Bài giảng Cơ sở lý thuyết tập hợp và lôgic toán

Định lý: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trên X khác rỗng.. Ta thấy tất cả các số nguyên đều thuộc cùng một lớp tương đương. Mọi số tự nhiên có số dư là 1 trong phép chia cho 3 đề[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

CỞ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LƠGIC TỐN

NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

CỞ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LÔGIC TOÁN

NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG

Giảng viên: Phạm Huy Thông

LỜI NÓI ĐẦU

“Cơ sở lý thuyết tập hợp lơgic tốn” học phần chương trình khung đào tạo giáo viên tiểu học trình độ cao đẳng, ban hành theo Quyết định số 17/2004/QĐ – BGD & ĐT ngày 16/6/2004 Bộ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo Hiện nay, chưa có giáo trình biên soạn cho học phần này, chủ yếu tài liệu tham khảo hay tài liệu biên soạn cho Dự án phát triển giáo viên tiểu học Bộ Giáo dục Đào tạo

Việc biên soạn giảng “Cơ sở lý thuyết tập hợp lơgic tốn”, giúp cho sinh viên ngành giáo dục tiểu học có thêm tài liệu để học tập nghiên cứu học tập học phần học phần

Học phần “Cơ sở lý thuyết tập hợp lơgic tốn” có thời lượng đơn vị tín gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết tập hợp Chương 2: Cơ sở lơgic tốn

Đây lần biên soạn giảng này, chắn không tránh khỏi thiếu sót định Rất mong ý kiến đóng góp thầy cô giáo sinh viên nhà trường

Xin chân thành cảm ơn

Chương

CƠ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP Mục tiêu

Kiến thức: Người học

− Hiểu khái niệm tập hợp, quan hệ, ánh xạ biết xây dựng ví dụ minh hoạ cho khái niệm

− Nắm định nghĩa phép toán tập hợp ánh xạ Phát biểu chứng minh tính chất chúng

Kỹ :

Hình thành rèn cho người học kĩ năng: − Thiết lập phép toán tập hợp ánh xạ;

− Vậndụng kiến thức tập hợp ánh xạ toán học; − Các quan hệ tương đương thứ tự

Thái độ:

1.1 TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm tập hợp

1.1.1.1 Khái niệm

Tập hợp khái niệm Tốn học Khái niệm tập hợp khơng định nghĩa mà mô tả qua ví dụ: Tập hợp học sinh lớp học, tập hợp cầu thủ đội bóng, tập hợp sách giá sách, tập hợp số tự nhiên,

Các đối tượng cấu thành tập hợp gọi phần tử tập hợp Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ A, B, C, X, Y, Z, phần tử tập hợp chữ a, b c, x, y, z,

Nếu a phần tử tập hợp A ta viết aA (đọc a thuộc tập hợp A Nếu a phần tử tập hợp A ta viết a A (đọc a không thuộc tập hợp A)

1.1.1.2 Các cách xác định tập hợp

- Liệt kê tất phần tử tập hợp Ví dụ : A = { 1, 2, } B = { a, b, c, d }

- Chỉ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp Ví dụ: C = { x / x ước }

1.1.1.3 Chú ý:

- Người ta biểu thị tập hợp A đường cong khép kín gọi biểu đồ ven

- Tập hợp có vơ số phần tử gọi tập vơ hạn - Tập có hữu hạn phần tử gọi tập hữu hạn

- Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu:  Ví dụ: Nghiệm phương trình x2 + = tập rỗng 

1.1.2 Tập Các tập hợp 1.1.2.1 Tập hợp

Tập hợp A gọi tập tập hợp X phần tử A phần tử X Kí hiệu: A  X hay X  A

Kí hiệu  gọi dấu bao hàm A  X gọi bao hàm thức Ví dụ : A = { a, b, c }  X = { a, b, c, d, e }

Nếu tập A không tập tập X, ta kí hiệu: A  X 1.1.2.2 Tập hợp

A

a b

Hai tập hợp A B gọi phần tử A phần tử B phần tử B phần tử A Kí hiệu: A = B

Ví dụ: Tập nghiệm thực phương trình x2 – = tập hợp gồm hai số –

1.1.2.3 Tính chất

Với tập A, B, C ta có: (i)   A

(ii) A  A

(iii) Nếu A  B B  C A  C (iv) Nếu A  B B  A A = B (v) Nếu A  B A  B B  A 1.1.3 Tập hợp tập hợp

Ví dụ: Trường trung học phổ thơng Nguyễn Trãi có lớp 10: 10A, 10B, 10C, 10D 10E

Ta xem lớp 10A, kí hiệu A, tập hợp học sinh Các phần tử tập hợp học sinh Ta viết: A = {a1, a2, , am}

