Việc chọn một tiểu ban như là việc thực hiện 4 công việc khác nhau. Mỗi cách sắp xếp như vậy được gọi là một hoán vị. Kết quả này cũng có thể suy ra từ tính chất cơ bản, vì phần tử thứ n[r]
(1)Chương 1
GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1. Quy tắc nhân
Các tính chất sau phép đếm tảng tất công việc Tính chất (Quy tắc nhân)
Giả sử có2cơng việc thực Nếu cơng việc1có thể thực trongmcách khác ứng với cách thực cơng việc1, cơng việc2cóncách thực khác cóm.ncách khác thực hai hai cơng việc
Proof:Tính chất chứng minh cách liệt kê tất cách thực hai cơng việc sau:
(1,1), (1,2), , (1, n) (2,1), (2,2), , (2, n)
(m,1), (m,2), , (m, n)
trong đó, nói cách thực là(i, j)nếu cơng việc1thực theo cách thứitrongmcách cơng việc2thực cách thứj trongncách Vì tập tất cách thực bằngmn.
Ví dụ 1.1.1 Một cộng đồng nhỏ có10phụ nữ, người có3người Chọn người phụ nữ đứa họ Hỏi có cách chọn ?
Giải
Ta xem việc chọn người phụ nữ công việc1và việc chọn họ cơng việc2 Khi từ tính chất ta có10.3 = 30cách chọn khác
Khi có nhiều hai cơng việc thực hành, tính chất tổng qt hố sau:
Tính chất (Quy tắc nhân tổng qt)
Giả sử cókcơng việc thực Nếu cơng việc1có thể thực trongn1cách khác ứng
với cách thực cơng việc1, cơng việc2cón2 cách thực khác nhau; ứng với cách thực
hiện hai cơng việc đầu, cón3cách khác thực cơng viêc3, v v cón1.n2.n3 nkcách
khác thực hiệnkcơng việc
Ví dụ 1.1.2 Một hội nghị học tập trường đại học bao gồm3sinh viên năm thứ nhất,4sinh viên năm thứ2,5sinh viên năm thứ3và2sinh viên năm cuối Một tiểu ban gồm4người trong4 khố khác Hỏi lập tiểu ban khác nhau?
(2)2 Chương GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giải
Việc chọn tiểu ban việc thực 4công việc khác Công việcilà chọn sinh viên năm thứi(i= 1,2,3,4) Vì thế, từ tính chất tổng quát, có3.4.2.5 = 120 tiểu ban khác lập
Ví dụ 1.1.3 Số hiệu lái xe mơtơ gồm7kí tự, đó3kí tự đầu chữ và4kí tự sau chữ số Hỏi có lái xe môtô khác ?
Giải
Áp dụng tính chất tổng quát, có số lái khác có là: 26.26.26.10.10.10.10 = 175.760.000
Nếu chữ chữ số số hiệu khác có lái khác nhau? Ví dụ 1.1.4 Một hàm số xác định tậpnphần tử nhận hai giá trị0và1 Hỏi lập hàm khác
Giải
Đặt phần tử là1,2,3, , n Vìf(i)bằng1hoặc0cho mỗii= 1,2, , nnên ta có2nhàm khác lập
1.2 Hốn vị
Có cách khác xếp có thứ tự 3kí tự a, b, c? Bằng cách liệt kê trực tiếp thấy có6cách, cụ thể là:abc, acb, bac, bca, cabvàcba Mỗi cách xếp gọi mộthoán vị Vì có6hốn vị tập3phần tử Kết suy từ tính chất bản, phần tử thứ hốn vị trong3kí tự, phần tử thứ2trong hốn vị chọn trong2kí tự cịn lại phần tử thứ3được chọn từ phần tử cịn lại Vì thế, có3.2.1 = 6hốn vị
Chúng ta định nghĩa khái niệm hoán vị cách tổng quát sau:
Định nghĩa 1.2.1 Chonphần tử khác Một hoán vị củanphần tử cách xếp có thứ tựnphần tử cho
GọiPnlà số hốn vị khác lập từnphần tử cho Ta có
Pn =n(n−1) .2.1 =n!
