Giáo trình lý thuyết tập hợp và lôgic toán

mà Cantor xây dựng bằng cách hạn chế ngoại diên của của khái niệm tập hợp,quy định những điều làm được và những điều không thể làm được đối với cácđối tượng và quan hệ cơ bản của lý thuy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN TRIỆU SƠN - NGUYỄN ĐÌNH YÊN

LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LOGIC TOÁN

Sơn La, 2015

Lời nói đầu

Lý thuyết tập hợp và lôgic toán là cơ sở nền tảng của toán học nói chung

và của các môn học toán học trong chương trình đào tạo đại học nói riêng.Lôgic toán mà chủ yếu là các quy luật cơ bản của lôgic hình thức xuất hiện

và phát triển từ rất sớm, khoảng 300 năm trước công nguyên, thời Aristote(384-322 trước công nguyên)

Tuy nhiên trong quá trình phát triển, khi mà toán học chuyển từ phạm vi

"bất biến, hữu hạn" sang phạm vi "vận động, vô hạn và liên tục" thì các cơ

sở lý luận - lôgic hình thức ban đầu ấy tỏ ra không đủ đáp ứng được nữa

Để khắc phục những khó khăn về cơ sở lý luận - lôgic hính thức, vào cuốithế kỷ thứ 19 Cantor đã xây dựng lý thuyết tập hợp với tư tưởng chính là thừanhận tập hợp theo nghĩa "Một sự hợp lại trong một toàn thể các đối tượng bất

kỳ mà nhận thức hay tư duy của chúng ta có thể hình dung ra" và với nhữngtập hợp như vậy, vô hạn cũng như hữu hạn, ta có thể vận dụng các quy luậtcủa lôgic hình thức "cổ điển" không phân biệt và không hạn chế Tuy rằngtrong quá trình phát triển của toán học, lý thuyết tập hợp của Cantor còn vấpphải nhiều nghịch lý không thể lý giải, nhưng có thể nói rằng lý thuyết tậphợp mà Cantor xây dựng về căn bản đã cung cấp một nền tảng thống nhấtcho việc xây dựng và phát triển hầu như toàn bộ các ngành toán học

Đồng thời với việc khắc phục, loại bỏ các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp

2

mà Cantor xây dựng bằng cách hạn chế ngoại diên của của khái niệm tập hợp,quy định những điều làm được và những điều không thể làm được đối với cácđối tượng và quan hệ cơ bản của lý thuyết tập hợp, người ta cũng đề nghị tiên

đề hóa lý thuyết cơ sở về lôgic nhằm xây dựng một nền tảng vững chắc chotoán học

Tập giáo trình này bao gồm 4 chương, được viết chi tiết theo chương trìnhmôn lý thuyết tập hợp và lôgic toán, của Khoa Toán-Lý-Tin Trường Đại họcTây Bắc nhằm phục vụ trực tiếp cho công tác giảng dạy và học tập trong khoa.Chương 1 Tập hợp quan hệ và ánh xạ: Trình bày các khái niệm cơ bản vềtập hợp, phần tử của tập hợp, quan hệ thuộc, các phép toán về tập hợp, theo quan điểm của Cantor Ngoài ra các khái niệm quan hệ tương đương,quan hệ thứ tự, ánh xạ cùng các tính chất của của chúng cũng được trình bàychi tiết nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề bản số của tập hợp, tạo cơ

sở cho việc xây dựng các tập số sau này

Chương 2 Đại số mệnh đề: Trình bày các khái niệm mệnh đề, các phép toánmệnh đề, công thức và các luật của lôgic mệnh đề,

Chương 3 Đại số vị từ: Trình bày các vấn đề cơ bản về Đại số vị từ, như

là một mở rộng tất yếu của Đại số mệnh đề Nội dung của chương bao gồm:Khái niệm hàm mệnh đề (vị từ) một biến và nhiều biến, các phép toán về hàmmệnh đề, lượng từ, công thức vị từ, vấn đề về tính giải được Ngoài ra còntrình bày một số ứng dụng của Đại số mệnh đề và Đại số vị từ vào vấn đề suyluận và chứng minh

Chương 4 Sơ lược về hệ toán mệnh đề và hệ toán vị từ: Trình bày các hệtiên đề của lôgic toán mà chúng ta gọi chúng tương ứng là "Hệ toán mệnh đề"

và "Hệ toán vị từ" Đồng thời cũng chỉ ra tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ vàđộc lập của các hệ tiên đề đó

Hệ thống kiến thức cơ bản được chọn lựa một cách tối thiểu, các mệnh đề,định lý được chứng minh tỉ mỉ, chi tiết cùng hệ thống ví dụ minh họa trựcquan và bài tập phong phú, đặc biệt các bài tập được đặt sau mỗi bài lý thuyếttạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên tự học môn học này ở năm thứ nhất Hyvọng rằng với cách trình bày như vậy giáo trình sẽ góp phần nâng cao hiệuquả học tập của sinh viên.