Ta nói đến tập hợp E lớp khối 10 trường Các phần tử tập hợp lớp khối 10 trường

E = {A, B, C, D, E}

Tập hợp lớp khối 10 trường tập hợp tập hợp 1.1.4 Số tập tập hợp hữu hạn

Ví dụ: A = {a, b, c}, kể tập  Tập hợp tất tập A là:

P ({a, b, c}) = {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a}; {b}; {c}; } Vậy tập hợp A = {a, b, c} có thảy tập

Cho tập A có n phần tử, số tập A 2n phần tử Kí hiệu

P(A) tập tập A

1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP 1.2.1 Giao tập hợp

1.2.1.1 Định nghĩa

Giao hai tập hợp A B kí hiệu A  B tập hợp gồm phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

x  A B x  A x  B

Từ định nghĩa ta suy ra: x  A∩ B x  A x  B Ta viết: x  A∩ B  x  A x  B

1.2.1.2 Ví dụ:

(i) A = { x  N / x bội }, B = { y  N / y bội 6} A  B = { x  N / x bội 12}

Ta có: A = {x  R : x <

1 }

Do đó: A ∩ N = {0} 1.2.1.3 Tính chất

Với tập hợp A, B, C, ta có (i) A B = B A

(ii) (A B)  C = A  ( B  C) (iii)   A = 

( iv) A  A = A 1.2.2 Hợp tập hợp 1.2.2.1 Định nghĩa

Hợp hai tập hợp A B, kí hiệu AB tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp

x  AB x  A x  B

Từ định nghĩa hợp hai tập hợp ta suy ra: x  AB  x  A x  B 1.2.2.2 Ví dụ:

(i) Nếu A = { a, b, c, d, e } B = { b, e, f, g} AB = { a, b, c, d, e, f, g }

(ii) Hợp tập hợp số hữu tỉ tập hợp số vô tỉ tập hợp số thực 1.2.2.3 Tính chất:

Với tập A, B, C (i) A  B = B  A

(ii) (A  B )  C = A  ( B  C ) (iii)   A = A

(iv) A  A = A

1.2.3 Hiệu hai tập hợp 1.2.3.1 Định nghĩa

Hiệu hai tập hợp A B, kí hiệu A\B tập hợp gồm phần tử thuộc A mà không thuộc B

Từ định nghĩa A \ B suy ra: x  A\B  x  A x  B 1.2.3.2 Ví dụ:

A = { a, b, c, d, e,f}, B = { c, e, g, h, k } ta có A\B = { a, b, d, f }

1.2.3.3 Tính chất

Với tập A, B, C, ta có ( i) A \ B  A

(ii) Nếu A  B C  D A \ D  B \ C (iii) Nếu C  D A \ D  A\ C

1.2.4 Không gian Phần bù tập hợp

1.2.4.1.Trong lý thuyết tập hợp, tập hợp xét thường tập X cho trước Khi ta gọi tập X không gian

1.2.4.2 Giả sử X không gian A  X Tập hợp X \ A gọi phần bù A kí hiệu: CA hay CXA

x  CA  x  A 1.2.4.3.Tính chất

(i) X  A = A (ii) X  A = X (iii) CX =  (iv) C = X (v) C(CA) = A

(vi) A  B  CB  CA

1.3 QUAN HỆ 1.3.1 Tích đề tập hợp

1.3.1.1 Cặp thứ tự

Dãy gồm hai đối tượng a b, theo thứ tự a đứng trước, b đứng sau gọi cặp thứ tự, kí hiệu (a, b); a gọi phần tử đứng trước, b phần tử đứng sau

Nếu a  b (a, b) (b, a) hai cặp thứ tự khác

Hai cặp thứ tự (a, b) (c, d) a = b c = d Ví dụ:

Mỗi số phức cặp thứ tự (a, b) hai số thực Ta biết hai số thực a b khác (a, b) (b, a) hai số phức khác nhau; Hai số phức (a, b) (c, d) chúng có phần thực phần ảo nhau, tức a = c b = d

1.3.1.2 Tích đềcác hai tập hợp

Cho hai tập hợp X Y Tập hợp tất cặp số thứ tự (a, b) với a X, b Y gọi tích đêcác hai tập hợp Kí hiệu: X  Y = { (a, b) / a X, b  Y}