Ví dụ 1.2.5 Hỏi có cách xếp vị trí cầu thủ(thủ mơn, tiền vệ phải, trái, ) khác đội bóng gồm9cầu thủ?
Giải
Có9! = 362880cách xếp cầu thủ
Ví dụ 1.2.6 Một lớp học lý thuyết xác suất gồm6nam và4nữ Một kỳ thi tổ chức, Các sinh viên xếp hạng theo kết làm họ Giải sử khơng có hai sinh viên đạt điểm
a) Có thể có cách xếp hạng khác nhau?
(3)1.2 Hoán vị Giải
a) Mỗi cách xếp hạng tương ứng với cách xếp có thứ tự10người, có câu trả lời phần là10! = 3.628.800
b) Vì có6!cách xếp hạng khác trong6người nam và4!cách xếp khác trong4người nữ nên áp dụng tính chất bản, có6!.4! = 17.280cách xếp khác có Ví dụ 1.2.7 Cơ Nga định đặt10cuốn sách lên giá sách Trong có 4cuốn sách Toán, Hoá học,2cuốn Lịch sử và1cuốn Ngoại ngữ Cô Nga muốn xếp sách cô sách minh cho mơn thi kề Có thể có cách xếp10cuốn sách khác nhau?
Giải
Có 4!.3!.2!.1!cách xếp cho sách Toán đầu hàng sau đến sách Hố đến sách Sử cuối sách Ngoại ngữ Tương tự, với thứ tự mơn học, có4!.3!.2!.1! cách xếp khác Ở có4!cách xếp thứ tự môn học nên đáp án câu hỏi có 4!.4!.3!.2!.1! = 6912
Bây xác định số hoán vị tậpnphần tử mà số phần tử hoán vị trùng với phần tử khác Để thẳng vào vấn đề quan tâm, xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.2.8 Hỏi có cách xếp kí tự khác từ ký tựP EP P ER? Giải
Trước có6!hốn vị ký tựP1E1P2P3E2Rkhi ký tựPi và2ký
tựEiđược xem khác Tuy nhiên xem xét hoán vị hốn vị
này, chẳng hạnP1P2E1P3E2R Bây hoán vị ký tựP với hốn vị kí
tựEvới kết có dạngP P EP ER.Đólà3!.2!hốn vị P1P2E1P3E2R P1P2E2P3E1R
P1P3E1P2E2R P1P3E2P3E1R
P2P1E1P3E2R P2P1E2P3E1R
P2P3E1P1E2R P2P3E2P1E1R
P3P2E1P1E2R P3P2E2P1E1R
P3P1E1P2E2R P3P1E2P2E1R
có hình thức nhưP P EP ER.Vì vậy, có6!/(3!.2!) = 60cách xếp kí tự khác từ ký tựP P EP ER.
Các hoán vị phần tử lặp lại gọi hốn vị lặp Chúng ta có định nghĩa xác sau:
Định nghĩa 1.2.2 Một hốn vị chập lặp cách xắp xếp có thứ tựnphần tử khơng thiết phân biệt
Từ ví dụ (1.2.8), cách tổng quát rằng, có n!
n1!.n2! nk!
hốn vị lặp khác củan phần tử, đón1 phần tử nhau,n2 phần tử nhau, ,nk
(4)4 Chương GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ví dụ 1.2.9 Một vịng thi đấu cờ vua có10đấu thủ Trong có4người Nga,3người Mỹ,2người Anh và1người Brazil Kết vòng thi đấu ghi quốc tịch đấu thủ theo vị trí mà họ đạt Hỏi có kết có thể?
Giải Có
10!
4!.3!.2!.1! = 12600 kết
Ví dụ 1.2.10 Có tín hiệu khác nhau, tính hiệu gồm cờ treo hàng, tạo từ tập gồm4cờ trắng,3cờ đỏ và2cờ xanh tất cờ màu giống hệt nhau?
Giải Có
9!
