b trung trực của AB c đường trung bình ứng với AC d đuờng phân giác trong của góc A... Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.[r]
(1)Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng www saosangsong.com.vn Lop12.net (2) Phương pháp tọa độ mặt phẳng § Phương trình tổng quát đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa Vectơ n khác vuông góc đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) ∆ •Phương trình đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) và có VTPT n = (a ; b) là : a(x – x0) + b(y – y0) •Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng : ax + by + c = đó n = (a ; b) là VTPT n •∆ vuông góc Ox Ù ∆ : ax + c = a ∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = ∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = ∆ x y ∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : + = ( Phương φ a b trình theo đọan chắn ) M •Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx + m với k = tanφ , φ là góc hợp tia Mt ∆ phía trên Ox và tia Mx Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = và ∆2 : a2x + b2y + c = Tính D = a1 b – a2 b1, Dx = b1 c – b2 c1 , Dy = c a – c2 a1 •∆1 , ∆2 cắt Ù D ≠ Khi đó tọa độ giao điểm là : Dx ⎧ ⎪⎪ x = D ⎨ ⎪y = Dy ⎪⎩ D ⎧D = ⎪ •∆1 // ∆2 Ù ⎨ ⎡ D x ≠ ⎪⎢D ≠ ⎩⎣ y •∆1 , ∆2 trùng Ù D = Dx = Dy = Ghi chú : Nếu a2, b2 , c2 ≠ thì : • ∆1 , ∆2 cắt Ù Ù a1 b1 ≠ a b2 Lop12.net (3) Phương pháp tọa độ mặt phẳng • • a1 b1 c1 = ≠ a b2 c a b c ∆1 , ∆2 trùng Ù = = a b2 c ∆1 // ∆2 Ù B Giải tóan Dạng tóan : Lập phương trình tổng quát đường thẳng : Cần nhớ : • • • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và vuông góc n = (a; b) là : a(x – x0 ) + b(y – y0) = Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và cùng phương x − x o y − yo a = (a ; a ) là : = a1 a2 Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = có dạng : ax + by + m = với m ≠ c • Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 ) : a(x – x0 ) + b(y – y0) = ( a2 + b2 ≠ ) • Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) và B(0 ; b) là : x y + =1 a b Ví dụ : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) và C(- 1; 4) Viết phương trình tổng quát : a) đường cao AH và đường thẳng BC b) trung trực AB c) đường trung bình ứng với AC d) đuờng phân giác góc A Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) và vuông góc BC = (- ; 3) có phương trình là : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = Ù - 2x + 3y = Đường thẳng BC là tập hợp điểm M(x ; y) cho BM = ( x − 1; y − 1) x −1 y −1 cùng phương BC = (−2;3) nên có phương trình là : ( điều kiện cùng = −2 phương hai vectơ) Ù 3(x – 1) + 2(y – 1) = Ù 3x + 2y – = b) Trung trực AB qua trung điểm I( ; 3/2 ) AB và vuông góc AB = (- ; 1) nên có phương trình tổng quát là : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = Ù 4x + 2y – 11 = Lop12.net (4) Phương pháp tọa độ mặt phẳng c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( ; 5/2) và cùng phương AB = (- ; - 1) Đường này là tập hợp điểm M(x ; y) cho KM = ( x − 0; y − ) cùng phương AB = (−2;−1) nên có phương trình là : x −0 y −5/ = ( điều kiện cùng phương hai vectơ) Ù x – 2y + = d) Gọi D(x ; y) là tọa độ chân đường phân giác Theo tính chất DB AB =− phân giác : AC DC Mà AB = 22 + 12 = 5, AC = 42 + 22 = , đó : DB = − <=> 2DC = − DC DC ⎧2(1 − x) = x + ⎧ x = 1/ Ù⎨ <=> ⎨ ⎩2(1 − y) = y − ⎩y = Vậy D = (1/3 ; 2) Vì yA = yD = nên phương trình AD là y = Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình AB : 2x – y + = , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( ; ) Viết phương trình các cạnh còn lại Giải Vì AD vuông góc với AB nên VTPT n = (2 ; - 1) AB là VTCP AD x y Ù x + 2y = Phương trình AD qua O là : = −1 ⎧2x − y + = A B Tọa độ A là nghiệm hệ : ⎨ x 2y + = ⎩ I Giải hệ này ta : x = - ; y = => A(- ; 1) I là trung điểm AC , suy : ⎧ x A + x C = 2x I = ⎧ x C = 10 : C(10 ; 9) <=> ⎨ ⎨ ⎩ y A + y C = 2y I = 10 ⎩ yC = C D Đường thẳng CD song song với AB nên n = (2 ; - 1) là VTPT CD CD qua C(10 ; 9) , đó phương trình CD là : 2(x – 10) - (y – 9) = Ù 2x – y – 11 = Đường thẳng BC qua C và song song AD , đó phương trình BC là : Lop12.net (5) Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ù(x – 10) + 2(y – 9) = Ù x – 2y – 28 = Ví dụ : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = a) Tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng d qua trục Ox c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng d qua điểm I(- ; 1) Giải : a) Cho x = : - 4y – 12 = Ù y = - => d cắt Oy tai A(0 ; - 3) Cho y = : 3x – 12 = Ù x = => d cắt Ox tai B(4 ; 0) Diện tích tam giác vuông OAB là : ½ OA.OB = ½ = đvdt b) Gọi A’(0 ; 3) là đối xứng A y qua Ox Ta có d’ qua A’ và B , A’ B1 cùng phương A' B = (4;−3) có I B x −0 y−3 phương trình là : = Ù −3 x 3x + 4y – 12 = c) Gọi B1là đối xứng B qua I A => B1 (- ; 2) Đường thẳng d” qua B1và song song với d , có phương trình : 3(x + 6) – 4(y - 2) = Ù 3x – 4y + 26 = *Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox A, tia Oy B cho : a) OA + OB = 12 b) hợp với hai trục tam giác có diện tích là 12 Giải : Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > , b > , phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : x y + = Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên : a b + = (1) a b B A Lop12.net (6) Phương pháp tọa độ mặt phẳng a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2) Thế (2) vào (1) : + =1 12 − b b Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b Ù b2 – 11b + 24 = Ù b = hay b = x y • b = : a = , phương trình cần tìm : + = <=> x + 3y − = x y • b = : a = , phương trình cần tìm : + = <=> 2x + y − = b) Diện tích tam giác OAB là ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3) 