Chúng tôi chân thành cám ơn các đồng nghiệp trong khoa Toán - Lý - TinTrường Đại học Tây bắc đã đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trong quá trình biênsoạn giáo trình này Đặc biệt chúng tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu,Phòng đào tạo sau đại học, Khoa Toán - Lý - Tin đã tạo điều kiện thuận lợi

để chúng tôi hoàn thành tập giáo trình này

Cuối cùng, có thể việc biên soạn của các tác giả vẫn còn thiếu sót, chúngtôi mong muốn tiếp tục nhận được các ý kiến đóng góp phê bình của các bạnđồng nghiệp

Các tác giả

Mục lục

Lời nói đầu 2

Mục lục 5

1 Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ 10 1.1 Tập hợp 10

1.1.1 Khái niệm tập hợp 10

1.1.2 Cách xác định tập hợp 11

1.1.3 Quan hệ giữa các tập hợp 12

1.1.4 Phép toán trên các tập hợp 13

1.1.5 Tích đề các của các tập hợp 17

1.1.6 Sự phân hoạch của một tập hợp 18

1.1.7 Tập hữu hạn 18

1.2 Quan hệ 24

1.2.1 Quan hệ hai ngôi 24

1.2.2 Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi 24

1.2.3 Quan hệ tương đương 25

1.2.4 Lớp tương đương và tập thương 26

1.2.5 Quan hệ thứ tự 27

5

1.2.6 Quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận 28

1.2.7 Cận trên, cận dưới, phần tử lớn nhất, nhỏ nhất 28

1.2.8 Tập sắp thứ tự tốt 30

1.2.9 Tiên đề chọn và các mệnh đề tương đương 30

1.3 Ánh xạ 34

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ 34

1.3.2 Ánh xạ bằng nhau 36

1.3.3 Thu hẹp và mở rộng ánh xạ 36

1.3.4 Ảnh và tạo ảnh 37

1.3.5 Đơn ánh; Toàn ánh; Song ánh 37

1.3.6 Tích ánh xạ 38

1.3.7 Ánh xạ ngược 40

1.4 Bản số của tập hợp 41

1.4.1 Khái niệm bản số 41

1.4.2 Tập đếm được 43

1.4.3 Tập continum 46

1.4.4 So sánh các bản số 47

2 Đại số mệnh đề 53 2.1 Mệnh đề và các phép toán mệnh đề 53

2.1.1 Khái niệm mệnh đề 53

2.1.2 Phép toán trên các mệnh đề 54

2.2 Công thức lôgic mệnh đề 59

2.2.1 Khái niệm công thức 59

MỤC LỤC 7

2.2.2 Giá trị của công thức 60

2.2.3 Công thức tương đương 61

2.2.4 Các đẳng thức cơ bản 62

2.2.5 Luật của lôgic mệnh đề 64

2.2.6 Mệnh đề liên kết, điều kiện cần, điều kiện đủ 65

2.2.7 Dạng chuẩn tắc của công thức 65

2.2.8 Phép đối ngẫu 69

2.3 Hàm đại số lôgic 73

3 Đại số vị từ 76 3.1 Khái niệm hàm mệnh đề 77

3.1.1 Hàm mệnh đề một biến 77

3.1.2 Hàm mệnh đề nhiều biến 78

3.1.3 Hàm mệnh đề hằng đúng 80

3.2 Phép toán trên các hàm mệnh đề 81

3.2.1 Phép phủ định 81

3.2.2 Phép hội 82

3.2.3 Phép tuyển 83

3.2.4 Phép kéo theo 84

3.2.5 Phép tương đương 84

3.3 Các lượng từ 86

3.3.1 Khái niệm lượng từ 86

3.3.2 Lượng từ với các hàm mệnh đề nhiều biến 87

3.3.3 Liên hệ giữa các lượng từ phổ dụng và tồn tại 88

3.4 Công thức lôgic vị từ 92

3.4.1 Khái niệm công thức vị từ 92

3.4.2 Công thức bằng nhau và công thức hằng đúng 94

3.4.3 Một số luật thường gặp của lôgic vị từ 95

3.4.4 Dạng chuẩn của công thức 96

3.4.5 Vấn đề về tính giải được 98

3.5 Suy luận và chứng minh 102

3.5.1 Quy tắc suy luận 102

3.5.2 Hai kiểu suy luận 104

3.5.3 Chứng minh 105

4 Sơ lược về hệ toán mệnh đề và hệ toán vị từ 111 4.1 Hệ toán mệnh đề 112

4.1.1 Các ký hiệu của hệ toán mệnh đề 112

4.1.2 Định nghĩa công thức của hệ toán mệnh đề 113

4.1.3 Các tiên đề của hệ toán mệnh đề 113

4.1.4 Quy tắc suy diễn 114

4.2 Suy diễn trong hệ toán mệnh đề 114

4.3 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập 117

4.3.1 Tính phi mâu thuẫn 117

4.3.2 Tính đầy đủ của hệ toán mệnh đề 118

4.3.3 Tính độc lập của hệ toán mệnh đề 120

4.4 Hệ toán vị từ 124

4.4.1 Ký hiệu của hệ toán vị từ 124

MỤC LỤC 9

4.4.2 Các tiên đề của hệ toán vị từ 124

4.4.3 Các quy tắc suy diễn 124

4.5 Tính phi mâu thuẫn và tính đầy đủ 126

4.5.1 Tính phi mâu thuẫn của hệ toán vị từ 126

4.5.2 Tính đầy đủ của hệ toán vị từ 127

Tài liệu tham khảo 128

tự, ánh xạ cùng các tính chất của chúng cũng được trình bày chi tiết nhằmphục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề bản số của tập hợp, tạo cơ sở cho việc xâydựng các tập số sau này.

