Giáo trình vật trù học phần 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI PGS TS NGUYỄN HẢI THANH VẬN TRÙ HỌC Giáo trình cho ngành Tin học Công nghệ thông tin Hà Nội − 2008 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I MỞ ĐẦU Giới thiệu Vận trù học / Khoa học quản lí 1.1 Vai trò Vận trù học 1.2 Các bước áp dụng Vận trù học 10 1.3 Quá trình phát triển Vận trù học 11 Các ứng dụng phương pháp định lượng Vận trù học 12 2.1 Một số ứng dụng 12 2.2 Các phương pháp định lượng 14 2.3 Hệ thông tin quản lí CHƯƠNG II MỘT SỐ MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 14 16 Mô hình quy hoạch tuyến tính 16 1.1 Phát biểu mô hình quy hoạch tuyến tính 16 1.2 Phương pháp đơn hình giải BTQHTT dạng tắc 19 1.3 Phương pháp đơn hình hai pha giải BTQHTT dạng tổng quát 23 1.4 Phương pháp cắt Gomory giải BTQHTT nguyên 29 1.5 Một số ứng dụng phương pháp đơn hình 33 35 Mô hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 2.1 Các khái niệm 35 2.2 Phương pháp tổng quát giải BTQHTT đa mục tiêu 37 2.3 Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT đa mục tiêu 39 2.4 Một ứng dụng mô hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 44 45 Mô hình tối ưu phi tuyến đơn đa mục tiêu 3.1 Một số khái niệm 45 3.2 Một số phương pháp giải toán tối ưu phi tuyến đơn mục tiêu ứng dụng 47 3.3 Một số phương pháp giải toán tối ưu phi tuyến đa mục tiêu ứng dụng 51 Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học http://www.ebook.edu.vn BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III CÁC MÔ HÌNH MẠNG 54 57 Mô hình mạng vận tải 57 1.1 Phát biểu toán vận tải 57 1.2 Tạo phương án vận tải xuất phát 58 1.3 Phương pháp phân phối giải toán vận tải 60 1.4 Phương pháp phân phối cải biên giải toán vận tải 62 Mô hình mạng PERT 66 2.1 Các khái niệm PERT 66 2.2 Sơ đồ PERT với số liệu ngẫu nhiên 71 2.3 Điều chỉnh dự án kế hoạch số hoạt động bị phá vỡ 73 2.4 Tính thời gian rút gọn tối ưu phương pháp đơn hình 74 2.5 Áp dụng mạng PERT phân tích chi phí quản lí tài dự án 75 Một số mô hình mạng khác 77 3.1 Bài toán khung tối thiểu 77 3.2 Bài toán tìm đường ngắn quy hoạch động 79 3.3 Mô hình mạng trung chuyển hàng 86 3.4 Bài toán tìm luồng cực đại 88 BÀI TẬP CHƯƠNG III 90 CHƯƠNG IV GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MÔ PHỎNG VÀ MÔ HÌNH HÀNG CHỜ 96 Mục đích công cụ mô 96 1.1 Khái niệm mô ngẫu nhiên 96 1.2 Các công cụ chủ yếu mô 97 1.3 Mô số phân phối xác suất 98 Áp dụng mô ngẫu nhiên 101 2.1 Vai trò phương pháp mô 101 2.2 Các bước cần tiến hành áp dụng mô 102 2.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp mô 102 Một số vấn đề mô hình hàng chờ 3.1 Một số yếu tố hệ thống hàng chờ 112 112 3.2 Các số cần khảo sát 115 3.3 Tính toán số 116 3.4 Áp dụng mô cho số hệ thống hàng chờ 118 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 127 CHƯƠNG V PHÂN TÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG 131 Các khái niệm xích Markov 131 1.1 Một số định nghĩa 131 1.2 Ma trận xác suất chuyển trạng thái phân phối dừng 132 1.3 Các tính chất định lí 137 138 Một số ứng dụng phân tích Markov 2.1 Tìm cân thị phần 138 2.2 Chính sách thay vật tư thiết bị 138 2.3 Phân tích Markov dự báo thất thu cho hợp đồng thực trước 140 2.4 Tìm phân phối giới hạn cho hệ thống kĩ thuật 142 2.5 Một ứng dụng trình sinh−tử cho hệ thống hàngchờ 147 149 Mô xích Markov 3.1 Mô xích Markov thời gian rời rạc 149 3.2 Mô xích Markov thời gian liên tục 151 BÀI TẬP CHƯƠNG V 152 CHƯƠNG VI MỘT SỐ MÔ HÌNH RA QUYẾT ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 158 Ra định môi trường bất định 158 1.1 Một số khái niệm 158 1.2 Ra định môi trường bất định nghiêm ngặt 160 1.3 Ra định môi trường rủi ro 163 167 Phân tích định Bayes 2.1 Phân tích định Bayes dựa xác suất tiên nghiệm 167 2.2 Phân tích định Bayes dựa xác suất hậu nghiệm 167 Cây định toán định nhiều giai đoạn 169 3.1 Bài toán định nhiều giai đoạn 169 3.2 Phân tích Bayes sử dụng định 171 Ra định dựa tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối đa 174 Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học http://www.ebook.edu.vn 4.1 Khái niệm hàm thỏa dụng 174 4.2 Tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối đa 175 Lí thuyết trò chơi ứng dụng 179 5.1 Một số khái niệm lí thuyết trò chơi 179 5.2 Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược 181 5.3 Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược hỗn hợp 182 5.4 Lời giải đồ thị cho trò chơi cỡ 2×N M×2 186 5.5 Giới thiệu trò chơi nhiều người 188 BÀI TẬP CHƯƠNG VI 190 CHƯƠNG VII CÁC MÔ HÌNH QUẢN LÍ HÀNG DỰ TRỮ 193 Các khái niệm 193 1.1 Các chức việc dự trữ hàng 193 1.2 Hệ thống quản lí hàng dự trữ theo phân loại giá trị ABC 193 1.3 Mô hình quản lí hàng dự trữ tổng quát 194 Một số mô hình tất định quản lí hàng dự trữ 196 2.1 Mô hình tĩnh Wilson với mặt hàng 196 2.2 Mô hình tĩnh mặt hàng với dự trữ đệm 199 2.3 Mô hình tĩnh mặt hàng với giá chiết khấu 200 2.4 Mô hình tĩnh nhiều mặt hàng với diện tích kho hạn chế 202 2.5 Mô