Đây là bộ tài liệu đầy đủ về lý thuyết xác suất và thống kê. dẫn lý thuyết, có ví dụ minh học, bài tập có lời giải, bài tập tự giải. đây là tài liệu tốt cho sinh viên các trường đại học, cao đẳng có học môn xác suất và thống kê.
dvntailieu.wordpress.com XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ĐẠI HỌC ố tiế tiết: 30 - PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Các khái niệm xác suất Chương Biến ngẫu nhiên Chương Vector ngẫu nhiên Chương Định lý giới hạn xác suất Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục Đặng Hấn – Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Phạm Xn Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Biên soạ soạn: ThS Đồ Đồn Vương Ngun Download Slide bà giả giảng XSTK_ XSTK_ĐH dvntailieu.wordpress.com Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp Quy tắc nhân • Giả sử cơng việc chia thành k giai đoạn Có n1 cách thực giai đoạn thứ 1, , có nk cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có: n = n1…nk cách thực tồn cơng việc • Giả sử có k cơng việc A1, , Ak khác Có n1 cách thực A1 , , có nk cách thực Ak Khi ta có: n = n1…nk cách thực tồn k cơng việc Quy tắc cộng • Giả sử cơng việc thực k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho n1 kết quả,…, cách thứ k cho nk kết Khi việc thực cơng việc cho n = n1 +… + nk kết Xác suất - Thống kê Đại học Wednesday, September 22, 2010 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Lý thuyết mẫu Chương Ước lượng khoảng Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương Bài tốn Tương quan Hồi quy Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Nguyễn Thanh Sơn – Lê Khánh Luận – Lý thuyết Xác suất Thống kê tốn – NXBTKê Đậu Thế Cấp – Xác suất – Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp Tính chất phép tốn ∩, ∪ a) Tính giao hốn: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A b) Tính kết hợp: (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ), (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) c) Tính phân phối: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ), A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) d) Tính đối ngẫu (De–Morgan): A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp Phân biệt cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử Có cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử, n phần tử ln coi khác chất chúng giống Đó là: Chọn lần k phần tử khơng để ý đến thứ tự chúng (Tổ hợp) Chọn lần k phần tử để ý đến thứ tự chúng (Chỉnh hợp) Chọn k lần, lần phần tử khơng hồn lại (số cách chọn Chỉnh hợp) Chọn k lần, lần phần tử có hồn lại (Chỉnh hợp lặp) dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp a) Tổ hợp • Tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n ) nhóm (bộ) khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu tính n! k theo cơng thức: C n = Quy ước: 0! = k ! (n − k ) ! Tính chất: C nk = C nn −k ; −1 C nk = C nk − + C nk −1 b) Chỉnh hợp • Chỉnh hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n ) nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Chương Các khái niệm xác suất §1 Biến cố ngẫu nhiên §2 Xác suất biến cố §3 Cơng thức tính xác suất …………………… §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Phép thử biến cố • Phép thử việc thực thí nghiệm hay quan sát tượng để xem có xảy hay khơng Phép thử mà ta khơng khẳng định cách chắn kết trước thực phép thử gọi phép thử ngẫu nhiên • Hiện tượng có xảy hay khơng phép thử gọi biến cố ngẫu nhiên Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Bổ túc về Đạ Đại số số Tổ hợp Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu tính theo cơng thức: n! Ank = n(n − 1) (n − k + 1) = (n − k )! c) Chỉnh hợp lặp • Chỉnh hợp lặp k n phần tử nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử khơng thiết khác chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp lặp k n phần tử nk Nhận xét: Tổ hợp Chỉnh hợp Chỉnh hợp lặp C nk < Ank = n(n − 1) (n − k + 1) < n k Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất • Biến cố ngẫu nhiên thường ký hiệu A, B, C… VD • Tung đồng tiền lên phép thử, biến cố “mặt sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện” • Chọn ngẫu nhiên số sản phẩm từ lơ hàng để kiểm tra phép thử, biến cố “chọn sản phẩm tốt” hay “chọn phế phẩm” • Gieo số hạt lúa phép thử, biến cố “hạt lúa nảy mầm” hay “hạt lúa khơng nảy mầm” 1.2 Phân loại biến cố a) Biến cố sơ cấp khơng gian biến cố sơ cấp • Trong phép thử, biến cố khơng thể phân nhỏ thành nhiều biến cố gọi biến cố sơ cấp (VD 6) Ký hiệu biến cố sơ cấp chữ ωi Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất • Trong phép thử, tập hợp tất biến cố sơ cấp gọi khơng gian biến cố sơ cấp Ký hiệu khơng gian biến cố sơ cấp Ω = {ωi , i = 1, 2, } 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ kéo theo • Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B , A xảy suy B xảy b) Biến cố chắn biến cố khơng thể • Trong phép thử, biến cố định xảy (chắc chắn xảy ra) biến cố chắn, ký hiệu Ω VD Theo dõi gà mái đẻ trứng ngày Gọi: Ai : “có i