1.1 Tập hợp

1.1.1 Khái niệm tập hợp

Khái niệm tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, được hiểu một cáchtrực giác, không định nghĩa Chúng ta quan niệm tập hợp là một sự tụ tậpcác vật hay các đối tượng có một hay nhiều tính chất chung nào đó Các đốitượng đó gọi là các phần tử của tập hợp

Tập hợp đôi khi được gọi tắt là tập, và ký hiệu bằng các chữ cái La tinh

10

1 Phương pháp liệt kê

Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê đầy đủ tất cả các phần

tử của nó hoặc liệt kê một số phần tử đại diện của nó và để trong haidấu móc { } đủ để ta xác định một phần tử tùy ý có thuộc tập hợp đóhay không

Ví dụ 1.2 A = {1, 2, 3} là tập hợp gồm ba phần tử là các số 1, 2, 3

B ={1, 4, 9, 16, } là tập tất cả các số chính phương

2 Phương pháp chỉ ra dấu hiệu đặc trưng các phần tử

Một tập hợp có thể xác định bằng cách chỉ ra dấu hiệu đặc trưng củacác phần tử của nó, mà dựa vào dấu hiệu đó ta nhận biết được một phần

tử tùy ý là thuộc hay không thuộc tập hợp đó

Nếu A là tập hợp gồm các phần tử x có tính chất P (x) thì ta viết

A ={x | P (x)}

Các phần tử x có tính chất P (x) thiết lập nên tập A thường được chọn

từ một tập X đã biết nào đó, khi đó ta viết

3 Tập rỗng

Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅ Chẳnghạn tập các nghiệm thực của phương trình x2+ 1 = 0 là ∅

1.1.3 Quan hệ giữa các tập hợp

Định nghĩa 1.1 Cho hai tập hợp A và B Nếu mọi phần tử của A đều thuộc

B thì ta gọi A là tập con của tập B ký hiệu A ⊆ B hoặc B ⊇ A Ngoài cáchgọi A là tập con của tập B ta còn gọi A là bộ phận của tập B; A chứa trongB; A bao hàm trong B; B chứa A Nếu A không là tập con của tập B thì taviết A 6⊆ B hoặc B 6⊇ A

Nếu A ⊆ B và A 6= B thì A được gọi là tập con thực sự của B ký hiệu

1 Từ định nghĩa suy ra tập ∅ là duy nhất

2 Cách viết tập hợp theo phương pháp liệt kê không phụ thuộc vào thứ

tự sắp xếp các phần tử cũng như số lần các phần tử xuất hiện trong haidấu móc Chẳng hạn như:

1.1 Tập hợp 131.1.4 Phép toán trên các tập hợp

Trong mục này chúng ta sử dụng một số ký hiệu lôgic, với cách hiểu như

đã biết ở phổ thông: ∀; ∃; ⇒; ⇔; ∨; ∧ đọc tương ứng là: Với mọi; tồn tại; kéotheo; tương đương; hoặc; và Nội dung của các ký hiệu đó sẽ được trình bàychi tiết và đầy đủ ở các chương sau

x /∈ Y

x∈ Y

4 Hiệu đối xứng

Định nghĩa 1.5 Hiệu đối xứng của hai tập hợp X và Y là một tập hợp

ký hiệu và xác đinh bởi

x /∈ Y \ XChú ý: Người ta thường minh họa mỗi tập hợp như một phần mặtphẳng giới hạn bởi một đường cong khép kín, phần mặt phẳng đó được

tô màu hoặc đánh dấu để nhận biết được và gọi là biểu đồ ven Chẳnghạn:

5 Luật hấp thu: Nếu A ⊆ B thì A ∪ B = B; A ∩ B = A

Chứng minh Các đẳng thức (1), (2), (5) được suy trực tiếp từ địnhnghĩa Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự nhau, chúng tachứng minh chẳng hạn:

Vậy A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) Nhận xét: Theo luật hấp thu thì từ ∅ ⊆ A và A ⊆ A suy ra

1.1 Tập hợp 171.1.5 Tích đề các của các tập hợp

Cho các tập hợp A1, , An, với ai; bi ∈ Ai, i = 1, , n Khi đó (a1, , an) =(b1, , bn) khi và chỉ khi a1 = b1, a2 = b2, , an= bn

Định nghĩa 1.6 Cho các tập hợp A1, , An Một tập hợp C được xác địnhnhư sau:

(i) C =∅ nếu một trong các tập A1, A2, , An là ∅

Ví dụ 1.6 Xét các tập hợp:

1 A = {a, b, c} và B = {x, y} thì

A× B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}

B× A = {(x, a), (y, a), (x, b), (y, b), (x, c), (y, c)}

2 Cho A = [a, b]; B = [c, d] là các đoạn thẳng, khi đó tích A × B là tập cácphần tử được biểu thị bởi các điểm của hình chữ nhật trong mặt phẳngtọa độ Oxy (Hình 1.a)

3 Cho A là tập điểm của hình tròn thuộc mặt phẳng Oxy, B là tập điểmcủa đoạn [0, h] trên trục Oz trong hệ trục tọa độ Oxyz thì A × B là tậphợp các phần tử biểu thị các điểm của khối trụ có chiều cao h đáy làhình tròn A (Hình 1.b)

Hinh 1.b

Nhận xét: Khi hai tập A, B khác nhau và khác ∅ thì A × B 6= B × A điều nàynói lên rằng tích Descartes của hai tập hợp nói chung không có tính chất giaohoán.