Nếu Y = X tập hợp X x X cịn kí hiệu X2

Như vậy, X2 = {(x, y) : x  X, y  X}

Ví dụ: Cho X = { a, b } Y = { c ,d }

Ta có: X  Y = { ( a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}

1.3.1.3 Mở rộng định nghĩa tích Đêcác cho số hữu hạn tập hợp

Cho m tập hợp X1, X2, …, Xm Khi tích đềcác m tập hợp X1, X2, …, Xm,

kí hiệu: X1  X2  …  Xm = { (x1, x2, …, xm)/ xi Xi }

Nếu X1 = X2 = = Xm= X tập hợp X1 x X2 x x Xm kí hiệu Xm

1.3.2 Định nghĩa quan hệ hai 1.3.2.1 Định nghĩa:

Cho hai tập hợp X Y Tập R tích đềcác X  Y gọi quan hệ hai X  Y

Nếu R tập X  X ta nói R quan hệ hai X Nếu R quan hệ hai X  Y (x, y)  X  Y ta viết xRy Nếu (x, y)  R ta nói x khơng có quan hệ R với y Quan hệ hai thường gọi tắt quan hệ

1.3.2.2 Các ví dụ

(i) Cho X ={ 1, 2, 3, 4, 5, }, A = { 1, 2}, B = { 1, } Y = { A, B } Gọi R quan hệ “phần tử thuộc tập hợp” X Y

Theo định nghĩa ta có R = { (1, A), (1, B), (2, A), (4, B)}

(ii) Cho tập hợp X = {2, 3, 5, 8, 15} Hãy tìm quan hệ chia hết R X Ta hiểu R quan hệ hai X x X

Theo định nghĩa quan hệ hai ngơi, ta có:

R = {(2, 2), (2, 8), (3, 3), (3, 15), (5, 5), (5, 15), (8, 8), (15, 15)} 1.3.3 Một số tính chất thường gặp quan hệ hai ngơi

1.3.3.1.Tính chất phản xạ

Quan hệ hai R X gọi phản xạ x X, ta có xRx

Ví dụ1: Quan hệ chia hết tập hợp số nguyên dương N* phản xạ với số nguyên dương x, x chia hết x

Ví dụ 2: Quan hệ ≤ (nhỏ bằng) tập hợp số thực R phản xạ với x  R, x ≤ x

1.3.3.2.Tính chất đối xứng

Quan hệ hai R X gọi đối xứng x, y X, xRy yRx

Ví dụ1: Giả sử X tập hợp khác rỗng Tập hợp: R = {(x, x) : x X}  X2

gọi quan hệ đồng X

Như vậy, với x, y  X, x R y  x = y Dễ thấy quan hệ đồng X đối xứng

Ví dụ 2: Quan hệ “vng góc với” tập hợp đường thẳng mặt phẳng đối xứng

1.3.3.3.Tính phản đối xứng

Quan hệ hai R X gọi có tính chất đối xứng x, y, zX, ta có xRy yRx x = y

Ví dụ1: Quan hệ “” tập số thực R có tính chất phản đối xứng x, y

R, xy y  x x = y

Ví dụ 2: Quan hệ hai ngơi “vng góc với” tập hợp đường thẳng mặt phẳng quan hệ phản đối xứng

Quan hệ hai ngơi R X gọi có tính chất bắc cầu x, y, zX, ta có xRy, yRz xRz

Ví dụ 1: Quan hệ hai ngơi chia hết tập N có tính chất bắc cầu Ví dụ 2:Quan hệ hai “<” tập hợp số thực R bắc cầu

Ví dụ 3: Quan hệ hai ngơi “vng góc với” tập hợp đường thẳng mặt phẳng quan hệ bắc cầu

1.4 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 1.4.1 Định nghĩa ví dụ

1.4.1.1 Định nghĩa: Quan hệ hai R tập hợp X gọi quan hệ tương đương X phản xạ, đối xứng bắc cầu, tức là:

a) Với x  X, x R x,

b) Với x, y  X, x R y  y R x,

c) Với x, y, z  X, x R y y R z  x R z

Quan hệ tương đương thường kí hiệu ~ Khi x R y kí hiệu x ~ y đọc x tương đương với y

1.4.1.2 Ví dụ

(i) Gọi ~ quan hệ hai tập số thực R xác định x ~ y x− y  Z Trong Z tập hợp số nguyên

Quan hệ ~ quan hệ tương đương R

Thật vậy, với x R, ta có x− x =  Z; ~ phản xạ

Với x, y  R, x ~ y x− y  Z; y − x = −(x− y)  Z; Vậy ~ đối xứng

Cuối cùng, với x, y, z  R, x ~ y y ~ z, tức x − y  Z y − z  Z x − z = (x− y) + (y− z)  Z; ~ bắc cầu

