Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M a Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn O và O’.. GV: LÊ MINH HẢO..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT HUYỆN XÍN MẦN TRƯỜNG PTDTBT THCS NÀN MA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học : 2012-2013(Thời gian 180 phút) Bài (1 điểm) Tính : A 56 477 54 2012 Bài 3: (2 điểm) Tìm x biết: 2 2011 x 2011 x x 2012 x 2012 2011 x 2011 x x 2012 x 2012 2 1 Bài 3(2 điểm) Chứng minh a a2+b2 2ab b a4+b4+1 ab(a+b+1) Bài 4(2 điểm) x x x x x Cho biÓu thøc A x 2 x x 1 a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm giá trị x để A = - Bài 4(3 điểm) Cho hai nửa đường tròn ( O;R1 ) và ( O’;R2 ) tiếp xúc ngoài A Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) T với đường tròn ( O’ ) T’, Cắt đường tròn nối tâm OO’ S Tiếp tuyến chung A hai nửa đường tròn cắt TT’ M a) Tính độ dài AM theo các bán kính hai đường tròn ( O )và ( O’ ) Chứng minh: SO.SO’ = SM2 ST.ST’ = SA2 b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ A và đường tròn ngoại tiếp OMO’tiếp xúc với SM M GV: LÊ MINH HẢO GiaoAnTieuHoc.com (2) Đáp án Câu Điểm A 56 477 54 2012 0,25 A 56 477 54 53 A 56 477 ( 53 1) A 56 53 53 0,25 A 56 53 A 53 53 A ( 53 2) 0,5 A 53 2011 x 2011 x x 2012 x 2012 2 2011 x 2011 x x 2012 x 2012 2 Đặt a = x – 2012 2011-x=2011-(a+2012)=-(1+a) 0,25 a 1 a 1a a a 1 a 1a a 2 0,25 a2 a 1 1 3a 3a a2+a+1= 3a2+3a+1 a2+a=0 a(a+1)=0 a=0 a=-1 x=2012 x=2011 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a b a2+b2 2ab a2-2ab +b2 (a-b)2 luôn đúng dấu xảy a=b Ta có: a4+ b4 2a2b2 b4+1 b2 1+ a4 a2 Từ (1);(2);(3) ta có (a4+ b4)+( b4+1)+(1+ a4) 2a2b2+2 b2+2 a2 2(a4+ b4+1) 2(a2b2+ b2+ a2) Tương tự ta có: a2b2+ b2+ a2 a2b+ab2+ab=ab(a+b+1) GiaoAnTieuHoc.com (1) (2) (3) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) (5) 0,25 (3) Từ (4);(5) ta có a4+b4+1 ab(a+b+1) ĐK: x và x a x x x x x A 2 x x x x 1 x x x 1 x x A x x 1 x 1 x x 1 x 2 A x 1 x 0,25 x 1 A x 1 b Ta có A=-4 - x -1=-4 x =3 x=9 GT: ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài A TT’ tiếp tuyến chung TT’xOO’=S Tiếp tuyến chung A hai nửa đường tròn cắt TT’ M KL : a AM=? SO.SO’ = SM2 và ST.ST’ = SA2 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ A và đường tròn T ngoại tiếp OMO’tiếp xúc với SM M M T’ ’’ S O A O ’ GiaoAnTieuHoc.com 0,5 (4) MO, MO’ là tia phân giác hai góc kề bù AMT và A , AMT’ nên OMO = 90o Tam giác OMO’ vuông M có MA OO’ nên: a b MA2 = OA.OA’, Suy ra: MA = OA.OA ' R.R ' SO' SM hay SO.SO '= SM SO’M ~ SMO suy ra: SM SO ST SA hay ST.ST' = SA SAT~ ST’A suy ra: SA ST ' MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp TAT’ và OO’ Do đó đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ A Do đó đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ A Gọi M’ là trung điểm OO’ thì M’M//OT SM M’M M mà M’M là bán kính đường tròn ngoại tiếp OMO’ GiaoAnTieuHoc.com 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 MA A (5)