1.1.6 Sự phân hoạch của một tập hợp

Ta nói rằng tập hợp X được phân chia (phân hoạch) thành các bộ phận

A, B, C, nếu A, B, C, đều khác rỗng và rời nhau từng đôi một sao cho mọiphần tử của X đều thuộc một trong các bộ phận đó Chính xác hơn ta có địnhnghĩa sau:

Định nghĩa 1.7 Cho X là một tập hợp, ℘(X) là tập các bộ phận của X Bộphận khác rỗng P ⊆ ℘(X) được gọi là một phân hoạch của tập X nếu và chỉnếu các điều kiện sau được thỏa mãn

Ta gọi một tập là hữu hạn nếu nó là tập rỗng hoặc là liệt kê được tất

cả các phần tử của nó Nói cách khác một tập A gọi là tập hữu hạn nếunhư:

(i) A = ∅ hoặc

(ii) A = {a1, a2, , an}

Trong trường hợp thứ nhất ta nói A có bản số 0, trong trường hợp thứhai ta nói A có bản số n Bản số của A ký hiệu là cardA hoặc |A|.Nhận xét:

• Bản số của tập hữu hạn chính là số phần tử của tập đó, vì vậy haitập hợp hữu hạn có cùng bản số khi và chỉ khi chúng có cùng sốphần tử

• Tập số tự nhiên N là tập các bản số của các tập hữu hạn

2 Một số tính chất của bản số hữu hạn

Định lý 1.2 (Nguyên lý cộng) Nếu A và B là các tập hữu hạn rời nhau,nghĩa là A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B| = |A| + |B|

1.1 Tập hợp 19Chứng minh Giả sử |A| = m và |B| = n và

A ={a1, a2, , am} ; B = {b1, b2, , bn}

Do A ∩ B = ∅ nên ta có:

A∪ B = {a1, a2, , am, b1, b2, , bn} Vậy

ta có |A × B| = |{a1} × B| + + |{an} × B| = n.m = |A||B| Bằng quy nạp ta cũng nhận được kết quả tổng quát hơn sau đây:

Định lý 1.5 Cho A1, , An là các tập hữu hạn tùy ý Khi đó:

1≤i 1 <i 2 < <i k ≤n|Ai 1∩ Ai 2∩ ∩ Ai k| + + (−1).n+1|A1∩ A2∩ ∩ An|.Các tính chất của tập hữu hạn như nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên

lý bù trừ là công cụ hữu hiệu trong việc giải quyết các bài toán đếm của lýthuyết tổ hợp Sau đây là một vài ví dụ minh họa

Ví dụ 1.7 Trong số 50 học sinh của lớp có 25 học sinh có năng khiếu toán,

17 có năng khiếu văn, 12 không có năng khiếu cả văn lẫn toán Hỏi số học sinhcủa lớp có năng khiếu cả văn lẫn toán là bao nhiêu

Giải: Gọi A là tập hợp các học sinh có năng khiếu văn B là tập hợp cáchọc sinh có năng khiếu toán C là tập hợp các học sinh có năng khiếu cả văn

và toán Ta có |A ∪ B| = 50 − 12 = 38 và C = A ∩ B Suy ra

|C| = |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 25 + 17 − 38 = 4

Vậy số học sinh có cả năng khiếu văn và toán là 4

|A1∪A2∪A3| = |A1|+|A2|+|A3|−|A1∩A2|−|A2∩A3|−|A3∩A1|+|A1∩A2∩A3|

Ký hiệu phần nguyên của α ∈ R bởi [α] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặcbằng α, thì

1.1 Tập hợp 231.9 Cho X là một tập hợp, P là một phân hoạch của X, Q là một bộ phậnkhác rỗng của P và R = P \ Q Ký hiệu

B1 = A1\ A0; B2 = A2\ A1; ; Bn = An\ An−1.Chứng minh P = {B1, B2, , Bn} là một phân hoạch của X

1.11 Trong một lớp học có 20 em xin được bồi dưỡng thêm chỉ một môn toán,

4 em xin bồi dưỡng chỉ một môn họa 15 em xin bồi dưỡng thêm môn nhạc,trong đó có 8 em chỉ xin bồi dưỡng thêm môn nhạc, 2 em xin bồi dưỡng thêm

cả 3 môn toán, nhạc, họa, 3 em xin bồi dưỡng thêm toán và nhạc, 5 em xinbồi dưỡng thêm toán và họa Hỏi rằng:

1 Có bao nhiêu em xin được bồi dưỡng thêm môn văn và nhạc

2 Lớp có bao nhiêu em, biết rằng mỗi em của lớp đều xin bồi dưỡng ítnhất một môn

1.12 Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 25 học sinh giỏi văn, 30 học sinhgiỏi toán, 10 ghọc sinh giỏi cả văn và toán Hỏi trong lớp có bao nhiêu họcsinh:

1 Giỏi ít nhất một môn văn hoặc toán

2 Không giỏi môn nào trong hai môn văn và toán

3 Chỉ giỏi văn hoặc toán

1.13 Trong 2010 số nguyên dương đầu tiên có bao nhiêu số không chia hếtcho 2, 3, 5 ?

1.14 Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 100 sao cho mỗi số đó hoặc

là một số lẻ, hoặc là bình phương, hoặc là lập phương của một số nguyên.1.15 Tìm số các tập con của tập E = {1, 2, , 10} sao cho phương trình

x + y = 11 không có nghiệm trên mỗi tập đó

1.2 Quan hệ

1.2.1 Quan hệ hai ngôi

Ta biết rằng khi cho trước một tập hợp X thì mỗi tập con của X thườngđược xác định bởi một tính chất đặc trưng nào đó của các phần tử, và ngượclại mỗi tính chất đặc trưng của các phần tử xác định cho ta một tập con của