gà mái đẻ trứng ngày”, i = 0, • Biến cố khơng thể (rỗng) biến cố khơng thể xảy thực phép thử, ký hiệu ∅ B : “có nhiều gà mái đẻ trứng ngày” Ta có: A3 ⊂ B , A4 ⊂ B , A0 ⊄ B , A1 ⊄ B , A2 ⊄ B VD Từ nhóm có nam nữ chọn người Khi đó, biến cố “chọn người nữ” khơng thể, biến cố “chọn nam” chắn b) Quan hệ tương đương • Hai biến cố A B gọi tương đương với nhau, ký hiệu A = B , A ⊂ B B ⊂ A Xác suất - Thống kê Đại học dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất c) Tổng hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố ký hiệu A ∪ B hay A + B , biến cố tổng xảy hai biến cố A B xảy VD Người thợ săn bắn hai viên đạn vào thú Gọi A1: “viên đạn thứ trúng thú” A2: “viên đạn thứ hai trúng thú” A: “con thú bị bị trúng đạn” A = A1 ∪ A2 d) Tích hai biến cố • Tích hai biến cố A B biến cố ký hiệu A ∩ B hay AB , biến cố tích xảy biến cố A xảy biến cố B xảy Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất e) Biến cố đối lập • Hiệu hai biến cố A B biến cố ký hiệu A \ B , biến cố hiệu xảy biến cố A xảy biến cố B khơng xảy • Đối lập biến cố A biến cố ký hiệu A , A xảy A khơng xảy Ta có A = Ω \ A VD Một người bắn viên đạn vào bia Gọi Ai : “có i viên đạn trúng bia” (i = 0, 1, 2) B: “có khơng q viên đạn trúng bia” Khi đó: B = A2 , A0 = A1 ∪ A2 A1 = A0 ∪ A2 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất VD Một người dự thi lấy lái xe máy Gọi A : “người thi đạt vòng thi lý thuyết” B : “người thi đạt vòng thi thực hành” C : “người lấy lái xe máy” C = A ∩ B VD Xét phép thử gieo hạt lúa • Gọi Ai biến cố “hạt thứ i nảy mầm” (i = 1, 2), Ki biến cố “hạt thứ i khơng nảy mầm” (i = 1, 2) Khi đó, biến cố tích sau biến cố sơ cấp: K1 ∩ K , A1 ∩ K , K1 ∩ A2 , A1 ∩ A2 Ω = {K1K ; A1K ; K1A2 ; A1A2 } • Gọi B biến cố “có hạt nảy mầm” biến cố B khơng phải biến cố sơ cấp B = A1K ∪ K1A2 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất 1.4 Hệ đầy đủ biến cố a) Hai biến cố xung khắc • Hai biến cố A B gọi xung khắc phép thử, A xảy B khơng xảy ngược lại B xảy A khơng xảy VD Một hộp 10 viên phấn có màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên viên phấn từ hộp Gọi A: “chọn viên phấn màu đỏ” B: “chọn viên phấn màu xanh” A B xung khắc Nhận xét Hai biến cố đối lập xung khắc, ngược lại khơng Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất b) Hệ đầy đủ biến cố • Họ biến cố {Ai} (i = 1,…, n) gọi hệ đầy đủ biến cố thỏa mãn điều sau: 1) Họ xung khắc, nghĩa Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j 2) Có biến cố họ xảy phép thử, nghĩa A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = Ω VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Ai : “hạt lúa bốc bao thứ i ”, i = 1, { } Khi đó, hệ A1 ; A2 ; A3 ; A4 đầy đủ Chú ý { } Trong phép thử, A; A đầy đủ với biến cố A tùy ý Xác suất - Thống kê Đại học Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất §2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển a) Số trường hợp đồng khả • Hai hay nhiều biến cố phép thử có khả xảy gọi đồng khả VD Trong liệu máy tính trường, ngân hàng đề có 100 đề thi Cho máy chọn ngẫu nhiên đề khả chọn đề thi b) Định nghĩa • Trong phép thử có tất n biến cố sơ cấp đồng khả năng, có m khả thuận lợi cho biến cố A xuất xác suất (probability) A là: P (A) = m Số trường hợp thuận lợi cho A xảy = n Số trường hợp xảy dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Nhận xét ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ; P(∅) = ; P(Ω) = VD Một số điện thoại cố định thành phố H gồm chữ số Giả sử người gọi cách ngẫu nhiên đến điện thoại cố định thành phố H có hai chữ số đầu 83 Tính xác suất người gọi số điện thoại: 1) Chữ số thứ ba chữ số lại đối xứng 2) Chữ số thứ ba 6, chữ số lại khác chữ số cuối lẻ VD Một hộp có 10 sản phẩm có phế phẩm Chọn ngẫu nhiên (1 lần) từ hộp sản phẩm Tính xác suất để có: 1) Cả sản phẩm tốt; 2) Đúng phế phẩm Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Ưu điểm hạn chế định nghĩa dạng cổ điển • Ưu điểm: Tính xác giá trị xác suất mà khơng cần thực phép thử • Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vơ hạn biến cố biến cố khơng đồng khả Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42591 bé gái sinh tổng số 88273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 Nhận xét Định nghĩa xác suất theo dạng thống kê cho giá trị xấp xỉ mức độ xác tùy thuộc vào số lần thực phép thử 2.3 Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo) • Cho miền Ω Gọi độ đo Ω độ dài, diện tích, thể tích (ứng với Ω đường cong, miền phẳng, khối) Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền Ω Xác suất - Thống kê Đại học Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất VD Một bàn tròn đám cưới có 10 chỗ ngồi Giả sử người ngồi vào chỗ cách ngẫu nhiên (lấy sân khấu làm chuẩn) Tính xác suất để cặp vợ chồng xác định trước ngồi cạnh VD Một lớp có 60 học sinh có 28 em giỏi Tốn, 30 em giỏi Lý, 32 em giỏi Ngoại ngữ, 15 em vừa giỏi Tốn vừa giỏi Lý, 10 em vừa giỏi Lý vừa giỏi Ngoại ngữ, 12 em vừa giỏi Tốn vừa giỏi Ngoại ngữ, em giỏi mơn Chọn ngẫu nhiên em học sinh lớp