hình động mặt hàng N chu kì 204 Mô hình lập kế hoạch sản xuất N chu kì 207 3.1 Mô hình lập kế hoạch không cho phép nợ hàng 208 3.2 Mô hình lập kế hoạch cho phép nợ hàng 209 Một số mô hình xác suất quản lí hàng dự trữ 210 4.1 Mô hình xác suất với chế độ báo cáo theo dõi thường xuyên 210 4.2 Mô hình xác suất chu kì 213 4.3 Mô hình xác suất nhiều chu kì 218 BÀI TẬP CHƯƠNG VII 224 PHẦN PHỤ LỤC 229 TÀI LIỆU THAM KHẢO 234 LỜI NÓI ĐẦU Vận trù học (Operations Research) xem công cụ định lượng tảng Khoa học quản lí mà phương pháp kĩ thuật Toán học công cụ tính toán, lưu trữ xử lí liệu Tin học áp dụng để mô hình hóa, phân tích tìm lời giải cho toán định, nhằm hỗ trợ máy quản lí đưa định hợp lí Trên giới việc nghiên cứu ứng dụng Vận trù học ngày phát triển sâu rộng với nhiều tạp chí chuyên ngành tiếng, môn Vận trù học giảng dạy với thời lượng lớn bao gồm nhiều nội dung phong phú cấp thiết nhiều chương trình đào tạo đại học cao học Hiện nay, môn học trang bị kiến thức sở kinh tế - quản lí nói chung phương pháp toán - tin ứng dụng mô hình hóa phân tích toán định nói riêng đưa vào giảng dạy chương trình đào tạo đại học nước Đối với sinh viên ngành Tin học, Công nghệ thông tin Toán - Tin ứng dụng, khối kiến thức kinh tế - quản lí thực cần thiết cho cương vị làm việc sau này, đặc biệt cương vị CIO (Chief Information Officer Giám đốc Thông tin) Trong chương trình đào tạo ngành Tin học Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức bao gồm Tối ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Các phương pháp toán kinh tế Vận trù học Giáo trình “Vận trù học” với thời lượng 60 tiết biên soạn lần đầu nhằm trước hết phục vụ việc dạy học môn học cho sinh viên năm thứ ba năm thứ tư ngành Tin học Hi vọng rằng, sau trường kĩ sư Tin học áp dụng triển khai phương pháp vận trù học cách rộng rãi với nhiều hiệu thiết thực việc xây dựng hệ thống thông tin quản lí phần mềm tính toán cho toán quản lí, quản trị kinh doanh kinh tế - công nghệ khác Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm số mô hình vận trù học bản, biết cách vận dụng phương pháp kĩ thuật toán học, quy trình tính toán khoa học thích hợp để phân tích xử lí mô hình Các chủ đề giáo trình bao gồm: Một số mô hình tối ưu (Optimization Model) mô hình quy hoạch tuyến tính phi tuyến đơn đa mục tiêu đề cập tới Chương II Chương III giới thiệu mô hình mạng (Network Model) với toán mạng vận tải, mạng PERT, quy hoạch động áp dụng tìm đường ngắn toán tìm luồng cực đại Một số ứng dụng mô hình hàng chờ (Waiting Line Model) Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học http://www.ebook.edu.vn mô ngẫu nhiên (Stochastic Simulation) trình bày Chương IV Chương V giới thiệu khái niệm ứng dụng xích Markov (Markov Chain) Chương VI kiến thức sở lí thuyết định (Decision Theory) quy tắc định môi trường bất định rủi ro, phân tích định Bayes, định lí thuyết trò chơi Chương VII trình bày mô hình quản lí hàng dự trữ (Inventory Management Model), vấn đề quan trọng phát sinh quản lí tài nguyên nguồn lực doanh nghiệp Đây chủ đề chủ yếu môn Vận trù học mà sinh viên ngành Tin học, Công nghệ thông tin Toán - Tin ứng dụng trường đại học nước bắt buộc phải học Phần tập sau chương giúp sinh viên củng cố kiến thức học thực hành áp dụng quy trình tính toán khoa học Những sinh viên tự học sâu thêm cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, đặc biệt Internet viết phần mềm nhỏ Giáo trình lấy làm tài liệu tham khảo hay dạy học phương pháp toán ứng dụng hay mô hình hóa cho chuyên ngành như: Quản lí đất đai, Kinh tế nông nghiệp, Cơ điện số chuyên ngành quản lí − kinh tế − công nghệ khác bậc đại học cao học Một số tài liệu người học tham khảo thêm là: Gillet B E., Introduction to Operations Research, McGraw Hill, New York, 1990; Taha H A., Operations Research, MacMillan Publishing Company, New York, 1989; Levin R I., Rubin D S and Stinson J P., Quantitative approaches to management, McGraw Hill, New York, 1986; Phan Quốc Khánh, Vận trù học, Nxb Giáo dục, 2004; Tạp chí Ứng dụng Toán học, Hội Ứng dụng Toán học Việt Nam, 2003 - 2007 Trong trình biên soạn, tác giả cố gắng có lẽ không tránh khỏi sai sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp chỉnh sửa thảo giảng môn học đồng nghiệp Khoa Công nghệ thông tin sinh viên ngành Tin học khóa K47, K48, K49, K50 Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội mong muốn tiếp tục nhận nhiều góp ý nhà khoa học, giảng viên sinh viên giáo trình hoàn chỉnh hơn, xác sinh động Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2008 Tác giả Chương I MỞ ĐẦU GIỚI THIỆU VỀ VẬN TRÙ HỌC VÀ KHOA HỌC QUẢN LÍ 1.1 Vai trò Vận trù học Vận trù học (Operations Research − OR) ngành học nghiên cứu hoạt động hợp lí Việc tổ chức tiến hành hoạt động nhiều lĩnh vực kinh tế, xã hội, quốc phòng, kinh doanh, sản xuất, dịch vụ đòi hỏi nhà quản lí phải vận dụng cách thích hợp điều kiện cho phép để trù tính đưa định Đối với máy quản lí cấp doanh nghiệp, tập đoàn, công ti , định trách nhiệm then