3b Thế (3) vào (1) : + = Ù b2 + 16 = 8b 24 b Ù (b – 4)2 = Ù b = x y Suy : a = , phương trình cần tìm là : + = Ù 2x + 3y – 12 = Dạng : Tìm vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ : Tìm vị trí tương đối cac đường thẳng sau : a) 9x – 6y – = , 6x + 4y – = b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 = −6 ≠ nên hai đường thẳng cắt 10 −8 / = = = nên hai đường thẳng trùng b) Ta có : 25 −20 / Giải a) Ta có : * Ví dụ : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + = d’ : mx - 3y + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm là số nguyên ⎧(m + 1)x − 2y + m + = (1) Giải a) Tọa độ giao điểm M là nghiệm hệ : ⎨ ⎩mx − 3y + = (2) m +1 − Hai đường thẳng cắt Ù D = = −3(m + 1) + 2m = −m − ≠ m −3 Ùm≠-3 Lop12.net (7) Phương pháp tọa độ mặt phẳng − m +1 = - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1 −3 m +1 m +1 Dy = = m(m + 1) – 1.(m+1) = m2 - 1 m Ta có : Dx = Dx - 3m - ⎧ ⎪⎪x = D = m + Tọa độ giao điểm M : ⎨ ⎪y = D y = - m + ⎪⎩ D m+3 −3(m + 3) + 8 b) Ta có : x = =-3+ m+3 m+3 y = − m +3− m+3 Để x và y ∈ Z thì chia hết cho (m + 3) Ù (m + 3) ∈ { ± ; ± ; ± ; ± } Ù m ∈ {- ; - ; - ; - ; ; - ; ; - 11 } Ví dụ : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = và điểm A (1 ; 1) a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc d b) Tìm tọa độ hình chiếu A lên d và tọa độ điểm A’ , đối xứng A qua A Giải a) Đường thẳng d’ vuông góc d nên VTPT n = (2 ; 1) d là VTCP d’ Suy phương trình d’ là : x −1 y −1 Ù x – 2y + = = b) Tọa độ giao điểm H d và d ‘ thỏa hệ : ⎧x = H ⎧2x + y − 13 = Ù⎨ : H(5 ; 3) , là hình chiếu ⎨ ⎩ x − 2y + = ⎩y = A lên d H là trung điểm AA’ , suy : ⎧x A ' = x H − x A = : A' (9 ; 5) ⎨ A’ ⎩y A' = 2y H − y A = C Bài tập rèn luyện 3.1 Cho đường thẳng d : y = 2x – Lop12.net A (8) Phương pháp tọa độ mặt phẳng a) Vẽ đường thẳng d Xác định giao điểm A và B d với Ox và Oy.Suy diện tích tam giác OAB và khoảng cách từ O tới d b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox M , Oy N cho MN = 3.2 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d : a) qua điểm A(1 ; - 2) và có hệ số góc là b) qua B ( - 5; ) và cùng phương a = ( ; - 5) − 3x d) qua I(4 ; 5) và hợp với trục tọa độ tam giác cân e) qua A(3 ; 5) và cách xa điểm H(1 ; 2) c) qua gốc O và vuông góc với đường thẳng : y = 3.3 Chứng minh các tập hợp sau là các đường thẳng : a) Tập hợp điểm M mà khoảng cách đến trục hoành gấp đôi khoảng cách đến trục tung b) Tập hợp điểm M thỏa MA + MB2 = 2MO với A(2 ; ) và B( ; - 2) Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) và C(- 1; ) Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH , đường thẳng BC b) Trung tuyến AM và trung trực AB c) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC và CA là : AB : x – = BC : 4x – 7y + 23 = AC : 3x + 7y + = a) Tìm tọa độ A, B, C và diện tích tam giác b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A và C Suy tọa độ trực tâm H 6.Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + = và d’ : x – my + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M , suy M di động trên đường thẳng cố định b) Định m để d và d’ và đường thẳng ∆ : x + 2y – = đồng quy Lop12.net (9) Phương pháp tọa độ mặt phẳng Cho hai điểm A(5 ; - 2) và B(3 ; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C(1 ; 1) cho A và B cách đường thẳng d 3.8 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – = và x + y – = Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I(3 ; 1) * Cho tam giác ABC có trung điểm AB là I(1 ; 3) , trung điểm AC là J(- 3; 1) Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B * 3.10 Cho điểm M(9 ; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox và tia Oy A và B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ * 3.11 Cho điểm M(3 ; 3) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox và Oy A và B cho tam giác MAB vuông M và AB qua điểm I(2 ; 1) D Hướng dẫn hay đáp số : 3.1 a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = đvdt 1 1 = + = + = => OH = Ta có : 2 16 16 OH OA OB b) Phương trình d’ có dạng : y = 2x + m , cắt Ox M(- m/2 ; 0) , cắt Oy |m| =3 N(0 ; m) Ta có MN = OM + ON = Suy : m = ± 3.2 a) y + = 3(x – 1) Ù y = 3x – x+5 y−2 = <=> 5x + y + 21 = b) −5 c) y = x ( hai đường thẳng vuông góc Ù tích hai hệ số góc là – 1) d) Vì d hợp với Ox góc 450 hay 1350 nên đường thẳng có hệ số góc là tan 450 = hay tạn0 = - , suy phương trình là : y = x + ; y = - x + e) Đường thẳng cần tìm qua A và vuông góc AH = (−2;−3) 3.3 a) Gọi (x ; y) là tọa độ M : |y| = 2|x| Ù y = 2x hay y = - 2x b) MO2 = x2 + y2 , MA2 = (x – 2)2 +(y – 1)2 , MB2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 Lop12.net (10) Phương pháp tọa độ mặt phẳng Suy : 3x – y – = c) Đường thẳng cần tìm qua điểm D cho : DA = −2DB Ù D = (2 ; 5) a) A(3 ; - 2) ; B(3 ; 5) ; C(- ; 1) , S = ½ AB CH = 47/ đvdt b) AH : y = , AK : 7x + 4y – 13 = , H(9/7 ; 1) a) D = – m2 ≠ Ù m ≠ ± , tọa độ giao điểm : Dx m+2 ⎧ ⎪⎪ x = D = − m + = −1 − m + ⎨ ⎪y = Dy = ⎪⎩ D m +1 => x + y + = => M di động trên đường thẳng : x + y + = b) Thế tọa độ M vào đường thẳng x + 2y – = , ta : m = - 2/3 d là đường thẳng qua C : • và qua trung điểm I(4 ; 1) AB • hay cùng phương AB = (−2;6) 3.8 Gọi AB : 3x – y – = và AD : x + y – = Giải hệ , ta đuợc A = (1 ; 1) Suy C = (5 ; ) CD : 3x – y – 14 = ; BC : x + y – = * A = (0 ; a) => B(2 ; – a) và C(- ; – a) BC qua gốc O nên OB và OC cùng phương Ù 2(2 – a) = (6 – a) ( - 6) Ù a=5 10 Đặt A(a ; 0) và B(0 ; b) ,với a , b > Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : x y + = Đường này qua I Ù + = a b a b Áp dụng bđt Côsi cho hai số : = => ab ≥ 12 => S OAB = 9 12 + ≥2 = a b a b ab ab ≥ 72 10 Lop12.net (11) Phương pháp tọa độ mặt phẳng Vậy