Tính xác suất để: 1) Chọn em giỏi mơn 2) Chọn em giỏi mơn Tốn 3) Chọn em giỏi mơn Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất 2.2 Định nghĩa xác suất dạng thống kê • Thực phép thử n lần thấy có m lần m biến cố A xuất tỉ số gọi tần suất n biến cố A Khi n thay đổi, tần suất thay đổi m ln dao động quanh số cố định p = lim Số p cố n →+∞ n định gọi xác suất biến cố A theo nghĩa m thống kê Trong thực tế, n đủ lớn P( A) ≈ n VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12000 lần thấy có 6019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24000 lần thấy có 12012 lần sấp (tần suất 0,5005) Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Gọi A biến cố: “điểm M thuộc miền S ⊂ Ω ”, ta có: độ đo S P (A) = độ đo Ω VD Tìm xác suất điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác có cạnh cm Giải Gọi A: “điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp” Diện tích tam giác là: 22 dt(Ω) = = cm Bán kính hình tròn là: 3 r= = cm 3 dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất 2 π π ⇒ dt(S ) = π = ⇒ P (A) = = 0, 6046 3 VD Hai người bạn hẹn gặp địa điểm xác định khoảng từ 7h đến 8h Mỗi người đến (và chắn đến) điểm hẹn cách độc lập, khơng gặp người đợi 30 phút đến khơng đợi Tìm xác suất để hai người gặp Giải Chọn mốc thời gian 7h Gọi x, y (giờ) thời gian tương ứng người đến điểm hẹn, ta có ≤ x , y ≤ và: x − y − 0, ≤ x − y ≤ 0, ⇔ x − y + 0, ≥ Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất • Nếu A B hai biến cố tùy ý thì: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ VD Có 33 người dự thi lấy lái xe chỗ ngồi qua vòng thi: vòng thi lý thuyết vòng thi thực hành Biết có 17 người thi đỗ vòng 1, 14 người thi đỗ vòng 11 người trượt vòng thi Chọn ngẫu nhiên người danh sách dự thi Tìm xác suất để người thi đỗ vòng thi • Nếu A B xung khắc thì: P(A ∪ B ) = P(A) + P (B ) • Nếu họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) xung khắc đơi thì: P (A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) =P(A1 )+P(A2 )+ +P(An ) Đặc biệt () Giải Gọi A: “người thi đỗ vòng thi”, Ai : “người thi đỗ vòng thứ i ”, i = 1; ( ) P A = − P(A); P(A) = P(AB ) + P A B Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Ta có: P(A) = P(A1 ∪ A2 ) − P(A1A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − 2P(A1A2 ) (*) ( Mặt khác: P(A1A2 ) = − P A ∪ A1 A2 ( ) ) ( ) = − P(A) + P A1 A2 − P A ∩ A1 A2 11 ⇒ P(A1A2 ) = − P(A) − = − P(A) 33 Thay P(A1A2 ) vào (*) ta được: 2 17 14 13 P (A) = + − − P (A) ⇒ P(A) = 33 33 33 3 Xác suất - Thống kê Đại học Suy Ω hình vng S miền gặp Vậy: dt(S ) P= = = 75% dt(Ω) 2.4 Ý nghĩa xác suất • Xác suất số đo mức độ tin chắc, thường xun xảy biến cố phép thử 2.5 Tính chất xác suất 1) Nếu A biến cố tùy ý ≤ P(A) ≤ 2) P(∅) = 3) P(Ω) = 4) Nếu A ⊂ B P(A) ≤ P(B ) 3.2 XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN 3.2.1 Định nghĩa • Trong phép thử, xét biến cố A B với P(B ) > Xác suất có điều kiện A với điều kiện B xảy ký hiệu định nghĩa: P (A ∩ B ) P AB = P (B ) ( ) VD Một nhóm 10 sinh viên gồm nam nữ có nam 18 tuổi nữ 18 tuổi Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ nhóm Gọi A : “sinh viên chọn nữ”, B : “sinh viên chọn 18 tuổi” dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất ( ) ( ) Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Hãy tính P (A), P (B ), P (A ∩ B ), P A B , P B A ? 3.2.2 Cơng thức nhân xác suất Nhận xét 1) P (A B ) = P (A ).P B A = P (B ).P A B a) Sự độc lập hai biến cố ( ) ( ) ( ) 2) Khi tính P A B với điều kiện B xảy ra, nghĩa ta hạn chế khơng gian mẫu Ω xuống B hạn chế A xuống A ∩ B Tính chất 1) ≤ P A B ≤ ; P A B = A, B xung khắc ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) A B gọi hai biến cố độc lập B có xảy hay khơng khơng ảnh hưởng đến khả xảy A ngược lại Ví dụ, xét hai máy hoạt động hai dây chuyền khác có máy hỏng khơng ảnh hưởng đến hoạt động máy lại 2) P B B = ; P Ω B = ; P A B = B ⊂ A ( ) ( 3) P A B = − P A B ) Chú ý Nếu A, B độc lập với A, B độc lập; A, B độc lập A, B độc lập 4) Nếu A1 A2 xung khắc thì: P (A1 ∪ A ) B = P A1 B + P A B ( ) ( ) Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất b) Cơng thức nhân • Nếu A B hai biến cố khơng độc lập thì: ( ) ( ) P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A Nếu A B hai biến cố độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (A).P (B ) • Nếu n biến cố Ai , i = 1, , n khơng độc lập thì: ( ) ( ) P (A1A2 An ) = P (A1 ) P A2 A1 P An A1 An −1 VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất VD Một người nơng dân tiến hành phun thuốc trừ sâu hại lúa lần liên tiếp tuần Xác suất sâu chết sau lần phun thứ 0,5 Nếu sâu sống sót khả sâu chết sau lần phun thứ hai 0,7; tương tự, sau lần phun thứ ba 0,9 Tính xác suất sâu bị chết sau lần phun thuốc VD Trong dịp tết, người A đem bán mai lớn mai nhỏ Xác suất bán mai lớn 0,9 Nếu bán mai lớn xác suất bán mai nhỏ 0,7 Nếu mai lớn khơng bán xác suất bán mai nhỏ 0,2 Biết người A bán mai, xác suất để người A bán hai mai là: A 0,63; B 0,6848; C 0,4796; D 0,87 Xác suất - Thống kê Đại học