X Quan hệ hai ngôi chính là một tính chất đặc trưng xác định một tập concủa tập tích Descartes X × Y và ngược lại Từ đó người ta thường dùng tậpcon của X × Y để biểu thị mối quan hệ nào đó giữa các phần tử của X và Y Chính xác ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.8 Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng Ta gọi mỗi tập con

S của tích Descartes X × Y là một quan hệ trên X × Y

1 Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết là xSy

2 Nếu (x, y) /∈ S thì ta nói x không quan hệ S với y và viết là xSy

3 Nếu X = Y thì S được gọi là quan hệ hai ngôi trên X

Chú ý: Trong Định nghĩa trên vai trò của X và Y không bình đẳng, bởi vì nóichung là X × Y 6= Y × X Khi X = Y ta có quan hệ hai ngôi là trường hợpriêng rất quan trọng mà chúng ta sẽ khảo sát trong toàn bộ tiết này

1.2.2 Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôiĐịnh nghĩa 1.9 Cho S là một quan hệ hai ngôi trên tập X Khi đó S đượcgọi là có:

1 Tính chất phản xạ nếu xSx với mọi x ∈ X

2 Tính chất đối xứng nếu xSy thì ySx với mọi x, y ∈ X

3 Tính chất phản đối xứng nếu xSy và ySx thì x = y với mọi x, y ∈ X

4 Tính chất bắc cầu nếu xSy và ySz thì xSz với mọi x, y, z ∈ X

5 Tính chất toàn phần nếu với mọi x, y ∈ X luôn có xSy hoặc ySx

Ví dụ 1.9 1 Trong tập ℘(X) các bộ phận của tập X, quan hệ bao hàm ⊆

là quan hệ hai ngôi có tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu và nếu

X có nhiều hơn một phần tử thì quan hệ này không có tính đối xứng

1.2 Quan hệ 25

2 Trong tập các số tự nhiên khác không N∗ quan hệ "chia hết" xác địnhbởi nSm khi và chỉ khi n|m Quan hệ chia hết có tính chất phản xạ,phản đối xứng, bắc cầu và không có tính chất đối xứng

3 Quan hệ "bằng nhau" trên một tập X khác rỗng xác định bởi tập con

S = {(x, x) | x ∈ X} ta viết xSy khi và chỉ khi x = y có các tính chấtphản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu Không có tính chất toànphần khi X có nhiều hơn một phần tử

4 Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng ≤ thông thường trên tập các số thực R xácđịnh bởi tập con S = {(x, y) ∈ R | x ≤ y} có các tính chất phản xạ,phản đối xứng, và bắc cầu Quan hệ này không có tính chất đối xứng

5 Quan hệ "nguyên tố cùng nhau" trên tập các số tự nhiên xác định bởitập con

1.2.3 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.10 Một quan hệ hai ngôi S trên tập X được gọi là quan hệtương đương nếu S có các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu Quan hệtương đương thường được ký hiệu bởi ∼ và khi đó x ∼ y đọc là x tương đươngvới y

Ví dụ 1.10 1 Quan hệ đồng dạng giữa các hình trong không gian là mộtquan hệ tương đương

2 Quan hệ cùng phương giữa các véc tơ trong không gian là một quan hệtương đương

3 Quan hệ đồng dư mod 5 trên tập các số nguyên xác định bởi: Hai sốnguyên n, m gọi là đồng dư mod 5 nếu n − m chia hết cho 5 Dễ kiểmtra được rằng quan hệ này là một quan hệ tương đương

1.2.4 Lớp tương đương và tập thương

Định nghĩa 1.11 Cho ∼ là một quan hệ tương đương trên tập X và a ∈ X.Khi đó tập hợp

C(a) ={x ∈ X | x ∼ a}

gọi là lớp tương đương chứa a đối với quan hệ ∼

Lớp tương đương chứa a còn được ký hiệu là [a] hoặc a

Nhận xét: Do quan hệ tương đương có tính chất phản xạ, nghĩa là a ∼ a vớimọi a ∈ X nên a ∈ C(a) từ đó suy ra C(a) 6= ∅ với mọi a ∈ X

Định lý 1.8 Các lớp tương đương của cùng một quan hệ tương đương trêntập X hoặc rời nhau hoặc bằng nhau

Chứng minh Với ∀a, b ∈ X nếu C(a) ∩ C(b) 6= ∅ thì C(a) = C(b) Thật vậy,giả sử x ∈ C(a) ∩ C(b) ta có x ∈ C(a) và x ∈ C(b) nghĩa là x ∼ a và x ∼ b

Do tính chất đối xứng và bắc cầu của quan hệ tương đương ∼ suy ra a ∼ b

X/ ∼= {C(a) | a ∈ X}

Ví dụ 1.11 1 Xét quan hệ ∼ trên tập các số nguyên Z xác định bởi

n ∼ m ⇔ n − m 5Bởi vì một số nguyên khi chia cho 5 số dư chỉ có thể là r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

do vậy ta có các lớp tương đương:

r ={5k + r | k ∈ Z}; r = 0, 1, 2, 3, 4

Vậy

Z/∼=0, 1, 2, 3, 4 Người ta thường ký hiệu tập thương này bởi Z5

Chứng minh Theo Định lý 1.4 khi ∼ là một quan hệ tương đương trên X thìX/∼ là một phân hoạch của tập X.