4!.3!.2! = 1260 tín hiệu khác
1.3 Tổ hợp
Chúng ta thường quan tâm đến việc xác định số nhóm khác gồmkphần từ xây dựng từ tổng thể gồmnphần tử Ví dụ, có nhóm gồm chữ chọn từ chữ cáiA, B, C, DvàE? Để trả lời câu hỏi ta lý giải sau: Vì có năm cách chọn phần tử đầu tiên, cách chọn phần tử cách chọn phần tử cuối Vì có5.4.3cách chọn nhóm gồm phần tử thứ tự nhóm chọn có liên quan Tuy nhiên, nhóm gồm 3phần tử, chẳng hạn nhóm gồm ba chữ cáiA, B, C đếm6lần(nghĩa tất hoán vị ABC, ACB, BAC, CAB vàCBAsẽ đếm thứ tự lựa chọn quan trọng) Từ suy số nhóm phân biệt gồm3chữ tạo
5.4.3 3! = 10
Mỗi nhóm gồm3phần tử gọi tổ hợp chập3của5phần tử số nhóm gồm3phần tử gọi số tổ hợp chập3của5 Ta có định nghĩa tổng quát sau Định nghĩa 1.3.3 Cho tậpnphần tử Một tổ hợp chậpkcủanphần tử(06k 6n) tập gồmkphần tử lấy từ tậpnphần tử cho
Số tổ hợp chậpkcủanphần tử, ký hiệuCk
n, xác định bỡi
Cnk= n(n−1) .(n−k+ 1) k!
Cần nhấn mạnh tập gồmkphần tử khơng phân biệt thứ tự phần tử chọn
Ví dụ 1.3.11 Một hội nghị gồm3người thành lập từ nhóm20người Hỏi thành lập hội nghị khác ?
Giải
(5)1.3 Tổ hợp
Ví dụ 1.3.12 Từ nhóm gồm5nữ và7nam, hỏi thành lập hội nghị khác gồm2nữ và3nam? Trong trương hợp có hai người nam hận thù khơng chịu tham gia hội nghị thành lập hội nghị ?
Giải
Vì thành lập C52 nhóm gồm2phụ nữ vàC73 nhóm gồm3nam nên từ tính chất ta suy lập đượcC2
5.C73 = 350hội nghị gồm2nữ và3nam
Mặt khác, có hai người đàn ơng từ chối tham gia hội nghị cóC0
2C52cách
chọn nhóm3người đàn ơng khơng có hai người hận thù cóC21.C52cách chọn nhóm3người nhóm chứa hai người đàn ông hận thù Như cóC0
2.C53 +c12.C52 = 30
(6)(7)Chương 2
PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
2.1. PHÉP THỬ VÀ SỰ KIỆN
2.1.1. Phép thử kiện
Định nghĩa 2.1.4 Phép thử thí nghiệm lặp lại điều kiện bên giống hệt kết phân tử khơng đốn trước tập hợp định
Vậy kiện phép thử gồm có: - Việc mơ tả máy thí nghiệm việc dẫn điều kiện tiến hành
- Việc xác định tập hợp kết thí nghiệm Ta xét ví du sau:
Ví dụ 2.1.13 Ta gieo đồng tiền đồng chất xuống mặt phẳng quan sát mặt xuất phép thử Phép thử có hai kết đồng tiền xuất mặt sấp( S) mặt ngữa( N) Ví dụ 2.1.14 Gieo xúc xắc cân xứng đồng chất mặt phẳng quan sát mặt xuất phép thử Các kết phép thử xuất mặt xúc xắc mà ta ký hiệu số mặt:1,2,3,4,5,6
Ví dụ 2.1.15 Trong hộp kín cómbi đỏ,nbi xanh hồn tồn giống kích thước, trọng lượng Lấy ngẫu nhiên bi quan sát xem bi có màu phép thử Phép thử có hai kết quả: bi lấy màu xanh bi lấy màu đỏ