tam giác OAB có diện tích nhỏ là 72 và PT đường thẳng cần tìm là : = = <=> a = 18 ; b = a b x y + = <=> x + y − 72 = 18 3.11 Đặt A(a ; 0) , B(0 ; b) , ta có : MA.MB = (a − 3)(−3) + (−3)(b − 3) = Ù a + b = (1) Mặt khác phương trình đường thẳng AB : (AB) qua I(2 ; 1) Ù x y + = a b + = Ù 2b + a = ab (2) a b Thế (1) vào (2) : 2b + (6 – b) = (6 – b)b Ù b2 – 5b + = Ù b = hay b = Suy : (a = ; b = 2) hay (a = ; b = 3) § Phương trình tham số đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa a khác cùng phương với đường thẳng ∆ gọi là vectơ phương (VTCP) ∆ • Phương trình tham số đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) n ⎧ x = x o + ta1 và có VTCP a = (a1 ; a2 ) là : ⎨ ⎩ y = yo + ta • Phương trình chính tắc đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) và x − x o y − yo có VTCP a = (a1 ; a2 ) là : = ( a1 ≠ và a2 ≠ a1 a2 0) Nếu n = (a; b) là VTPT ∆ thì a = (b ; - a) hay ( - b ; a) ∆ M là VTCP ∆ B Giải toán Dạng toán : Lập PT tham số đường thẳng 11 Lop12.net a (12) Phương pháp tọa độ mặt phẳng • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) và VTCP (a ; a2) : ⎧ x = xo + a1t ¾ phương trình tham số là : ⎨ ⎩ y = yo + a2t x − xo y − y0 ¾ phương trình chính tắc là : =− (a1, ≠ 0) a1 a2 ¾ phương trình tổng quát là : a2(x – x0) – a1( y – y0) = • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) và VTPT (a ; b) => VTCP (b ; - a) Áp dụng trên Ví dụ : Cho A( ; 2) , B(3 ; - 4) , C(0 ; 6) Viết PT tham số , chính tặc và tổng quát : a) đường thẳng BC b) đường cao BH c) đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và song song với d : 3x -7y = Giải a) BC qua B(3 ; - 4) và có VTCP BC = (−3;10) nên có PTTS là : ⎧ x = − 3t ⎨ ⎩ y = −4 + 10t => PTCT là : x−3 y +4 = −3 10 và PTTQ là : 10( x − 3) + 3( y + 4) = Ù 10x + 3y -18 = b) Đường cao BH qua B(3 ; - 4) và vuông góc AC (−1; 4) nên có VTCP là (4 ; 1) Suy PTTS : ⎧ x = + 4t ⎨ ⎩ y = −4 + t x−3 y +4 PTCT : = PTTQ : 1(x – 3) – 4(y + 4) = Ù x – 4y – 19 = c) Đường thẳng song song với d : 3x – 7y = nên vuông góc VTPT n d (3 ; - 7) , suy VTCP là (7 ; 3) Tọa độ trọng tâm G là : (4/3 ; 4/3 ) ⎧ x = / + 7t PTTS đường thẳng cần tìm : ⎨ ⎩ y = / − 3t 12 Lop12.net (13) Phương pháp tọa độ mặt phẳng 4 y− = x− PTCT : PTTQ : 3(x – 4/3) – 7(y – 4/3) = Ù 3x – 7y + 16 =0 Dạng toán : Tìm điểm đường thẳng Tọa độ điểm M đường thẳng cho PTTS Ứng với t , ta điểm đường thẳng Bài toán thường đưa việc giải phương trình hay hệ phương trình mô tả tính chất điểm ⎧ x = − 2t Ví dụ : Cho đường thẳng d : ⎨ ⎩ y = + 3t a) Tìm trên d điểm M cách điểm A(4 ; 0) khoảng là b) Biện luận theo m vị trí tương đối d và d’: (m + 1)x + my – 3m – = Giải : a) Tọa độ điểm M thuộc d cho phương trình tham số d : M = (3 – 2t ; + 3t) Ta có : AM = (-1 – 2t ; + 3t ) => AM2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2 = 13t2 + 10t + Ta có : AM2 = 