chốt Quá trình định bắt đầu máy quản lí phát vấn đề cần quan tâm tới Sau đó, cần xác định rõ vấn đề, phát biểu mục tiêu phải hướng tới điều kiện hạn chế (còn gọi điều kiện ràng buộc) tìm kiếm đánh giá phương án Cuối cùng, phải chọn phương án hành động coi hợp lí nhằm giải vấn đề cách tốt Năng lực máy quản lí thể khả phát vấn đề giải toán định phát sinh Một trình định trình phân tích tổng hợp thông tin, có hình thức định tính hay định lượng Với cách tiếp cận định tính, người quản lí dựa vào nhận định chủ quan kinh nghiệm sẵn có để đưa định Trong số trường hợp, cách tiếp cận có tính “trực giác” giúp đưa định đủ tốt Tuy nhiên, nhiều trường hợp khác, cách tiếp cận định lượng có hiệu thật việc trợ giúp trình định Cách tiếp cận định lượng thường nhà quản lí thực trường hợp sau: - Vấn đề đặt phức tạp bao gồm nhiều biến cần phải thiết lập mô hình toán học sử dụng công cụ định lượng để tìm phương án giải - Các liệu liên quan tới vấn đề cần khảo sát có dạng liệu số mục tiêu cần hướng tới có tính chất định lượng, chẳng hạn cần nâng cao hay hạ thấp số - Vấn đề đặt có tính chất “lặp”, tức trình giải vấn đề bao gồm số công đoạn/thủ tục lặp lặp lại nhiều lần vậy, tiếp cận định lượng giúp người quản lí tiết kiệm thời gian chi phí - Tiếp cận định lượng tỏ hữu hiệu số tình tương tự người quản lí có kinh nghiệm thành công việc giải vấn đề tương tự dựa tiếp cận định lượng Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học http://www.ebook.edu.vn Có thể nói, Vận trù học công cụ định lượng tảng Khoa học quản lí (Management Science − MS), mà phương pháp kĩ thuật Toán học công cụ tính toán, lưu trữ xử lí liệu Tin học áp dụng để mô hình hóa, phân tích tìm lời giải cho toán định, nhằm hỗ trợ máy quản lí đưa đưa định đắn điều kiện nguồn lực tài nguyên hạn chế Vì vậy, Vận trù học có vai trò quan trọng việc thiết lập kế hoạch dài hạn, phát triển chiến lược chủ đạo việc hỗ trợ hoạt động diễn hàng ngày nhiều lĩnh vực Vận trù học ngành học vừa có tính khoa học vừa có tính nghệ thuật Với tư cách khoa học, Vận trù học nghiên cứu thiết lập mô hình toán học vấn đề phát sinh từ thực tế phương pháp toán học/các thuật giải để giải mô hình đặt Tuy nhiên, Vận trù học nghệ thuật, thành công trình định phụ thuộc phần lớn vào tính sáng tạo lực nhà phân tích định Việc thu thập số liệu, thiết lập mô hình triển khai phương án tìm thực tế phụ thuộc vào khả chuyên gia hay nhóm chuyên gia làm Vận trù học việc khai thác thông tin xác thực xây dựng giao tiếp tin cậy với máy quản lí 1.2 Các bước áp dụng Vận trù học Các bước áp dụng Vận trù học để thiết lập giải mô hình phát sinh từ thực tế tóm lược sau: − Khảo sát thực tế phát vấn đề Tại bước này, cần áp dụng hoàn thiện kĩ như: biết lắng nghe, điều tra khảo sát liệu, biết phân tích hoạt động thực tế phân biệt yếu tố quan trọng với chi tiết thứ yếu − Phân tích vấn đề xây dựng mô hình Trước hết cần xác định rõ mục tiêu nghiên cứu định dạng rõ toán phát sinh phương án giải quyết, từ xác định yếu tố liên quan mà nhà quản lí kiểm soát Nói cách khác, cần xác định mục tiêu điều kiện hạn chế/điều kiện ràng buộc dạng định tính Sau lựa chọn biến định xây dựng mô hình toán học phù hợp, phản ánh thực tế khách quan − Thu thập số liệu đầu vào xác định phương pháp giải Căn mô hình xây dựng cần thu thập số liệu đầu vào cần thiết, độ tin cậy số liệu đầu vào ảnh hưởng đáng kể tới kết đầu mô hình Với mô hình xây dựng cần tìm phương pháp giải thích hợp dựa phương pháp biết phát triển phương pháp − Xác định quy trình giải/thuật giải chọn lựa phương án hợp lí Có thể giải mô hình cách tính toán thông thường nhằm lựa chọn phương án khả thi phương án hợp lí Đối với mô hình lớn, gồm nhiều biến định nhiều điều kiện ràng buộc cần lập trình giải mô hình máy tính − Kiểm thử mô hình đánh giá phương án tìm Trong trường hợp phương án tìm kéo theo kết bất thường mặt tính toán không phù hợp với thực tế, cần kiểm tra chỉnh sửa lại mô hình, rà soát lại số liệu đầu vào bước tính toán hay chọn lựa phương án Sau giải lại mô hình để tìm phương án phù hợp − Triển khai phương án tìm thực tế Trong toàn trình định, chuyên gia Vận trù học cần quan hệ chặt chẽ với nhà quản lí, giải thích rõ ràng tác dụng mô hình đặt Để phương án cuối triển khai thực tế, cần có báo cáo chi tiết giúp máy quản lí hiểu rõ hiệu thiết thực mà phương án mang lại Tuy nhiên, cần nêu rõ điều kiện đảm bảo cần thiết phân tích rõ yếu tố lợi nhuận/chi phí/rủi ro phương án 1.3 Quá trình phát triển Vận trù học Những tiến nhân loại đạt vài kỉ vừa qua giai đoạn có phần đóng góp quan trọng phương pháp khoa học việc giải vấn đề kinh tế, xã hội Phương pháp luận khoa học, trước thường biết tới vấn đề Khoa học tự nhiên, ứng dụng rộng rãi lĩnh vực Khoa học quản lí như: lập kế hoạch, tổ chức kiểm soát hoạt động Từ hàng vài nghìn năm trước, hoạt động chế tạo lắp ráp tàu biển Venice tổ chức cách khoa học Vào cuối kỉ XIX, Frederick W Taylor giải thành công toán quan trọng Kĩ nghệ công nghiệp (Industrial Engineering) lúc chế tạo loại xẻng