2.1.2 Sự kiện liên kết với phép thử
Sự kiện (hay gọi biến cố) khái niệm thường gặp lý thuyết xác suất Ta khơng có định nghĩa chặt chẽ khái niệm Sự kiệnđược hiểu việc, tượng sống tự nhiên xã hội
Định nghĩa 2.1.5 Một kiện lên kết với phép thử kiện xảy hay khơng xảy tùy thuộc vào kết phép thử
Sự kiện thường ký hiệu chữ in hoaA, B, C,
Một kiện xảy có kết cụ thể số kết phép thử gọi làsự kiện bản hay cịn gọi làsự kiện sơ cấp Tập hợp tất kiện sơ cấp gọi không gian sơ cấp, ký hiệuΩ
Sự kiện tất yếulà kiện xảy thực phép thử
Sự kiện bất khảlà kiện không xảy thực phép thử
(8)8 Chương PHÉP TÍNH XÁC SUẤT Ví dụ 2.1.16 Ta gieo đồng tiền đồng chất xuống mặt phẳng quan sát mặt xuất Gọi N kiện xuất mặt ngữa,Slà kiện xuất mặt sấp Ta cóS, N kiện sơ cấp không gian sơ cấp làΩ ={S, N}
GọiAlà kiện khơng xuất mặt thìAlà kiện bất khả GọiBlà kiện xuất mặt đồng tiền,B kiện tất yếu
Ví dụ 2.1.17 Gieo xúc xắc cân xứng đồng chất mặt phẳng quan sát mặt xuất GọiMilà kiện xuất mặtichấm (i = 1, ,6),Milà kiện sơ cấp Không
gian sơ cấpΩ ={M1; M2; M3; M4; M5; M6}
GọiAlà kiện xuất mặt có số chấm số chẵn Khi đóAxảy khiM2hoặcM4
hoặcM6xảy Ta đồng kiệnAvới tập hợp{M2; M4; M6} Ta viết
A={M2; M4; M6} ⊂Ω
các kiện sơ cấpM2; M4; M6gọi kiện thuận lợi cho kiệnAvàAxảy
khi kiện sơ cấp thuộc xảy
Tương tự, gọiB kiện xúc xắc xuất mặt có số chấm số lẽ,Clà kiện xúc xắc xuất mặt có số chấm lớn 4,Dlà kiện tất yếu,Elà kiện bất khả Ta có:
B ={M1; M3; M5} C ={M5; M6} D= Ω E =∅
Như với cách ký hiệu ta thấy:
- Mỗi kiện tương ứng với tập hợp không gian sơ cấp ngược lại, tập của
Ωxác định kiện Như vậy, kiện xem tập không gian sơ cấp.
- Nếu kiệnA⊂Ωthì kiện sơ cấp thuộcAgọi kiện thuận lợi cho kiệnA.
2.1.3 Các phép toán quan hệ kiện
• Tổng:Tổng hai kiệnAvàB, ký hiệuA+B(hoặcA∪B), kiện xảy ít hai kiệnA, Bxảy
• Tích: Tích hai kiệnAvàB, ký hiệuA.B (hoặcA∩B), kiện xảy cảA vàBđồng thời xảy
• Hiệu:Hiệu hai kiệnAvàB, ký hiệuA−B (hayA\B), kiện xảy khiAxảy vàBkhông xảy ra, tức làA−B =A.B.
• Đối lập: Đối lập củaA, ký hiệu A, kiện không xảy kiệnA Ta suy ra A = A A+A= Ω: kiện tất yếu,A.A=∅: kiện bất khả,Ω =∅
• Xung khắc:Hai kiệnAvàB gọi xung khắc chúng khơng thể xảy ra, tứcA.B =∅ • Kéo theo: Sự kiệnAgọi kéo theo kiệnB, ký hiệuA ⇒ B, kiệnAxảy
kiệnBxảy ra, tức làA⊂B
• Tương đương: Hai kiệnAvàB gọi tương đương, ký hiệuA =B, kiệnAxảy kiệnBxảy ngược lại, tức làA⊂BvàB ⊂A.