25 Ù 13t2 + 10t + = 25 Ù 13t2 + 10t – 23 = Ù t = hay t = - 23/13 Ù M = (1 ; 4) hay M = ( 85/13; - 56/13) b) Thế phương trình tham số d vào phương trình d’ , ta phương trình tính tham số t giao điểm , có : (m + 1)(3 – 2t) + m(1 + 3t) – 3m – = Ù (m – 2)t + m – = (1) • m – = Ù m = : (1) thỏa với m Ù d và d’ có vô số điểm chung Ù d , d’ trùng • m – ≠ Ù m ≠ : (1) có ngh Ù d và d’ cắt Ghi chú : Có thể biến đổi d dạng tổng quát : 3x + 2y – 11 = và biện luận theo hệ phương trình ẩn C Bài tập rèn luyện 3.12 : Cho đường thẳng d có hương trình tham số : x = + 2t 5t ;y=2(1) a) Tìm VTCP d có tọa độ nguyên và điểm d Viết phương trình tham số khác d 13 Lop12.net (14) Phương pháp tọa độ mặt phẳng b) Tìm trên d điểm A có hoành độ gấp đôi tung độ c) Tìm trên d điểm B cách gốc O khoảng là 58 13 Cho tam giác ABC có A(1 ; - 2) , B(0 ; 4) và C(6; 3) Tìm VTCP, suy phương trình tham số và chính tắc các đường thẳng sau : a) Đường thẳng d qua A và có VTCP là (3 ; - ) b) Đường trung trực BC c) Đường thẳng AB d) Đường trung bình tam giác ABC ứng với cạnh BC e) Đường phân giác ngoài của góc B 3.14 Cho tam giác ABC với BC : 2x – y – = , đường cao BH : x + y - = , đường cao CK : x + y + = Viết phương trình các cạnh tam giác 3.15 Cho hình chữ nhật ABCD có AB : 2x – y – = , AD qua M(3 ; 1) và tâm I có tọa độ là ( - ; ½ ) Viết phương trình các cạnh AD , BC và CD *3 16 Cho tam giác ABC có trung điểm M AB có tọa độ (- ½ ; 0) , đường cao CH với H(- 1; 1) , đường cao BK với K(1 ; 3) và biết B có hoành độ dương a) Viết phương trình AB b) Tìm tọa độ B, A và C 3.17 Chọn câu đúng : Phương trình nào đây là phương trình tham số đường trung trực AB với A(3 ; - 5) và B(5 ; 9) : ⎧x = + t a) ⎨ ⎩ y = + 7t ⎧ x = + 7t c) ⎨ ⎩y = + t ⎧x = + t b) ⎨ ⎩ y = + 7t ⎧ x = + 7t d) ⎨ ⎩y = − t 3.18 Chọn câu đúng : Phương trình nào đây là phương trình tổng quát ⎧ x = + 3t đường thẳng qua A(4 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng d : ⎨ là : ⎩ y = −1 + t a) 3x + 2y – = b) 3x - 2y – 12 = c) 2x – 3y – 23 = d) 4x + 5y – 22 = 14 Lop12.net (15) Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.19 Chọn câu đúng : Đường thẳng d : x+3 y−2 = xác định với hai trục tọa độ tam giác có diện tích là : a) 64/5 b) 128/5 c) 16/ d) đáp số khác 3.20 Chọn câu đúng : Gọi d là đường thẳng qua M(4 ; - 3) và song song với đường thẳng y = 2x – a) d qua điểm ( 10 ; 10) b) trên d không có điểm nào có tọa độ là số nguyên chẵn c) Cả (a) và (b) sai d) Cả (a) và (b) đúng 3.21 Chọn câu đúng : Cho tam giác ABC cân A(1 ; - 2) , trọng tâm là G(5 ; 6) Phương trình đường thẳng BC là : a) x + 2y + 27 = b) x + 2y – 27 = c) x – 2y – 27 = d) 2x – y – = A C Hướng dẫn hay đáp Số 3.12 a) a = ( ; - 5) , x = + 4t , y = – 5t b) Giải xA = 2yA Ù t = 1/14 c) Dùng phương trình tham số d : (3 + 4t)2 + (2 – 5t)2 = 58 G B 3.13 a) x = + 3t , y = - – 2t C b) x = + 8t , y = 7/2 + 3t c) Trung trực vuông góc BC = (6 ;−1) nên cùng phương vectơ (1 ; 6) Suy ⎧x = t phương trình tham số là : ⎨ ⎩ y = + 6t 3.14 BC và BH cắt B(2 ; 0) BC và CK cắt C(1 ; - 2) Phương trình AB qua B và vuông góc CK là : 3(x – 2) – 1(y – 0) = 3.15 AD qua M và vuông góc AB có phương trình : 1.