Ngược lại nếu P là một phân hoạch của X thì ta định nghĩa một quan hệ

∼ trên X như sau x ∼ y ⇔ ∃A ∈ P : x, y ∈ A Khi đó dễ kiểm tra được rằng

∼ là một quan hệ tương đương trên X thỏa mãn X/ ∼= P 1.2.5 Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1.13 Một quan hệ hai ngôi S trên tập X được gọi là quan hệ thứ

tự nếu S có các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Người ta thường

ký hiệu quan hệ thứ tự bởi dấu ≤ đọc là nhỏ hơn hoặc bằng Tập X cùng vớimột quan hệ thứ tự ≤ trên nó gọi là tập được sắp thứ tự, ký hiệu (X, ≤)

Ví dụ 1.12 1 Quan hệ bao hàm ⊆ trên tập các bộ phận ℘(X) của tập

X là một quan hệ thứ tự Thật vậy:

• ∀A ∈ ℘(X) luôn có A ⊆ A nên quan hệ ⊆ có tính phản xạ

• ∀A, B ∈ ℘(X) nếu A ⊆ B và B ⊆ A thì A = B do đó quan hệ ⊆

3 Quan hệ "chia hết" xét trên tập Z∗ không có tính chất phản xứng nênkhông là quan hệ thứ tự.

1.2.6 Quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận

Định nghĩa 1.14 Cho tập được sắp thứ tự (X, ≤) Hai phần tử x, y ∈ X gọi

là so sánh được với nhau nếu x ≤ y hoặc y ≤ x Ngoài ra nếu x ≤ y và x 6= ythì ta viết x < y Tập X được gọi là sắp thứ tự toàn phần hay sắp thứ tự tuyếntính nếu mọi x, y ∈ X đều so sánh được với nhau Trái lại thì (X, ≤) được gọi

3 Nếu X có nhiều hơn một phần tử thì ℘(X) cùng quan hệ ⊆ là tập sắpthứ tự bộ phận, thật vậy, nếu ta chọn a, b ∈ X sao cho a 6= b thì {a}, {b}không so sánh được với nhau

1.2.7 Cận trên, cận dưới, phần tử lớn nhất, nhỏ nhấtĐịnh nghĩa 1.15 Cho x, y là các phần tử của tập sắp thứ tự (X, ≤) và A là

bộ phận khác rỗng của X

a Nếu x ≤ y thì x gọi là cận dưới của y còn y là cận trên của x

b Phần tử a ∈ X gọi là cận trên (cận dưới) của bộ phận A nếu a là cận trên(cận dưới) của tất cả các phần tử thuộc A Tập các cận trên, cận dướicủa A được ký hiệu tương ứng là M(A); m(A)

c Phần tử a ∈ X gọi là phần tử tối đại của X nếu M({a}) = {a}, và gọi làtối tiểu nếu m({a}) = {a}

d Nếu A ∩ M(A) 6= ∅ thì mỗi phần tử a ∈ A ∩ M(A) gọi là phần tử lớn nhấtcủa tập A

Nếu A ∩ m(A) 6= ∅ thì mỗi phần tử b ∈ A ∩ m(A) gọi là phần tử nhỏnhất của A

1.2 Quan hệ 29

e Phần tử nhỏ nhất của tập M(A) (nếu có) gọi là cận trên đúng của tập A,

và ký hiệu bởi sup A

f Phần tử nhỏ nhất của tập m(A) (nếu có) gọi là cận dưới đúng của tập A,

và ký hiệu bởi inf A

Nhận xét: Trong thực hành người ta thường sử dụng các khái niệm "phần

tử tối đại, tối tiểu, phần tử lớn nhất, nhỏ nhất" dưới dạng tương đương sauđây

• Phần tử a ∈ X là tối đại (tối tiểu) khi và chỉ khi với mọi x ∈ X thỏamãn a ≤ x (x ≤ a) đều kéo theo x = a

Với chú ý rằng một tập được sắp thứ tự có thể có nhiều phần tử tối đại,nhiều phần tử tối tiểu

• a ∈ A là lớn nhất (nhỏ nhất) khi và chỉ khi x ≤ a (a ≤ x) với mọi x ∈ A

• Nếu A ∩ M(A) 6= ∅ thì A ∩ M(A) có duy nhất một phần tử Thật vậy,với mọi a, b ∈ A ∩ M(A) suy ra a, b ∈ A và a, b ∈ M(A) theo định nghĩacủa M(A) thì a là cận trên của b đồng thời b cũng là cận trên của a suy

ra a ≤ b và b ≤ a từ đó a = b

Tương tự, nếu A ∩ m(A) 6= ∅ thì A ∩ m(A) có duy nhất một phần tử.Vậy phần tử lớn nhất, nhỏ nhất của tập A nếu có là duy nhất

• Phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) là phần tử tối đại (tối tiểu) duy nhất

Ví dụ 1.14 1 Tập các số tự nhiên N với quan hệ thứ tự ≤ thông thường

có phần tử nhỏ nhất là 0 và đó cũng là phần tử tối tiểu duy nhất; Không

có phần tử lớn nhất cũng như phần tử tối đại

2 Tập các số tự nhiên khác không N∗ với quan hệ thứ tự "chia hết" | cóphần tử nhỏ nhất là 1 và đó cũng là phần tử tối tiểu duy nhất; Không

có phần tử lớn nhất cũng như phần tử tối đại

3 Tập các số tự nhiên lớn hơn 1 với quan hệ thứ tự "chia hết" không cóphần tử lớn nhất, nhỏ nhất, phần tử tối đại Nhưng lại có vô số phần tửtối tiểu mà mỗi số nguyên tố chính là một phần tử tối tiểu