để khai thác loại quặng khác với suất cao Cũng vào thời gian này, Henry L Gantt giải thành công toán lập tiến trình sản xuất (Production Scheduling) sản phẩm chế tạo hoàn thiện qua nhiều công đoạn Dần dần, nhà quản lí mở rộng toán số hoạt động kĩ nghệ công nghiệp sang hoạt động khác công ti như: khai thác sử dụng nguồn nguyên liệu, thuê phát triển nhân lực, sách tài chính, bất động sản Các nhà khoa học tự nhiên, xã hội bắt đầu quan tâm tới toán quản lí nhận thức tầm quan trọng việc giải vấn đề cách hệ thống, tầm quan trọng nghiên cứu liên ngành bao gồm khoa học bản, kĩ nghệ quản lí Đó khởi nguồn Khoa học quản lí Từ đầu kỉ XX, Vận trù học/Khoa học quản lí áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Tại nước Anh vào năm 1914 - 1915 F W Lanchester xem xét hoạt động quân cách định lượng đưa phương pháp đánh giá sức mạnh quân thông qua số lượng binh hỏa lực Còn Mĩ lúc đó, T A Edison nghiên cứu mô hoạt động hợp lí tàu chiến công tiêu diệt tàu ngầm Vào năm 1917, nhà bác học người Đan Mạch A K Erlang cho công bố công Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 10 http://www.ebook.edu.vn Chú ý: Không phải toán ui trùng với hiệu ứng fi(ui) Nói chung, biến điều khiển ui gây hiệu ứng fi(ui) khác với ui độ lớn đơn vị đo Giai đoạn 2: x2 x1 = x1 = +u1 = 250 − +u1 = 125 +u1 = 400 +u1 = 200 − F1(x1) + f1(u1) x1 = x1 = 400 500 300 − 275 − F2(x2) = Min[F1(x1) + f1(u1)] 400 = 150 + 250 300 = 100 + 200 275 = 150 + 125 Giai đoạn 3: x3 x2 F2(x2) + f2(u2) x2 = x2 = x2 = F3(x3) = Min [F2(x2) + f2(u2)] u2 = 275 u2 = 200 u2 = 175 u2 = 300 675 600 575 600 − u2 = 200 − u2 = 350 u2 = 275 − 625 550 600 600 500 − 500 Giai đoạn 4: x4 x3 = x3 = x3 = u3 = 100 u3 =175 u3 =150 F3(x3) + f3(u3) x3 = x3 = x3 = F4 (x4) = Min [F3(x3) + f3(u3)] 700 775 650 650 Đáp số: F4(x4) = F4(1) = 650 với đường ngắn hình III.14 x3 = x4 = u3 = 150 x2 = u2 = 200 x0 =10 x1 = u1 = 200 u0 = 100 Hình III.14 Đường ngắn → → → → 10 Một số ứng dụng quy hoạch động Bài toán Cần phân phối công suất tối ưu n nhà máy điện với phụ tải tổn thất cố định Biết chi phí nhà máy hàm fi(pi) phụ thuộc vào công suất pi, với i = 1, 2, , n Cần xác định giá trị pi cho tổng chi phí cực tiểu Vậy ta có toán tối ưu sau: Hàm mục tiêu: z = f1(p1) + + fn(pn) → Min Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 84 http://www.ebook.edu.vn với ràng buộc: ⎧p1 + p + + p n = P ⎨ ⎩0 ≤ pi ≤ Pi,max , P tổng phụ tải, Pi, max công suất tối đa cho phép Chẳng hạn, với n = ta có BTQHTT (nguyên) sau đây: z = 3p1 + 2p2 + p3 → Min ⎧p1 + p + p3 = 15 ⎨ ⎩0 ≤ pi ≤ 6; ≤ p ≤ 6; ≤ p3 ≤ biết: ⎧f1 (p1 ) = 3p1 ⎪ ⎨f (p ) = 2p ⎪f (p ) = p ⎩3 Chúng ta xét phương pháp giải toán với giả thiết công suất pi nguyên Đặt biến trạng thái x1, x2, x3; biến điều khiển p1, p2, p3 với quan hệ sau: x1 = p1, x2 = p1 + p2, x3 = p1 + p2 + p3 = 15 Các hiệu ứng gây nên biến điều khiển fi(pi) với i = 1, 2, x0 =0 x1 Biến điều khiển p1 x2 p2 x3 p3 Thiết lập hàm truy toán Fi+1 (xi+1) = Min [Fi(xi) + fi+1 (pi+1)] Đặt F0(x0) = 0, dễ thấy: F1(x1) = Minf1(p1), F2(x2) = Min[f1(p1) + f2(p2)] F3(x3) = Min[f1(p1) + f2(p2) + f3(p3)] = 3p1 + 2p2 + p3 Mục tiêu cuối cực tiểu hóa z = F3(x3) Sử dụng nguyên tắc tối ưu Bellman ta chia toán giai đoạn sau (với quy trình tính toán tiến) Giai đoạn 1: xét công suất p1; Giai đoạn 2: xét công suất p1 p2; Giai đoạn 3: xét công suất p1, p2 p3 Giai đoạn 1: (Coi F0(x0) = 0) x1 x0 = f1(p1) = 3p1 F1(x1) = Min[F0(x0) + f1(p1)] p1 = p1 = p1 = p1 = p1 = p1 = p1 = 6 12 15 18 12 15 18 Giai đoạn 2: x1 x2 F1(x1) + f2(p2) p2 0 − − − − − − 1 − − − − − 2 − − − − 3 − − − 4 − − 5 6 − 12 − − − − − − 10 − − − − 11 − − − − − 12 − − − − − − − 0 10 − − − F2 (x2) = Min[F1(x1) + f2(p2)] − − − − − − − − − − − − − − − − − − 10 11 12 − − 11 12 13 14 15 − 10 13 14 15 16 17 18 12 15 16 17 18 19 20 15 − 18 19 20 21 22 18 − − 21 22 23 24 21 − − − 24 25 26 24 − − − − 27 28 27 − − − − − 30 30 Giai đoạn 3: x2 x3 10 11 p3 15 − − F2(x2) + f3(p3) 12 F3(x3) = Min [F2(x2) + f3(p3)] 10 11 12 23 25 27 29 31 33 23 Đáp số: Tổng chi phí đạt giá trị cực tiểu 23, với p1 = 1, p2 = 6, p3 = x0 = Biến điều khiển x1 = p1 = x2 = p2 = Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 86 x3 = 15 p3 = http://www.ebook.edu.vn Chú ý Các vấn đề cần giải áp dụng phương pháp quy hoạch động theo nguyên tắc Bellman là: − Chia toán thành nhiều giai đoạn nhỏ để giải toán tối ưu cho giai đoạn Các yếu tố toán quy hoạch động biến trạng thái, biến điều khiển, hàm truy toán hàm mục tiêu − Khi chuyển từ trạng thái (trong giai đoạn) sang trạng thái khác (giai đoạn khác) cần có biến điều khiển − Mỗi giá trị biến điều khiển gây hiệu ứng lên hàm mục tiêu − Tuỳ theo toán tối ưu phát sinh giai đoạn mà lựa chọn phương pháp tối ưu thích hợp Trong ví dụ xét, hiệu ứng fi(pi) cho dạng hàm tuyến tính với biến pi nhận giá trị rời rạc/nguyên hàm truy toán Fi+1 (xi+1) = Min [Fi(xi) + fi+1 (pi+1)] tính thuật giải dựa bảng liệt kê (như phương pháp giải trình bày) Nếu fi(pi) phi tuyến với biến pi nhận giá trị liên tục để tìm