(x – 3) + 2(y – 1) = Ù x + 2y – = Suy tọa độ A = AB ∩ AD = (7/5 ; 9/5) Suy tọa độ C , đối xứng A qua I 15 Lop12.net (16) Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng *3 16 a) Phương trình AB qua H và M : 2x + y + = b) B thuộc AB Ù B = (b ; - 2b – 1) A đối xứng B qua M Ù A = (- – b ; 2b + 1) Mặt khác AK BK = Ù 5b2 + 5b – 10 = Ù b = Vậy B = (1 ; - 3) , A = (- ; 3) , C = (3 ; 3) 3.17 (d) 3.18 (a) 3.19 (a) 3.20 (b) 3.21 (b) § Khoảng cách và góc A Tóm tắt giáo khoa I Khỏang cách từ M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = là : | ax0 + by o + c | d(M, ∆) = a2 + b2 *2 Gọi M’ là hình chiếu M lên ∆ , thì : ax + by + c M ' M = k n = M M2 Suy : a +b M’ • M, N nằm cùng phía ∆ ∆ Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) > • M M, N nằm khác phía ∆ Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) < * Phương trình hai đường phân giác góc hợp hai đường thẳng : a1x + b1 y + c1 = và a2x + b2 y + c2 = là : a1 x + b1 y + c1 a x + b2 y + c ± =0 2 2 a1 + b1 a + b2 II Góc ( không tù ) tạo ∆1: a1x+ b1y + c1 = và ∆2 : a2x + b2y + c = là : | a1 a + b1b2 | cos(∆1 ; ∆2 ) = 2 2 a1 + b1 a + b2 ∆1 ┴ ∆2 Ù a1a2 + b1b2 = B Giải toán 16 Lop12.net (17) Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Dạng : Tính khỏang cách và lập phương trình đường thẳng liên quan đến khỏang cách Ví dụ : a) Tính khoảng cách từ điểm A(1 ; 3) đến đường thẳng d : 3x – 4y + = b) Tình bán kính đường tròn tâm O tiếp xúc đường thẳng d : 2x +y + = ⎧x = + t c) Tính khoảng cách từ điểm P(3 ; 12) đến đường thẳng : ⎨⎩ y = − 3t d) Tính khoảng cách hai đường thẳng song song : d : 5x + 3y – = và d’ : 5x + 3y + = 3x A − yA + 3.1 − 4.3 + =1 5 32 + 42 b) Bán kính đường tròn là khoảng cách từ O đến đường thẳng Giải a) d(A, d) = d :R = d(O , d) = 2.0 + + 22 + 12 = = d = O c) Ta viết phương trình dạng tổng quát : x−2 y−5 = <=> −3( x − 2) = y − −3 d Ù 3x + y - 11 = d(P, ∆ ) = 3.3 + 12 − 11 32 + 12 = 10 10 M = 10 d' d) Chọn trên d : 5x + 3y - = điểm M ( 1; ) , thì : d(d , d’ ) = d(M, d) = 5.1 + + +1 2 = 13 26 = 13 Ví dụ : a) Tìm trên trục hoành điểm cách đường thẳng : 2x + y – = khoảng là 17 Lop12.net (18) Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b) Tìm trên đường thẳng d : x + y + = điểm cách đường thẳng d ‘ : 3x – 4y + = khoảng là c) Cho điểm M ( m – ; 2m + ) di động và điểm A (2 ; 1) cố định Tìm giá trị nhỏ khoảng cách AM m thay đổi Giải a) Gọi M(x , ) là điểm cần tìm , ta có : d(M , d) = 2 Ù 2x − = = x − = 10 Ù 2x – = 10 hay 2x – = - 10 Ù x = 17/2 hay x = - 3/2 Vậy ta tìm hai điểm