VD Một người nhốt chung gà mái gà trống lồng đem bán Người bán bắt ngẫu nhiên gà bán nó, tiếp đến người bán bắt ngẫu nhiên khác Tính xác suất người bán bắt gà thứ hai gà trống nếu: 1) Con gà thứ bán gà mái 2) Người bán khơng nhớ bán gà trống hay mái VD Một cầu thủ bóng rổ có bóng ném vào rổ Nếu bóng vào rổ hết bóng cầu thủ ngừng ném Biết lần ném độc lập xác suất vào rổ bóng thứ 1, 2, 3, 90%, 80%, 85%, 70% Tính xác suất cầu thủ ném bóng vào rổ Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất 3.2.3 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes a) Cơng thức xác suất đầy đủ • Cho họ biến cố {Ai }, i = 1; n đầy đủ B biến cố phép thử, ta có: n ( P (B ) = ∑ P (Ai ) B Ai i =1 ( ) ) ( ) = P (A1 )P B A1 + + P (An )P B An VD Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1% 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất Chương Cá Các khái niệ niệm bả củ xá xác suấ suất b) Cơng thức Bayes • Cho họ biến cố {Ai }, i = 1; n đầy đủ B biến cố phép thử Xác suất để Ai xuất sau xuất B là: ( ) P Ai B = ( P (Ai )P B Ai ) n ∑ P(Ai )P (B Ai ) = ( P (Ai )P B Ai P (B ) ) i =1 VD 10 (Xét tiếp VD 9) Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? VD 11 Tỉ lệ ơtơ tải, ơtơ xe máy qua đường X có trạm bơm dầu : : 13 Xác suất để ơtơ tải, ơtơ xe máy qua đường vào bơm dầu 0,1; 0,2 0,15 Biết có xe qua đường X vào bơm dầu, tính xác suất để ơtơ ? VD 12 Một thống kê cho thấy tỉ lệ cặp trẻ sinh đơi khác trứng có giới tính 0,495; cặp trẻ sinh đơi trứng ln có giới tính Giả sử tỉ lệ cặp trẻ sinh đơi trứng p (tính tổng số cặp trẻ sinh đơi) Nếu biết cặp trẻ sinh đơi có giới tính xác suất chúng sinh đơi trứng 50/149, giá trị p là: A p = 0, 05 ; B p = 0,1 ; C p = 0, ; D p = 0, 23 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên §1 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối §2 Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên §3 Một số luật phân phối xác suất thơng dụng ……………………… §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Khái niệm phân loại biến ngẫu nhiên a) Khái niệm • Một biến cố gọi ngẫu nhiên kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên • Các biến ngẫu nhiên ký hiệu: X, Y, Z, … giá trị tương ứng chúng x, y, z,… Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Khi tiến hành gieo n hạt đậu ta chưa thể biết có hạt nảy mầm, số hạt nảy mầm có 0, 1, …, n Kết thúc phép thử gieo hạt ta biết chắn có hạt nảy mầm Gọi X số hạt nảy mầm X biến ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, …, n} b) Phân loại biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên (BNN) gọi rời rạc giá trị có lập nên tập hợp hữu hạn đếm • Biến ngẫu nhiên gọi liên tục giá trị có lấp đầy khoảng trục số Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD • Biến X VD BNN rời rạc (tập hữu hạn) • Gọi Y số người qua ngã tư đường phố Y BNN rời rạc (tập đếm được) • Bắn viên đạn vào bia, gọi X (cm) “khoảng cách từ điểm chạm viên đạn đến tâm bia” X BNN liên tục • Gọi Y “sai số đo đại lượng vật lý” Y BNN liên tục Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 1.1.2 BNN rời rạc, bảng phân phối xác suất • Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X, X = {x1 , x , , xn , } với xác suất tương ứng P(X = xi ) = pi , i = 1, 2, Ta có phân phối xác suất X dạng bảng: x1 x … x n … X P(X = xi ) p1 Chú ý 1) pi ≥ ; p2 … pn … ∑ pi = 1, i = 1, 2, 2) Trong trường hợp giá trị xi , pi có tính quy luật, thay cho việc lập bảng ta mơ tả đẳng thức: P(X = xi ) = pi , i = 1, 2, Xác suất - Thống kê Đại học dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Xác suất để người thi đạt thi lấy lái xe 0,3 Người thi đạt thơi Gọi X số lần người dự thi (mỗi lần thi độc lập) 1) Lập bảng phân phối xác suất X 2) Tính xác suất để người phải thi khơng lần VD Một hộp có viên phấn trắng viên phấn đỏ Một người lấy phấn ngẫu nhiên (mỗi lần viên khơng trả lại) từ hộp lấy viên phấn đỏ Gọi X số lần người lấy phấn Hãy lập bảng phân phối xác suất X ? Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Cho hai BNN X, Y độc lập với bảng ppxs sau: X Y −1 P( X = xi ) 0,3 0,4 0,3 P(Y = y j ) 0,4 0,6 Hãy lập bảng phân phối xác suất X , X + Y , XY Giải • Ta có P (X = x i2 ) = P (X = x i ) , suy ra: X2 P (X = x ) 0,3 0,4 0,3 i • Ta có (X + Y = − 1) = (X = 0) ∩ (Y ⇒ P (X + Y = − 1) = P (X = 0).P (Y P (X + Y = 0) = P (X = 1).P (Y = P (X + Y = 1) = P (X = 0).P (Y = = − 1) = − 1) = 0, 12 ; − 1) = 0, 16 ; 1) + P (X = 2).P (Y = − 1) = 0, 30; Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên P (X + Y = 2) = P (X = 1).P (Y = 1) = 0, 24 ; P (X + Y = 3) = P (X = 2).P (Y = 1) = 0,18 X +Y −1 P (X + Y = k ) 0,12 0,16 0,30 0,24 0,18 • Ta có P (XY = −2) = P (X = 2).P (Y = −1) = 0,12 ; P (XY = −1) = P (X = 1).P (Y = −1) = 0,16 ; P (XY = 0) = P (X = 0).P (Y = −1) + P (X = 0).P (Y = 1) = 0, 30; P (XY = 1) = P (X = 1).P (Y = 1) = 0, 24 ; P(XY = 2) = P (X = 2).P (Y = 1) = 0,18 XY −2 − 1 P(XY = k ) 0,12 0,16 0,30 0,24 0,18 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên ( X ;Y ) = (2; ) ⇒ Z = 9, p = 0, ; ( X ;Y ) = (2; 1) ⇒ Z = 8, p = 0, Sắp xếp giá trị Z xác suất tương ứng, ta có: 10 Z P (Z = k ) 0,05 0,15 0,30 0,20 0,30 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Cho bảng ppxs đồng thời hai BNN X Y: Y –1 X 0,10 0,15 0,05 0,30 0,20 0,20 Hãy lập bảng phân phối xác suất BNN Z nếu: 1) Z = 2X −Y + ; 2) Z = X − Y Giải 1) (X ;Y ) = (1; −1) ⇒ Z = 8, p = 0,1; (X ;Y ) = (1; 0) ⇒ Z = 7, p = 0,15 ; (X ;Y ) = (1; 1) ⇒ Z = 6, p = 0, 05 ; (X ;Y ) = (2; −1) ⇒ Z = 10, p = 0, ; Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 1.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ • Cho BNN liên tục X Hàm f (x ), x ∈ ℝ gọi hàm mật độ xác suất X thỏa hai điều kiện: f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ; 2) ( X ;Y ) = (1; − 1) ⇒ Z = 0, p = 0, ; +∞ ∫ ( X ;Y ) = (1; ) ⇒ Z = 1, p = 0, ; ( X ;Y ) = (1; 1) ⇒ Z = 0, p = 0, ; ( X ;Y ) = (2; − 1) ⇒ Z = 3, p = 0, ; ( X ;Y ) = (2; ) ⇒ Z = 4, p = 0, ; ( X ;Y ) = (2; 1) ⇒ Z = 3, p = 0, Sắp xếp giá trị Z xác suất tương ứng, ta có: Z P ( Z = k ) 0,15 0,15 0,50 0,20 Xác suất - Thống kê Đại học f (x )dx = −∞ b • Khi đó, xác suất P (a < X < b) = ∫ f (x )dx a Chú ý 1) Đơi người ta dùng ký hiệu fX (x ) để hàm mật độ xác suất (gọi tắt hàm mật độ) X dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên +∞ a 2) Do P (X = a ) = ∫ f (x )dx = nên ta suy ra: 4) Nếu f (x ) thỏa f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) b = P (a < X < b) = ∫ f (x )dx a 3) Về mặt hình học, xác suất BNN X nhận giá trị (a; b ) b P (a ≤ X ≤ b ) = ∫ f (x )dx diện tích hình thang cong giới hạn x = a, x = b, y = f (x ) a f (x ) S trục Ox Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc với xác suất P (X = x i ) = pi F (x ) = ∑ pi x i xn Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 2) Mối liên hệ F (x ) với xác suất hàm mật độ xác suất: pi = F (x i +1 ) − F (x i ) f (x )dx = f (x ) hàm mật độ BNN X 4x , x ∈ (0; 1) VD Chứng tỏ f (x ) = hàm mật độ 0, x ∉ (0; 1) biến ngẫu nhiên X VD Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: 0, x < f (x ) = k , x ≥ x Tìm k tính P (−3 < X ≤ 2) Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên 1.2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.2.1 Định nghĩa • Hàm phân phối xác suất (gọi tắt hàm phân phối) biến ngẫu nhiên X , ký hiệu F (x ) FX (x ), xác suất để X nhận giá trị nhỏ x (với x ∈ ℝ ) Nghĩa là: F (x ) = P (X < x ), ∀x ∈ ℝ ∫ −∞ a Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Một phân xưởng có máy hoạt động độc lập Xác suất ngày làm việc máy hỏng tương ứng 0,1 0,2 Gọi X số máy hỏng ngày làm việc Lập hàm phân phối xác suất X vẽ đồ thị Đồ thị: 1.2.2 Tính chất hàm phân phối 1) Hàm F (x ) xác định với x ∈ ℝ 2) ≤ F (x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ; F (−∞) = 0; F (+∞) = 3) F (x ) khơng giảm: F (x1 ) ≤ F (x ) x1 < x 4) P (a ≤ X < b ) = F (b ) − F (a ) Xác suất - Thống kê Đại học dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD 10 Tuổi thọ X (giờ) thiết bị có hàm mật độ là: 0, x < 100 f (x ) = 100 , x ≥ 100 x 1) Tìm hàm phân phối xác suất X 2) Thiết bị gọi loại A tuổi thọ kéo dài 400 Tính tỉ lệ thiết bị loại A a cos x , − π ≤ x ≤ π 2 VD 11 BNN X có f (x ) = π π 0, x < − & x > 2 Tìm a hàm phân phối xác suất F(x) Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên §2 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN • Những thơng tin đọng phản ánh phần biến ngẫu nhiên giúp ta so sánh đại lượng với gọi đặc trưng số • Có ba loại đặc trưng số: Các đặc trưng số cho xu hướng trung tâm BNN: Kỳ vọng tốn, Trung vị, Mode,… Các đặc trưng số cho độ phân tán BNN: Phương sai, Độ lệch chuẩn,… Các đặc trưng số cho dạng phân phối xác suất 2.1 KỲ VỌNG TỐN (giá trị trung bình) 2.1.1 Định nghĩa • Kỳ vọng tốn (gọi tắt kỳ vọng – Expectation) biến ngẫu nhiên X , ký hiệu EX hay M (X ), số xác định sau: Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Một lơ hàng gồm 10 sản phẩm tốt phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng đó, gọi X số sản phẩm tốt sản phẩm lấy Tìm phân phối xác suất tính kỳ vọng X VD Tìm kỳ vọng biến ngẫu nhiên X có hàm mật (x + 2x ), x ∈ (0; 1) độ xác suất f (x ) = 0, x ∉ (0; 1) Chú ý 1) Nếu X BNN liên tục [a; b ] EX ∈ [a ; b ] 2) Nếu X = {x 1, , x n } thì: EX ∈ [min{x1, , x n }; max{x1, , x n }] Xác suất - Thống kê Đại học Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD 12 Thời gian chờ phục vụ khách hàng BNN X (phút) liên tục có hàm phân phối xác suất: 0, x ≤ −2 F(x ) = ax + 8a, x ∈ (−2; 3] x > 1, 1) Tìm hàm mật độ xác suất f (x ) X 2) Tính P ( ) θ b) Kiểm định hai đầu • Khi đối thuyết H có tính chất phía việc kiểm định gọi kiểm định đầu: Kiểm định giả thuyết H : θ = θ với H : θ ≠ θ • Từ sau ta xét loại kiểm định hai đầu gọn ta đặt giả thuyết H Miền bác bỏ t < −tα tα < t 32 dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ 2.1 Kiểm định giả thuyết trung bình tổng thể µ Với trung bình µ0 cho trước, tương tự tốn ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể, ta có trường hợp sau (4 trường hợp đặt giả thuyết H: µ = µ 0) a) Trường hợp Với n ≥ 30, σ2 biết 1−α B • Từ mức ý nghĩa α ⇒ = ϕ(tα ) → tα x − µ0 • Tính giá trị thống kê t = σ n • Nếu t ≤ tα ta chấp nhận H; t > tα ta bác bỏ H Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê Chú ý • Trong tất trường hợp bác bỏ, ta so sánh x µ : Nếu x > µ kết luận µ > µ Nếu x < µ kết luận µ < µ VD Trong nhà máy bánh kẹo A, máy tự động sản xuất chocolate với trọng lượng quy định 250gram độ lệch chuẩn 5gram Trong ngày, phận kiểm tra kỹ thuật chọn mẫu ngẫu nhiên gồm 32 chocolate tính trọng lượng trung bình chúng 248gram Trong kiểm định giả thuyết H: “trọng lượng chocolate máy tự động sản xuất quy định” với mức ý nghĩa α = 0, 05 Hãy cho biết giá trị thống kê t kết luận? Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê B t = 1, 7205 ; bác bỏ H, trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 6% C t = 1, 9732; chấp nhận H với mức ý nghĩa 4% D t = 1, 9732; bác bỏ H, trọng lượng thực tế bao gạo nhỏ 50 kg với mức ý nghĩa 4% VD Trọng lượng loại gà trại chăn ni A xuất chuồng 3,62 kg/con Biết trọng lượng gà biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (µ; 0, 01) Sau thời gian người ta cho gà ăn thức ăn cân thử 15 xuất chuồng thấy trọng lượng trung bình gà 3,69 kg/con Với mức ý nghĩa 2%, cho kết luận loại thức ăn này? Xác suất - Thống kê Đại học Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê b) Trường hợp Với n ≥ 30, σ2 chưa biết Ta làm trường hợp thay σ s c) Trường hợp Với n < 30, σ2 biết X có phân phối chuẩn (ta làm trường hợp 1) d) Trường hợp Với n < 30, σ2 chưa biết X có phân phối chuẩn tra bảng C • Từ cỡ mẫu n mức ý nghĩa α → tαn −1 • Tính giá trị thống kê t = • Nếu t ≤ tαn −1 x − µ0 s n ta chấp nhận H; t > tαn −1 ta bác bỏ H Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trọng lượng loại sản phẩm A theo quy định kg Kiểm tra ngẫu nhiên 121 sản phẩm A tính trọng lượng trung bình 5,795 kg phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh 5,712 (kg)2 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H: “trọng lượng sản phẩm A kg”? VD Trong nhà máy gạo, trọng lượng đóng bao theo quy định bao gạo 50 kg độ lệch chuẩn 0,3 kg Cân thử 296 bao gạo nhà máy thấy trọng lượng trung bình 49,97 kg Kiểm định giả thuyết H: “trọng lượng bao gạo nhà máy 50 kg” có giá trị thống kê t kết luận là: A t = 1, 7205 ; chấp nhận H với mức ý nghĩa 6% Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm trước 5,72 Năm theo dõi 100 SV số liệu: Điểm Số sinh viên 27 43 12 Trong kiểm định giả thuyết H: “điểm trung bình mơn Tốn sinh viên năm năm trước”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận? A α = 13, 98% B α = 13, 62% C α = 12, 46% D α = 11, 84% 33 dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Chiều cao giống (X: m) vườm ươm biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Người ta đo ngẫu nhiên 25 giống có bảng số liệu: X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số Theo quy định vườn ươm, cao m đem trồng Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H: “cây giống vườn ươm cao m” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 7984 , khơng nên đem trồng B t = 2, 7984 , nên đem trồng C t = 1, 9984 , khơng nên đem trồng D t = 1, 9984 , nên đem trồng Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Kiểm tra ngẫu nhiên 800 sinh viên trường A thấy có 128 sinh viên giỏi Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết H: “tỉ lệ sinh viên giỏi trường A 20%”? VD Để kiểm tra loại súng thể thao, người ta cho bắn 1000 viên đạn vào bia thấy có 670 viên trúng mục tiêu Sau đó, cải tiến kỹ thuật người ta nâng tỉ lệ trúng súng lên 70% Hãy cho kết luận việc cải tiến với mức ý nghĩa 1%? VD Cơng ty A tun bố có 40% người tiêu dùng ưa thích sản phẩm Một điều tra 400 người tiêu dùng thấy có 179 người ưa thích sản phẩm cơng ty A Trong kiểm định giả thuyết H: “có 40% người tiêu dùng thích sản phẩm cơng ty A”, mức ý nghĩa tối đa để H chấp nhận? Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê b) Trường hợp nx , ny ≥ 30 Ta thay σ2x , σy2 sx2 , sy2 σ2x , σy2 chưa biết Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 2.2 Kiểm định giả thuyết tỉ lệ tổng thể p • Với tỉ lệ p cho trước, ta đặt giả thuyết H : p = p 1−α B = ϕ(tα ) → tα m • Từ mẫu cụ thể, ta tính tỉ lệ mẫu f = n f − p0 giá trị thống kê t = p 0q • Từ mức ý nghĩa α ⇒ n Nếu t ≤ tα chấp nhận H, nghĩa p = p Nếu t > tα bác bỏ H, nghĩa p ≠ p Khi đó: f > p ⇒ p > p ; f < p ⇒ p < p Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê §3 KIỂM ĐỊNH SO SÁNH HAI ĐẶC TRƯNG CỦA HAI TỔNG THỂ 3.1 So sánh hai trung bình µx µy X Y Tóm tắt trường hợp • Tất trường hợp đặt giả thuyết H : µ x = µ y • Việc chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết H làm tốn kiểm định trung bình a) Trường hợp nx , ny ≥ 30 σ2x , σy2 biết x −y Ta tính thống kê t = σ2x nx đồng thời X, Y có phân phối chuẩn Ta làm trường hợp d) Trường hợp nx , ny < 30 σ2x , σy2 chưa biết đồng thời X, Y có phân phối chuẩn • Tính phương sai mẫu chung mẫu: (nx − 1)sx2 + (ny − 1)sy2 s2 = n x + ny − Xác suất - Thống kê Đại học so sánh với tα ny Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê • Tính giá trị thống kê t = x −y 1 s + n x ny trường hợp c) Trường hợp nx , ny < 30 σ2x , σy2 biết + σy2 n +ny −2 tra bảng C • Từ α → tα x so sánh với t VD Người ta cân 100 trái A nơng trường X tính x = 102gram, sx2 = 30 ; cân 150 trái A nơng trường Y tính y = 100 gram, sy2 = 31 Trong kiểm định giả thuyết H: “trọng lượng trái nơng trường nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H chấp nhận? 34 dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Người ta đo ngẫu nhiên đường kính 15 trục máy máy X sản xuất 17 trục máy máy Y sản xuất (giả sử có phân phối chuẩn) tính kết là: x = 251, mm; sx2 = 25 y = 249, mm; sy2 = 23 • Tính giá trị thống kê t = fx − fy 1 p0q + nx ny • Kết luận Nếu t ≤ tα chấp nhận H ⇒ px = py Nếu t > tα fx < fy bác bỏ H ⇒ px < py ; Nếu t > tα fx > fy bác bỏ H ⇒ px > py VD Từ hai tổng thể X Y người ta tiến hành kiểm tra mẫu có kích thước nx = 1000 , ny = 1200 tính chất A fx = 0, 27 fy = 0, Với mức ý nghĩa 9%, so sánh hai tỉ lệ px , py hai tổng thể X Y? Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trước bầu cử, người ta thăm dò 1000 cử tri thấy có 400 người nói bỏ phiếu cho ơng A Một tuần sau (vẫn chưa bầu cử), người ta tổ chức thăm dò khác thấy có 680 số 1500 cử tri hỏi bỏ phiếu cho ơng A Kiểm định giả thuyết H: “tỉ lệ cử tri ủng hộ ơng A hai lần nhau”, với mức ý nghĩa 1% có giá trị thống kê t kết luận là: A t = 2,6356; cử tri ngày ủng hộ ơng A B t = 2,6356; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi C t = 2,1349; cử tri ngày ủng hộ ơng A D t = 2,1349; cử tri ủng hộ ơng A khơng thay đổi Xác suất - Thống kê Đại học y Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê 3.2 So sánh hai tỉ lệ p , x p Với mức ý nghĩa 1%, kiểm định giả thuyết H: “đường kính trục máy máy sản xuất nhau” có giá trị thống kê kết luận là: A t = 2, 0963 , chấp nhận H B t = 2, 0963 , đường kính trục máy X lớn C t = 1, 0963, chấp nhận H D t = 1, 0963 , đường kính trục máy X lớn Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Trọng lượng trung bình 23 trái dưa hấu xã X trồng 6,72kg/trái sx = 0, 32 kg Trọng lượng trung bình 19 trái dưa hấu xã Y trồng 6,46kg/trái sy = 0, 41kg (giả sử trọng lượng dưa hấu có phân phối chuẩn) Với mức ý nghĩa 5%, có kết luận trọng lượng trái dưa hấu xã X trồng nặng dưa hấu xã Y trồng khơng? hai tổng thể X, Y Ta thực bước sau: • Đặt giả thuyết H : px = py my m x + my m • Từ mẫu ta tính fx = x , fy = , p0 = nx ny n x + ny Chương Kiể Kiểm đị định Giả Giả thuyế thuyết Thố Thống kê VD Kiểm tra 120 sản phẩm kho I thấy có phế phẩm; 200 sản phẩm kho II thấy có 24 phế phẩm Hỏi chất lượng hàng hai kho có khác khơng với: 1) Mức ý nghĩa 5%? 2) Mức ý nghĩa 1%? VD Một cơng ty điện tử tiến hành điều tra thị trường sở thích xem tivi cư dân thành phố Điều tra ngẫu nhiên 400 người quận X thấy có 270 người xem tivi ngày; 600 người quận Y có 450 người xem tivi ngày Trong kiểm định giả thuyết H: “tỉ lệ cư dân xem tivi ngày quận X Y nhau”, mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H chấp nhận là: A 0,96%; B 2,84%; C 4,06%; D 6,14% Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU 1.1 Định nghĩa • Hệ số tương quan mẫu r số đo mức độ phụ thuộc tuyến tính hai mẫu ngẫu nhiên cỡ X Y • Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ n vector ngẫu nhiên (X , Y ) (xi , yi ); i = 1; 2; ; n Khi đó, hệ số tương quan mẫu r tính theo cơng thức: r= xy − x y n ; xy = ∑ x i yi sˆx sˆy n i =1 35 dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy 1.2 Tính chất 1) −1 ≤ r ≤ 2) Nếu r = X , Y khơng có quan hệ tuyến tính; Nếu r = ±1 X , Y có quan hệ tuyến tính tuyệt đối 3) Nếu r < quan hệ X , Y giảm biến 4) Nếu r > quan hệ X , Y đồng biến VD Kết đo lường độ cholesterol (Y) có máu 10 đối tượng nam độ tuổi (X) sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Tính hệ số tương quan mẫu X Y Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy Đường hồi quy trung bình tuyến tính thực nghiệm • Từ mẫu thực nghiệm vector ngẫu nhiên (X , Y ), ta biễu diễn cặp điểm (xi , yi ) lên mpOxy Khi đó, đường cong nối điểm đường cong phụ thuộc Y theo X mà ta cần tìm (xem hình a), b)) Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy Giải Từ số liệu bảng trên, ta tính được: 20 × 1, + + 49 × 4, xy = = 167, 26 ; 10 n x = ∑ xi = 43, ; sˆx = 13, 5385 ; n i =1 y= n ∑ y = 3, 56; sˆy = 0, 8333 n i =1 i Vậy r = xy − x y = 0, 9729 sˆx sˆy Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy • Đường thẳng đường hồi quy thực nghiệm xấp xỉ tốt điểm mẫu cho, xấp xỉ đường cong cần tìm Trong hình a) ta thấy xấp xỉ tốt (phụ thuộc tuyến tính chặt), hình b) xấp xỉ khơng tốt 2.1 Phương pháp bình phương bé • Khi có phụ thuộc tuyến tính tương đối chặt hai biến ngẫu nhiên X Y ta cần tìm biểu thức a + bX xấp xỉ Y tốt theo nghĩa cực tiểu sai số bình phương trung bình E (Y − a − bX )2 , phương pháp gọi bình phương bé • Với cặp điểm (x i , yi ) sai số xấp xỉ là: Hình a Hình b Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy Ta tìm ước lượng a, b n