Fi+1(xi+1) = Min[Fi(xi) + fi+1(pi+1)] ta có hai cách: − Cách 1: rời rạc hóa theo mức Chẳng hạn p1 ∈ [0, 6] coi p1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} − Cách 2: áp dụng phương pháp tối ưu thích hợp với biến liên tục (xem chương I) cho hàm mục tiêu Chẳng hạn, ví dụ cần tìm F2(x2) = Min [F1(x1)+ f2(p2)] = Min[f1(p1) + f2(p2)] = Min [3p1 + 2p2] với điều kiện ràng buộc: p1 + p2 ≤ 15 ≤ p1 ≤ 6, ≤ p2 ≤ 6, áp dụng phương pháp đơn hình Bài toán Xác định tuyến đường đường dây truyền tải điện từ điểm A đến điểm B, với chướng ngại vật khác nhau, cho tổng chi phí nhỏ Các kiện toán cho hình III.15 Như để thiết lập sơ đồ đường truyền tải điện xuất phát từ A ta định tuyến đường truyền tải điện trước hết phải qua hai điểm sát gần, theo hướng bắc hay hướng đông, với chi phí 15 12 Từ hai điểm này, lại tiếp tục xác định tuyến cho đường truyền tải điện, với chi phí biết Vậy ta có toán tìm đường với chi phí nhỏ 12 10 10 13 10 11 B 15 A 13 15 10 12 12 15 11 10 16 11 Hình III.15 Sơ đồ tuyến cho dây truyền tải điện Bài toán hoàn toàn tương tự với toán người du lịch xét giải phương pháp quy hoạch động (Hướng dẫn: Chia toán thành nhiều giai đoạn nhỏ theo đường với nét đứt nối hình III.15) 3.3 Mô hình mạng trung chuyển hàng Mô hình mạng vận tải xem xét dạng mô hình mạng trung chuyển hàng (Transshipment Model), điểm cung cầu (hoặc “loại trừ”) coi nút trung chuyển hàng, tức nút cung cầu kết hợp: vừa nhận hàng đến vừa chuyển hàng Việc xem xét có ý nghĩa thực tiễn việc tính toán cước phí vận chuyển nút trung chuyển thực dễ dàng Ví dụ 3: Ta có điểm cung cấp hàng A, B, C điểm cầu S, T với lượng hàng cung cầu điểm cước phí vận tải đơn vị hàng cho cung đường bảng III.21 Bảng III.21 Các liệu toán vận tải Nơi Cước phí vận chuyển/đơn vị hàng cij (USD) đến S(2300) T(1400) A(1000) 80 215 B(1500) 100 108 C(1200) 102 68 Cần xác định nên vận chuyển từ điểm cung tới điểm cầu đơn vị hàng nhằm thoả mãn nhu cầu cung cầu đồng thời đạt tổng chi phí vận tải nhỏ Để đưa toán vận tải toán trung chuyển hàng, ta coi điểm A, B, C, S T vừa nút trung chuyển: nhận hàng đến chuyển hàng Do cần thêm vào cước phí vận tải đơn vị hàng hai nút mạng trung chuyển hàng (xem bảng III.22, chẳng hạn, từ A tới B cước phí 130, từ A tới S cước phí Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 88 http://www.ebook.edu.vn 80 cho, nhiên từ S tới A cước phí lại 79 đường theo chiều ngược lại) Tại nút, lượng hàng hóa không vượt 3700 đơn vị trung chuyển Nếu nút cung hay cầu toán vận tải ban đầu, bổ sung thêm lượng “dự trữ đệm” B ≥ 3700 đơn vị hàng hàng chuyển trước hàng đến Chọn B = 3700, đưa toán trung chuyển hàng toán vận tải với nút cung đồng thời nút cầu (có lượng cung/cầu phải tính toán lại), với phương án vận chuyển tối ưu cho bảng III.22: Từ A vận chuyển tới S 1000 đơn vị hàng, từ B tới C S 200 1300 đơn vị hàng, từ C tới T 1400 đơn vị hàng Bảng III.22 Phương án tối ưu toán trung chuyển hàng Cước phí vận chuyển/đơn vị hàng cij (USD) đến Nơi A 1000+3700 A 3700 3700 B 3700 C 3700 130 90 B 1500+3700 135 C 1200+3700 95 105 S 3700 79 99 T 3700 200 107 S 6000 T 5100 80 215 1000 101 100 3700 200 68 102 3500 110 108 1300 1400 205 3700 72 205 3700 Ví dụ 4: Giải toán tìm đường ngắn (xem sơ đồ mạng đường hình III.16) cách áp dụng mô hình mạng trung chuyển hàng Để cho đơn giản xét đường hai chiều, chẳng hạn từ nút tới nút ngược lại có đường với chiều dài 500 500 200 1100 800 1000 400 600 300 700 100 900 Hình III.16 Sơ đồ mạng đường Để giải toán coi nút nút đóng vai trò điểm cung với lượng cung đơn vị, nút nút đến đóng vai trò nút cầu với lượng cầu 1, nút lại nút trung chuyển Chiều dài đường nút điền vào ô tương ứng, xem cước phí vận tải Nếu đường ta coi cước phí M ≈ +∞ Lúc toán đưa mô hình mạng trung chuyển hàng với liệu mô tả bảng III.23 giải phương pháp phân phối hay phương pháp vị biết Bảng III.23 Dữ liệu toán đường ngắn Nút nút đến nút 200 400 1000 M M M M 1100 500 M M 0+B M 300 M 100 M 0+B 1100 300 800 700 M 0+B 500 M 800 M 600 0+B M 100 M M 900 0+B B=1 0+B 0+B 0+B 0+B 0+B 3.4 Bài toán tìm luồng cực đại Ví dụ 5: Xét mạng đường có hướng từ nút tới nút với tải tối đa cung đường biết mô tả hình III.17 (chẳng hạn tải x12 cung đường nối nút phải nằm giới hạn từ tới 20) Bài toán đặt là: Cần xác định luồng cực đại (Maximal Flow) nút (nút nguồn) nút (nút hút) (5) (20) (30) (28) (15) (10) (15) (20) Hình III.17 Sơ đồ đường thông lượng Bài toán có ý nghĩa thực tế sau: Coi nút kho bơm/cấp phát dầu thô với khả lớn, đường ống dẫn dầu với tải (tấn/đơn vị thời gian) Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 90 http://www.ebook.edu.vn xác định, nút 2, trạm bơm/trung chuyển dầu, nút kho nhận dầu (để đưa dầu vào lọc) Cần xác định phương án bơm dầu tối ưu với tải thích hợp cung đường để bơm dầu thô nhiều (tính đơn vị thời gian) từ nút tới nút Đó phương án sau: Bơm 20 dầu thô từ nút qua đường → → tới nút 5, bơm 15 dầu thô trừ nút qua đường → → tới nút bơm 10 dầu thô trừ nút qua đường → → tới nút Như luồng cực đại chuyển