực nghiệm thu thập từ quan sát, thí nghiệm, hay từ sở liệu sẵn có

Đối với dịng tín hiệu đầu vào, thơng thường giả sử số tín hiệu đến vịng khoảng thời gian ấn định trước (1 phút, phút, phút, 30 phút, ) tn theo luật phân phối Pốt−xơng P(λ) Ở đây, tham số λ đặc trưng cho số tín hiệu đến (trung bình) khoảng thời gian Ví dụ, số khách vào siêu thị (trung bình) 100 người Có nghĩa là, số khách vào siêu thị biến ngẫu nhiên X có phân phối Pốt−xơng với λ = 100 Hoặc, với số gọi (trung bình) đến tổng đài vịng phút (tín hiệu) có X ∼ P(3)

Một cách xác hơn, trường hợp trên, ta có dịng tín hiệu đến dịng Pốt-xơng dừng (cịn gọi dịng tối giản) với tính chất sau:

− Tính khơng hậu quả: Một dịng tín hiệu có tính khơng hậu xác suất xuất số tín hiệu khoảng thời gian định không phụ thuộc vào

Dịch vụ

Hình IV.3 Các dạng hệ thống hàng chờ

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	456,27 KB