Giáo trình lý thuyết tập hợp và lôgic toán

2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN TRIỆU SƠN - NGUYỄN ĐÌNH YÊN LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LOGIC TOÁN Sơn La, 2015 Lời nói đầu Lý thuyết tập hợp lôgic toán sở tảng toán học nói chung môn học toán học chương trình đào tạo đại học nói riêng Lôgic toán mà chủ yếu quy luật lôgic hình thức xuất phát triển từ sớm, khoảng 300 năm trước công nguyên, thời Aristote (384-322 trước công nguyên) Tuy nhiên trình phát triển, mà toán học chuyển từ phạm vi "bất biến, hữu hạn" sang phạm vi "vận động, vô hạn liên tục" sở lý luận - lôgic hình thức ban đầu tỏ không đủ đáp ứng Để khắc phục khó khăn sở lý luận - lôgic hính thức, vào cuối kỷ thứ 19 Cantor xây dựng lý thuyết tập hợp với tư tưởng thừa nhận tập hợp theo nghĩa "Một hợp lại toàn thể đối tượng mà nhận thức hay tư hình dung ra" với tập hợp vậy, vô hạn hữu hạn, ta vận dụng quy luật lôgic hình thức "cổ điển" không phân biệt không hạn chế Tuy trình phát triển toán học, lý thuyết tập hợp Cantor vấp phải nhiều nghịch lý lý giải, nói lý thuyết tập hợp mà Cantor xây dựng cung cấp tảng thống cho việc xây dựng phát triển toàn ngành toán học Đồng thời với việc khắc phục, loại bỏ nghịch lý lý thuyết tập hợp mà Cantor xây dựng cách hạn chế ngoại diên của khái niệm tập hợp, quy định điều làm điều làm đối tượng quan hệ lý thuyết tập hợp, người ta đề nghị tiên đề hóa lý thuyết sở lôgic nhằm xây dựng tảng vững cho toán học Tập giáo trình bao gồm chương, viết chi tiết theo chương trình môn lý thuyết tập hợp lôgic toán, Khoa Toán-Lý-Tin Trường Đại học Tây Bắc nhằm phục vụ trực tiếp cho công tác giảng dạy học tập khoa Chương Tập hợp quan hệ ánh xạ: Trình bày khái niệm tập hợp, phần tử tập hợp, quan hệ thuộc, phép toán tập hợp, theo quan điểm Cantor Ngoài khái niệm quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ tính chất của chúng trình bày chi tiết nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề số tập hợp, tạo sở cho việc xây dựng tập số sau Chương Đại số mệnh đề: Trình bày khái niệm mệnh đề, phép toán mệnh đề, công thức luật lôgic mệnh đề, Chương Đại số vị từ: Trình bày vấn đề Đại số vị từ, mở rộng tất yếu Đại số mệnh đề Nội dung chương bao gồm: Khái niệm hàm mệnh đề (vị từ) biến nhiều biến, phép toán hàm mệnh đề, lượng từ, công thức vị từ, vấn đề tính giải Ngoài trình bày số ứng dụng Đại số mệnh đề Đại số vị từ vào vấn đề suy luận chứng minh Chương Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ: Trình bày hệ tiên đề lôgic toán mà gọi chúng tương ứng "Hệ toán mệnh đề" "Hệ toán vị từ" Đồng thời tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ độc lập hệ tiên đề Hệ thống kiến thức chọn lựa cách tối thiểu, mệnh đề, định lý chứng minh tỉ mỉ, chi tiết hệ thống ví dụ minh họa trực quan tập phong phú, đặc biệt tập đặt sau lý thuyết tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên tự học môn học năm thứ Hy vọng với cách trình bày giáo trình góp phần nâng cao hiệu học tập sinh viên Chúng chân thành cám ơn đồng nghiệp khoa Toán - Lý - Tin Trường Đại học Tây bắc đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trình biên soạn giáo trình Đặc biệt xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, Khoa Toán - Lý - Tin tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành tập giáo trình Cuối cùng, việc biên soạn tác giả thiếu sót, mong muốn tiếp tục nhận ý kiến đóng góp phê bình bạn đồng nghiệp Các tác giả Mục lục Lời nói đầu Mục lục Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ 1.1 1.2 10 Tập hợp 10 1.1.1 Khái niệm tập hợp 10 1.1.2 Cách xác định tập hợp 11 1.1.3 Quan hệ tập hợp 12 1.1.4 Phép toán tập hợp 13 1.1.5 Tích đề tập hợp 17 1.1.6 Sự phân hoạch tập hợp 18 1.1.7 Tập hữu hạn 18 Quan hệ 24 1.2.1 Quan hệ hai 24 1.2.2 Một số tính chất thường gặp quan hệ hai 24 1.2.3 Quan hệ tương đương 25 1.2.4 Lớp tương đương tập thương 26 1.2.5 Quan hệ thứ tự 27 MỤC LỤC 1.2.6 Quan hệ thứ tự toàn phần phận 28 1.2.7 Cận trên, cận dưới, phần tử lớn nhất, nhỏ 28 1.2.8 Tập thứ tự tốt 30 1.2.9 Tiên đề chọn mệnh đề tương đương 30 1.3 Ánh xạ 34 1.3.1 Định nghĩa ví dụ 34 1.3.2 Ánh xạ 36 1.3.3 Thu hẹp mở rộng ánh xạ 36 1.3.4 Ảnh tạo ảnh 37 1.3.5 Đơn ánh; Toàn ánh; Song ánh 37 1.3.6 Tích ánh xạ 38 1.3.7 Ánh xạ ngược 40 1.4 Bản số tập hợp 41 1.4.1 Khái niệm số 41 1.4.2 Tập đếm 43 1.4.3 Tập continum 46 1.4.4 So sánh số 47 Đại số mệnh đề 53 2.1 Mệnh đề phép toán mệnh đề 53 2.1.1 Khái niệm mệnh đề 53 2.1.2 Phép toán mệnh đề 54 2.2 Công thức lôgic mệnh đề 59 2.2.1 Khái niệm công thức 59 MỤC LỤC 2.3 2.2.2 Giá trị công thức 60 2.2.3 Công thức tương đương 61 2.2.4 Các đẳng thức 62 2.2.5 Luật lôgic mệnh đề 64 2.2.6 Mệnh đề liên kết, điều kiện cần, điều kiện đủ 65 2.2.7 Dạng chuẩn tắc công thức 65 2.2.8 Phép đối ngẫu 69 Hàm đại số lôgic 73 Đại số vị từ 3.1 3.2 3.3 76 Khái niệm hàm mệnh đề 77 3.1.1 Hàm mệnh đề biến 77 3.1.2 Hàm mệnh đề nhiều biến 78 3.1.3 Hàm mệnh đề 80 Phép toán hàm mệnh đề 81 3.2.1 Phép phủ định 81 3.2.2 Phép hội 82 3.2.3 Phép tuyển 83 3.2.4 Phép kéo theo 84 3.2.5 Phép tương đương 84 Các lượng từ 86 3.3.1 Khái niệm lượng từ 86 3.3.2 Lượng từ với hàm mệnh đề nhiều biến 87 3.3.3 Liên hệ lượng từ phổ dụng tồn 88 MỤC LỤC 3.4 Công thức lôgic vị từ 92 3.4.1 Khái niệm công thức vị từ 92 3.4.2 Công thức công thức 94 3.4.3 Một số luật thường gặp lôgic vị từ 95 3.4.4 Dạng chuẩn công thức 96 3.4.5 Vấn đề tính giải 98 3.5 Suy luận chứng minh 102 3.5.1 Quy tắc suy luận 102 3.5.2 Hai kiểu suy luận 104 3.5.3 Chứng minh 105 Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ 111 4.1 Hệ toán mệnh đề 112 4.1.1 Các ký hiệu hệ toán mệnh đề 112 4.1.2 Định nghĩa công thức hệ toán mệnh đề 113 4.1.3 Các tiên đề hệ toán mệnh đề 113 4.1.4 Quy tắc suy diễn 114 4.2 Suy diễn hệ toán mệnh đề 114 4.3 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập 117 4.3.1 Tính phi mâu thuẫn 117 4.3.2 Tính đầy đủ hệ toán mệnh đề 118 4.3.3 Tính độc lập hệ toán mệnh đề 120 4.4 Hệ toán vị từ 124 4.4.1 Ký hiệu hệ toán vị từ 124 MỤC LỤC 4.5 4.4.2 Các tiên đề hệ toán vị từ 124 4.4.3 Các quy tắc suy diễn 124 Tính phi mâu thuẫn tính đầy đủ 126 4.5.1 Tính phi mâu thuẫn hệ toán vị từ 126 4.5.2 Tính đầy đủ hệ toán vị từ 127 Tài liệu tham khảo 128 114 Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ 4.1.4 Quy tắc suy diễn Quy tắc suy diễn hay gọi quy tắc dẫn xuất gồm quy tắc modus ponens gọi tắt quy tắc MP : A, A ⇒ B B 4.2 Suy diễn hệ toán mệnh đề Định nghĩa 4.1 Giả sử Γ tập hợp công thức F công thức Một suy diễn (chứng minh) F từ giả thiết Γ hệ toán mệnh đề dãy thứ tự công thức A1 , A2 , , An cho với i(1 ≤ i ≤ n) ta có: Ai tiên đề hay giả thiết (tức công thức thuộc Γ) có j, k < i công thức A, B cho Aj = A; Ak = (A ⇒ B); Ai = B; An = F (Nghĩa Ai có nhờ quy tắc MP từ Aj , Ak An = F ) Nếu có chứng minh F từ giả thiết Γ, ta nói F suy diễn từ Γ, viết Γ ⊢ F Nếu Γ = {B1 , B2 , , Bn } ta viết B1 , B2 , , Bn ⊢ F Nếu Γ = ∅, tức ⊢ F ta nói F suy diễn hay F định lý hệ toán mệnh đề Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: • Mỗi tiên đề định lý • Nếu A A ⇒ B định lý B định lý • Mỗi công thức A suy diễn từ nó, tức A ⊢ A Sau số ví dụ suy diễn hệ toán mệnh đề: Ví dụ 4.1 Với công thức mệnh đề A, B, C ta có: ⊢ (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ A) Thật vậy, theo 1(b) ta có: ⊢ (A ⇒ (B ⇒ A)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ A)) Theo 1(a) ta có: (1) 4.2 Suy diễn hệ toán mệnh đề 115 ⊢ A ⇒ (B ⇒ A) (2) Từ (1), (2) quy tắc suy diễn MP ta có: ⊢ (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ A) ⊢ (A ∧ B) ⇒ (B ∧ A) Thật vậy, theo 2(c) ta có: ⊢ ((A ∧ B) ⇒ B) ⇒ (((A ∧ B) ⇒ A) ⇒ ((A ∧ B) ⇒ (B ∧ A)))(3) Theo 2(b) có: ⊢ (A ∧ B) ⇒ B (4) ⊢ ((A ∧ B) ⇒ A) ⇒ ((A ∧ B) ⇒ (B ∧ A)) (5) ⊢ (A ∧ B) ⇒ A) (6) Từ (3), (4) quy tắc suy diễn MP ta có: Từ 2(a) ta có: Từ (5), (6) quy tắc suy diễn MP ta được: ⊢ (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ A) ⊢ A ⇒ A Thật vậy, ta có: ⊢ (A ⇒ A) ⇒ (A ⇒ A) 4(a) Mặt khác ta lại có: ⊢ (A ⇒ A) 4(b) Từ theo quy tắc suy diễn MP có: ⊢ A ⇒ A ⊢ A ⇒ A Thật vậy, ta có: ⊢ (A ⇒ ((A ⇒ A) ⇒ A)) ⇒ ((A ⇒ (A ⇒ A)) ⇒ (A ⇒ A)) (Tiên đề 1(b) với A = C, B = A ⇒ A) ⊢ A ⇒ ((A ⇒ A) ⇒ A) (2) (Tiên đề 1(a) với B = A ⇒ A) ⊢ ((A ⇒ (A ⇒ A)) ⇒ (A ⇒ A)) (Theo quy tắc MP ) ⊢ A ⇒ (A ⇒ A) (Tiên đề 1(a) với B = A) Theo quy tắc suy diễn MP ta được: ⊢ A ⇒ A Trong nhiều chứng minh toán mệnh đề ta thường dùng định lý suy diễn sau đây: 116 Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ Định lý 4.1 (Định lý suy diễn) Nếu Γ tập công thức, A B công thức mệnh đề, Γ, A ⊢ B Γ ⊢ A ⇒ B Trường hợp riêng, A ⊢ B ⊢ A ⇒ B Chứng minh Giả sử B1 , , Bn suy diễn Γ, A ⊢ B, Bn = B Ta chứng minh Γ ⊢ A ⇒ B quy nạp theo i(i = 1, , n) Trường hợp i = B1 tiên đề, thuộc Γ A Theo tiên đề 1(a) ta có ⊢ B1 ⇒ (A ⇒ B1 ) từ B1 tiên đề theo quy tắc MP có ⊢ (A ⇒ B1 ) B1 ∈ Γ ta có Γ ⊢ (A ⇒ B1 ) Ngoài B1 = A theo ví dụ 4.1 ta có ⊢ A ⇒ B1 Như với i = ta có Γ ⊢ (A ⇒ B1 ) Bước quy nạp, giả sử Γ ⊢ (A ⇒ Bk ), với k < i ta phải chứng minh Γ ⊢ (A ⇒ Bi ) Trường hợp Bi tiên đề phần tử thuộc Γ A chứng minh i = Vậy ta cần phải xét trường hợp có j, k < i cho Bk = (Bj ⇒ Bi ) Theo giả thiết quy nạp, ta có: Γ ⊢ A ⇒ Bj Γ ⊢ A ⇒ (Bj ⇒ Bi ) Theo tiên đề 1(b) ứng với B = Bj ; C = Bi ta có ⊢ (A ⇒ (Bj ⇒ Bi )) ⇒ ((A ⇒ Bj ) ⇒ (A ⇒ Bi )) Áp dụng quy tắc MP hai lần cho công thức vừa thu ta có: Γ ⊢ (A ⇒ Bi ) điều phải chứng minh Một số ví dụ ứng dụng định lý suy diễn thể qua bổ đề sau đây: Bổ đề 4.1 Với công thức mệnh đề A, B, C bất kỳ, ta có: ⊢ A ⇒ (A ⇒ B) Nếu ⊢ A ⇒ C ⊢ B ⇒ C ⊢ A ∨ B ⇒ C ⊢ (B ∧ C) ⇒ B ∨ C ⊢ B ∨ C ⇒ B ∧ C ⊢ A ⇒ (B ⇒ A ⇒ B) ⊢ A ⇒ (B ∧ C) ⊢ A ⇒ B ⊢ A ⇒ C ⊢ (A ⇒ B) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ B) Chứng minh Theo tiên đề 1(a) ta có: ⊢ A ⇒ (B ⇒ A) 4.3 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập 117 ⊢ A ⇒ (B ⇒ A) Theo tiên đề 4(a) ta có: ⊢ (B ⇒ A) ⇒ (A ⇒ B) Từ suy A, A ⊢ B theo Định lý suy diễn ta được: ⊢ A ⇒ (A ⇒ B) Giả sử ta có: ⊢ A ⇒ C ⊢ B ⇒ C Theo tiên đề 3(c) ta có: ⊢ (A ⇒ C) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ (A ∨ B ⇒ C)) Áp dụng quy tắc MP hai lần ta được: ⊢ (A ∨ B) ⇒ C Ta có: ⊢ B ∧ C ⇒ B (Tiên đề 2(a)) ⊢ B ∧ C ⇒ C (Tiên đề 2(b)) Kết hợp với ⊢ (B ∧ C ⇒ B) ⇒ (B ⇒ B ∧ C) quy tắc MP ta có: B ⇒ B ∧ C Tương tự ta có C ⇒ B ∧ C Kết hợp với ⊢ B ⇒ B; ⊢ C ⇒ C (Tiên đề 4(a)) quy tắc MP ta được: ⊢B ⇒ B∧C Áp dụng (2) ta có ⊢C ⇒B∧C ⊢ (B ∨ C) ⇒ B ∧ C Kết hợp với ⊢ ((B ∨ C) ⇒ B ∧ C) ⇒ (B ∧ C ⇒ B ∨ C) quy tắc MP ta ⊢ (B ∧ C ⇒ B ∨ C) Tiếp tục kết hợp với ⊢ (B ∧ C ⇒ B ∧ C) quy tắc MP ta kết quả: ⊢ (B ∧ C ⇒ B ∨ C) Phần (4), (5), (6) (7) chứng minh tương tự, bạn đọc tự chứng minh tập 4.3 4.3.1 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập Tính phi mâu thuẫn Định nghĩa 4.2 Hệ toán mệnh đề phi mâu thuẫn không tồn công thức A mà có đồng thời ⊢ A ⊢ A 118 Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ Định lý 4.2 Nếu A định lý hệ toán mệnh đề A công thức đồng Đại số mệnh đề Chứng minh Giả sử A định lý hệ toán mệnh đề, nghĩa ⊢ A Ta cần chứng minh A công thức đồng Đại số mệnh đề, nghĩa |= A Nếu A tiên đề hiển nhiên A công thức đồng Mặt khác ta có: Nếu ⊢ A ⊢ A ⇒ B ⊢ B Ta cần chứng minh |= A |= A ⇒ B |= B Giả sử ngược lại B không đồng đúng, tồn giá trị mà B sai Vì A đồng nên với giá trị làm cho B sai A đúng, điều dẫn đến A ⇒ B nhận giá trị sai, mâu thuẫn với giả thiết Vậy |= A |= A ⇒ B phải có |= B Định lý 4.3 Hệ toán mệnh đề phi mâu thuẫn Chứng minh Nếu A A định lý hệ toán mệnh đề theo Định lý 4.2 ta có A A đồng Đại số mệnh đề điều xảy 4.3.2 Tính đầy đủ hệ toán mệnh đề Bổ đề 4.2 Giả sử A công thức chứa ký hiệu mệnh đề P1 , , Pk (σ1 , , σk ) giá trị chân lý (0 hay 1) gán cho P1 , , Pk Nếu việc gán A có giá trị σ ∈ {0, 1} ta có hệ toán mệnh đề: P1σ1 , , Pkσk ⊢ Aσ (5) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số n xuất liên kết lôgic −, ⇒, ∨, ∧ công thức A Trường hợp n = 0: Khi A ký hiệu mệnh đề P1 , (5) trở thành P1 ⊢ P1 A ⊢ A điều hiển nhiên Bước quy nạp: Giả sử bổ đề với j < n A có n xuất dấu −, ⇒, ∨, ∧ Ta xét trường hợp sau: (1) A = B; B có số xuất liên kết lôgic < n Ta chia hai trường hợp nhỏ sau: (1a) Với phép gán (σ1 , , σk ) cho P1 , , Pk B nhận giá trị Khi A nhận giá trị σ = Theo giả thiết quy nạp, có P1σ1 , , Pkσk ⊢ B, tức P1σ1 , , Pkσk ⊢ A = Aσ (1b) Với phép gán (σ1 , , σk ) cho P1 , , Pk B nhận giá trị Khi A nhận giá trị σ = Theo giả thiết quy nạp, ta có P1σ1 , , Pkσk ⊢ B, kết hợp với tiên đề 4(a) được: P1σ1 , , Pkσk ⊢ B = Aσ 4.3 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập 119 (2) A = B ⇒ C, B C có số xuất liên kết lôgic < n Giả sử với phép gán (σ1 , , σk ) cho P1 , , Pk B nhận giá trị β C nhận giá trị γ (β, γ ∈ {0, 1}) A nhận giá trị σ Ta xét trường hợp nhỏ sau: (2a) β = Khi σ = Theo giả thiết quy nạp ta có P1σ1 , , Pkσk ⊢ B Từ công thức (1) bổ đề 4.1 ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ⇒ C) = A = Aσ (2b) γ = Khi σ = Theo giả thiết quy nạp, ta có P1σ1 , , Pkσk ⊢ C γ = C Dùng tiên đề 1(a) ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ⇒ C) = A = Aσ (2c) β = 1, γ = Khi σ = Theo giả thiết quy nạp, ta có P1σ1 , , Pkσk ⊢ B P1σ1 , , Pkσk ⊢ C Dùng công thức (5) bổ đề 4.1 ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ⇒ C) = A = Aσ (3) A = B ∨ C; B C có số xuất liên kết lôgic < n Giả sử với phép gán (σ1 , , σk ) cho P1 , , Pk B nhận giá trị β C nhận giá trị γ (β, γ ∈ {0, 1}) A nhận giá trị σ Ta xét trường hợp nhỏ sau: (3a) β = Khi σ = Theo giả thiết quy nạp ta có P1σ1 , , Pkσk ⊢ B β = B Áp dụng tiên đề 3(a) ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ∨ C) = A = Aσ (3b) γ = Khi σ = Theo giả thiết quy nạp ta có P1σ1 , , Pkσk ⊢ C γ = C Áp dụng tiên đề 3(b) ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ∨ C) = A = Aσ (3c) β = 0, γ = Khi σ = Theo giả thiết quy nạp ta có P1σ1 , , Pkσk ⊢ B β = B P1σ1 , , Pkσk ⊢ C γ = C Áp dụng công thức (6) bổ đề 4.1 ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ∧ C) Tiếp tục áp dụng công thức (3) bổ đề 4.1 ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ∨ C = A = Aσ ) (4) A = B ∧ C; B C có số xuất liên kết lôgic < n Giả sử với phép gán (σ1 , , σk ) cho P1 , , Pk B nhận giá trị β C nhận giá trị γ (β, γ ∈ {0, 1}) A nhận giá trị σ Ta xét trường hợp nhỏ sau: 120 Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ (4a) β = 1, γ = Khi σ = Theo giả thiết quy nạp ta có P1σ1 , , Pkσk ⊢ B β = B P1σ1 , , Pkσk ⊢ C γ = C Áp dụng công thức (6) bổ đề 4.1 ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ∧ C) = A = Aσ (4b) β = γ = Khi σ = Theo giả thiết quy nạp ta có ⊢ B β = B P1σ1 , , Pkσk ⊢ C γ = C Áp dụng tiên đề 3(a) 3(b) ta thu P1σ1 , , Pkσk ⊢ (B ∨ C) Dùng công thức (4) bổ đề 4.1 ta có: P1σ1 , , Pkσk P1σ1 , , Pkσk ⊢ B ∧ C = A = Aσ Định nghĩa 4.3 Hệ toán mệnh đề gọi đầy đủ công thức đồng Đại số mệnh đề định lý Hệ toán mệnh đề Định lý 4.4 Hệ toán mệnh đề đầy đủ Chứng minh Ta cần chứng minh |= A ⊢ A Giả sử |= A A công thức chứa mệnh đề sơ cấp P1 , , Pk Theo giả thiết với phép gán (σ1 , , σk ) cho P1 , , Pk công thức A nhận giá trị (giá trị chân lý 1) Do theo bổ đề 4.2 với (σ1 , , σk ) ∈ {0, 1}k có: P1σ1 , , Pkσk ⊢ A Từ lấy σk = σk = áp dụng Định lý suy diễn ta được: σ σ k−1 k−1 ⊢ (Pkσk ⇒ A) ⊢ (Pkσk ⇒ A); P1σ1 , , Pk−1 P1σ1 , , Pk−1 Áp dụng công thức (7) bổ đề 4.1 ta được: σ k−1 ⊢ A P1σ1 , , Pk−1 Tiếp tục trình cách tượng tự, cuối ta ⊢ A Đó điều phải chứng minh 4.3.3 Tính độc lập hệ toán mệnh đề Định nghĩa 4.4 Ta ký hiệu tiên đề hệ toán mệnh đề: H = {1(a), 1(b), 2(a), 2(b), 2(c), 3(a), 3(b), 3(c), 4(a), 4(b), 4(c)} Tiên đề i(x) gọi độc lập với tiên đề lại H \ {i(x)} i(x) không suy diễn từ tiên đề H \ {i(x)} theo quy tắc suy diễn Hệ toán mệnh đề gọi độc lập tiên đề H độc lập với tiên đề lại 4.3 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập 121 Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy để chứng minh tiên đề i(x) độc lập với tiên đề lại hệ H ta cần tìm tính chất G đó, cho: • Các tiên đề H \ {i(x)} có tính chất G • Nếu công thức A suy diễn từ tiên đề H \ {i(x)} A có tính chất G • Tiên đề i(x) tính chất G Thông thường tính chất G chọn là: "i(x) nhận giá trị α" Trong α, β, giá trị mà công thức nhận Chúng ta định nghĩa phép toán ký hiệu α, β, cho tính chất G thỏa mãn tất tiên đề H trừ tiên đề i(x) không thỏa mãn Định lý 4.5 Hệ toán mệnh đề độc lập Chứng minh Tính độc lập tiên đề nhóm Ta  định nghĩa phép toán thỏa mãn tính chất sau đây:  A ∧ B ≡ B ∧ A, A ∧ α ≡ A, A ∧ β ≡ β, A ∧ A ≡ A(1)      A ∨ B ≡ B ∨ A, A ∨ α ≡ A, A ∨ β ≡ β, A ∨ A ≡ A(2) A ⇒ A ≡ α, A ⇒ α ≡ α, β ⇒ A ≡ α, α ⇒ β ≡ β (3)    Nếu B = α α ⇒ B = α    α = β, β = α (4) Dễ thấy định nghĩa phép toán hợp lý ta xem α−đúng β−sai Hơn A A ⇒ B có tính chất G B có tính chất G, nghĩa A = α; A ⇒ B = α B = α ngược lại A = α; B = α (3) ta có A ⇒ B = α, mâu thuẫn * Tính độc lập tiên đề 1(b) : Đối với tiên đề ta lấy giá trị α, β, γ định nghĩa bổ xung phép toán sau đây: α ⇒ γ = γ, γ ⇒ β = γ, γ = γ Với định nghĩa tiên đề (trừ tiên đề 1(b)) có tính chất G, thật vậy, chẳng hạn tiên đề 2(a) : A ∧ B ⇒ A, tiên đề khác chứng minh tương tự Nếu A = α theo (1) ta có: A ∧ B ⇒ A ≡ B ∧ A ⇒ A ≡ B ∧ α ⇒ α ≡ B ⇒ α 122 Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ Theo (3) ta có B ⇒ α = α Nếu A = β ta có: A ∧ B ⇒ A ≡ B ∧ A ⇒ A ≡ B ∧ β ⇒ β ≡ β ⇒ β = α Nếu A = γ ta có: A∧B ⇒A≡β ⇒γ =α A∧B ⇒A≡γ ⇒γ =α Vậy tiên đề 2(a) có tính chất G Tiên đề 1(b) tính chất G, thật vậy, ta chọn A = B = γ; C = β tiên đề 1(b) trở thành: (γ ⇒ (γ ⇒ β)) ⇒ ((γ ⇒ γ) ⇒ (γ ⇒ β)) (γ ⇒ γ) ⇒ (α ⇒ γ) = (α ⇒ γ) = γ * Tính độc lập tiên đề 1(a) : Ta dùng ký hiệu α, β, γ, σ định nghĩa bổ xung phép toán sau:   α ⇒ B = β B = γ, β, σ α ⇒ β = β, γ ⇒ σ = β, σ ⇒ β = β, σ ⇒ γ = α   γ ∧ σ = σ, γ ∨ σ = γ, γ = σ, σ = γ Với định nghĩa tiên đề (trừ tiên đề 2(a)) có tính chất G, thật vậy, chẳng hạn tiên đề 2(a) : A ∧ B ⇒ A, tiên đề khác chứng minh tương tự Nếu A, B nhận giá trị β ta có: A ∧ B ⇒ A ≡ B ∧ A ⇒ A ≡ β ⇒ β ≡ α Nếu A nhận giá trị α A ∧ B ⇒ A ≡ B ∧ A ⇒ A ≡ B ∧ α ⇒ α ≡ B ⇒ α ≡ α Nếu B ≡ α A ∧ α ⇒ A ≡ A ⇒ A ≡ α Nếu A ≡ B A ∧ B ⇒ A ≡ α Nếu A = B nhận giá trị tương ứng σ, γ ta có: γ ∧ σ ⇒ γ ≡ σ ⇒ γ ≡ α 4.3 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập 123 γ ∧ σ ⇒ σ ≡ σ ⇒ σ ≡ α Tóm lại tiên đề 2(a) có tính chất G Riêng tiên đề 1(a) : A ⇒ (B ⇒ A) tính chất G, thật vậy, ta chọn A ≡ σ; B ≡ α ta được: σ ⇒ (α ⇒ σ) ≡ σ ⇒ β ≡ β Vậy tiên đề 1(a) độc lập với tiên đề lại hệ H Tính độc lập nhóm tiên đề lại chứng minh tương tự, xem tập, với lưu ý để chứng minh ta cần chọn hai ký hiệu α β Bài tập 4.1 Nếu A ⊢ B B ⊢ C A ⊢ C Nếu A ⊢ (B ⇒ C) A, B ⊢ C 4.2 Nếu ⊢ A ⇒ B ⊢ B ⇒ C ⊢ A ⇒ C Nếu ⊢ A ⇒ (B ⇒ C) ⊢ B ⇒ (A ⇒ C) ⊢ A ⇒ (B ⇒ C) ⊢ (A ∧ B) ⇒ C ⊢ A ⇒ (B ∧ C) ⊢ A ⇒ B ⊢ A ⇒ B ⊢ (A ∨ B) ⇒ C ⊢ A ⇒ C ⊢ B ⇒ C 4.3 Hoàn thành chứng minh Bổ đề 4.1 Định lý 4.5 4.4 Hệ toán mệnh đề xây dựng mục 4.1 ta gọi hệ toán mệnh đề H Xét hệ toán mệnh đề L xây dựng dùng hai liên kết lôgic −, ⇒ với ba sơ đồ tiên đề: (1) A ⇒ (B ⇒ A) (2) (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)) (3) (A ⇒ B) ⇒ ((B ⇒ A) ⇒ B) Quy tắc suy diễn quy tắc MP liên kết lôgic khác định nghĩa sau: A ∧ B ký hiệu cho A ⇒ B A ∨ B ký hiệu cho A ⇒ B Chứng minh hệ toán mệnh đề H tương đương với hệ toán mệnh đề L Nghĩa sơ đồ tiên đề hệ định lý hệ 124 4.4 4.4.1 Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ Hệ toán vị từ Ký hiệu hệ toán vị từ Hệ thống ký hiệu hệ toán vị từ mở rộng hệ thống ký hiệu hệ toán mệnh đề bao gồm ký hiệu mà đưa mục 3.4.1 Các công thức định nghĩa khái niệm công thức đại số vị từ, quy tắc để đơn giản cách viết công thức tương tự quy tắc đại số vị từ 4.4.2 Các tiên đề hệ toán vị từ Hệ tiên đề hệ toán vị từ bao gồm tiên đề hệ toán mệnh đề (có 11 tiên đề chia thành nhóm) (trong ký hiệu A, B, C công thức hệ toán vị từ) thêm nhóm thứ gồm hai tiên đề sau đây: a ∀xA(x) ⇒ A(y) b A(y) ⇒ ∃xA(x) Trong A(x) công thức hệ toán vị từ, có chứa xuất biến tự x không xuất chúng thuộc miền tác động lượng từ theo biến y, A(y) công thức nhận từ A(x) cách thay tất xuất tự x y 4.4.3 Các quy tắc suy diễn Các quy tắc suy diễn hay gọi quy tắc dẫn xuất hệ toán vị từ bao gồm ba quy tắc sau đây: Quy tắc modus ponens (MP): A, A ⇒ B B Quy tắc ∀−nhập: Nếu công thức B(x) chứa xuất tự biến x, công thức A không chứa xuất tự x thì: A ⇒ B(x) A ⇒ ∀xB(x) Quy tắc ∃−tách: Nếu công thức B(x) chứa xuất tự biến x, công thức A không chứa xuất tự x thì: B(x) ⇒ A ∃xB(x) ⇒ A 125 4.4 Hệ toán vị từ Định nghĩa 4.5 Giả sử Γ tập hợp công thức F công thức hệ toán vị từ Một suy diễn (chứng minh) F từ giả thiết Γ hệ toán vị từ dãy thứ tự công thức A1 , A2 , , An (∗) Trong An = F với i (1 ≤ i ≤ n) : có Ai tiên đề công thức thuộc Γ công thức nhận từ công thức trước dãy (*) quy tắc suy diễn (MP, ∀−nhập, ∃−tách) Nếu có chứng minh F từ Γ ta viết Γ ⊢ F Nếu Γ = {B1 , B2 , , Bn } ta viết B1 , B2 , , Bn ⊢ F Nếu Γ = ∅, tức ⊢ F ta nói F suy diễn hay F định lý hệ toán vị từ Ví dụ 4.2 Quy tắc đổi tên biến tự Nếu công thức A(x) hệ toán vị từ chứa biến tự x không xuất x nằm miền tác động lượng từ theo biến y, từ ⊢ A(x) suy ⊢ A(y), A(y) nhận cách thay tất xuất x y Chứng minh Ta lấy công thức B chứng minh tùy ý hệ toán vị từ, không chứa xuất tự x Theo giả thiết ta có ⊢ A(x) Kết hợp với ⊢ A(x) ⇒ (B ⇒ A(x)) (tiên đề 1(a)) áp dụng quy tắc MP ta có ⊢ B ⇒ A(x) Áp dụng quy tắc ∀−nhập ta có: ⊢ B ⇒ ∀xA(x) Từ suy ⊢ ∀xA(x) Kết hợp với ⊢ ∀xA(x) ⇒ A(y) (tiên đề 5(a)) áp dụng quy tắc MP ta ⊢ A(y) Quy tắc đổi tên biến ràng buộc Nếu công thức A(x) hệ toán vị từ chứa biến tự x không chứa biến tự y không xuất x nằm miền tác động lượng từ theo biến y, từ ⊢ ∀xA(x) ( ⊢ ∃xA(x)) suy ⊢ ∀xA(x) ( ⊢ ∃xA(x)), A(y) nhận cách thay tất xuất x y Chứng minh Giả sử ta có ⊢ ∀xA(x), đó: (1) ⊢ ∀xA(x) ⇒ A(y) (2) ⊢ ∀xA(x) ⇒ ∀yA(y) (3) ⊢ ∀yA(y) (tiên đề 5(a)) ((1) ∀−nhập) (giả thiết, (2), MP ) 126 Sơ lược hệ toán mệnh đề hệ toán vị từ Giả sử ta có ⊢ ∃xA(x), đó: (4) ⊢ A(x) ⇒ ∃yA(y) (5) ⊢ ∃xA(x) ⇒ ∃yA(y) (6) ⊢ ∃yA(y) (tiên đề 5(b)) ((4) ∃−tách) (giả thiết, (5), MP ) ⊢ ∃x∀yA(x, y) ⇒ ∀y∃xA(x, y) Chứng minh (1) ⊢ ∀yA(x, y) ⇒ A(x, z) (tiên đề 5(a)), biến z không tham gia vào công thức A(x, y) (2) ⊢ A(x, z) ⇒ ∃vA(v, z) (tiên đề 5(b)), biến v không tham gia vào công thức A(x, z) (3) ⊢ ∃vA(v, z) ⇒ ∃xA(x, z) (theo quy tắc đổi tên biến) (4) ⊢ A(x, z) ⇒ ∃xA(x, z) (áp dụng quy tắc tam đoạn luận vào (2) (3)) (5) ⊢ ∀yA(x, y) ⇒ ∃xA(x, z) (áp dụng quy tắc tam đoạn luận vào (1) (4)) (6) ⊢ ∃x∀yA(x, y) ⇒ ∃xA(x, z) (áp dụng quy tắc ∃−tách vào (5)) (7) ⊢ ∃x∀yA(x, y) ⇒ ∀z∃xA(x, z) (áp dụng quy tắc ∀−nhập vào (5)) (8) ⊢ ∀z∃xA(x, z) ⇒ ∀y∃xA(x, y) (theo quy tắc đổi tên biến) (9) ⊢ ∃x∀yA(x, y) ⇒ ∀y∃xA(x, y) (áp dụng quy tắc tam đoạn luận vào (7) (8)) 4.5 4.5.1 Tính phi mâu thuẫn tính đầy đủ Tính phi mâu thuẫn hệ toán vị từ Định nghĩa 4.6 Hệ toán vị từ phi mâu thuẫn không tồn công thức A mà có đồng thời ⊢ A ⊢ A Định lý 4.6 Nếu A định lý hệ toán vị từ A công thức đồng Đại số vị từ, hệ toán vị từ phi mâu thuẫn Chứng minh Trước hết là, tất tiên đề hệ toán vị từ công thức đồng Đại số vị từ tất tiên đề công thức đồng chọn chứng minh đồng 4.5 Tính phi mâu thuẫn tính đầy đủ 127 Đại số vị từ Ngoài công thức nhận từ công thức theo quy tắc suy diễn (MP, ∀ − nhập, ∃ − tách) Do tất định lý hệ toán vị từ công thức đồng Đại số vị từ Cuối Đại số vị từ công thức A A đồng thời Vậy hệ toán vị từ phi mâu thuẫn 4.5.2 Tính đầy đủ hệ toán vị từ Tính đầy đủ (theo ngĩa rộng) hệ toán vị từ khẳng định định lý G¨odel sau đây: Định lý 4.7 (Định lý G¨ odel) Hệ toán vị từ đầy đủ, nghĩa công thức đại số vị từ định lý hệ toán vị từ Nhận xét: Trong hệ toán vị từ với công thức A cho trước không thiết phải có A A định lý Bởi tập hợp định lý hệ toán vị từ trùng với tập hợp công thức đại số vị từ, mà đại số vị từ có công thức A cho A A không Khác với hệ toán mệnh đề, hệ toán vị từ không đầy đủ theo nghĩa hẹp, cụ thể là, có công thức không chứng minh hệ toán vị từ, mà ta thêm vào hệ tiên đề hệ toán vị từ công thức (giữ nguyên quy tắc suy diễn) ta hệ toán lôgic phi mâu thuẫn Ngoài ra, toán giải không giải đại số vị từ nên không giải hệ toán vị từ Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, Lý thuyết tập hợp lôgic, NXB Giáo dục, 2004 [2] Phan Đình Diệu, Logic toán sở toán học, NXB Đại học quốc gia Hà nội, 2006 [3] Hoàng Xuân Sính - Trần Phương Dung, Tập hợp lôgic, NXB Giáo dục, 1998 [4] Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2000 [5] P X Nôvikôp (N H Ngự Đ H Ruận dịch), Đại cương lôgic toán, NXB Khoa học kỹ thuật, 1971 [6] S L Edenman (N M Quý dịch), Logic toán, NXB Giáo dục, 1981 128 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN TRIỆU SƠN - NGUYỄN ĐÌNH YÊN LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LOGIC TOÁN Sơn La, 2015 Lời nói đầu Lý thuyết tập hợp lôgic toán sở tảng toán học nói... "tập hợp" tùy tiện tạo nên tập hợp chứa mầm mống nghịch lý Mà cách khắc phục thực tiên đề hóa lý thuyết tập hợp, quy định điều làm điều làm đối tượng quan hệ lý thuyết tập hợp Hệ tiên đề lý thuyết. .. đương Lý thuyết tập hợp trình bày gọi lý thuyết sơ cấp theo quan điểm "ngây thơ" Ngay vào năm đầu kỷ 20 người ta liên tục phát với quan niệm rộng rãi tập hợp có nhiều nghịch lý làm cho lý thuyết tập