từ nút đến nút qua mạng ống dẫn dầu có giá trị 45 tấn/một đơn vị thời gian Cần ý tổng lượng dầu qua cung đường phải nằm giới hạn cho phép tải Về mặt toán học, khái niệm luồng cực đại xây dựng sau toán Trước hết, ta gọi luồng chấp nhận véc tơ (x12, x13, x14, x24, x25, x34, x35, x45), xij ∈[ 0, x ijmax ] ∀ cung (i, j) cho mạng đường có hướng thoả mãn: ∑ x ki = ∑ x ih ∀ nút i mạng, vế trái tổng tải k∈I(i) h∈O(i) cung vào nút i, vế phải tổng tải cung khỏi nút i Dễ dàng chứng minh có ∑ x1j = ∑ x i5 = v Lúc này, luồng cực đại j∈O(1) i∈I(5) luồng chấp nhận cho giá trị v luồng đạt lớn Các khái niệm định nghĩa tương tự trường hợp tổng quát Bài toán tìm luồng cực đại giải thuật thích hợp với kết bước lặp tổng hợp bảng III.24: Bảng III.24 Các bước giải toán luồng cực đại Bước Tìm đường tăng luồng Giá trị tăng luồng Bước khởi tạo Các tải cung luồng (luồng chấp nhận được) Giá trị luồng xij = ∀ cung (i, j) Bước lặp 1→2→5 20 x12 = x25 = 20, xij = ∀ cung (i, j) khác 20 Bước lặp 1→3→5 10 x12 = x25 = 20, x13 = x35 = 10, xij = ∀ cung (i, j) khác 30 Bước lặp 1→4→5 15 x12 = x25 = 20, x13 = x35 = 10, x14 = x45 = 15, xij = ∀ cung (i, j) khác 45 Giải thích Trước hết bước khởi tạo cần tìm luồng chấp nhận được, tức véc tơ luồng (x12, x13, x14, x24, x25, x34, x35, x45), xij ∈[ 0, x ijmax ] ∀ cung (i, j) thoả mãn: ∑ x ki = ∑ x ih ∀ nút i mạng, vế trái tổng tải cung k∈I(i) h∈O(i) vào nút i, vế phải tổng tải cung khỏi nút i Trong bảng trên, xuất phát véc tơ luồng trùng véc tơ với giá trị luồng Tại bước lặp tìm đường tăng luồng → → từ nút tới nút cách thực thủ tục đánh dấu Thủ tục đánh dấu Bước khởi tạo Gọi I tập nút đánh dấu I, ban đầu đặt I = {nút nguồn} Các bước lặp Bước 1: Nếu I chứa nút hút I = ∅ bước kết thúc Nếu trái lại, chọn nút i ∈ I để quét (đồng thời đưa khỏi tập I), tức xét tất nút j cạnh i, nói cách khác, xét cung tiến có dạng (i, j) cung mạng đường chiều cho tương ứng với cung lùi (j, i) Bước 2: Xét cung tiến (i, j) mà có j chưa đánh dấu (không nằm tập I) ta đưa j vào tập I với điều kiện xij (hiện có) < x ijmax , xét cung lùi điều kiện xij (hiện có) > quay trở lại bước Chú ý nút hút đưa vào tập I bước kết thúc Bước kết thúc Tìm đường tăng luồng P (xem giải thích sau đây) dừng Xét bước lặp bảng III.24 Tại bước 1, ta quét nút (và đưa nút khỏi tập I) để có nút 2, 3, cạnh nút chưa đánh dấu có I = {2, 3, 4} Tại bước 2, chọn quét nút (đồng thời đưa nút khỏi tập I) thêm nút cạnh nút nút (nút hút) nên chuyển sang bước kết thúc Để tìm đường tăng luồng, ta ngược từ nút nút (vì nút đưa vào đánh dấu quét nút 2) sau nút (vì nút đưa vào đánh dấu quét nút 1) Như bước lặp ta đường tăng luồng → → với giá trị tăng luồng ⎧ ⎫ Δ(P) = Min ⎨ x ijmax − x ij , x ij ⎬ = Min{min(20 −0, 28−0)} = 20 (i, j)∈C− ⎩(i, j)∈C+ ⎭ ( ) Trong biểu thức trên, kí hiệu C+ để tập cung tiến, kí hiệu C− để tập cung lùi nằm đường tăng luồng Tương tự, bước lặp ta tìm đường tăng luồng với giá trị tăng luồng tương ứng 10 15 Luồng cực đại có giá trị tổng giá trị tăng luồng giá trị luồng xuất phát: 20 + 10 + 15 = 45 Từ ví dụ trên, phát biểu thuật toán Ford − Fulkerson giải toán luồng cực đại Thuật toán Ford − Fulkerson Bước khởi tạo Tìm luồng chấp nhận Các bước lặp Bước 1: Tìm đường tăng luồng thủ tục đánh dấu Nếu chuyển bước kết thúc Còn có xét giá trị tăng luồng tương ứng Δ(P) Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 92 http://www.ebook.edu.vn Bước 2: Nếu Δ(P) < +∞ đẩy thêm Δ(P) đơn vị tải dọc theo đường tăng luồng P để luồng chấp nhận quay bước Nếu trái lại, Δ(P) = +∞ bước kết thúc Bước kết thúc Tìm luồng cực đại với giá trị hữu hạn kết luận toán có luồng chấp nhận với giá trị v = + ∞ Ví dụ Trường hợp đường tăng luồng có chứa cung lùi (xem bảng III.25, hàng 3): Xét lại toán ví dụ với luồng chấp nhận ban đầu x12 = x24 = 5, x14 = 10, x45 = 15, x13 = x35 = 10, xij = ∀ cung (i, j) khác Bảng III.25 Trường hợp đường tăng luồng có cung lùi Tìm đường tăng luồng Bước Giá trị tăng luồng Bước khởi tạo Các tải cung luồng (luồng chấp nhận được) Giá trị luồng x12 = x24 = 5, x14 = 10, x45 = 15, x13 = x35 = 10, xij = ∀ cung (i, j) khác 25 Bước lặp 1 → →2 → (cung (4,2) cung lùi) x12 = 5, x24 = − = 0, x14 = 10+5 = 15, x45 = 15, x13 = x35 = 10, x25 = 5, xij = ∀ cung (i, j) khác 30 Bước lặp →2 → 15 x12 = 5+15 =20, x24 = − = 0, x14 = 10+5 = 15, x45 = 15, x13 = x35 = 10, x25 = 5+15 = 20, xij = ∀ cung (i, j) khác 45 Nhận xét Xét tập hợp gồm số cung đường mạng đường có hướng với tính chất: Nếu cho tải tất cung đường luồng chấp nhận có giá trị Một tập hợp coi lát cắt Tổng tải tối đa tất cung đường lát cắt gọi dung lượng lát cắt Từ thuật toán Ford − Fulkerson chứng minh rằng: Nếu luồng cực đại tồn với giá trị v hữu hạn v giá trị cực tiểu dung lượng lát cắt Có thể minh họa nhận xét qua việc xét lát cắt mạng đường có hướng cho ví dụ (xét chẳng hạn lát cắt (1, 2), (1, 3), (1, 4) với dung lượng 60, lát cắt (2, 5), (3, 5, (4, 5) với dung lượng 63, lát cắt (1, 2), (1, 3), (4, 5) với dung lượng 45) Trong ví dụ 5, hình dung lát cắt tập hợp cung đường, mà cấm tải dầu cung đường không lượng dầu bơm từ nút nguồn tới nút hút BÀI TẬP CHƯƠNG III Giải toán vận tải cho bảng sau: 11 13 110 21 17 12 10 100 18 13 16 50 50 70 60 Σ =260 80 Giải toán phân công nhiệm vụ với thời gian thực (của kĩ sư nhiệm vụ ghi theo hàng) cho bảng sau: 32 18 32 16 22 14 12 16 24 30 26 24 26 30 28 20 1 1 Tìm cách phân công nhiệm vụ (mỗi số bốn kĩ sư giao nhiệm vụ) để cực tiểu hóa tổng thời gian thực Hai máy biến áp có dung lượng 580KVA 650KVA hoà điện lên để cung cấp điện cho bốn nhóm máy A, B, C C có công suất tối đa 180, 270, 420 320 Qua khảo sát, có số liệu sau: − Chi phí truyền tải đơn vị công suất từ máy biến áp thứ đến nhóm máy là: C1A = 250, C1B = 300, C1C = 320 C1D = 310 đồng/đơn vị công suất − Chi phí truyền tải đơn vị công suất từ máy biến áp thứ hai đến nhóm máy là: C2A = 350, C2B = 380, C2C = 330 C2D = 340 đồng/đơn vị công suất Hãy tìm công suất mà nhóm máy nhận từ máy biến áp để đảm bảo tổng chi phí truyền tải nhỏ Xem xét dự án với kiện sau: Hoạt động Hoạt động kề trước Thời gian ước tính (ngày) a m b A − B − C A D B 10 E B 11 F C, D G E 15 Hãy giải vấn đề sau đây: Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 94 http://www.ebook.edu.vn − Vẽ sơ đồ mạng − Tính thời gian (trung bình) hoàn thành dự án sớm − Tìm xác suất để dự án thực vòng 20 ngày Xác định khung tối thiểu cho mạng đường dẫn sau phát biểu ý nghĩa thực tiễn nó: 120 B 33 A 23 12 20 70 47 E C 52 G 33 43 70 F D Cho lượng đầu tư có 15 (đơn vị tiền) đầu tư vào dự án sau: I, II, III theo mức 0, 3, 6, 9, 12, 15 với mức lợi nhuận cho bảng Xác định phương án chọn danh mục đầu tư mức đầu tư cho tổng lợi nhuận lớn Mức lợi nhuận Số tiền đầu tư I II III 0 0 2 5 6 12 7 15 10 Hãy tìm phương án tối ưu phân phối công suất ba nhà máy 1, với phụ tải tổn thất cố định Biết chi phí nhà máy hàm phụ thuộc vào công suất fi(pi), pi công suất thực tế nhà máy i, với i = 1, 2, Giả sử khảo sát số liệu sau: − Tổng công suất ba nhà máy cần cung cấp 18 (đơn vị công suất) − f1(p1) = 4p1, f2(p2) = 3P2, f3(p3) = 3P3 − ≤ p1 ≤ P1MAX = 7, ≤ p2 ≤ P2MAX = 8, ≤ p3 ≤ P3MAX = Hãy tìm đường ngắn từ nút tới nút mạng đường sau với quy trình tính toán tiến: 500 200 1100 800 1000 400 600 300 100 900 700 Phương pháp 1: Tính toán cách lập bảng (tương tự bảng III.19), từ thiết lập quy trình tính toán tổng quát với hàm truy toán thích hợp Giai đoạn Giai đoạn Giai đoạn I 1 1→1 Khoảng cách tính từ gốc 1→2 1→3 200 400 1→4 2→4 3→4 1000 1300 700 Đầu vào Đầu Đường tối ưu Giai đoạn II Giai đoạn III 2→5 3→6 4→6 700 500 1700 Giai đoạn IV 5→7 6→7 1300 1400 Phương pháp 2: Có thể xây dựng hàm truy toán Fi+1(xi+1) = Min{Min [Fi(xi) + fi, i+1(ui, i+1)], Min [Fi-1(xi-1) + fi-1, i+1(ui-1, i+1)], …, Min [F0(x0) + f0,i+1(u0, i+1)]}, với Min{Min } tìm theo tổ hợp thích hợp xk uk,i+1, uk,i+1 biến điều khiển để điều khiển chuyển trạng thái từ trạng thái xk sang xi+1 fk,i+1(uk, i+1) hiệu ứng biến điều khiển tác động lên hàm truy toán, k nhận giá trị 0, 1, , i -1, i Điều hoàn toàn phù hợp với việc “áp dụng nguyên tắc tối ưu Bellman quy hoạch động cách chia toán thành nhiều giai đoạn, giai đoạn ta cần tìm phương án tối ưu phương án tốt tình trạng có, xét mối quan hệ với phương án tối ưu tìm giai đoạn trước” Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 96 http://www.ebook.edu.vn Phương pháp 3: Đưa toán trung chuyển hàng bảng III.24 Phương pháp 4: Xác định biến định thích hợp để đưa toán tìm đường ngắn BTQHTT giải theo phương pháp đơn hình biết Hãy áp dụng mô hình mạng trung chuyển hàng (có thể có ô cấm) để giải toán xích cung cầu tối ưu sau (hàng điểm cung A, B C phải qua trung tâm phân phối D E trước tới điểm cầu F, G, H, I, J) Biết lượng cung A, B C theo thứ tự 1000, 1500, 1200; lượng cầu F, G, H, I, J theo thứ tự 800, 500, 750, 1000 650 Các cước phí vận tải đơn vị hàng từ A, B C đến D E theo thứ tự là: 5, 6, 8, 4, 3; cước phí từ D E tới E, G, H, I, J theo thứ tự 8, 6, 7, 4, 6, 10, 7, 8, 10 Hãy tìm luồng cực đại mạng đường có hướng với tải tối đa tổng hợp hình dưới, sau phát biểu tình minh hoạ ý nghĩa thực tế toán Hướng dẫn Có thể giải thuật toán Ford − Fulkerson đưa toán BTQHTT giải phương pháp đơn hình 50 70 60 30 40 80 60 30 90 70 10 11 Xác định tuyến đường đường dây truyền tải điện từ điểm A đến điểm B, với chướng ngại vật khác nhau, cho tổng chi phí nhỏ Các kiện toán sau: 10 12 15 A 13 15 8 10 16 10 B 15 11 12 12 11 10 10 13 11 Như để thiết lập sơ đồ đường truyền tải điện xuất phát từ A ta định tuyến đường truyền tải điện trước hết qua hai điểm sát gần, theo hướng bắc hay hướng đông, với chi phí 15 12 Từ hai điểm này, lại tiếp tục xác định tuyến cho đường truyền tải điện, với chi phí biết, Vậy ta có toán tìm đường với chi phí nhỏ Hướng dẫn: Chia toán thành nhiều giai đoạn nhỏ áp dụng phương pháp quy hoạch động Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 98 http://www.ebook.edu.vn [...]