1.2.8 Tập sắp thứ tự tốt

Định nghĩa 1.16 Tập sắp thứ tự (X, ≤) được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếumọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử nhỏ nhất

Phần tử nhỏ nhất của X gọi là phần tử đầu tiên của X

Ví dụ 1.15 1 Tập N cùng với quan hệ thứ tự ≤ thông thường là tập sắpthứ tự tốt

2 Các tập Z, Q, R cùng quan hệ thứ tự ≤ thông thường là tập sắp thứ tựkhông tốt Thật vậy, tập con khác rỗng A = {−n|n ∈ Z} không có phần

tử nhỏ nhất; Còn tập B = (0, 1) của Q và của R đều không có phần tửnhỏ nhất

Định lý 1.10 Giả sử (X, ≤) là tập sắp thứ tự tốt Nếu phần tử đầu tiên của

X có tính chất P và nếu từ mọi phần tử của tập {x ∈ X|x < a} đều có tínhchất P sẽ kéo theo a cũng có tính chất P, thì mọi phần tử x ∈ X đều có tínhchất P

Chứng minh Gọi A là tập tất cả các phần tử của X không có tính chất P.Nếu A 6= ∅ thì A có phần tử nhỏ nhất là b Khi đó với mọi x ∈ X thỏa mãn

x < b đều không thuộc A nên có tính chất P Theo giả thiết suy ra b cũng cótính chất P Điều này mâu thuẫn với b ∈ A Vậy A = ∅ 

1.2.9 Tiên đề chọn và các mệnh đề tương đương

Lý thuyết tập hợp trình bày ở trên được gọi là lý thuyết sơ cấp theo quanđiểm "ngây thơ" Ngay vào những năm đầu thế kỷ 20 người ta liên tục pháthiện ra rằng với quan niệm rộng rãi về tập hợp như vậy có nhiều nghịch lýlàm cho lý thuyết tập hợp không còn là cơ sở đủ độ tin cậy nữa Chẳng hạnnhư nghịch lý Russell sau đây: "Xét tập hợp các phần tử không thuộc chínhnó" R = {x|x /∈ x} thì có R 6= ∅ vì chẳng hạn y = {1, 2}, do y /∈ y nên y ∈ R.Khi đó nếu R tồn tại thì R ∈ R khi và chỉ khi R /∈ R Điều này là mâu thuẫn

Vì vậy người ta cần phải hạn chế các quy định cho chính khái niệm "tập hợp"không thể tùy tiện tạo nên những tập hợp chứa mầm mống của các nghịch lý

Mà cách khắc phục được thực hiện là tiên đề hóa lý thuyết tập hợp, quy địnhnhững điều làm được và những điều không thể làm được đối với các đối tượng

và quan hệ cơ bản của lý thuyết tập hợp Hệ tiên đề đầu tiên về lý thuyết tậphợp được đưa ra bởi Zermelo-Fraenkel, hệ gồm 8 tiên đề Tiên đề chọn là tiên

đề thứ 8 trong hệ tiên đề này, một tiên đề mạnh có nhiều ứng dụng trong toánhọc, đặc biệt là các mệnh đề tương đương với nó

1.2 Quan hệ 31Trong mục này chúng ta nêu (không chứng minh) tiên đề chọn và các mệnh

đề tương đương Để hiểu một cách đầy đủ về hệ tiên đề của lý thuyết tập hợpchúng ta có thể tham khảo trong nhiều tài liệu, chẳng hạn xem [2] và [3].Định lý 1.11 Các mệnh đề sau là tương đương:

1 Tiên đề chọn: Nếu I 6= ∅ và Xi 6= ∅ với mọi i ∈ I thì Q

1 Hãy liệt kê các phần tử của mỗi quan hệ đó

2 Biểu diễn các quan hệ đó trên mặt phẳng tọa độ

1.17 Tìm các tính chất của các quan hệ R, S trên Z cho bởi:

1 aRb khi và chỉ khi a + b là số lẻ

2 aSb khi và chỉ khi a + b là số chẵn

1.18 Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5}, và quan hệ hai ngôi S trên X cho bởi sơ đồcác mũi tên như sau:

1

2

34

5

xSy khi và chỉ khi có mũi tên nối x đến y.

1 Tìm những tính chất có thể có của quan hệ S

2 Tìm tập V các phần tử của X sao cho xS2 hoặc 2Sx

1.19 Cho S là quan hệ hai ngôi trên tập X Quan hệ S−1 được định nghĩabởi xS−1y khi và chỉ khi ySx được gọi là quan hệ ngược của S Chứng minhrằng nếu S có tính chất phản xạ (đối xứng; phản xứng; bắc cầu) thì S−1 cũng

có tính chất phản xạ (tương ứng đối xứng; phản xứng; bắc cầu)

1.20 Cho các quan hệ hai ngôi R, S trên tập X Quan hệ tích ký hiệu là RSđược xác định bởi xRSy khi và chỉ khi tồn tại z ∈ X sao cho xRz và zSy.Chứng minh rằng:

1.22 Cho qua hệ hai ngôi S trên Z × N∗ xác định bởi:

1.2 Quan hệ 331.24 Xét quan hệ S trên R cho bởi:

1.28 Cho S là một quan hệ hai ngôi trên tập X có tính chất phản xạ và đốixứng, còn R là quan hệ được xác định bởi xRy khi và chỉ khi tồn tại các phần

tử x1 = x, x2, , xn = y sao cho x1Sx2, x2Sx3, , xn−1Sxn.Chứng minh rằng:

1 R là một quan hệ tương đương và S ⊆ R

2 Nếu T là quan hệ tương đương thỏa mãn S ⊆ T thì R ⊆ T

1.29 Trên tập R cho hai quan hệ sau:

aSb ⇔ a3 ≤ b3; aRb ⇔ a2 ≤ b2.Chứng minh rằng S là quan hệ thứ tự toàn phần, còn R không là quan hệ thứ

tự trên R

1.30 Chứng minh rằng mọi tập sắp thứ tự tốt đều là sắp thứ tự toàn phầntheo quan hệ thứ tự đó

1.31 Cho A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tốiđại tối tiểu nếu có theo quan hệ thứ tự sau:

1 a ≤ b khi và chỉ khi a|b

2 a ≤ b khi và chỉ khi b|a.

1.32 Chứng minh rằng một quan hệ tương đương trên tập X khác quan hệđồng nhất không là quan hệ thứ tự

1.33 Giả sử A và B là các tập được sắp thứ tự bởi các quan hệ thứ tự S và

T tương ứng Chứng minh rằng quan hệ ≤ trên tập tích Descartes A × B xácđịnh bởi:

(a, b)≤ (a′, b′) khi và chỉ khi aSa′ và bT b′

là một quan hệ thứ tự

1.34 Chứng minh rằng quan hệ S trên tập Nn xác định như sau:

(a1, a2, , an)S(b1, b2, , bn)khi và chỉ khi

(a1, a2, , an) = (b1, b2, , bn)hoặc tồn tại chỉ số i ∈ {1, 2, , n} sao cho

a1 = b1, , ai−1 = bi−1; ai < bi

là một quan hệ thứ tự toàn phần

1.35 Cho tập sắp thứ tự (X, ≤) và A, B là các bộ phận của X sao cho A ⊆ B

1 Chứng minh rằng nếu A, B đều có cận trên đúng trong tập hợp X thìsup A≤ sup B

2 Hãy chỉ ra ví dụ về tập được sắp thứ tự (X, ≤) và các bộ phận A, B của

X với A ⊆ B sao cho

(a) A có cận trên đúng còn B không có cận trên đúng

(b) A không có cận trên đúng còn B có cận trên đúng

1.3 Ánh xạ 35

X gọi là tập xác định hay tập nguồn, Y gọi là tập đích của f

Nếu y = f(x) thì y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f, còn phần tử x được gọi

là tạo ảnh của y qua f

Nhận xét: Từ định nghĩa của ánh xạ ta thấy:

f : R−→ R

x7−→ x2+ 4xhoặc

x7→ sin 2x x7→ 2 cos x sin x

2 Hai ánh xạ sau không bằng nhau

1.3 Ánh xạ 371.3.4 Ảnh và tạo ảnh

Định nghĩa 1.20 Cho ánh xạ f : X −→ Y và các bộ phận A ⊆ X; B ⊆ Y.Khi đó ta gọi tập hợp:

1 f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X : y = f(x)} là ảnh của A qua f Khi A = Xthì f(A) = f(X) được gọi là ảnh của f và ký hiệu bởi Imf

2 f−1(B) ={x ∈ X | f(x) ∈ B} là tạo ảnh toàn phần hay nghịch ảnh củatập B bởi f Khi B chỉ có một phần tử B = {y} thì ta viết f−1(y) thaycho cách viết f−1({y})

Nhận xét: Ta luôn có các bao hàm thức sau:

• A ⊆ f−1(f (A)) với mọi bộ phận A của X

• f(f−1(B))⊆ B với mọi bộ phận B của Y

1.3.5 Đơn ánh; Toàn ánh; Song ánh

Định nghĩa 1.21 Cho f : X −→ Y là một ánh xạ Khi đó:

1 Ánh xạ f gọi là đơn ánh hay ánh xạ một đối một nếu với

∀x1, x2 ∈ X : x1 6= x2 =⇒ f(x1)6= f(x2)

(Một cách tương đương là f(x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2)

2 Ánh xạ f gọi là toàn ánh hay ánh xạ lên nếu với mỗi y ∈ Y đều tồn tại

x∈ X sao cho y = f(x) (Một cách tương đương Imf = Y)

3 Ánh xạ f gọi là song ánh hay ánh xạ một đối một từ X lên Y nếu f vừa

là đơn ánh vừa là toàn ánh

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy f là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi y ∈ Ytập f−1(y) có nhiều nhất một phần tử f là toàn ánh khi và chỉ khi f−1(y)6= ∅với mọi y ∈ Y Ánh xạ f là song ánh khi và chỉ khi với mỗi y ∈ Y tập f−1(y)

f g : R−→ R

x7−→ 2x2− 1Chú ý: Các hợp thành gf và fg có thể không cùng tồn tại Trong trườnghợp chúng cùng tồn tại (như ví dụ trên chẳng hạn) thì nói chung chúng cũngkhác nhau Ta nói rằng tích các ánh xạ không có tính chất giao hoán Tuynhiên chúng lại có tính chất kết hợp như trong định lý sau:

Định lý 1.12 Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu cho các ánhxạ

2 Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh

3 Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh