Nguyeân haøm – Tích phaân VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Chú ý: Để sử dụng phương pháp[r]
(1)Nguyeân haøm – Tích phaân CHÖÔNG III NGUYÊN HAØM, TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG I NGUYEÂN HAØM Khaùi nieäm nguyeân haøm Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu: F '( x ) f ( x ) , x K Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø: f ( x )dx F ( x ) C , C R Mọi hàm số f(x) liên tục trên K có nguyên hàm trên K Tính chaát f '( x )dx f ( x ) C f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx kf ( x )dx k f ( x )dx (k 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp ax C (0 a 1) ln a cos xdx sin x C 0dx C a x dx dx x C x dx x 1 C, 1 ( 1) sin xdx cos x C x dx ln x C e x dx e x C cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0) a sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0) a dx tan x C cos2 x dx cot x C sin2 x eax b dx eax b C , (a 0) a 1 dx ln ax b C ax b a Phöông phaùp tính nguyeân haøm a) Phương pháp đổi biến số Nếu f (u)du F (u) C và u u( x ) có đạo hàm liên tục thì: f u( x ) u '( x )dx F u( x ) C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu Trang 78 Lop12.net (2) Nguyeân haøm – Tích phaân VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng các nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Baøi Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) f ( x ) x –3 x x d) f ( x ) ( x 1)2 x2 g) f ( x ) 2sin2 k) f ( x ) b) f ( x ) x 2x4 x c) f ( x ) x 1 x2 e) f ( x ) x x x f) f ( x ) h) f ( x ) tan2 x i) f ( x ) cos2 x l) f ( x ) x x cos x m) f ( x ) 2sin x cos x sin2 x.cos2 x e x x x x n) f ( x ) e e – o) f ( x ) e p) f ( x ) e3 x 1 cos x Bài Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: sin2 x.cos2 x a) f ( x ) x x 5; c) f ( x ) e) f (x )= 5x ; x x3 x2 ; g) f ( x ) sin x.cos x; i) f ( x ) F (1) b) f ( x ) 5cos x; F (e) d) f ( x ) F (2) f) f ( x ) x x F ' 3 x3 3x3 3x ; h) f ( x ) F (0) x2 ; x F ( ) F (1) x ; 3x x3 x2 x k) f ( x ) sin2 ; F (1) 2 ; F (1) F 2 ( x 1) Bài Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: F a) g( x ) x cos x x ; f ( x ) x sin x; 2 b) g( x ) x sin x x ; f ( x ) x cos x; F ( ) c) g( x ) x ln x x ; f ( x ) ln x; F (2) 2 Bài Chứng minh F(x) là nguyên hàm hàm số f(x): F ( x ) (4 x 5)e x F ( x ) tan x x a) b) x f ( x ) (4 x 1)e f ( x ) tan x tan x x2 x2 x F ( x ) ln F ( x ) ln x x 1 x c) d) x f (x) f ( x ) 2( x 1) ( x 4)( x 3) x4 1 Trang 79 Lop12.net (3) Nguyeân haøm – Tích phaân Bài Tìm điều kiện để F(x) là nguyên hàm hàm số f(x): F ( x ) ln x mx Tìm m b) 2x f (x) x 3x F ( x ) mx (3m 2) x x a) Tìm m f ( x ) x 10 x F ( x ) (ax bx c) x x F ( x ) (ax bx c)e x Tìm a, b, c d) c) Tìm a, b, c x f ( x ) ( x 3)e f ( x ) ( x 2) x x F ( x ) (ax bx c)e2 x F ( x ) (ax bx c)e x e) Tìm a , b , c f) Tìm a, b, c 2 x x f ( x ) (2 x x 7)e f ( x ) ( x x 2)e b c g) F ( x ) (a 1)sin x sin x sin x Tìm a, b, c f ( x ) cos x F ( x ) (ax bx c) x Tìm a, b, c h) 20 x 30 x f ( x ) 2x VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: f(x) = Khi đó: f ( x )dx f ( x )dx phương pháp đổi biến số g u( x ) u '( x ) thì ta ñaët t u( x ) dt u '( x )dx = g(t )dt , đó g(t )dt dễ dàng tìm Chuù yù: Sau tính g(t )dt theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x) Dạng 2: Thường gặp các trường hợp sau: f(x) có chứa a2 x a2 x Cách đổi biến x a sin t, hoặc t x a cos t, 2 0t x a tan t, x a cot t, t 2 0t Bài Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx a) (5 x 1)dx b) d) (2 x 1)7 xdx e) ( x 5)4 x dx g) x 1.xdx k) sin x cos xdx h) (3 x )5 3x 2x sin x dx l) cos5 x dx Trang 80 Lop12.net c) f) i) m) 2xdx x dx x 5 dx x (1 x )2 tan xdx cos2 x (4) Nguyeân haøm – Tích phaân n) e x dx o) x.e x x e 3 1 p) dx ln3 x dx r) x dx ex Bài Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx dx a) b) (1 x )3 (1 x )3 q) d) g) dx e) x x dx x2 x dx h) x2 dx s) c) f) e x x dx etan x cos2 x dx x dx dx x2 i) x x 1.dx x x 1 VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P(x) là đa thức x, ta thường gặp các dạng sau: P( x ).e u dv x dx P(x) x e dx P( x ).cos xdx P( x ).sin xdx P( x ).ln xdx P(x) cos xdx P(x) sin xdx lnx P(x) Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: a) x.sin xdx b) x cos xdx c) ( x 5)sin xdx d) ( x x 3) cos xdx e) x sin xdx f) x cos xdx g) x.e x dx h) x 3e x dx i) ln xdx k) x ln xdx l) ln2 xdx m) ln( x 1)dx n) x tan2 xdx o) x cos2 xdx p) x cos xdx q) x ln(1 x )dx r) x.2 x dx s) x lg xdx Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: a) e x dx d) cos x dx ln(ln x ) dx x Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: g) a) e x cos xdx d) ln(cos x ) dx cos2 x b) ln xdx c) sin x dx x e) x.sin x dx f) sin xdx h) sin(ln x )dx i) cos(ln x )dx b) e x (1 tan x tan2 x )dx c) e x sin xdx e) ln(1 x ) x dx Trang 81 Lop12.net f) x cos2 x dx (5) Nguyeân haøm – Tích phaân g) x ln x x x2 dx h) x3 x2 ln x i) dx x dx VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm các hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ đó suy nguyên hàm f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm các hàm số f(x) g(x), tức là: F ( x ) G( x ) A( x ) C1 (*) F ( x ) G( x ) B( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x ) A( x ) B( x ) C laø nguyeân haøm cuûa f(x) Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: sin x a) sin x cos x dx b) d) cos x sin x cos x dx e) g) 2sin2 x.sin xdx k) e x e x e x cos x c) sin x cos x dx sin x sin x cos4 x f) dx l) ex e x e x cos4 x sin x cos4 x ex i) dx e x e x e x m) dx e x e x h) cos2 x.sin xdx dx sin x sin x cos x dx dx dx VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) P( x ) Q( x ) – Nếu bậc P(x) bậc Q(x) thì ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Chaúng haïn: A B ( x a)( x b) x a x b ( x m)(ax bx c) 2 ( x a) ( x b) A Bx C , với b2 4ac x m ax bx c A B C D x a ( x a) x b ( x b)2 f(x) laø haøm voâ tæ ax b + f(x) = R x , m cx d + f(x) = R ( x a)( x b) ñaët tm ñaët Trang 82 Lop12.net ax b cx d t xa xb (6) Nguyeân haøm – Tích phaân f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa các nguyên hàm baûn Chaúng haïn: + sin ( x a) ( x b) 1 , sin( x a).sin( x b) sin(a b) sin( x a).sin( x b) + sin ( x a) ( x b) sin(a b) 1 , sử dụng sin(a b) cos( x a).cos( x b) sin(a b) cos( x a).cos( x b) + cos ( x a) ( x b) cos(a b) 1 , sử dụng cos(a b) sin( x a).cos( x b) cos(a b) sin( x a).cos( x b) sin(a b) sử dụng sin(a b) + Neáu R( sin x ,cos x ) R(sin x ,cos x ) thì ñaët t = cosx + Neáu R(sin x , cos x ) R(sin x ,cos x ) thì ñaët t = sinx + Nếu R( sin x , cos x ) R(sin x ,cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: a) dx x( x 1) d) dx x x 10 x dx g) ( x 1)(2 x 1) k) dx x ( x 1) Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: a) dx 1 x 1 d) g) k) 3 x x dx dx x x 24 x dx (2 x 1)2 x b) dx ( x 1)(2 x 3) e) h) l) b) x e) h) l) dx f) i) dx c) x 1dx dx f) x( x 1)dx i) 1 x x2 6x x x 3x dx dx x3 x 1 x 2 x2 dx x 1 dx c) x x x x dx 1 x x dx x 5x x2 x3 x 3x x dx m) x3 dx x x dx x m) dx x2 6x Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: a) sin x sin xdx cos x b) cos x sin xdx dx c) (tan2 x tan x )dx dx d) sin x cos x dx e) 2sin x f) cos x g) sin x cos x dx h) sin3 x cos x dx i) k) cos x cos x cos3 xdx l) cos3 xdx Trang 83 Lop12.net dx cos x cos x 4 m) sin xdx (7)