cho ∑ εi2 đạt cực tiểu i=1 n Đặt Q = ∑ εi2 i =1 n Hình c = ∑ yi − (a + bxi ) , ta có: i =1 n n na + b x = yi (1) Q / = ∑ ∑ i a i =1 i =1 ⇔ n n Q / = n b a ∑ xi + b ∑ xi = ∑ xi yi (2) i =1 i =1 i =1 Xác suất - Thống kê Đại học εi = yi − (a + bx i ) (xem hình c)) Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy (1) ⇔ a = n n yi − b ∑ x i = y − b.x ∑ n i =1 n i =1 Thay a vào (2), ta được: n n n i =1 i =1 i =1 (y − b.x ) ∑ xi + b ∑ xi2 = ∑ xiyi 1 n n n n ⇔ b ∑ x i2 − x ∑ x i = ∑ x iyi − y ∑ x i n i =1 n i =1 n i =1 n i =1 xy − x y ⇔ b x − x = xy − x y ⇔ b = sˆx2 36 dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy • Vậy b = xy − x y sˆx2 , a = y − b.x Đường hồi quy tuyến tính Y theo X là: y = a + bx • Tương tự: b = xy − x y sˆy2 , a = x − b.y Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy VD Đo chiều cao (X: m) khối lượng (Y: kg) học sinh nam, ta có kết quả: X 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55 Y 50 55 45 60 55 1) Tìm hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi quy tuyến tính Y theo X 3) Dự đốn học sinh cao 1,62m nặng khoảng kg? Giải 1) x = 1, 55; sˆx = 0, 0707; y = 53; sˆy = 5, 099 ; Đường hồi quy tuyến tính X theo Y là: x = a + by xy = 82, 45 ⇒ r = Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy 2) b = xy − x y = 82, 45 − 1, 55 × 53 = 60, 0181 ; (0, 0707)2 a = y − bx = 53 − 60, 0181 × 1, 55 = −40, 0281 Vậy y = −40, 0281 + 60, 0181x sˆx2 3) Học sinh cao 1,62m nặng khoảng: y = −40, 0281 + 60, 0181 × 1, 62 = 57, 2012 kg VD Số vốn đầu tư (X: triệu đồng) lợi nhuận thu (Y: triệu đồng) đơn vị thời gian 100 quan sát là: Y X Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy 1) Lập phương trình hồi tuyến tính X theo Y 2) Dự đốn muốn lợi nhuận thu 0,5 triệu đồng cần đầu tư bao nhiêu? Giải 1) Ta có x = 2; sˆx = 0, 7746; y = 0, 71; sˆy = 0, 2427 ; xy = 1, 56 ⇒b = 10 30 10 10 20 Y X 0,150 0,160 0,165 1) Tính hệ số tương quan r 2) Lập phương trình hồi tuyến tính X theo Y 3) Dự đốn muốn bán 115 thùng bia giá bán thùng cỡ bao nhiêu? Xác suất - Thống kê Đại học = 1, 56 − 0, 71 × (0, 2427)2 = 2, 3768 ; Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy Giải 1) x = 0,1558; sˆx = 0, 006; y = 110; sˆy = 7, 746 ; xy = 17,1 ⇒ r = 100 110 120 15 30 10 25 15 sˆy2 2) Nếu muốn lợi nhuận thu 0,5 triệu cần đầu tư khoảng: x = 0, 3125 + 2, 3768 × 0, = 1, 5009 triệu đồng Chương Bà Bài tố tốn tương quan & Hồ Hồi quy VD Số thùng bia (Y: thùng) bán phụ thuộc vào giá bán (X: triệu đồng/ thùng) Điều tra 100 đại lý loại bia đơn vị thời gian có bảng số liệu: xy − x y a = x − by = − 2, 3768 × 0, 71 = 0, 3125 Vậy x = 0, 3125 + 2, 3768y 0,3 0,7 1,0 20 82, 45 − 1, 55 × 53 = 0, 8322 0, 0707 × 5, 099 2) b = xy − x y sˆy2 = 17,1 − 0,1558 × 110 = −0, 8176 0, 006 × 7, 746 17,1 − 0,1558 × 110 (7, 746)2 = −0, 0006 ; a = x − by = 0,1558 + 0, 0006 × 110 = 0, 2218 Vậy x = 0, 2218 − 0, 0006y 3) Nếu muốn bán 115 thùng bia giá bán thùng khoảng: x = 0, 2218 − 0, 0006 × 115 = 0,1528 triệu đồng 37 dvntailieu.wordpress.com Wednesday, September 22, 2010 Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy Sử dụng máy tính bỏ túi tìm đường hồi qui 3.1 Số liệu khơng có tần số a) Máy tính fx500MS, fx570MS VD Bài tốn cho dạng cặp (xi , yi )như sau: X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4,02,6 4,5 2,9 3,84,1 4,63,2 4,0 Tìm hệ số r , đường hồi quy Y theo X: y = a + bx Nhập số liệu: MODE → (REG) → (LIN) X, Y → M+ 20, 1.9 → M+ … … 49 , 4.0 → M+ Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy Xuất kết quả: SHIFT → → (dịch chuyển mũi tên phải lần) → (A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) Đáp số: r = 0, 9729 ; y = 0, 9311 + 0, 0599x b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xét lại VD Nhập số liệu: SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat → (chế độ khơng tần số) MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y vào cột) Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy X Y 20 1.9 … … 49 4.0 Xuất kết quả: SHIFT → → → 1(A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) 3.2 Số liệu có tần số X a) Máy tính fx500MS, fx570MS 21 23 25 Y VD Xét tốn cho dạng bảng (hình bên) Tìm hệ số r , đường hồi quy thực nghiệm Y 11 theo X: y = a + bx Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy Nhập số liệu: MODE → (REG) → (LIN) X, Y; n → M+ 21, 3; → M+ … … 25 , 5; → M+ Xuất kết quả: SHIFT → → (dịch chuyển mũi tên phải lần) → (A a phương trình) → (B b phương trình) → (r r ) Đáp số: r = 0, 7326 ; y = −2, 6694 + 0, 3145x Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xét lại VD Sử dụng má máy tí tính bỏ bỏ túi tì tìm đườ đường hồ hồi quy Xuất kết quả: SHIFT → → → (kết A) Nhập số liệu: SHIFT → → → (kết B) SHIFT → MODE → dịch chuyển mũi tên tìm chọn Mục Stat → (chế độ có tần số) SHIFT → → → (kết r) MODE → (stat) → (A+Bx) → (nhập giá trị X, Y, tần số vào cột) X 21 25 Y … FREQ … Xác suất - Thống kê Đại học Chú ý Sai số dùng máy tính bỏ túi khơng tránh khỏi Do đó, sinh viên nên chọn đáp án gần với kết làm trắc nghiệm ……………… Hết……………… 38