(ii) Chia số tự nhiên cho 3, số dư phép chia hoặc Quan hệ “có số dư với phép chia cho 3” tập số tự nhiên N hiển nhiên phản xạ, đối xứng bắc cầu Do quan hệ tương đương N

1.4.3 Các lớp tương đương tập thương

1.4.3.1 Tập thương: Giả sử X  ~ quan hệ tương đương X Với x  X, kí hiệu: x = { y X / x ~ y}

Tập x gọi lớp tương đương quan hệ ~ X có phần tử đại diện x Tập hợp lớp tương đương quan hệ ~ X, kí hiệu X/~ gọi tập thương Vậy X/~ = { x / x X }

1.4.3.2 Tính chất lớp tương đương

(ii) x1, x2  X, x1 = x  x1 ~ x2

(iii) x1, x2 X, x1  x x1  x = 

1.4.3.3 Ví dụ:

(i) Gọi ~ quan hệ hai tập số thực R xác định x~y  x – y Z Ta có quan hệ ~ R chia tập Rthành lớp tương đương Ta thấy tất số nguyên thuộc lớp tương đương

(ii) Trong Ví dụ quan hệ “có số dư với phép chia cho 3” chia tập hợp N thành ba lớp tương đương: Mọi số tự nhiên chia hết cho thuộc lớp Mọi số tự nhiên có số dư phép chia cho thuộc lớp Mọi số tự nhiên có số dư phép chia cho thuộc lớp

1.5 QUAN HỆ THỨ TỰ 1.5.1 Định nghĩa

Quan hệ hai R tập hợp X gọi quan hệ thứ tự phản xạ, bắc cầu phản đối xứng, tức R thoả mãn điều kiện sau:

a) Với x  X, x R x,

b) Với x, y, z  X, (x R y y R z)  x R z, c) Với x, y  X, (x R y y R x)  x = y

Người ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự “≤” Như x R y viết x ≤ y, đọc x nhỏ y, hay y lớn x

Nếu ≤ quan hệ thứ tự tập hợp X cặp (X, ≤) gọi tập hợp thứ tự Người ta gọi X tập hợp thứ tự nói tới quan hệ thứ tự X

1.5.2 Ví dụ

(i) Quan hệ “chia hết” tập số tự nhiên N* quan hệ thứ tự N* vì:

Với số nguyên dương n, ta có n / n (n chia hết n), Với m, n, k  N*, (m / n n / k)  m / k, Với m, n  N*, (m / n n / m) m = n,

(ii) Cho tập hợp X ≠  tập hợp Q tập X (Q  P(X)), Q ≠  Quan hệ hai “chứa trong” Q quan hệ thứ tự vì:

Với A Q, A A,

Với A, B, C  Q, (A  B B C)  A  C, Với A, B  Q, (A  B B  A)  A = B 1.5.3 Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt

1.5.3.1 Định nghĩa: Quan hệ hai R X gọi quan hệ thứ tự nghiêm ngặt thỏa mãn điều kiện:

Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt thường kí hiệu “<” 1.5.3.2.Ví dụ:

Dễ dàng thấy quan hệ hai “lớn hơn” (theo nghĩa thông thường) (>) tập hợp số thực R quan hệ thứ tự nghiêm ngặt

1.5.3.3 Định lí

Nếu  quan hệ thứ tự tập hợp X quan hệ hai < X xác định x < y x ≤ y x ≠ y, quan hệ thứ tự nghiêm ngặt X

1.5.3.4 Định lí

Nếu < quan hệ thứ tự nghiêm ngặt tập hợp X quan hệ hai ngơi ≤ X xác định bởi: x ≤ y x < y x = y, quan hệ thứ tự X 1.5.4 Quan hệ thứ tự toàn phần quan hệ thứ tự phận

1.5.4.1 Quan hệ thứ tự ≤ tập hợp X gọi toàn phần với hai phần tử x, y X, ta có x ≤ y y ≤ x

Nếu tồn hai phần tử x, y X cho hai điều kiện x ≤ y y ≤ x khơng xảy ≤ gọi quan hệ thứ tự phận

1.5.4.2 Ví dụ

(i) Quan hệ thứ tự “≤” (theo nghĩa thông thường) tập hợp số thực R toàn phần

Quan hệ “chia hết” tập hợp số tự nhiên N* quan hệ thứ tự phận chẳng hạn số nguyên khơng so sánh được” Ta khơng có / 7, khơng có /

Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt < tập hợp X gọi toàn phần với hai phần tử khác x, y X, ta có x < y y < x

1.5.5 Các phần tử tối đại, tối tiểu

1.5.5.1 Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Phần tử x0  X gọi tối đại

nếu với x  X, x0 ≤x x = x0

Ví dụ1 :

Gọi X tập hợp số nguyên lớn quan hệ ≤ X xác định sau: Với m, n  X, m ≤ n m chia hết cho n

Dễ dàng thấy ≤ quan hệ thứ tự X Ta chứng minh số nguyên tố phần tử tối đại Thật vậy, p số nguyên tố n  X, p ≤ n n = p Do p phần tử tối đại Như tập hợp thứ tự X có vơ số phần tử tối đại

Ví dụ 2:

Kí hiệu ≤ quan hệ “chia hết” tập hợp số tự nhiên N* “ /” Với m, n nguyên dương, m ≤ n  m / n

1.5.5.2 Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Phần tử x0  X gọi tối tiểu

không có phần tử X đứng trước nó, tức không tồn x  X, x ≠ x0

sao cho x ≤ x0 hay x  X x ≤ x0 x = x0

Ví dụ :

Giả sử X tập hợp số nguyên lớn Ta biét (X, /) tập hợp thứ tự (kí hiệu / quan hệ “chia hết” X) Nếu p số nguyên tố với n  X, mà n / p, ta có n = p Do p phần tử tối tiểu tập hợp thứ tự X

Như vậy, X có vơ số phần tử tối tiểu, tất số ngun tố Ví dụ :

Gọi X tập hợp số nguyên lớn ≤ quan hệ “chia hết cho” X Tập hợp thứ tự (X, ≤) khơng có phần tử tối tiểu với n  X, ta có 2n chia hết cho n 2n ≠ n, tức 2n ≤ n 2n ≠ n

1.5.6 Các phần tử lớn nhất, nhỏ 1.5.6.1 Phần tử lớn

Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Phần tử x0  X gọi lớn nếu:

x ≤ x0 với x X

Định lí 1: Tập hợp thứ tự (X, ≤) có nhiều phần tử lớn Phần tử lớn tối đại

Ví dụ

(i) Trong tập hợp thứ tự (P, ) (P = P (X) tập hợp tất tập hợp X ≠  ), tập hợp X phần tử lớn

(ii) Tập hợp thứ tự (N*, /) phần tử tối đại Do đó, theo Định lí1, tập hợp N* khơng có phần tử lớn

1.5.6.2 Phần tử nhỏ

Giả sử (X, ≤) tập hợp thứ tự Phần tử x0  X gọi nhỏ x0 ≤

x với x  X

Tương tự Định lí1, dễ dàng chứng minh

Định lý 2: Tập hợp thứ tự (X, ≤) có nhiều phần tử nhỏ Phần tử nhỏ tối tiểu

Ví dụ:

Trong tập hợp thứ tự (P, ), P tập hợp tất tập tập hợp X ≠  ,  phần tử nhỏ nhất

1.6 ÁNH XẠ 1.6.1 Định nghĩa ánh xạ ví dụ

1.6.1.1 Định nghĩa

x f y

Ánh xạ f từ tập X vào tập Y kí hiệu là: f : X → Y

Nếu x phần tử tập hợp X phần tử y tập hợp Y cho x f y gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu f (x)

Hiển nhiên ánh xạ f xác định ảnh f (x) phần tử x  X xác định Vì người ta cịn dùng kí hiệu x f (x), x  X x fy, x  X để ánh xạ f

Giả sử f : X→ Y ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y Khi đó, X gọi tập xác định ánh xạ f Tập hợp ảnh f (x) tất phần tử x tập hợp X gọi ảnh ánh xạ f, kí hiệu f(X)

Như vậy, với y  Y, f(X) = {y  Y : tồn x  X cho y = f(x)} 1.6.1.2 Ví dụ

(i) Cho tập hợp X = {a, b, c} ánh xạ f: X → N xác định bảng sau:

x a b c f(x)

Tìm ảnh f

Ảnh ánh xạ f : f (X) = {1, 3, 5}

(ii) Ánh xạ f : R→ R xác định công thức x f(x) = sinx ánh xạ từ tập hợp số thực R vào R

Tập xác định hàm số f R Tập đến f R Ảnh ánh xạ tập hợp: f (R) = {y  R :−1 ≤ y ≤ 1}

1.6.2 Ảnh tạo ảnh qua ánh xạ 1.6.2.1 Ảnh tập hợp qua ánh xạ a Định nghĩa:

Giả sử f : X→ Y ánh xạ A tập X Tập hợp ảnh tất phần tử A qua ánh xạ f gọi ảnh tập hợp A qua ánh xạ f, kí hiệu f(A)

Như vậy, với y  Y, y  f(A) tồn x  A cho y = f(x) Do đó: f(A) = {y  Y: Tồn x  A cho y = f (x)

b Ví dụ:

(i) Cho ánh xạ f: R  R xác định x f(x) = 2x + A = { 1, 2} Khi f(A) = {3, 5}

(ii) Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ánh xạ f : X→Y xác định bảng sau:

x a b c d e f(x)

Cho hai tập A B X : A = {a, c, e}; B = {a, d} ảnh A B qua

c) Định lí

Cho ánh xạ f : X→ Y tập A, B X Khi đó: (i) Nếu A B f(A)  f(B),

(ii) f (A B) = f (A) f(B), (iii) f (A∩ B)  f(A)∩ f(B)

1.6.2.2.Tạo ảnh tập hợp qua ánh xạ a Định nghĩa:

Giả sử f : X→ Y ánh xạ C tập Y

Tập hợp tất phần tử x ∈ X cho f(x) ∈ C gọi tạo ảnh tập hợp C qua ánh xạ f Kí hiệu f-1(C)

Như , với x ∈ X,x ∈ f-1(C) f(x) ∈ C

f-1 (C) = {x ∈ X : f(x)∈ C}

b.Ví dụ:

Cho ánh xạ f: R  R xác định x f(x) = 2x + C =(0, 1) R Khi đó: f-1(C) = { x  R/ {f(x)} = C }= { x  R / f(x) = 0, f(x) = 1}= {

1



, 0} c Định lí

Giả sử f: X → Y ánh xạ, C D tập Y Khi đó: (i)Nếu C ⊂ D f-1 (C) ⊂ f-1 (D),

(ii) f−1 (C∪ D) = f-1 (C) ∪ f-1 (D),

(iii) f−1 (C D) = f-1 (C)  f-1 (D),

(iv) f−1 (C\D) = f-1 (C) \f-1 D)

1.6.3 Ánh xạ

Giả sử X Y hai tập hợp, f g hai ánh xạ từ X vào Y Ta nói hai ánh xạ f g nhau, viết f = g, f (x) = g (x) với x  X

Ví dụ: ánh xạ f : R → R

x f (x) = x3 −

ánh xạ g: R → R

x g (x) = (x − 1) (x2 + x + 1)

là hai ánh xạ 1.6.4 Hợp ánh xạ

1.6.4.1 Cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z ánh xạ h : X → Z xác định x h(x) = g [f(x)] gọi ánh xạ hợp hai ánh xạ f g, kí hiệu g f Như vậy, gof: X → Z ánh xạ xác định bởi: (gof) (x) = g[f(x)], x  X 1.6.4.2.Ví dụ

Cho hai ánh xạ f: R → R

x f (x) = x −



x (gof) (x) = sin (2x −



) 1.6.4.3 Chú ý:

Theo định nghĩa ánh xạ hợp hai ánh xạ f : X  Y g : Y  Z g f tồn f(X) Y

1.6.4.4 Định lí

Với ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z h : Z → V, ta có ho (gof) = (hog) of

1.7 ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH VÀ ÁNH XẠ NGƯỢC 1.7.1 Đơn ánh

1.7.1.1 Định nghĩa: Ánh xạ f: X → Y gọi đơn ánh với x1, x2  X,

x1 ≠ x2  f(x1) ≠ f(x2)

Hiển nhiên, điều kiện tương đương với điều kiện sau: Với x1, x2  X, f(x1) = f(x2)  x1 = x2

1.7.1.2.Ví dụ:

(i) Ánh xạ f : R → R xác định f(x) = x2 đơn ánh vì:

chẳng hạn, f(−1) = f(1) =

(ii) Ánh xạ g : N* → Q xác định g(n) = 1/n đơn ánh với hai số nguyên dương m, n bất kì, m ≠ n f(n) ≠f(m)

(iii) Ánh xạ f : R → R xác định f(x) = sinx khơng phải đơn ánh vì: chẳng hạn, f(0) = f (π) =

1.7.2 Toàn ánh

1.7.2.1 Định nghĩa: Ánh xạ f: X → Y gọi toàn ánh : f(X) = Y Từ định nghĩa toàn ánh suy rằng: f : X → Y toàn ánh với y  Y, tồn phần tử x  X cho f(x) = y

1.7.2.2.Ví dụ:

(i) Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f} Y = {M, N, P, Q} Xét ánh xạ  : X→ Y cho bảng sau:

x a b c d e f

(x) N M Q P Q N

Ta có ảnh (X) = {M, N, P, Q} = Y Vậy  toàn ánh (ii) Đặt A = {x R :

 