(9)2.1 PHÉP THỬ VÀ SỰ KIỆN Ví dụ 2.1.18 Gieo hai đồng tiền cân đối đồng chất lên mặt phẳng Gọi:
A= Sự kiện xuất mặt sấp (S) đồng tiền thứ B= Sự kiện xuất mặt ngữa (N) đồng tiền thứ C= Sự kiện xuất mặt ngữa (N) đồng tiền thứ D= Sự kiện xuất mặt sấp (S)
E= Sự kiện xuất nhiều mặt sấp (S)
a) Xác định không gian sơ cấp biểu diễn kiện theo ngôn ngữ tập hợp
b) Hãy diễn tả kiện sau ngôn ngữ thông thường ngôn ngữ tập hợp: A∪B, A∪C, BC, BD, CE, A, B, D, E, AB∪C.
c) GọiF kiện không xuất mặt ngữa.F tương đương với kiện Giải
a) Ta ký hiệuXY nghĩa là: X mặt xuất đồng tiền thứ nhất,Y mặt xuất đồng tiền thứ 2.X, Y nhân hai giá trị sấp (S) ngữa (N) Khi ta có khơng gian sơ cấp là:
Ω = {SS, SN, N N, N S}
A={SS, SN}, B ={SN, N N}, C ={N N, N S}, D ={SS, SN, N S}, E ={SN, N N, N S} b) Ta có:
A∪B: kiện đồng tiền thứ xuất mặt sấp đồng tiền thứ hai xuất mặt ngữa A∪B ={SS, SN, N N}
A ∪ C: kiện đồng tiền thứ xuất mặt sấp ngữa Đây kiện tất yếu, A∪C = Ω
BC: kiện hai đồng tiền xuất mặt ngữa,BC ={N N}
BD: kiện đồng tiền thứ xuất mặt sấp đồng tiền thứ hai xuất mặt ngữa. BD={SN}
CE: kiện đồng tiền thứ xuất mặt ngữa ( ýC ⇒E, CE=C).CE ={N S, N N} Các trường hợp khác làm tương tự, dành lại tập
(10)10 Chương PHÉP TÍNH XÁC SUẤT 2.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT
2.2.1. Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển
Định nghĩa 2.2.6 Xét phép thử với không gian sơ cấp bao gồmnkết đồng khả Giả sử kiệnAbao gồmmkết thuận lợi choAxảy Khi đó, xác suất kiện( biến cố)A, ký hiệu P(A), định nghĩa công thức
P(A) = m n =
Số kết thuận lợi choAxảy Tổng số kết không gian sơ cấp
Ví dụ 2.2.19 Gieo đồng thời hai đồng tiền cân xứng đồng chất Tính xác suất để hai đồng xuất khác nhau?
Giải
Ta có khơng gian sơ cấpΩ ={(S, N); (S, S); (N, S); (N, N)} Trong đó,S, N ký hiệu cho xuất mặt sấp xuất mặt ngữa kết quả(S, N)nghĩa đồng tiền thứ xuất mặtSvà đồng tiền thứ hai xuất mặtN, ký hiệu khác tương tự
GọiAlà kiện hai mặt đồng tiền xảy khác nhau, ta có: A={(S, N); (N, S)} Vậy xác xuất kiệnAlà:P(A) = 24 = 0,5
Ví dụ 2.2.20 Một người gọi điện thoại quên hai số cuối số điện thoại cần gọi mà nhớ hai số khác Tìm xác suất để người quay ngẫu nhiên lần trúng số cần gọi?
Giải
GọiAlà kiện người quay ngẫu nhiên lần trúng số cần gọi
Ta có, kết cách gọi số cuối nên khơng gian sơ cấp có số kết quả: n=A210= 90 Trong số kết thuận lợi choA:m=
Vậy xác suất kiệnA:P(A) = 901
Ví dụ 2.2.21 Một hộp có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy phẩm
Giải
Mỗi kết kết cách lấy sản phẩm khác từ 10 sản phẩm nên khơng gian sơ cấp có số kết là:n=C3
10= 120 Số kết thuận lợi choAlà số cách lấy phẩm từ
phẩm:m =C3 = 35
Vậy xác suất kiệnAlàP(A) = 12035 = 247
Từ định nghĩa cổ điển xác suất, ta dễ dàng suy tính chất sau: • 06P(A)61;
• P(Ω) = 1; P(∅) = 0;
• NếuA, B xung khắc (AB =∅) thìP(A+B) = P(A) +P(B); • P(A) = 1−P(A);