M(17/2 ; ) và M(- 3/2 ; ) b) Gọi x là hoành độ điểm M cần tìm , tung đô M là : y = - x – Ta có phương trình : d(M, d’ ) = d x M − yM + Ù =2 Ù x − 4(− x − 5) + = 10 Ù | 7x +24 | = 10 Ù 7x + 24 = 10 hay 7x + 24 = -10 Ù x = - hay x = - 34/ M A Vậy ta tìm hai điểm M(- 2; ) và M(- 34/7 ; ) ⎧x = m − x+2 y−5 Ù = <=> x − y + = c) Ta có : ⎨ ⎩ y = 2m + Vậy M di động trên đường thẳng d : 2x – y + = Suy khoảng cách nhỏ 2.2 − + 12 = AM chính là : d(A, d) = 5 Ví dụ : a) Viết phương trình đường thẳng song song và cách hai đường thẳng song song d : x – 3y – = và d’ : x – 3y + = b) Viết phương trình đường thẳng d :song song với đường thẳng d’ : 3x + 2y - = và cách d’ khoảng là 13 và nằm mặt phẳng bờ d’ và chứa điểm gốc O 18 Lop12.net (19) Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng c) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A( ; 4) và cách điểm B( ; 2) khoảng là GIẢI a) Đường thẳng cần tìm là tập hợp điểm M(x ; y) cho : d(M, d) = d(M, d’) Ù | x − 3y −1 | 12 + ⎡ x − 3y − = x − 3y + (VN) Ù ⎢ ⎣ x − 3y − = − x + 3y − Ù 2x – 6y + = Ù x – 3y + = = | x − 3y + | 12 + d’ O b) Phương trình đường thẳng d song song d với d’ có dạng : 3x + 2y + m = Ta định m để d(d , d’ ) = d’ 13 Chọn trên d điểm A(0 ; ½) , ta có : d(d, d’) = d(A ,d’ ) = 13 Ù 3.0 + + m = 13 <=> + m = 13 13 Ù m + = 13 hay m + = - 13 A Ù m = 12 hay m = - 14 Ù d’ : 3x + 2y + 12 = hay d’ : 3x + 2y – 14 = • Xét d’ : 3x + 2y + 12 = Chọn điểm M’ (0 ; - 6) thuộc d’ Thế tọa độ M’ vào d : 0.3 + 2( - 6) – = - 13 > Thế tọa độ O(0 ; 0) vào d : 0.3 + 0(2) – = - < Vậy O và M’ cùng phía d tức d’ : 3x + 2y + 12 = là đường thẳng cần tìm Cách khác : Gọi M(x ; y) là điểm bất kì , ta có : M(x ; y) ∈ d’ Ù d(M, d) 13 và O và M nằm cùng phía d 19 Lop12.net (20) Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧| 3x − y − | = 13 3x − y − ⎪ Ù⎨ <=> = − 13 13 13 ⎪(3x − y − 1)(3.0 − 2.0 − 1) > ⎩ Ù 3x – 2y + 12 = c) Phương trình d là đường thẳng qua A (6 ; 4) có dạng : a(x – 6) + b(y – 4) = với a2 + b2 ≠ Ù ax + by – 6a – 4b = (1) | 1.a + 2b − 6a − 4b | = Ù (5a + 2b) = 25(a + b ) Ta có : d(B, d) = Ù 2 a +b 20ab – 21b2 = Ùb(20a – 21b) = 21b Ù b = hay a = 20 * Với b = : (1) thành ax – 6a = Ù x – = (chia hai vế a ≠ , coi Ù chọn a = 1) 21b 21 41b * Với a = : (1) thành =0 bx + by − 20 20 20 Ù 21x + 20y – 41 = ( Chia hai vế cho b/20 , coi chọn b = 20 => a = 21 ) Vậy có hai đường thẳng thỏa đề bài là : 21x + 20y – 41 = và x = Cáck khác : Có thể xét * d : x = ( qua A và vuông góc Ox , không có hệ số góc ) * d : y = k(x – 6) + Ù kx – y – 6k + = Giải : d(B , d) = Ù k = - 21/ 20 Dạng : Viết phương trình phân giác , phân giác , ngoài Ví dụ : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + = AC : 5x + 12y – 25 = , BC : y = a) Viết phương trình các phân giác góc B tam giác ABC b) Viết phương trình phân giác góc A tam giác ABC 20 Lop12.net (21)