< x <2



} Ánh xạ f : A → R xác định f(x) = tgx toàn ánh với y  R, tồn x  A cho f (x) = tgx = y

Ta chứng minh ánh xạ f : X → Y song ánh với phần tử y  Y, tồn phần tử x  X cho f(x) = y

1.7.3.2 Ví dụ: (i) Ánh xạ g:

*

R→ R xác định g(x) = lnx song ánh với số thực y, tồn số thực dương x cho lnx = y

(ii) Ánh xạ h : R →

*

R xác định h(x) = ex song ánh với số dương

y, tồn số thực nh t x cho f(x) = ex = y

1.7.4 Ánh xạ ngược

1.7.4.1 Định nghĩa: Giả sử f : X → Y song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y Ánh xạ: g : Y → X xác định bởi: y ⟼ g(y) = x, x phần tử X cho f(x) = y, gọi ánh xạ ngược ánh xạ f Ánh xạ ngược song ánh f : X → Y kí hiệu f-1

1.7.4.2 Định lí 1: Nếu f : X → Y song ánh f-1 : Y → X ánh xạ ngược

của f với x  X, y  Y, f−1(f(x)) = x f(f−1 (y)) = y, tức là: f -1 f = I

x f f−1 = IY, IX IY, theo thứ tự, ánh xạ đồng

trên tập hợp X tập hợp Y

1.7.4.3 Định lí Giả sử hai ánh xạ f : X→ Y g : Y→ X thoả mãn hệ thức sau: g(f(x)) = x với x∈ X f (g(y)) = y với y∈ Y

Khi

(i) f g song ánh (ii) g ánh xạ ngược f 1.7.4.4.Ví dụ:

(i) Ánh xạ f: R  R g : R  R x 2x + x

x



là hai ánh xạ ngược (ii) Ánh xạ x

f : R R x a



x a

g : R R x log



a > a 1 hai ánh xạ ngược

BÀI TẬP CHƯƠNG 1.1 TẬP HỢP Hãy liệt kê phần tử tập hợp sau:

c) C tập hợp ước tự nhiên 36 Hãy liệt kê phần tử tập hợp sau: a) A = {x∈ N : 2x2− 15x + 13 < 0};

b) B = {x∈ R: 2x3 + 5x2 + 3x = 0};

c) C = {x∈ Z : 6x2+ x− = 0}

3 Cho tập hợp

A = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27};

B = {17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47};

Hãy nêu tính chất đặc trưng phần tử tập hợp cho(tức tính chất, nhờ nhận biết đối tượng phần tử hay khôngphải phần tử tập hợp cho)

4 Cho tập hợp:

A = {x ∈ N : x4− < 0}; B = {x ∈ N : 2x2− x < 10}; C = {x ∈ R : x2 + 20 < 11 }; D = {x ∈ R : (x2 + 1) (2x − 1) > 0}

Chứng minh rằng: A ⊂ B C ⊂ D

5 Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh tập hợp A có n phần tử có thảy 2n tập

1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1 Gọi A tập hợp số lẻ 10 40 (lớn 10 nhỏ 40) B tập hợp số nguyên tố 10 40

a) Tìm tập hợp A∪ B, A∩ B, A \ B B \ A b) Lập lược đồ Ven hai tập hợp A B

2 Gọi A tập hợp số tự nhiên chia hết cho B tập hợp số tự nhiên chia hết cho

a) Tìm tập hợp A∪ B, A∩ B, A \ B B \ A b) Lập sơ đồ Ven A B

3 Cho hai tập hợp A = {x ∈ R : |x| ≥ 5} B = {x ∈ R : −6 ≤ x < 0} Tìm tập hợp A∩ B, A∪ B, A \ B B \ A

4 Chứng minh với tập hợp A, B, ta có: a) A \ B = A \ (A ∩ B) ;

b) A = (A ∩ B) ∪ (A \ B); c) A \ (A \ B) = A ∩ B

5 Với tập hợp hữu hạn A bất kì, kí hiệu N(A) số phần tử A Chứng minh với hai tập hợp hữu hạn A, B bất kì, ta có:

6 Cho ba tập hợp hữu hạn A, B, C Chứng minh rằng:

N (A∪ B∪ C) = N (A) + N (B) + N (C) + N (A∩ B∩ C)− N (A∩ B)− N (A∩ C)− N (B∩ C)

7 Trong lớp học ngoại ngữ, tập hợp A học viên nữ có phần tử, tập hợp B học viên từ 20 tuổi trở lên có phần tử Có học viên nữ từ 20 tuổi trở lên Tìm số phần tử tập hợp A∪ B

8 Trên bãi để xe, có 42 xe gồm taxi xe buýt Có 14 xe màu vàng 37 xe bt xe khơng có màu vàng Hỏi bãi để xe có xe buýt vàng? Một lớp học có 40 học sinh, có 15 em học mơn Tốn, 16 em học môn Văn 17 em học mơn Tiếng Anh Có em học hai mơn Văn Tốn, em học hai mơn Tốn Anh, em học ba mơn

Hỏi có học sinh học mơn Tốn? Chỉ học mơn Văn? Chỉ học môn Anh? Không học môn nào?

1.3 QUAN HỆ

1 Cho hai tập hợp A = {2, 4, 7, 9} B = {1, 3, 4, 5, 12, 14}

Tìm quan hệ “chia hết” R A x B biểu diễn quan hệ R lược đồ hình tên Cho tập hợp X = {1, 2, 7, 8} Tìm quan hệ “chia hết” R X biểu quan hệ R lược đồ hình tên

3 Cho tập hợp X = {1, 2, 6, 7, 8} Tìm quan hệ “chia hết cho” R X biểu diễn R lược đồ hình tên

4 Tìm quan hệ “chia hết cho” R tập hợp số nguyên dương N* biểu R lược đồ hình tên

5 Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, A = {1, 2, 9}, B = {4, 9}, C = {6, 7, 8} Y = {A, B, C} Tìm quan hệ R “phần tử thuộc tập hợp” X x Y Biểu diễn quan hệ lược đồ hình tên

6 Cho tập hợp A = {1, 2}, B = {1, 5, 7}, C = {1, 2, 5, 7, 8} X = {A, B, C} Tìm quan hệ bao hàm “chứa trong” R X

(Quan hệ bao hàm “chứa trong” R cho AR B A⊂ B)

7 Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 5, 7} Tìm quan hệ “nhỏ hơn” (<) X (quan hệ “nhỏ hơn” hiểu theo nghĩa thông thường)

1.4 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Gọi R quan hệ hai ngơi “có số dư với phép chia cho 4” tập hợp số tự nhiên N

b) Quan hệ tương đương R N chia tập hợp N thành lớp tương đương? Hãy vẽ sơ đồ Ven biểu diễn lớp tương đương quan hệ R

2 Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5} P = P(X) tập hợp tập X

Gọi ~ quan hệ hai P xác định bởi: A ~ B N (A) = N (B) Trong N (C) số phần tử tập hợp C ⊂ X

a) Chứng minh ~ quan hệ tương đương P

b) Tìm lớp tương đương quan hệ ~ P, có đại diện phần tử {1, 3} P Gọi X = R2 tập hợp điểm mặt phẳng ~ quan hệ hai tập

hợp R2 xác định bởi: (x

1, y1) ~ (x2, y2)

2 2

1 2

x y x y a) Chứng minh ~ quan hệ tương đương R2 b) Tìm tập thương R / ~

4 Cho tập hợp X ≠  phần tử a ∈ X Gọi P = P (X) tập hợp tập X ~ quan hệ hai P xác định sau:

Với A, B ∈ P, A ~ B A = B a ∉ A∪ B

a) Chứng minh ~ quan hệ tương đương tập hợp P b) Tìm tập thương P/~

5 Ký hiệu C* tập hợp số phức có phần thực khác Gọi R quan hệ hai C* xác định (a + bi) R (c + di) ac >

a) Chứng minh R quan hệ tương đương C* b) Minh hoạ hình học lớp tương đương quan hệ R

1.5 QUAN HỆ THỨ TỰ

1 Cho tập hợp X = {1, 3, 9, 18, 36} Gọi ≤ quan hệ “chia hết” X a) Chứng minh ≤ quan hệ thứ tự X

b) Quan hệ thứ tự ≤ X có phải tồn phần khơng?

2 Cho tập hợp A = {3, 6, 12, 36, 48} Quan hệ “chia hết cho” A có phải quan hệ thứ tự khơng? Nếu có, có phải quan hệ tồn phần khơng?

3 Cho R quan hệ hai tập hợp C số phức xác định sau: Với a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) R (c + di) a ≤ c b ≤ d a) Chứng minh R quan hệ thứ tự C

b) R có phải tồn phần khơng?

4 Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} quan hệ hai R xác định X sau: Với x, y ∈ X, x R y x ≤ y / (x− y)

a) Chứng minh R quan hệ thứ tự X b) R có phải tồn phần không?

c) Biểu diễn quan hệ R lược đồ hình tên

5 Cho tập hợp thứ tự (X, ), X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} ≤ quan hệ “chia hết” X

a) Tìm phần tử tối đại tối tiểu X