... tiêu Biến cơ sở Phương án 1 4 0 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 Bảng đơn hình bước 6 4 0 1 0 x2 x3 x1 x6 zj Δj 1 3/5 6/5 - 1/ 5 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1/ 5 1/ 10 - 1/ 10 1 - 17 /5 - 3 /10 - 7 /10 0 0 0 1 26/5 1 0 4 0 0 0 1/ 10 - 1/ 10 37 /10 -37 /10 0 0 Bảng đơn hình bước 7 4 0 1 0 zj Δj x2 x3 x1 x4 1 1 1 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 -2 -1 7 0 -2 1 - 10 5 1 0 4 0 0 0 0 0 3 -3 1 -1 Phương án tối ưu ở bảng... án 1 4 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 Bảng đơn hình bước 3 4 x2 7/4 1/ 2 1 1/4 0 0 0 x4 39/4 17 /2 0 - 3/4 1 0 Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 30 http://www.ebook.edu.vn 0 x5 zj - 3/4 - 1/ 2 0 2 -1 7 Δj - 1/ 4 0 1 4 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 Bảng đơn hình bước 4 1 0 1 x4 -3 0 0 -5 1 17 x1 3/2 1 0 1/ 2 0 -2 1 4 1/ 2 0 2 0 0 - 1/ 2 0 -2 4 x2 0 1 zj 11 /2 Δj Bảng đơn hình bước 5 4 x2 1 0 1 0 0 1 0... bài toán này dẫn tới BTQHTT sau: 3 z= 2 ∑c ∑a x j =1 j i =1 ij ij → Max với các điều kiện ràng buộc: a11x 11 + a21x 21 ≥ b1, a12x12 + a22x22 ≥ b2, a13x13 + a23x23 ≥ b3, a11x 11 + a21x 21 ≤ d1, a12x12 + a22x22 ≤ d2, a13x13 + a23x23 ≤ d3, x 11 + x12 + x13 ≤ m1, x 21 + x22 + x23 ≤ m2, xij ≥ 0, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3 (trong đó m1 và m2 là tổng thời gian chạy máy M1 và M2) Trong các lĩnh vực quy hoạch sản xuất hay... Bảng II.3 Các bảng đơn hình pha 1 Hệ số hàm mục tiêu Biến cơ sở Phương án 0 0 0 0 1 x1 x2 x3 x4 x5 0 1 x3 x5 60 48 4 2 2 4 1 0 0 1 0 +1 z0 = 48 z1 = 2 z2 = 4 z3 = 0 z4 = 1 z5 = 1 1 = −2 Δ2 = −4 Δ3 = 0 Δ4 = 1 Δ5 = 0 36 12 3 1/ 2 0 1 1 0 1/ 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Hàng z Hàng Δj 0 0 x3 x2 Hàng z Hàng Δj Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 26 http://www.ebook.edu.vn... ràng buộc tương ứng với các biến x1, x2, x3 và x4 của bài toán đã cho Bảng II .1 Các bảng đơn hình giải BTQHTT c1 = 8 c2 = 6 c3 = 0 c4 = 0 x1 x2 x3 x4 60 48 4 2 2 4 1 0 0 1 z0 = 0 z1 = 0 z2 = 0 z3 = 0 z4 = 0 1 = 8 Δ2 = 6 Δ3 = 0 Δ4 = 0 15 18 1 0 1/ 2 3 1/ 4 1/ 2 0 1 z0 = 12 0 z1 = 8 z2 = 4 z3 = 2 z4 = 0 1 = 0 Δ2 = 2 Δ3 = −2 Δ4 = 0 12 6 1 0 0 1 1/3 1/ 6 1/ 6 1/ 3 z0 = 13 2 8 6 5/3 2/3 0 0 −5/3 −2/3 Hệ số... x2 1 0 1 0 0 1 0 x3 3/5 0 0 1 - 1/ 5 - 17 /5 1 x1 6/5 1 0 0 1/ 10 - 3 /10 1 4 0 1/ 10 37 /10 0 0 0 - 1/ 10 - 37 /10 zj 26/5 Δj Ta nhận thấy: phương án tối ưu chưa thỏa mãn điều kiện nguyên Xét phương trình thứ 3 trong bảng đơn hình thứ 5 của bảng II.6 để làm cơ sở cho việc đưa vào điều kiện 1 7 1 ràng buộc bổ sung: − x 4 − x 5 + x 6 = − Sau đó, tiếp tục quá trình giải sử dụng 10 10 5 phương pháp đơn hình đối... = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4 → Max, với các ràng buộc ⎧3x1 + 0x 2 + 3x 3 + 12 x 4 = 36 ⎪ (b′) ⎨ 12 x1 + x 2 + 0x 3 − 14 x 4 = 12 ⎪ x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 Các bảng đơn hình của pha 2 được trình bày trong bảng II.4 Bảng II.4 Các bảng đơn hình pha 2 Hệ số hàm mục Biến Phương 8 6 0 0 tiêu cơ sở án x1 x2 x3 x4 0 6 x3 x2 36 12 3 1/ 2 0 1 1 0 1/ 2 1/ 4 72 3 6 0 −3/2 5 0 0 3/2 72 30 6 2 0 1 2 1/ 2 1 0 18 0 12 6... Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học 32 http://www.ebook.edu.vn được đưa từ nguồn i tới hộ tiêu thụ j Cần phải xác định các xij sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất Như vậy ta có BTQHTT sau: z= 2 3 ∑∑ c x ij i =1 j =1 ij → Min với các điều kiện ràng buộc là: x 11 + x12 + x13 ≤ A1, x 21 + x22 + x23 ≤ A2, x 11 + x 21 = B1, x12 + x22 = B2, x13 + x23 = B3, xij ≥ 0, ∀i = 1, 2 và ∀j = 1, 2, 3 Bài... 0 0 x3 x4 Hàng z Hàng Δj = cj - zj 4 0 x2 x4 Hàng z c1 = 1 x1 Bảng đơn hình bước 1 7 2 15 10 z0 = 0 z1 = 0 c2 = 4 x2 c3 = 0 x3 c4 = 0 x4 4 3 z2 = 0 1 0 z3 = 0 0 1 z4 = 0 1 = 1 Bảng đơn hình bước 2 7/4 1/ 2 39/4 17 /2 z0 = 7 z1 = 2 Δ2 = 4 Δ3 = 0 Δ4 = 0 1 0 z2 = 4 1/ 4 - 3/4 z3 = 1 0 1 z4 = 0 Δ2 = 0 Δ3 = - 1 Δ4 = 0 Phương án Hàng Δj = cj - zj 1 = - 1 Như vậy, phương án tối ưu ở bước 2 chưa thỏa mãn điều... đơn hình giải bài toán M Hệ số hàm mục tiêu Biến cơ sở Phương án 8 6 0 0 −M x1 x2 x3 x4 x5 x3 x5 60 48 4 2 2 4 1 0 0 1 0 +1 z0 = −48M z1 = −2M z2 = −4M z3 = 0 z4 = M z5 = −M 1 = 8+2M Δ2 = 6+4M Δ3 = 0 Δ4 = −M Δ5 = 0 36 12 3 1/ 2 0 1 1 0 1/ 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 72 3 6 0 −3/2 3/2 5 0 0 3/2 −M − 3/2 72 30 6 2 0 1 2 1/ 2 1 0 1 0 18 0 12 6 3 0 0 −4 0 −3 0 −M 0 −M Hàng z Hàng Δj 0 6 x3 x2 Hàng z Hàng Δj 0 6 x4 x2 ... 0,550490 1, 778826 1, 663697 4π /18 0 ,11 2669 0,552073 1, 770032 1, 65 217 1 5π /18 0,090986 0,5 519 91 1,759350 1, 639575 6π /18 0,066036 0,553576 1, 745374 1, 622823 7π /18 0,0 512 84 0,554296 1, 73 017 4 1, 602970 8π /18 ... a22x22 ≥ b2, a13x13 + a23x23 ≥ b3, a11x 11 + a21x 21 ≤ d1, a12x12 + a22x22 ≤ d2, a13x13 + a23x23 ≤ d3, x 11 + x12 + x13 ≤ m1, x 21 + x22 + x23 ≤ m2, xij ≥ 0, i = 1, j = 1, 2, (trong m1 m2 tổng thời... thiệu Vận trù học / Khoa học quản lí 1. 1 Vai trò Vận trù học 1. 2 Các bước áp dụng Vận trù học 10 1. 3 Quá trình phát triển Vận trù học 11 Các ứng dụng phương pháp định lượng Vận trù học 12 2 .1 Một